第九周 师徒路遇修路队——工程问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（浅奥版）

17变 1.28.26dm3 2.1750g 3.188.4cm3 18变 1.12cm 2.1406.72cm 3.650cm 第七周师徒共探图形比 —图形中的比例 19变 1.28.8dm3 2.23m2 3.9:2 20变 1.280cm2 2.144cm2 3.7:5 21变 1.AE:EC=5:6 2.1:7 3.2.39km2 第八周 读经书唐僧设题 —分数应用题 22变 1.80元 2.1200m 3.450元，410元 23变 1.500kg 2.300页 3.6人 24变 1.2名 2.108人3.26本 第九周 师徒路遇修路队 一工程问题 25变 1.4天 2.12天 3.9天 26变 1.25天 2.360个 3.15天，60天 27变 30 1.150天 2.7天 3.15天 第十周师徒智解促销题 —经济问题 28变 1.10000元2.1000元3.八折 29变 1.20元，40% 2.2.5元 3.亏了，亏了20元 123第九) 取经情境 圣僧若解三道工程题， 甲单独做需几天 转成合作6天，甲单独 闯关前思 唐僧师徒西行至 在旁指挥。唐僧道： 解出便知工期。各位 妙解法？让我们和唐信 周 师徒路遇修路队 工程问题 图 更知工期。 两队一起修需要几天？ 官员辛苦，此路 何时能修完？ 02 OE 效率相加待7,1÷立=12天 完成？ 乙先单独做3天，再和 甲合作7天完成，乙单 独做需几天？ 项工程， 两队合作20天 成 乙队 单 乙总时间 成这项工程需要 3+7=10天 多少天 做要30天！ 乙共做10天，效率1， 24,单独完成要24天 处官道，见数十名工匠正在修路，路旁堆着沙石与木料，一名官员 此路何时能通？”官员笑道：“圣僧若想知晓，需先解三道工程问题， 妨一试？”那么，什么是工程问题？工程问题中有哪些常见题型和巧 师徒一起展开这场探究之旅吧。 81 小学奥数72变六年级 浅奥版 第 25变。i 沙僧初解工程题 基础型工程问题 考点入门 2分钟 入门须知： 工程问题是将一般的工作问题分数化， 此路甲单独修需20天，乙单独修需 换句话说是从分率的角度研究工作总量、工 30天，他们合作一起修要几天？ 作时间、工作效率三者之间关系的问题。它 的特点是当工作总量未知时，通常用“1”来 表示，则相应的工作效率也不是具体的数量， 而是用“1”除以单独完成这项工作所用的时 间来表示。 定海神针： 工作效率X工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 甲的效率十乙的效率=合作效率 ￥乙 问路取经： 1÷(20+30)=12天。 官员见沙僧踏实，先出一题：“修一段路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需 要30天。两队一起修，几天能修完这段路？”沙僧先将工作总量看作单位“1”，很快 就算出了两队一起修需要12天完成。各位同学，你明白了吗？ 图解母题 3分钟 →可知甲、乙、丙的工作效率分别为0古0 例 读题审题 单独完成某项工程，甲队需要10天，乙队需要15天，丙队需要20天。 开始时三支工程队一起做，因工作需要甲队中途退出，结果一共用了{6天完成这一工程！ 甲队实际工作了多少天？ 乙、丙两队合作了6天← →要求甲队的工作时间，必须先求出甲队的工作量 第九周师徒路遇修路队 图示解析 乙、丙两队合作完成的工作量 甲队完成的工作量 工作总量用单位“1”表示 易错点：忽略“乙、丙两队工作时间均为总工期6天”这一关键条件。 解题思路 ①计算乙队和丙队一共完成的工作量：虽然甲队中途退出，但乙、丙两队从头干到了尾， 都工作了6天，则乙、丙两队一共完成了（店十分）×6=。 ②计算甲队完成的工作量：用工作总量“1”减去乙、丙两队完成的品，剩下的1一品= 品就是甲队完成的工作量。 ③计算甲队实际工作的天教：完成名的工作量甲队需要名÷六-3（天）。 规范解答 [1-(5+0)×6]=3(天) 答：甲队实际工作了3天。 通关模型角25变基础型工程问题 一--一=-=一==一=一===一一=--。