第七周 万寿山前排座次——排列组合及概率-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（竞赛版）

第七 取经情境 镇元大仙坐在最左 座位，有多少种排法 共 桌子上有4个蓝色茶 意拿一个，拿到白色 共有5个茶杯 闯关前思 唐僧师徒在万寿 常见。排列问题里“ 排列数该如何分步计 学习排列组合与概率 :周万寿山前排座次 排列组合及概率 图 边，4位仙使坐剩下4个 猴哥，你是怎么算出来的？ 是24种。 最左边的位置已确定。剩下的 4个位置安排其余4人，就是 4×3×2×1=24(种)排法。 杯和1个白色茶杯，随 排列看次序，座次有先后就是排列；概 杯的可能性是多少？ 率是符合条件的情况数除以总情况数。 拿到白色茶杯的可能性是弓。 我明白了，多谢长老的指点！ 考 山帮仙童厘清了座次排列与茶杯概率的思路，这类问题在生活中也很 顺序”的核心判断依据是什么？遇到“指定元素位置”的限制条件时， 算？概率中“情况数的比例”又该怎么准确推导？本周就让我们一起 中的数学智慧吧！ 61 小学奥数72变六年级 竞赛版 第55变0 众仙赴会巧排列 排列问题 考点人门 2分钟 入门须知 排列是计数的经典类型，可解决排队、照相、组 师父和三个仙使一起坐成一排，师 数等有序类问题，其关键是“有序选取，分步相乘”。 父不坐在两端，有多少种坐法？ 当从n个不同元素中选m个元素并按一定顺序排列 时，每一步选元素的方法数会因已选元素而改变，将 每一步的方法数相乘就能得到总排列数。解题时要先 明确元素的“有序性”，确定选取的元素个数，再分 步计算每一步的选法，最后求积。 定海神针： Aw=n×(n-1)×(n-2)×…×（n-m +1),m表示从n个不同元素中取出的元素个数，n 表示总体的不同元素的总数（且满足m≤n)。 -共有12种坐法。 问路取经： 八戒是怎么算出有12种坐法的呢？请你说一说他的解题思路，并验证答案是否正 确。快来试试吧！ 图解母题 3分钟 产总人数 例 读题审题（高思杯)有：4个同学；一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人： 拍照，共有多少种拍照情况！？ (照相时3人站成一排) . 拍照方式 求拍照的总情况数 62 第七周 万寿山前排座次 图示解析 选1人负责拍照 →有4种选择方法 共有4×6= 4个同学 3人排列被拍→有3×2×1=6（种）站法 24(种)情况 易错点：易忽略“拍照人员的选择”与“被拍人员的排列”是两个独 立步骤，需用乘法原理，而非仅计算被拍人员的排列数。 解题思路 ①选择拍照的同学：总共有4个同学，需要从中选1人负责给其他3人拍照。因 为每个同学都可以作为拍照的人，所以有4种不同的选择方法。 ②被拍照的3人进行排列：剩下的3人站成一排，相当于从3个不同元素中选3 个进行全排列，第一个位置有3种选择，第二个位置有2种选择（因为第一 个位置已经用了1人)，第三个位置有1种选择，所以排列数为3×2×1= 6(种)。 ③计算总拍照情况数：“选择拍照同学的方法数”与“被拍照3人的排列数”是 两个独立的步骤，所以总拍照情况数为4×6=24（种)。 规范解答 3×2×1=6(种) 4×6=24(种) 答：共有24种拍照情况。 通关模型角55变排列问题 通用解法：从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素排列，排列数为Am=n×(n一1) ×(n-2)×…×（n-m+1)。 三步解题： 1.明确各个数据：明确总元素数，以及需选取并排列的元素数m(若有特殊元素或位置， 先确定其限制条件)。 2.计算对应排列数：无限制情况，直接用Am=n×（n一1)×（n一2)×…×（n一 m十1)计算；有限制情况（如特殊位置或元素），先排受限制的部分，再排剩余元素， 分别计算各部分排列数。 3.分步相乘得总数：将各步骤的排列数用乘法原理相乘，得到最终排列总数。 63 小学奥数72变六年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（时代杯)用2、4、6、7、8这5个数字可以组成多少个不同的五位数？其中大约是6万 的有多少个？ 画图思考： 规范解答： 2.(世少赛)由数字0、2、8（既可全用也可不全用)组成的非零自然数，按从小到大排列， 2008排在第 个。 画图思考： 规范解答： 3.（优才杯)在1、2、3、4、5、6、7、8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共 有种。 