第十二周 智过算经村——不定方程(组)-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（浅奥版）

第十二 取经情境图 小 今日考你们解 X+y=5 师父尽管出题，俺老 孙定能解开！ 此三元方程组，如何转化求 消艺 再习 闯关前思考 唐僧师徒西行至算经村 儿说：“石碑上的不定方程( 八戒、沙僧闻言，皆摩拳擦 们跟随他们学习这类方程问思 周 智过算经村 一不定方程（组) 2W,Y度 此方程x、y皆为正整数 定方程（组）之法。 如何求解？ 43 x为1到4，对应y为4到1，共4组解。 解p 包 子 买两种食物共花28文，如何列方程求解？ x得2y+z=8, y、z,最后求x。 设馒头x个、包子y个，列出2x+5y=28。 w 村口石碑上刻满各类方程谜题。唐僧见此情景，便对三个徒 组)谜题甚妙，今日便以此为题，考考你们的解题能力。”悟空、 准备迎接挑战。师徒四人如何拆解不定方程（组）？本周我 的巧妙解法吧！ 111 小学奥数72变六年级 浅奥版 第34变0↑ 悟空巧解和数谜 解二元一次不定方程 考点人门 2分钟 入门须知： 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，这 除了枚举，还能如何确 样的方程叫作不定方程。如果没有给不定方程某种 定解的范围？ 制约条件，那么它就有无数个解；如果附加一些限 制条件，那么它的解可能就是有限的。单独的形如 “ax±by=c(其中a、b、c为非零自然数)”的 二元一次方程叫作二元一次不定方程。 定海神针： 解二元一次不定方程，要先将其中一个未知数 用另一个未知数表示出来，然后用列表枚举法求解。 2332.海 也可用交叉增量法求解：①当方程形如“ax十 x、y是正整数，故x必在1到4之间。 by=c(其中a、b、c为非零自然数，且式子已化 至最简)”时，算出第一组解后，分别把x的解加y的系数，y的解减x的系数，可得到 下一组解。②当方程形如“ax一by=c(其中a、b、c为非零自然数，且式子已化至最简)” 时，算出第一组解后，分别把x的解减y的系数，y的解加x的系数，可得到下一组解。 问路取经： 唐僧指着村口石碑上的一道题问悟空：“已知x十y=5(x、y为正整数)，如何求出 x、y的值？”悟空略微思索便答道：“这是二元一次不定方程！先确定x的取值范围是1到 4,再枚举x的每一个值，算出对应的y,这样就能找出所有的解了。”下面我们通过经 典例题进一步验证这个方法。 图解母题 3分钟 给出不定方程 。求不定方程的自然数解 例 读题审题 求不定方程3x+2y=18的自然数解。 12 第十二周 智过算经村 图示解析 x的取值范围是0~6，y的取值范围是0~9。 3x+2y=18 0 1 2 3 4 5 9 7.5 6 4.5 3 1.5 0 2y=18-3x 十 ↓ 交叉增量法：找到第一组解之后交叉增量列 y=（18-3x)÷2 举出每一组解。 易错点：忽略“自然数解”的限制条件。 规范解答 解题思路 3x+2y=18 ①将y用含有x的式子表示出来： 解：y=（18-3x)÷2 y=（18-3x)÷2。 x、y的值列表如下： ②确定未知数的取值范围：因为是求 1 3 4 5 6 自然数解，所以x的取值范围是 y 9 7.5 6 4.5 3 1.5 0 0~6,y的取值范围是09。 ③求出方程的解：采用列表枚举法或 因此，3x+2y=18的自然数解为： 者交叉增量法，在未知数的取值 x=6 范围内求出每一组满足条件的解。 y=0。 通关模型鱼34变解二元一次不定方程 通用解法：解二元一次不定方程，一般要先将其中一个未知数用另一个未知数表示出来， 然后用列表枚举法或者交叉增量法求出满足条件的解。 三步解题： 1.方程变形：将其中一个未知数用另一个未知数表示（优先选择系数较小的未知数进行 变形，减少计算量)。 2.确定取值范围：根据题目限制条件，确定未知数的取值范围。 3.求出方程的解：采用列表枚举法或者交叉增量法求解。 113 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.求不定方程2x+5y=9的自然数解。 画图思考： !规范解答： 2.求不定方程3x+2y=25的自然数解。 