第六周 金箍棒大变身——圆柱和圆锥-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（浅奥版）

第六周 金箍棒大变身 圆柱和圆锥 取经情境图 这个圆柱的表面积是多少？ 平 猴哥，把金箍棒变小 让俺看看！ 想看可以，俺出题你得会解 俺算好啦，125.6cm21 可别漏了公式里的3 水面高度算出来没有？ 8cm 4 6 俺没漏，体积是 18.84dm31 算好啦，是7.2cmI 2cm 闯关前思考 八戒对悟空的金箍棒十分好奇：“猴哥，能不能展示一下金箍棒大变身的绝活？”悟 空笑道：“想看不难，不过俺变完后要出三道关于圆柱、圆锥的表面积和体积的数学题考你。” 那么，什么是表面积和体积？怎样求圆柱、圆锥的表面积和体积？圆柱和圆锥里藏着哪些奥 妙？这就是本周我们要探究的问题。 小学奥数2变六年级浅奥版 第16变。变小后的金箍棒 圆柱的表面积 考点人门 2分钟 入门须知： 圆柱的表面由上、下两个底面和一个侧面组成， 八戒，这圆柱表面积怎么算？ 这三个面的面积之和就是圆柱的表面积。 定海神针： 圆柱的表面积=圆柱的侧面积十两个底面的面积 圆柱的侧面积=底面周长×高 如果用r表示圆柱底面圆的半径，h表示圆柱的 高，那么： S底=Tr2 S侧=2πrh S表=2Trh+ 2πr2 德8州、 问路取经： 金箍棒变成的小圆柱底面直径4cm,高8cm, 侧面积加两个底面积，共 125.6cm21 它的表面积是多少？八戒捧着小圆柱，先算底面 半径r=4÷2=2(cm),再根据圆柱表面积公式S表=2πrh+2πr2算出结果是 125.6cm。悟空看着八戒的算式，点头道：“算你没偷懒，这题算对了！” 图解母题 3分钟 已知侧面展开图的边长 例 读题审题 把一个圆柱的侧面展开得到一个边长为62.8cm的正方形，这个圆柱的 表面积是多少平方厘米？ →求圆柱的表面积 52 第六周金箍棒大变身 图示解析 →上底面 圆柱的侧面沿着高展开是一个正方形， 这个正方形的边长等于圆柱的底面周长 ◆下底面 易错点：未能根据圆柱的侧面展开图求出圆柱的底面半径，导致解题受阻。 解题思路 ①计算侧面积：侧面积等于展开后正方形的面积，列式为62.8×62.8=3943.84(cm2)。 ②计算底面半径：圆柱的侧面展开后是一个正方形，正方形的边长就是底面圆的周长， 所以底面半径为62.8÷3.14÷2=10（cm)。 ③计算表面积：用侧面积加上两个底面圆的面积得出表面积为3943.84+3.14×10×2 =4571.84(cm2)。 规范解答62.8×62.8=3943.84（cm2) 62.8÷3.14÷2=10（cm) 3943.84+3.14×102×2=4571.84(cm2) 答：这个圆柱的表面积是4571.84cm2。 通关模型鱼6变圆柱的表面积 通用解法：求圆柱的表面积，需先明确圆柱的底面半径（或直径）和高，再根据“圆柱 表面积=侧面积十2个底面积”的公式计算。 三步解题： 1.找数据：从题目中提取圆柱的底面直径（或半径）和高，并确保单位统一。 2.算侧面积和底面积：分别计算圆柱的侧面积(S侧=2πh)和底面积(S底=π2）。 3.求表面积：将侧面积与两个底面积的和相加，得到圆柱的表面积。 53 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.一个圆柱体，高增加2cm,表面积就增加18.84cm2。求这个圆柱体 的底面积。 2 cm 画图思考/规范解答： 2.一个圆柱底面周长和高相等，如果高缩短4cm,表面积就减少 50.24cm2。这个圆柱的表面积是多少？ 4cm 画图思考/规范解答： 3.商店有一个皮鞋展示台，是由三个高度相等，底 面半径分别是2dm、3dm和4dm的圆柱叠成，要 给这个展示台外表（与地面重合的面除外）涂上油 >4.5dm 漆，一共要涂多少平方分米？ 画图思考/规范解答： 64 第六周 金箍棒大变身 第17变。变形后的金箍棒 圆柱、圆锥的体积 考点人门 2分钟 入门须知： 物体所占空间的大小叫作物体的体积。圆柱的体积 =底面积×高，圆锥的体积等于与它等底、等高的圆柱 这个圆锥体积你算对没有？ 的体积的号。 定海神针： 如果用V表示体积，S表示底面积，r表示底面半径， h表示高，那么： V圆柱=Sh=Tr2h 4x2x45x-8】 Va丝=}Va鞋=子Sh=号πrh 问路取经 金箍棒变成的圆锥底面半径2dm,高4.5dm,体 积是多少？