第十周 几何仙境觅模型——几何模型(一)-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（竞赛版）

150×0.88=132（元) 答：打折后每个变形金刚的售价为132元。 第九周白骨洞内探奇物 一立体几何问题 第61变 1.（3-1)×2=4(个) 9.6÷4=2.4（dm2) 2.4×1.5×10=36（dm3) 答：原来圆柱形钢材的体积是36dm。 2.3.14×(2÷2)2×(5+7)÷2=18.84(cm3) 答：图2中立体图形的体积是18.84cm。 3.3×2×（20+25)÷2=270 答：几何体的体积是270。 第62变 1.15×12×6=1080(cm3) 20×8×6=960(cm3) 1080-960=120(cm3) 答：他自己可以喝120cm3的饮料。 2.号×3.14×102×12=1256(cm3) 5×4×4=80(cm3) 1256÷80≈15.7 答：可铸成完整的长方体铁块最多15块。 3.20÷2=10（cm) 8÷2=4（cm) 3.14×（102-42)=263.76（cm2) 263.76×100÷(0.04×100）=6594(cm) 6594cm=65.94m 答：薄膜展开后的长度是65.94m。 第63变 1.6×4=24(cm3) 6×(8-6)=12(cm3) 24+12=36(cm3) 36cm3=36ml 答：这个瓶子的容积是36ml。 2.18+7=25（cm) 10÷2=5(cm) 3.14×52×25=1962.5(cm3)=1962.5(ml) 答：瓶子的容积是1962.5ml。 3.(16-12)×3=6(cm) 答：水瓶中圆锥部分的高度为6cm。 第十周几何仙境觅模型 一几何模型（一） 第64变 1.1cm2 2.(1)8cm (2)方 3.4:21:56 第65变 1.18 2.75 3.33 第66变 1.12cm2 2.28.75cm23.12.5cm2 第十一周菩提树下参模型 一几何模型（二) 第67变 6 1.35 2.50cm23.18 第68变 1.20cm 2.40 3.30 第69变 1.2.25cm2 2.37.8 3.44cm2 第十二周灵山脚下悟数理 —数学思想与数学原理 第70变 1.3410010000 y@yyO ●●y● ●●●O] 123第十周 几何仙境觅模型 一几何模型（一) 取经情境图 在△ABC中，DE、FG、BC互相平行，AD=DF=FB,求 △ADE、四边形DEGF、四边形GFBC的面积之比。 如何求面积比？ 若想领略境全貌，须解三题。 此仙境充满几何之美！ 找相比，算面积比，求差值。 图 AB与CD平行，CD=3AB: 如何求线段比？ △ABC中，BD8DC=2:3, △ABO与△CDO的面积和是 AE:CE=4:5,求AF:FB。 60cm,这两个三角形的面积分别 是多少？ 如何求面积？ 先定相似比和面积比，再求解。 用燕尾定理找面积比，统一份数再求解。 闯关前思考 如何从复杂图形中提炼金字塔模型、沙漏模型和燕尾模型？金字塔模型与沙漏模型的 相似比、面积比规律有何不同？燕尾模型怎样统一份数关联面积？本周将梳理逻辑，学习特 殊模型的识别与应用技巧。 91 小学奥数72变六年级 竞赛版 第 64变 、悟空探究金字塔模型 金字塔模型 考点入门 2分钟 入门须知： 当两条平行线（如下图中DE、BC)与 面积比和相以比之间有什么关系？ 一组相交线构成上下两个相似三角形时（如 △ADE与△ABC),就形成金字塔模型。 定海神针： △ADE、△AFG、△ABC的相似 相似三角形的对应边、对应高成比例，即 比为1：2：3，面积比为1：4：9， AD AE DE AF 面积比是相以比的平方。 AB-AC-BC-AG 相似三角形的面积比等于相似比的平方，即 -(0)=(装)=（器）=(6) AD AE DE S△ABC 问路取经： 在△ABC中，DE、FG都和BC平行，且AD=DF=FB,DE= 5cm, 那么FG和BC的长度分别是多少？面积比是相似比的平方，如 果△ADE的面积是4cm,△AFG和△ABC的面积又该怎么算？快推 导试试！ 图解母题 3分钟 对应边的关系 例 读题审题 (走美杯)如图，在△ABC中，DE,FG, D BC互相平行，AD=DF=FB:,求△ADE、四边形DEGF、四； 边形FGCB的面积之比o 求三个图形的面积之比刀 B 92 第十周几何仙境觅模型 图示解析 根据金字塔模型的特征，判定该图形可以应用金字塔模型解答 由题中三条平行边的关系确定相似比，计算面积比 求各部分图形的面积 解题思路 ①确定相似比：由AD=DF=FB,得△ADE、△AFG、△ABC的相似比为1：2：3。 ②计算面积比：根据“面积比等于相似比的平方”，得SADE:S△AG:S△BC= 12:22:32=1:4:9。 ③求各部分图形的面积：设S△ADB为1份，则S△MFG为4份，S△Bc为9份，进而 算出四边形DEGF的面积为4一1=3（份），四边形FGCB的面积为9一 4=5（份)，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB=1:3:5。 规范解答 设S△ADE=1 AD 1 AD 1 相似比：AF=2,AB=3 面积比： S△ADE= S△AFG 分》-故5病=多=（宁-专故 SAABC=9 四边形的面积：S四边形DEGr=4一1=3；S四边形FGcB=9一4=5 面积比：SAADE:S四边形DEGr:S四边形FGCB=1:3:5 答：面积之比是1：3：5。 通关模型角64变金字塔模型 通用解法：面对金字塔模型问题，先找相似三角形的相似比，再用“面积比等于相似比 的平方”推导面积关系，最后通过面积差求出各部分图形的面积。 三步解题： 1.定相似：识别平行线构成的相似三角形，确定相似比。 2.算面积比：根据相似比计算对应三角形的面积比。 3.求目标比：用已求得的三角形的面积相加或相减，得到四边形或其他图形的面积，最 终得出所求的结果。 93 小学奥数72变六年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(育苗杯)如图，在△ABC中，AB=子AB,AD=子AC,ED 与BC平行，△ABC的面积是16cm2,那么△AED的面积是多 少平方厘米？ 画图思考/规范解答： 2.(希望杯)如图，在平行四边形ABCD中，AB=16cm, AD=10cm,点E在AB的延长线上，且BE=4cm,连 接DE交BC于点F。 (1)FC的长度是多少？ (2)△BEF的面积是△AED的面积的几分之几？ E 画图思考/规范解答： 3.(巨人杯)如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC,且 D AD:DF:FB=2:3:4。请计算出△ADE、四边形 DFGE和四边形FBCG的面积之比。 画图思考/规范解答： B 94 第十周几何仙境觅模型 第65变。沙僧解析沙漏模型 沙漏模型 考点人门 2分钟 入门须知： 当两条平行线（如下图中BC、ED)与一 组交叉线相交，形成上下对称的两个相似三角 怎么求这两个三角形的面积？ 形时（如△ADE与△ABC),就像一个“沙漏”， 这就是沙漏模型。 相似比AB: CD=1:3,面积比 为1：9，设S△ABg 定海神针： 608 =60,解得 9×6=54 相似三角形的对应边、对应高成比例，即 设未知数，根据面积和列 AEAD EDAF AC AB BCAG 方程，计算结果。 相似三角形的面积比等于相似比的平方，即 =(能)=(0)=（股）=（能） S△ABC AC 问路取经： 沙漏模型中（见右上漫画)，AB与CD平行，CD=3AB,△ABO与△CDO的 面积和为60cm,先定相似比再算面积比，那么△CDO的面积是多少？△ABO和 △CDO的面积相等吗？结合沙漏模型的规律算一算。 图解母题 3分钟 对应边的关系白 例 读题审题（希望杯）如图，AB与CD平行，CD=3AB,△AOB 与△COD的面积和为60cm,这两个三角形的面积分别是多少？ 面积之和 →求两个三角形的面积 96 小学奥数72变六年级 竞赛版 图示解析 根据沙漏模型的特 根据题中两条边的比确定 求两个三角形 征，判定该图形可以 相似比，计算面积比 的面积 应用沙漏模型解答 易错点：忘记“面积比是相似比的平方”。 解题思路 ①确定相似比：因为CD=3AB,故△AOB与△COD的相似比为1：3。 ②计算面积比：面积比为12：32=1：9。 ③求出三角形的面积：设S△40B=x,则S△coD=9x,由x十9x=60,解得x=6, 9x=54。 规范解答 相似比： AB 1 3 面积比： S△40B=( SACOD 3)2=9 设S△40B=x,则S△cop=9x,x十9x=60,解得x=6, 故S△40B=6(cm2),则SA COD=9x=9×6=54(cm2) 答：△AOB的面积是6cm2,△COD的面积是54cm2。 通关模型鱼65变/沙漏模型 通用解法：解决沙漏模型问题，先通过平行线确定相似三角形，找出相似比，再用“面 积比等于相似比的平方”计算面积，最后结合总面积或面积差求解。 