画图思考： 规范解答： 3.求不定方程5x一3y=16的正整数解中x+y的最小值。 画图思考 规范解答： 114 第35变。沙僧细算 解三 考点人门 2分钟 入门须知： 三元一次不定方程是含三个未知数且未知 数次数都为1的不定方程，它的一般形式为ax +by+cz=d(其中a、b、c、d为整数且a、 b、c不全为0)。由两个三元一次不定方程组 成的方程组叫作三元一次不定方程组。 定海神针： 对于三元一次不定方程组，一般用消元法 把它转化为二元一次不定方程后再求解。 问路取经： 唐僧指着石碑上另一道题，对沙僧说：“求 x+y+z=100和x+3y+2z=108这样 两个方程组合起来的方程组的正整数解，你可有思路？ 消去未知数x,转化成二元一次不定方程，求出y、z的 出x。”下面我们通过经典例题进一步学习这种方法。 图解母题 3分钟 →该方程组是三元一次不定方程 例 读题审题 求下列方程组的正整数解 →求不定方程组 x+y+z=12, 8x+7y+5z=80。 第十二周 智过算经村 算三量题 无一次不定方程组 消元时，为何优先消去 x而非y、z? x系数都是1，消元更简 单，不易算错。 沙僧仔细看题后，回答：“先 解，再代入x+y+z=100,求 组 的正整数解 115 小学奥数72变六年级 浅奥版 图示解析 解三元一次不定 先给方程编好序号， 将方程化为二元一 !方程组时，需要 再观察相同未知数的！ 次不定方程后继续 先设法消去其中 系数，找到相同或存 求解，然后找出每 !一个未知数，将 在倍数关系的系数后， 一组解对应的第三！ 方程化为二元一 通过加或减两个方程 个未知数的值，得 ！次不定方程。 消掉其中一个未知数。 到原方程组的解。 规范解答 x+y+z=12, ① 解题思路 ①消元转化。由①×8一②消去未 8x+7y+5z=80。 ② 知数x,得到一个二元一次不定方 解：由①×8， 程：y十3z=16。 得：8x+8y+8z=96③ ②解转化后的二元一次不定方程。 由③-②，得：y+3z=16 方程的解要结合原方程组进行计 所以，y=16-3z 算：z=3,y=7;z=4,y=4; 因为x,y,z都是正整数，所以z只能取 z=5,y=10 3、4、5。 ③求出原方程组的正整数解。将以 当z=3时，y=7; 上结果分别代入方程①或②求出 当z=4时，y=4; x,得出原方程组的正整数解：x 当z=5时，y=1。 =2,y=7,z=3;x=4,y=4, 将以上结果分别代入方程①或②求出x, z=4;x=6,y=1,z=50 得出原方程组的正整数解为： x=2, =4, x=6, y=7, y=1, 易错点：消元时计算错误。 z=3; z=4; z=5。 通关模型鱼35变解三元一次不定方程组 通用解法：用消元法把三元一次不定方程组转化为二元一次不定方程后再求解。 三步解题： 1.消元转化。通过加或减两个方程消掉其中一个未知数。 2.解转化后的二元一次不定方程。 3.求出原方程组的解。 变式巧练 10分钟 1.求下列不定方程组的正整数解。 x+y+z=12, ① 、2x+3y+5z=43。② 画图思考： 规范解答： 2.求下列不定方程组的正整数解。 4x+3y-2z=7,① 3x+2y+4z=21。② 画图思考： 规范解答： 3.求下列不定方程组的正整数解。 5x+7y+3z=25, ① 3x-y-6z=2。 ② 画图思考： 规范解答： 第十二周智过算经村 物 小学奥数72变六年级 浅奥版 勇36变。八戒巧算购 列不定方程 考点人门 2分钟 入门须知： 某些应用题需要设两个或三个未知数才能 若只买一 求解，此时，可以根据题目中的等量关系列出 二元一次不定方程（组）或者三元一次不定方 程（组），通过解不定方程或不定方程组得出 答案。 定海神针： 列不定方程或不定方程组解答应用题时， 要先明确题目中的未知量，找出所有等量关系， 列出方程或方程组，再根据题目中的限制条件 (有时是明显的，有时是隐蔽的)取适当的值。 x+5V 问路取经： 唐僧对八戒说：“八戒，你去买些馒头和 包子，已知一个馒头2文钱，一个包子5文钱，一共花了28 馒头、几个包子吗？”八戒仔细想了想，说：“设买了x个 十5y=28,解方程就可得出答案。”