第九周 白骨洞内探奇物——立体几何问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（竞赛版）

150×0.88=132（元) 答：打折后每个变形金刚的售价为132元。 第九周白骨洞内探奇物 一立体几何问题 第61变 1.（3-1)×2=4(个) 9.6÷4=2.4（dm2) 2.4×1.5×10=36（dm3) 答：原来圆柱形钢材的体积是36dm。 2.3.14×(2÷2)2×(5+7)÷2=18.84(cm3) 答：图2中立体图形的体积是18.84cm。 3.3×2×（20+25)÷2=270 答：几何体的体积是270。 第62变 1.15×12×6=1080(cm3) 20×8×6=960(cm3) 1080-960=120(cm3) 答：他自己可以喝120cm3的饮料。 2.号×3.14×102×12=1256(cm3) 5×4×4=80(cm3) 1256÷80≈15.7 答：可铸成完整的长方体铁块最多15块。 3.20÷2=10（cm) 8÷2=4（cm) 3.14×（102-42)=263.76（cm2) 263.76×100÷(0.04×100）=6594(cm) 6594cm=65.94m 答：薄膜展开后的长度是65.94m。 第63变 1.6×4=24(cm3) 6×(8-6)=12(cm3) 24+12=36(cm3) 36cm3=36ml 答：这个瓶子的容积是36ml。 2.18+7=25（cm) 10÷2=5(cm) 3.14×52×25=1962.5(cm3)=1962.5(ml) 答：瓶子的容积是1962.5ml。 3.(16-12)×3=6(cm) 答：水瓶中圆锥部分的高度为6cm。 第十周几何仙境觅模型 一几何模型（一） 第64变 1.1cm2 2.(1)8cm (2)方 3.4:21:56 第65变 1.18 2.75 3.33 第66变 1.12cm2 2.28.75cm23.12.5cm2 第十一周菩提树下参模型 一几何模型（二) 第67变 6 1.35 2.50cm23.18 第68变 1.20cm 2.40 3.30 第69变 1.2.25cm2 2.37.8 3.44cm2 第十二周灵山脚下悟数理 —数学思想与数学原理 第70变 1.3410010000 y@yyO ●●y● ●●●O] 123第九周 白骨洞内探奇物 立体几何问题 取经情境图 把一根长2m的圆柱形钢材截成4段 若想过此洞，须解三道题。 后，表面积比原来增加了18.84dm2, 原来圆柱形钢材的体积是多少？ 洞主拦路，是要考问我等9 先算底面积，再用底面积乘圆柱的高。 7、一 有甲、乙两个容器，甲是圆锥（底面半 个下半部分为圆柱形的瓶子（底面直径是4cm, 径为6cm,高为10cm),乙是圆柱（底 总高10cm),正放时水面高度为6cm;封紧瓶口 面半径为4cm),甲容器注满水后倒入 倒置后，水面高度为8cm(倒放时，水未装满圆柱， 乙容器，乙容器里水深是多少厘米？ 空余部分为圆柱体)，求这个瓶子的容积？ 10 先算圆锥的体积，再求圆柱的水深。 抓牢“水的体积不变”和“瓶子容积不变”。 闯关前思考 切割不规则立体图形，如何判断截面与表面积的变化？等积变换时，怎样借助体积不 变求未知量？水瓶倒置问题里，如何利用“水的体积不变”“瓶子总容积不变”，将不规则 空余部分转化为规则图形以计算容积或水的体积？本周将拆解这些问题，掌握立体几何的解 题思路。 81 小学奥数72变六年级 竞赛版 第 61变。切割拼接悟空破题 一圆柱的切割与拼接 考点人门 2分钟 入门须知： 切割是将完整立体图形（如圆柱）沿平行 于面或垂直于面的方向分开，拼接则是将多个 怎样求体积？ 小立体图形贴合组合。两者均遵循“体积守恒” 原则一一切割后各部分体积之和等于原体积， 拼接后总体积等于各部分体积之和。表面积变 化的关键是“切面”：切割一次增加2个切面 的面积，拼接一次减少2个重合面的面积，需 先明确切面形状（如圆柱平行于底面切割，切 面为圆形；垂直于底面切割，切面为矩形)。 定海神针 切割核心公式：增加的表面积=切面的面 根据切面的个数和增加的 表面积，先算出底面面积。 积×切割次数×2 拼接核心公式：减少的表面积=重合面的面积×拼接次数×2 体积守恒规律：切割或拼接前后，总体积不变，即V总=V1十V2十…十， 问路取经： 把一根长2m的圆柱形木棒截成4段后，表面积比原来多了18.84dm2,这根木棒 原来的体积是多少？要是把3根这样的木棒沿底面拼接成一根长木棒，减少的表面积又 该怎么算？结合“截n段切(n一1)次”的规律试试！ 