三步解题： 1.识模型：识别由平行线和交叉线构成的沙漏模型，确定相似三角形的对应边。 2.定比例：根据已知边的长度关系，得出相似比，进而得到面积比。 3.算面积：设未知数表示面积，结合面积之和或差的条件，求出目标面积。 96 第十周几何仙境觅模型 变式巧练 10分钟 1.（希望杯)如图，梯形ABCD的面积是50，下底是上底的1.5 D 倍，求阴影部分的面积。 画图思考/规范解答： 2.(海峡两岸数学邀请赛)如图，正方形ABCD和CEFG的边长 A 分别为12和8，求△BOE的面积。 画图思考/规范解答： B C 3.(国际青少年数学竞赛)如图，平行四边形ABCD的面积 是90，已知点E是边AB上靠近点A的三等分点，求阴影 部分的面积。 画图思考/规范解答： D 7 小学奥数72变六年级 竞赛版 第 66变0 八戒破解燕尾模型 燕尾模型 考点人门 2分钟 入门须知： 燕尾模型又称燕尾定理，是指在一个三角形中 分别从三个顶点向所对的边作三条直线并相交于一 点的图形，研究怎样把一个三角形内部两个呈燕子尾 燕尾定理的核心是什么？ 巴形状的三角形（其实两个三角形的关系是共边）面 积的比转化成线段长度之间的比所得出的结论。 SA80: :3=4:6,SaA80 定海神针： c0=4:5,Sa4c S 9co=6:5=AF S△ABO BD S△Aco=AF. S△AB0= S△ACO CD S△BCO S△Bc0 EC 面积比等于对应底边的比。 问路取经： 在△ABC中（见右上漫画），BD:DC=2:3,AE:EC=4:5,BE和AD交于点O, 已知△ABO的面积是16cm2。你能算出△ACO和△BCO的面积吗？AF:FB的值呢？ 一起来探究吧！ 图解母题 3分钟 两组燕尾对应边之比 例 读题审题（世奥赛）如图，△ABC中，BD:DC=3:4,AE:CE= r===✉3 5:6,求AF:FB的值。 一求另一组燕尾对应边之比 98 第十周 几何仙境觅模型 图示解析 根据燕尾模型的 题中两组边的比分 通过对面积的转 特征，判定该图 别对应两组燕尾， 化求比，找到AF 形可以应用燕尾 可得出燕尾中三角 和FB两条边对应 模型解答 形的面积关系 的燕尾模型 易错点：混淆“燕尾对应的底边”，错把非对应底边的比例当作面积比。 解题思路 ①应用燕尾定理，由BD:DC=3:4,得出S△AOB:S△AoC=BD:DC=3:4; 同理，由AE:CE=5:6,得出S△40B:S△0C=AE:CE=5:6。 ②统一份数，找关联：将S△AOB:S△40C=BD:DC=3:4与S△4oB:S△0C =AE:CE=5:6中的比例份数统一。 ③根据燕尾定理中S△MOc:S△Oc=AF:FB,结合比例，可得S△AoC:S△BoC =20:18=10:9,因此AF:FB=10:9。 规范解答 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC=BD:DC=3:4 S△4oB:S△BOC=AE:CE=5:6 S△4oB:S△AoC:S△B0c=15:20:18 所以S△A0c:S△BOc=20:18=10:9=AF:FB 答：AF:FB值为9。 通关模型鱼66变燕尾模型 通用解法：先识别三角形内的燕尾结构，利用燕尾定理中“面积比=对应线段比”建立 面积比例关系，通过统一份数或设未知数的方式，联立等式求解未知线段比例或面积。 三步解题： 1.识结构，定比例：识别三角形内由顶点连线形成的燕尾结构，根据已知线段的比例， 结合燕尾定理得出对应三角形的面积比。 2.统一份数，找关联：将不同燕尾结构下的面积比化为同份数形式，找到共同的三角形 面积作为关联桥梁，建立多组面积的份数关系。 3.推结论，得结果：根据燕尾定理中“面积比=对应线段比”的结论，结合关联后的面 积份数，推导得出目标线段的比例（或面积）。 99 小学奥数72变六年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(乐课力杯)如图，△ABE的面积是24cm2,△AEC的面积 是18cm2,△BDE的面积是16cm,那么△CDE的面积是 多少？ 画图思考1规范解答： E 0 2.（华罗庚金杯)如图，在△ABC中，已知BD:DC=2:3, AE:EC=3:4,△BOD的面积是4cm2,求△ABC的面积。 画图思考1规范解答： F B D C 3.(希望杯)如图，已知BD=DC,EC=2AE,△ABC的面 积是30cm2,求阴影部分的面积。 E 画图思考/规范解答： B D 100