一-=一-一== 通用解法：基础型工程问题的核心是将工作总量作为单位“1”，根据“工作效率×工 作时间=工作总量”“工作总量÷工作效率=工作时间”“工作总量÷工作时间=工作效 率”这三个基本公式解题。 三步解题： 1.设总量算效率：将工作总量设为单位“1”，根据“工作效率=1÷单独完成时间”， 分别计算各主体的工作效率。 2.算已知主体工作量：找出工作时间明确的主体，用“工作总量=工作效率×工作时间”， 计算其完成的总工作量。 3.求目标量：用工作总量“1”减去已知主体的工作量，得到目标主体的工作量；再根据“工 作时间=工作总量÷工作效率”或“工作效率=工作总量÷工作时间”，求出目标主 体的工作时间或工作效率。 83 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.修一段路，甲队单独修需要12天完成，乙队单独修需要18天完成。两队一起修，几天 能修完这段路的？ 画图思考： 规范解答： 2.一条公路，甲队单独修需要36天完成，乙队单独修需要45天完成。如果开工时甲、乙 两队合修，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队单独又修了18天才完成任务。这条公 路甲队修了多少天？ 画图思考： 规范解答： 3.一项工程，甲队单独做10天可以完成，乙队单独做20天可以完成。现在两队合作，合 作期间甲队休息了1天，乙队休息了5天（两队不在同一天休息）。这项工程从开始到完 工共用了多少天？ 画图思考 规范解答： 84 第九周师彳 第26变。八戒巧转分干量 分 考点人门 2分钟 入门须知： 所谓分干合想，就是两人一前一后单独工 甲8天、乙6天完成0， 作，但两人时间相同的部分，可以看成是两人 独完成需要几天？ 合作完成的，将分干的部分转化为合作部分和 单独部分。 定海神针： 适用“分干合想”的条件是已知两人合作 完成总工程的时间，且题目给出“甲做m天、 乙做n天(m≠n)”的分千情况。这种情况下， 根据题目已知条件进行转化，分干合想。如“甲 修了5天后，乙又修3天”就可以组合为“甲、 甲2天做石，单独完成需 乙合修3天后甲又单独修2天”。 问路取经： 官员见八戒在旁琢磨，又出一题。八戒运用“分千合想”的思路将“甲队 乙队单独做6天”转化为“甲、乙两队合作6天，甲队单独做2天”，然月 各位同学，你明白这种解题思路了吗？ 图解母题 3分钟 →甲、乙两队合作完成的工作时间 例读题审题修一条公路，甲、乙两队合修14天可以完成。甲队先单独 出，余下的由乙队接着修，还需19天。乙队单独修这条公路需要多少天？ →甲、乙两队的工作情况 求乙队单独修这条公路需要的时 路遇修路队 干合想 甲单 30天！ 单独做8天， 顺利解题。 修了4天后退： 间 85 小学奥数72变六年级 浅奥版 图示解析 甲、乙两队“合作”4天 甲队做4天乙队做4天 乙队“单独”做了？天 乙队做19天 易错点：容易在“分干合想”过程中出错。 解题思路 ①从乙队做的19天中拆分出4天，与甲队的4天合并，分干合想，看成甲、乙两队“合 作”修了4天，从而求出甲、乙两队“合作”4天完成的工作量：4×4。 ②找到乙队“单独”完成的工作量为(1一4×4)，对应的时间为(19-4)天，从 而求出乙队的工作效率：(1-年×4)÷(19-4)= ③求出乙队单独修这条公路需要的天数：1÷=21（天）。 规范解答 1÷[(1-4×4)÷(19-4)]=21(天) 答：乙队单独修这条公路需要21天完成。 通关模型鱼26变分干合想 通用解法：将不同主体分阶段干（或同一主体分时段干）的工作过程，通过“分干合想” 转化为“合作工作”与“单独工作”的组合，利用工作效率、工作量、工作时间三者之 间的关系求解目标答案。 三步解题： 1.设总量，算合作效率：设工作总量为“1”，根据“合作完成总工程的时间”，计算 合作效率（公式：合作效率=合作时间）。 1 2.分干合想：将“分干的工作时间”拆分为“合作时间”和“单独时间”，计算合作部 分的工作量（公式：合作工作量=合作效率×合作时间)。 3.求解目标答案：利用工作效率、工作量、工作时间三者之间的关系求解目标答案。 86 第九周师徒路遇修路队 变式巧练 10分钟 1.