图解母题 3分钟 →高是10cm 例■ 读题审题（学而思杯)已知圆柱的；高是10c',由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相 等的两部分，表面积增加了40cm2:,圆柱体的体积是多少立方厘米？（π取3) →表面积的变化 →求体积 82 第九周白骨洞内探奇物 图示解析 易错，点：将切面形状判断错误。 解题思路 ①求单个切面面积：总增加表面积为40cm,对应2个切面，单个切面面积S= 40÷2=20(cm2)。 ②求圆柱底面直径：根据长方形面积公式S=长×宽，代入长h=10cm、S=20cm2, 得底面直径d=20÷10=2(cm),半径r=1cm。 ③求圆柱体积：利用圆柱体积公式V=πr2h,代入T=3、r=1cm、h=10cm, 计算体积。 规范解答 单个切面面积：40÷2=20（cm)》 圆柱底面直径：20÷10=2（cm) 半径：r=2÷2=1（cm) 圆柱体积：V=3×12×10=30(cm2) 答：圆柱体的体积是30cm。 通关模型鱼61变圆柱的切割与拼接 通用解法：切割与拼接问题，需锁定切割面或重合面，量化其对表面积变化的影响，同 时遵循切割、拼接前后体积守恒定律。 三步解题： 1.定切面：判断切割或拼接的切面形状，明确切面边长与原立体图形棱长的关系。 2.算增减：切割时，增加的表面积=切面面积×切割次数×2；拼接时，减少的表面积= 重合面的面积×拼接次数X2。 3.求体积：利用体积守恒，直接用原立体图形的体积或各部分体积之和计算。 83 小学奥数2变六年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（世奥赛)如图所示，把一根长1.5m的圆柱形 钢材截成3段后，表面积比原来增加了9.6dm。 ☐0○0 原来圆柱形钢材的体积是多少？ 画图思考/规范解答： 2.(高思杯)如图1，将一个圆柱斜着切一刀，分成两个相同的 部分，左半部分如图2所示，图中给出了一些线段的长度（单 图1 位：cm),那么图2中立体图形的体积是多少？（π取3.14) 画图思考/规范解答： 图2 B 3.（希望杯)如图所示的几何体是从底面半径为2的圆柱体上截取的一部分， 截面上距离底面最近的点A到底面的距离是20，截面上距离底面最远的 点B到底面的距离是25，该几何体的体积是多少？（π取3） 画图思考/规范解答： 84 第九周白骨洞内探奇物 第 62变0 等积变换沙僧巧算 等积变换 考点人门 2分钟 入门须知： 等体积变换是指物体只有形状发生变 化，其他都不变，所以体积不变。在这类题中， 我们需要抓住体积这个不变量，熟练运用体 如何计算水深？ 积公式，倒推出其他所需的量。 定海神针： 长方体体积公式是几何体体积计算的基础： 长方体体积：V=长×宽×高 圆柱体积：V国桂=Sh=Tr2h 水的体积=甲容器的 体积=寸×π×6×10 圆维体积：V=号Sh=号mh 等底等高：V调维：V圆粒=1：3 等底等体积：h国锌：h国粒=3：1 利用体积公式列等式，消去π。 等高等体积：S圆维：S国挂=3：1 问路取经： 有个底面半径为6cm、高10cm的圆锥形容器，装满水后将水倒入一个底面半径为4cm 的圆柱形容器里，你能算出圆柱形容器里的水深吗？等体积变换需要列等式消去T，你 试着推导看看，要是再把圆柱里的水倒入长方体容器，体积还会不变吗？ 图解母题 3分钟 水的体积等于圆锥的体积 例 读题审题（走美杯)如图，有甲、乙两个容器， 甲容器注满水后，倒入乙容器中！，乙容器里水深是多 少厘米？ →将水倒入乙容器，水的体积不变 求乙容器中的水深 (单位：cm) 85 小学奥数72变六年级 竞赛版 图示解析 容器形状发生变化，但水的体积不会变 水的体积=甲容器的体积=乙容器中水的体积 ↓ 圆锥的体积=乙容器中水的体积 ↓ 乙容器中的水深=圆锥的体积÷圆柱的底面积 解题思路 ①计算甲容器（圆锥)的体积：代入圆锥的体积公式，求出水的体积。 ②建立等式：代入圆柱的体积公式，表示出水的体积，与上一步的结果建立等式。 ③代入数据计算：简化等式，消去π后快速求出水深。 规范解答 甲容器（圆锥)中水的体积： V*=号mh1=3×m×6×10=120m(cm2) 乙容器（圆柱)中水的体积：V水=πrh, 所以mh,=120m,即h,=120m=7.5(cm) T×42 答：乙容器里水深是7.5cm。 通关模型鱼62变/等积变换 通用解法：掌握长方体、圆柱、圆锥的体积公式，利用等积变换中体积不变的特性，结 合等底等高（或等积）的比例关系，实现不同几何体间未知量的求解。 三步解题： 1.确定不变量：找到变换过程中体积不变的量，利用对应几何体的体积公式，计算出这 个不变量的具体数值。 2.明确目标量：确定目标容器对应的几何体，写出该几何体的体积公式，厘清已知条件 与不变量的关系。 