画图思考： 规范解答： 64 第七周 万寿山前排座次 第56变01 仙果佳肴妙组合 组合问题 考点人门 2分钟 入门须知： 组合是计数的关键类型，核心要义是 有多少种不同的分配方法？ “无序选取，先排后除（或分类求和）” 当从n个不同元素中选k个元素且不考虑顺 序时，可先按排列算出有序的方法数，再除 以个元素的全排列数（去除重复顺序）； 或直接分类计算各类组合数再相加。解题 时要抓住“无序性”，明确选的元素无顺 序差异，再通过合理计算得到总组合数。 定海神针： 我来算一算。 C=mx(n-1)×(n-2)×…×(n-k+1) -,k表示从n个不同元素中 k×(k-1)(k-2)×…×1 取出的元素个数，n表示总体的不同元素的总数（且满足≤n)。 问路取经： 童子有25个苹果，要分给5个小仙，每人至少分2个，有多少种不同的分配方法？ 请你和沙僧一起算一算吧！ 图解母题 3分钟 》产品总数及次品数 例■ 读题审题（春蕾杯)}有某种产品10件，其中有2件次品，其余为合格品，从中抽检3 件产品，至少有1件次品的情形有种。 求抽检3件，至少有1件次品的方法数 65 小学奥数72变六年级 竞赛版 图示解析 从10件产品中抽3件 抽取的3件全是合格品 10×9×8 8×7×6 至少有1件次品的抽法数 3×2×1 3×2×1 解题思路 ①计算总抽法数：从10件中选1件，有10种选法；从剩下的9件中选1件，有 9种选法；从剩下的8件中选1件，有8种选法。但这样会有重复（比如先选 A再选B和先选B再选A是同一种组合)，所以需要除以“3件的排列数”（即 3×2×1)。因此，总抽法数为10X9X8=120(种)。 3×2×1 ②计算全是合格品的抽法数：次品有2件，所以合格品有10一2=8（件）。同理， 从8件合格品中袖3件的抽法截为8资=56（种）。 ③计算“至少有1件次品的抽法数”：至少有1件次品的情况=总抽法数一全是 合格品的抽法数。所以，至少有1件次品的抽法数为120一56=64（种)。 规范解答64 通关模型鱼56变组合问题 通用解法：从n个不同元素中任取（及≤n)个元素，总方法数为 C= n×(n-1)×(n-2)×…×(n-k+1) k×(k-1)（k-2)×…×1 三步解题： 1.明确元素数量与限制条件：明确总元素个数、需选取（或分配)的元素数量k,梳 理限制条件（如至少含特定元素、不含某类元素、至少1个等），锁定组合的基本范围。 2.分情况算组合数：依据组合“无序”的特性，按限制条件选择对应方法，无特殊限制， 直接用组合公式计算；有限制条件时，先满足限制条件，再对剩余元素按“无序选取” 规则，用组合数公式计算对应部分的组合数。 3.汇总结果求总数：根据题意，将不同情况的组合数（互斥情况用加法原理，分步完成 用乘法原理)合并计算，最终得到组合总数。 66 第七周万寿山前排座次 变式巧练 10分钟 1.(希望杯)3所学校组织举办“春节联欢晚会”活动，计划演出15个节目，如果每校至 少演出3个节目，那么这3所学校演出节目数的不同情况共有种。 画图思考： 规范解答： 2.(鹏程杯)把5件相同的礼物分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物。分礼物的不同 方法共有种。 画图思考： 规范解答： 3.(世奥赛)从1~20这20个自然数中任取若干个（至少两个，可重复选取），使这些数 的乘积的末位数字是3，则共有种不同的取法。 画图思考： 规范解答： 67 小学奥数72变六年级 竞赛版 第57变0 蟠桃宴会猜机缘 概率问题 考点人门 2分钟 入门须知： 概率是研究随机事件可能性的核心内容， 抓到黄色蟠桃的概率是 可描述事件发生的可能性大小，判断游戏规则 多少9 的公平性等。其本质逻辑是“结果计数，比例 衡量”。判断事件发生的可能性（一定、可能、 不可能)后，需计算“事件包含的等可能结果数” 和“所有等可能结果总数”，用前者除以后者 得到概率。解题时要明确“等可能结果”的判 断标准，先区分事件类型，再分别计算两类结 果数，最后求比例。 定海神针： P(A)=咒，n表示这个试验所有等可能 的结果总数，m表示事件A所包含的等可能结 求出黄色蟠桃占总数的几分之 果的数量。 几即可。 问路取经： 盘子里有3个粉色、4个黄色、2个紫红色的蟠桃，闭眼随意抓一个，抓到黄色蟠 桃的概率是多少？悟空的方法正确吗？快来验证一下吧！ 图解母题 3分钟 所有笔的总数← 铅笔的数量← 例● 读题审题（希望杯）不透明的袋子里有10支笔，其中3支是铅笔。现在从里面随 意取两支，取出的都是铅笔的可能性是多少？ →求取出两支都是铅笔的可能性 68 第七周 万寿山前排座次 图示解析 10支笔 3支铅笔 随意取两支， 取法数是10×9 2×1 取出两支，取法数是 3×2 2×1 易错点：易误将“组合”当“排列”，重复计算选法顺序，导致总事件数或目标 事件数出错，需明确“选两支笔时，先选A再选B和先选B再选A是同一种情况”。 解题思路 ①计算取出两支都是铅笔的组合数：从3支铅笔中选出2支，这是一个组合问题。 报据组合载公式，可得导-3，脚有3不同的取法。 ②计算从10支笔中任意取两支的组合数：从10支笔中任意取两支，根据组合数 公式，可得19X?-45,即有45种不同的取法。 ③计算“取出的都是铅笔”的概率：概率等于目标事件数除以总事件数，即概率 是3÷45= 1 15 规范解答 3×2 10×9-1 2×1 2×1-15 答：取出的两支都是铅笔的可能性是名。 通关模型角57变概率问题 通用解法：若一个试验有种等可能的结果，事件A包含其中m种结果，则事件A发 生的概率为P(A)=咒。 三步解题： 1.定试验类型，算总事件数：明确试验是“组合、排列或分步型”，用对应方法（组合数、 排列数、分步乘法)计算所有等可能的结果总数。 2.分析事件条件，算目标事件数：根据题目要求（如恰好、至少、含特定元素等)，分 析具体情况，计算符合条件的目标事件数。 3.求概率，并规范表达：用“目标事件数÷总事件数”，化简后得到最终概率（结果需表 示为最简分数)。 69 小学奥数72变六年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（希望杯)从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两人参加演讲比赛，恰好选中甲和乙两 位同学的概率是。 画图思考： 规范解答： 2.（世奥赛)欧欧有个抽屉，里面有6只绿色袜子，18只紫色袜子，12只橙色袜 子。当加了更多紫色袜子后，欧欧发现，从抽屉里随机抽取一只袜子，它有60%的概率 是紫色的。那么欧欧加了只紫袜子。 画图思考： 规范解答： 3.（希望杯)从标有数字1~9的9个小球中，随机取出3个，取出的小球上的数字能够组 成三角形的三条边长，其概率是一。 画图思考： 规范解答： 702.3+3=6(种) 3.8+20+10=38(种) 第53变 1.6×4=24（种) 2.216个 3.3种 第54变 1.642 2.16个 3.40种 第七周万寿山前排座次 排列组合及概率 第55变 1.12012 2.29 3.1728 第56变 1.28 2.6 3.62 第57变 1.6 2.9 17 3. 42 第八周西市商行谈经营 经济问题 第58变 1.11500-5000=6500（元) 4500×5%=225（元) 2000×10%=200（元)】 225+200=425(元) 答：明明爸爸每月应缴纳个人所得税425元。 2.4000-800=3200(元) 3200×14%=448(元) 427<448 427÷14%=3050（元) 3050+800=3850(元) 答：这笔稿费是3850元。 3.增值税：10×3%=0.3（万元) 城市维护建设税：0.3×7%=0.021（万元) 一年的总费用：（0.3+0.021)×12=3.852 (万元) 22 答：该酒店一年应缴纳两项费用共3.852 万元。 第59变 1.3378-3000=378(元) 378÷7=54（元) 54÷3000×100%=1.8% 答：这种存款的年利率是1.8%。 2.150000×（1-30%)=105000（元) 105000×6.15%×3=19372.5（元) 10000<19372.5 答：到乙公司购买汽车更便宜。 3.方法一： 10000+10000×4.7%×2=10940(元) 办法二：10000×4%×1=400（元) （10000+400)×4%×1=416（元) 10000+400+416=10816(元) 10940>10816 答：选择方法一得到的利息多一些。 第60变 1.解：设商品的进价为x元。 x×(1+35%)×90%=x+208+50 x=1200 答：商品的进价为1200元。 2.（1)解：设每千克苹果至少卖x元。 4×2000+1000=2000×（1-25%)x x=6 答：每千克苹果至少卖6元。 (2)2000×(1-25%)=1500(千克) 1500×7=10500(元) 10500-9000=1500(元) 答：每千克苹果卖7元，这个水果商卖完 这批苹果可盈利1500元。 3.解：设变形金刚原价为x元。 48×（1+25%)=60（元) [0.88x-（x-48)]×2=60 x=150