一项工程，甲、乙两队合作10天可以完成，现在甲队做了4天，乙队做了2天，共完成 全部工程的石。如果甲队单独做，儿天可以完成全部工程？ 画图思考： 规范解答： 2.一批零件，如果甲、乙两人合作加工需24天完成。现由甲先工作16天，然后由乙工 作12天，还剩下这批零件的号没完成。已知甲每天比乙多加工3个，这批零件共有多 少个？ 画图思考： !规范解答： 3.一项工程，由甲、乙合作12天完成。现在由甲、乙合作4天，余下的工程由甲单独做9 天后，再由乙单独做4天，正好完成这项工程。问：甲、乙单独完成这项工程分别需要 多长时间？ 画图思考： 规范解答： 87 小学奥数72变六年级 浅奥版 第 27变0 悟空妙拆合干量 合干分想 考点人门 2分钟 甲单独做12天可以完成。乙先 入门须知： 单独做了3天再和甲合作，7天 所谓合干分想，就是把题中的“合作” 可以完成，乙单独做要几天？ 拆开理解，虽然两人合作，但还是分开去算 各自的工作量，将合干的部分转化为单独部 分和合作部分。 定海神针： 适用“合干分想”的条件是已知其中一 个主体的单独完成时间，且题目给出“甲（或 甲7天工作量 2×7=夜 乙)先单独做m天，再甲、乙合作n天”的 乙10天做号 合干情况。这种情况下，根据题目已知条件 进行转化，合干分想，如“甲、乙合修5天” 可拆开为“甲修了5天，乙又修了5天”。 乙10天做号，单独做完要24天！ 问路取经： 官员见悟空眼神锐利，便出第三题。悟空运用“合千分想”的思路将“甲、乙两 队合作7天”拆分为“甲单独做7天，乙单独做7天”，然后重组为“这项工程完工时， 乙队做了（7十3)天，甲队做了7天”，问题便可迎刃而解。怎样运用这种方法呢？ 让我们继续探究。 图解母题 3分钟 可知甲队的工作效率为 40 例 读题审题 项工程，甲队单独完成需要40天：。如果乙队先做10天，余下的工 程由甲、乙两队合作，则还需要20天完成：。乙队单独完成这项工程需要多少天？ 甲、乙两队的工作情况 求乙队单独完成这项工程需要的时间 88 第九周师徒路遇修路队 图示解析 乙队完成的工作量 甲队完成的工作量 乙队做20天 甲队做20天 乙队做10天 甲、乙两队合作20天 易错，点：合干分想过程中，漏算单独时间。 解题思路 ①分别计算甲、乙两队完成的工作量：合千分想，将“余下的工程由甲、乙两队合作20天” 拆分为“余下的工程由甲单独做20天，乙单独做20天”。这项工程完工时，乙队 做了(10+20)天，甲队做了20天。因此，甲队完成的工作量为：×20=号， 乙队完成的工作量为：1-号= ②计算乙队的工作效率：号÷(10+20)=0 ③计算乙队单独完成这项工程需要的时间：1宁0=60（天）。 规范解答 1÷[(1- 40 ×20)÷（10+20)]=60(天) 答：乙队单独完成这项工程需要60天。 通关模型鱼27变合干分想 通用解法：把题中的“合作时间”通过“合干分想”拆分，重组为“单独工作”与“合 作工作”的组合，利用工作效率、工作量、工作时间三者之间的关系求解目标答案。 三步解题： ①设总量，算已知效率：将工作总量设为单位“1”，若已知某主体的单独完成时间，用“已 知效率=1÷单独完成时间”，算出该主体的效率。 ②合干分想：将题目中的“未知主体单独m天十两主体合作天”，拆分为“已知主体 单独n天十未知主体单独（m十n)天”，明确已知主体的实际工作时间(（n天)和 未知主体的总工作时间（m十n)天。 ③求解目标答案：利用工作效率、工作量、工作时间三者之间的关系求解目标答案。 89 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.一项工程，乙队单独做75天可以完成。现在先由甲队单独做30天后，剩下的由甲、乙 两队合作40天刚好完成。如果这项工程由甲队单独做，需要多少天才能完成？ 画图思考： 规范解答： 2.一项工作，甲、乙合作6天完成，乙、丙合作10天完成，如果由甲、丙先合作3天， 乙接着做，还需要12天才能完成。如果这项工作由甲、乙、丙三人合作，多少天可以 完成？ 画图思考： 规范解答： 3.一项工作，甲、乙合作10天可完成，乙、丙合作12天可完成。现在这项工作由甲、丙 合作4天，乙又做10天后，完成了全部工作的号，那么乙单独做这项工作需要多少天 完成？ 画图思考： 规范解答： 90