3.代入计算求解：根据“不变体积=目标几何体中对应的体积”，对目标几何体的体积 公式进行变形，代入不变体积和其他已知条件，计算出未知量。 86 第九周白骨洞内探奇物 变式巧练 10分钟 1.(数学大王)小明星期日请6位同学来家做 果汁 客，他选用一盒长方体（如图1）包装的饮 8 cm 料招待同学们，给每个同学倒上一满杯（如6cm 图2)后，他自己还有饮料喝吗？ -15cm- 底面积20cm2 画图思考/规范解答： 图1 图2 2.(巨人杯)如图，一个底面半径为10cm,高为 12cm的圆锥体铁块，可俦成完整的长方体（长 5cm、宽4cm、高4cm)铁块最多多少块？（π取 3.14) 画图思考/规范解答： 3.(世少赛)如图，有一卷紧紧缠绕在 一起的塑料薄膜，薄膜卷的直径为 20 cm 8 cm 20cm,中间有一直径为8cm的卷轴， 100cm 已知薄膜的厚度为0.04cm,则薄膜展 开后的长度是多少米？ 画图思考/规范解答： 87 小学奥数72变六年级 竞赛版 第 63变0 水瓶倒置八戒解惑 水瓶倒置 考点人门 2分钟 入门须知： 密封水瓶常为“圆柱十圆锥”或“圆柱十 不规则图形”的结构，正放与倒放时液面高度 怎么算空余部分的容积？ 不同，无法直接用单一规则图形计算容积或水 的体积。这类问题只需锁定“水的体积不变”“瓶 子总容积不变”两个核心，将不规则的空余空 间转化为规则的圆柱，就能轻松破解。 定海神针： 圆柱体积公式：V=π2h 圆锥体积公式：V=子πPh 倒置水瓶，把空余空间转化成圆柱。 瓶子的容积=正放时水的体积十倒放时空余部分的体积=V水十V堂 问路取经： 一个下半部分为圆柱形的瓶子（底面直径是4cm,总高10cm),正放时水面高度 为6cm；封紧瓶口倒置后，水面高度为8cm(倒放时，水未装满圆柱，空余部分为圆柱 体)。你能算出这个瓶子的容积吗？试着用“体积不变”找一找“正放空余体积”和“倒 放空余体积”的关系吧！ 图解母题 3分钟 例 读题审题（创新杯）一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一 些水（如图），由图中的数据可知瓶子的容积是多少立方厘米：？ (π取3.14) 求瓶子的容积P （单位：cm) 88 第九周白骨洞内探奇物 图示解析 正立时，求出V水 倒立时，求出V空 ↓ ↓ 底面直径和水深已知，利用圆 倒立时，空气部分底面直径已知，高 柱的体积公式求出水的体积 可以通过瓶高减去倒立时水深求得 利用圆柱的体积公式即可求出水瓶内空气的体积 求水瓶的容积：V煮=V水十V室 易错点：倒放时空余部分的高度计算错误。 解题思路 ①计算圆柱的底面积：根据直径求半径，再代入圆的面积公式。 ②计算总容积：V总=V水十V堂=S×h正水十S×h倒空=S×(h正十h倒空）。 ③代入数据计算：将底面积、正放时的水高、倒放时的空高代入公式，求出总容积。 规范解答r=4÷2=2（cm)】 S=π2=3.14×22=12.56(cm2) V总=S×(h正*+h倒空）=12.56×(6+10-8)=100.48(cm3) 答：这个瓶子的容积是100.48cm3。 通关模型金63变水瓶倒置 通用解法：将水瓶正放或倒放时不规则的空余空间转化为规则的柱体，再结合柱体的体 积公式快速计算。 三步解题： 1.确定图形结构：优先选择正放或倒放中“水或空余部分为圆柱”的场景。 2.利用体积不变：利用V水不变或V空不变，将不规则部分转化为圆柱的“等效高度” 3.快速计算结果：通过V总=S×h快速计算。 89 小学奥数72变六年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（新希望杯)如图，一个瓶子的下半部分是圆柱体，它的 底面积是6cm,瓶高8cm。往瓶子里面注入高度为4cm 的水。封好瓶口，将其倒立，则水高6cm。这个瓶子的容8cm o cm 积是多少毫升？ cm 画图思考/规范解答： 2.(育苗杯)如图，一个内直径是10cm的瓶子里装有一些水， cm 水的高度是18cm,把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆 柱体，高度是7cm,求瓶子的容积。（π取3.14) 画图思考/规范解答： 18 cm 3.(华罗庚金杯)图1是一个装有某种液体的密 封水瓶的切面图，上部分为圆锥状，下部分为 26 cm 圆柱状，底面直径都是10cm,水瓶高度是 12 cm 16 cm 26cm,瓶中液面的高度为12cm,将水瓶倒 置后，如图2，瓶中液面的高度是16cm,则 10cm 水瓶中圆锥部分的高度为多少厘米？（π取 图1 图2 3.14) 画图思考/规范解答： 90