下面我们通过经典例题 图解母题 3分钟 →每辆大、小客车的满载 例 读题审题 大客车能容纳54人，小客车能容纳36人 车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？（两种车 求两个未知数，用不定方程解题 物账 组)解应用题 中食物，方程解是否有效9 子铺 28 目说两种都买，故x、y不能 0,需舍去无效解。 文钱，你能算出买了几个 曼头、y个包子，列方程2x 进一步学习这种解题思路。 数和乘客总人数 现有378人，问大、小客 都要用) 第十二周 智过算经村 图示解析 分别设需要大客车 分析题目可知存 和小客车的辆数为x 因为两种车都要 在两个未知量， 和y,根据等量关系 用，且每辆车上 确定该题可以设 “所有大客车满载 无空座，所以这 两个未知数，用 人数十所有小客车 个不定方程的解 二元一次不定方 满载人数=378人” 是正整数。 程进行解答。 列出不定方程。 易错点：找错等量关系，导致 解题思路 列错方程。 ①设未知数，找等量关系：设需要大 规范解答 客车x辆，小客车y辆。等量关系 是“所有大客车满载人数十所有小 解：设需要大客车x辆，小客车y辆。 客车满载人数=378”。 54x+36y=378 方程的解是正整数。 ②根据等量关系列出不定方程：54x十 36y=378 x=5, y=3。 ③解方程，写出答案：根据限制条件 求出满足条件的解：x=1,y=9; 答：需要大客车1辆，小客车9辆；或 者大客车3辆，小客车6辆；或者大客 x=3,y=6;x=5,y=3。 车5辆，小客车3辆。 通关模型鱼36变列不定方程（组）解应用题 通用解法：列不定方程或不定方程组解答应用题的核心是通过设未知数、找等量关系列 出不定方程或不定方程组，再结合题目中的限制条件确定未知数的取值范围，得出符合 条件的解。 三步解题： 1.辨类型，设未知数：根据题目中的未知量个数，确定设2个或3个未知数。 2.找关系，列方程（组）：分析题目中的数量关系，找出所有等量关系，并根据等量关 系列出二元一次不定方程（组)或三元一次不定方程（组）。 3.定范围，求答案：根据题目中的限制条件（明显条件如“两种都买”，隐蔽条件如“个 数为正整数”等)，确定未知数的取值范围；用列表枚举法或交叉增量法求解不定方 程（组），筛选出符合条件的解；最后结合题目问题，整理答案。 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8kg油，小的能装5kg油，44kg油恰好装满这 些油桶。问：大、小油桶各有几个？（大、小油桶都要用） 画图思考： 规范解答： 2.如图所示，小霞有两种不同形状的纸板，一种是正 方形的，一种是长方形的。正方形纸板的总数与长 方形纸板的总数之比是1：2。她用这些纸板做成一 些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完。那么 在小霞所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒 的总数之比是多少？ 画图思考/规范解答： 3.在某菜市场上，1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅。张阿姨用20 只兔换得鸡、鸭、鹅共30只，其中鸡、鸭、鹅各多少只？ 画图思考： ！规范解答： 12030变 1.七折 2.24元 3.15.2% 第十一周甜香铺里的糖水 一浓度问题 31变 1.9% 2.26% 3.5% 32变 1.20kg 2.12.5g 3.150g,5.85kg 33变 1.40t,100t 2.200g 3.15L,5L,25L 第十二周 智过算经村 一不定方程（组） 34变 1.∫x=2, ly=1。 2.∫x=1,∫x=3, x=5,x=7, 1y=11;y=8; 1y=5; ly=2 3.8 124 35变 1.x=1, 〔X=3, x=5, y=7, y=4, y=1, z=4; Cz=5; z=60 2.〔x=1, y=3, z=30 3.x=3, y=1, 2=10 36变 1.3个，4个。 2.1:2 3.其中鸡6只，鸭3只，鹅21只；或鸡4只， 鸭12只，鹅14只；或鸡2只，鸭21只， 鹅7只。