八戒是这样算的：圆锥的体积是与它等底、 乘3是18.84dm3,没错 1 等高的圆柱体积的号。3.14×22×4.5×号=18.84(dm)。 各位同学，八戒算得对吗？ 图解母题 3分钟 组合体上部的高和底面半径< 例 读题审题 一个零件如图所示，上端是一个高为8cm, 底面半 ---,5255555522 :径为2cm的圆柱体；下端是一个：高为3cm的圆锥体。求这个零件的： 体积。 组合体下部的高← 求组合体的体积 55 小学奥数72变六年级浅奥版 图示解析 =2 零件由圆柱体和圆锥体组成，分别利用 圆柱体积公式V国柱=πh和圆锥体积 公式V黄维=号πh计算它们的体积，再 将二者体积相加得到零件体积。 解题思路 易错点：计算圆锥体积时， ①计算圆柱体体积：因为圆柱体底面 容易遗漏公式中的号。 半径r=2cm,高h=8cm,所 以V国拉=π2h=3.14×22×8= 100.48(cm3)。 规范解答 ②计算圆锥体体积：因为圆锥体底面 半径r=2cm,高h=3cm,所以 3.14×22×8=100.48(cm3） 维=号mh=3.14×2×3×号 1 3.14×2×3×3=12.56(cm3) =12.56(cm3)。 100.48+12.56=113.04(cm3) 答：这个零件的体积是113.04cm3。 ③计算零件体积：将前面计算出的 圆柱体体积和圆锥体体积相加得 100.48+12.56=113.04(cm3）。 通关模型鱼7变圆柱、圆锥的体积 通用解法：求解圆柱、圆锥体积时，先判断图形类型（单一圆柱、单一圆锥或圆柱与圆 维的组合体)，再选择对应公式计算。 Vg拉=Sh=π户hV黄做=号V拉=弓Sh=号πh 三步解题： 1.判类型：观察图形或根据题目描述，确定所求物体是单一圆柱、单一圆锥还是组合体， 明确对应的体积公式。 2.算底面积：根据题目给出的底面半径（或直径）计算底面积。 3.求体积：单一圆柱代入公式V鞋=Sh求解；单一圆锥代入公式V国雕=弓Sh求解；组 合体分别计算各部分体积后相加（或相减），得到最终体积。 66 第六周金箍棒大变身 变式巧练 10分钟 1.题图是一个实心物体的俯视图和侧视图，这个物体的体 3dm 3dm 积是多少？ 画图思考/规范解答： 从上面看 从侧面看 2.唐老鸭用一个圆锥形容器装满了2000g香油，米老鼠趁唐老鸭不在， 在容器的正中间咬了一个洞，然后开始偷油，一直偷到油面与小洞 平齐为止（如图所示)。问：米老鼠共偷得香油多少克？（容器的厚 度不计) 画图思考/规范解答： 油面高度 3.如图，四边形ABCD是长方形，BC=6cm,AB=10cm,对角线AC、 BD相交于O。E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫过的立体图形的体积是多少立方厘米？ 画图思考/规范解答： 小学奥数2变六年级浅奥版 18变。水中的金箍棒 水中浸物问题 考点人门 2分钟 入门须知： 水中浸物问题是指将物体放入装有水的容器中， 通过观察水位变化进行相关的计算。 金箍棒放进去后，水面的高 定海神针： 度是多少？ 解题时要注意水是否溢出，物体是否完全浸入。 7的=V升（降） 8cm 完全浸入，无水溢出 V升（降）=S容h升（降） 完全浸入，有水溢出 V物=V水上升十V水溢出 体积 不完全浸入，无水溢出 V物=V水上升十V未浸入 不完全浸入，有水溢出 7物=V水上升十V水溢出十V未浸入 问路取经： 12cm 把变小的金箍棒放入装有水的容器中，求水面 的高度。八戒开动脑筋，用排水法算出了水面高度为 用水的体积除以圆环 7.2cm。那么，怎样用排水法解水中浸物问题呢？让 面积，是7.2cm1 我们通过下面的例题继续探究。 图解母题 3分钟 容器的底面半径和浸入水中的铁块的底面半径 例■ 读题审题 在一个底面半径是10cm的圆柱形容器里，浸没着一个底面半径是3cm :的圆锥形铁块。取出铁块后，容器中的水面将会下降0.3cm。圆锥形铁块的高是多少厘米？ (取出时消耗的水忽略不计) 水面下降的高度← 求铁块的高。凹 58 第六周金箍棒大变身 图示解析 圆锥形铁块的体积等于下降部分水的体 积，据此求出圆锥形铁块的体积，再根 据“高=圆锥的体积X3÷底面积”，求 出圆锥形铁块的高。 取出前 取出后 易错点：计算圆锥的高时，忘 解题思路 记用“圆锥体积×3”。 ①计算下降部分水的体积，此体积等于 圆锥形铁块的体积：3.14×102×0.3 规范解答 =94.2(cm3）。 ②计算圆锥形铁块的底面积：3.14×32 3.14×102×0.3=94.2(cm3) 三 28.26(cm3)。 3.14×32=28.26(cm3) ③根据圆锥体积公式计算圆锥形铁块 94.2×3÷28.26=10（cm) 答：圆锥形铁块的高是10cm。 的高：94.2×3÷28.26=10(cm)。 通关模型鱼8变水中浸物问题 通用解法：解决水中浸物问题的核心是“先判类型，再找关系”。先根据“物体是否完 全浸入、水是否溢出”确定浸物类型，再利用“水的体积不变”或“物体体积与水位变 化的关系”计算。 三步解题： 1.辨类型：分析题目条件，判断物体是否完全浸没（例：若铁棒高度>计算出的水面高 度，则为不完全浸没)、水是否溢出（例：若计算出的水面高度<容器高度，则无水 溢出)，确定浸物类型。 2.找数据：提取容器的底面积、初始水位、最终水位（或溢出水的体积)等数据信息， 统一单位（如m、dm、cm）)。 3.算结果：根据浸物类型选择对应公式，代入数据计算（如完全浸没时，用“容器底面 积×水位差”求物体体积)。 69 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.在一个圆柱形容器里盛有一部分水，已知圆柱形容器底面半径为 10cm,水深9cm。将一个底面半径为5cm,高为15cm的铁圆柱垂 直放入水中，使圆柱底面与容器底面接触，此时水深为多少厘米？ 画图思考/规范解答： 10cm 5cm 2.如图所示，有一个高20cm、底面半径是10cm的圆柱形容器A,里 面装满了水，现在把一个高28cm的圆柱B竖直放入容器A中，使 圆柱B的底面与容器A的底面相接触，这时一部分水从容器A中 溢出。当把圆柱B从容器A中拿出来后，容器A中的水的高度为 16.8cm,那么圆柱B的体积是多少立方厘米？（忽略圆柱B沾上的水） 画图思考/规范解答： 3.如图（单位：cm),在一个棱长为20cm的正方体密 闭容器的下底，固定了一个实心圆柱体，当容器中注 人一部分水后，水面恰好淹过圆柱体的上底面。如果 将容器倒置，那么圆柱体有8cm露出水面。已知圆 柱体的底面积是正方体底面积的令，求实心圆柱体的 20 20 体积。 画图思考/规范解答： 60第三周书香村里巧分书 一按比分配 7变 1.（1)线段图如下： 全班 (2)56人 2.20kg 3.7.5dm3 8变 1.32个，48个，40个 2.12人 3.105人 9变 1.五年级32人，六年级20人 2.108人 3.甲60元，乙50元，丙40元 第四周朱紫国图形挑战 一平面几何问题 10变 1.154.2cm 2.它们同时到达终点 3.241.47cm 11变 1.28.26m2 2.87.92m2 122 3.18.84m 12变 1.12.56cm2 2.107cm2 3.34.2cm2 第五周 智破轨迹阵 轨迹问题 13变 1.25.12cm 2.13.61cm 3.37.68cm 14变 1.2.71cm2 2.153.86m2 3.2512m2 15变 1.60.56cm2 2.111.74cm2 3.7.83m2 第六周 金箍棒大变身 圆柱和圆锥 16变 1.7.065cm2 2.182.8736cm2 3.135.02dm2 17变 1.28.26dm3 2.1750g 3.188.4cm3 18变 1.12cm 2.1406.72cm 3.650cm 第七周师徒共探图形比 —图形中的比例 19变 1.28.8dm3 2.23m2 3.9:2 20变 1.280cm2 2.144cm2 3.7:5 21变 1.AE:EC=5:6 2.1:7 3.2.39km2 第八周 读经书唐僧设题 —分数应用题 22变 1.80元 2.1200m 3.450元，410元 23变 1.500kg 2.300页 3.6人 24变 1.2名 2.108人3.26本 第九周 师徒路遇修路队 一工程问题 25变 1.4天 2.12天 3.9天 26变 1.25天 2.360个 3.15天，60天 27变 30 1.150天 2.7天 3.15天 第十周师徒智解促销题 —经济问题 28变 1.10000元2.1000元3.八折 29变 1.20元，40% 2.2.5元 3.亏了，亏了20元 123