第七周 师徒共探图形比——图形中的比例-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（浅奥版）

第七周 师徒共探图形比 图形中的比例 取经情境图 这块菜地分割巧妙，可愿算其比例？ ①号：长9m 这两块地的面 2号：长13.5m 积比是多少？ 宽一样，长之比就是面积比，2：3！ 高的比是5：6，底的比是6：51 连接CD分一半，再按 1:4分配，得801 面积800m2,AD BC与CD的比是多少9 BD,BE EC=1:4 7.5 BC18m,两泰 B 高(AE=7.5m AF-9m) 猴哥，△BDE面积怎么算？ 闯关前思考 师徒四人一路西行，这天路过一片蔬菜种植园，蔬菜种植园的菜地被分割成了很多长 方形、平行四边形和三角形。唐僧见状，问三个徒弟：“这些菜地形状不同、大小不一， 你们能算出它们之间的比例关系吗？”八戒挠挠头：“这图形和比例怎么联系到一块儿？ 不过，还是可以试试。” 61 小学奥数2变六年级浅奥版 第19变。八戒初算矩形比 长方形中的比例 考点入门 2分钟 入门须知： 比例关系在长方形中有着广泛的应用。 长方形的面积=长×宽。长方形的长、宽、 1号：长9m 面积三者之间存在紧密关联：面积一定，长 2号：长13.5m 八戒，这两块菜 和宽成反比例；长一定，面积和宽成正比例； 地面积比咋算？ 宽一定，面积和长成正比例。 定海神针： 1.若两个长方形长相等，则它们的面积 比等于宽的比；若宽相等，则它们的面积比 等于长的比。 -GE 2.若两个长方形面积相等，则它们的长 之比等于宽的反比。 宽相等，长之比就是面积比，2：3！ 问路取经： 一块长方形土地被分割成两块长分别为9m和13.5m的小长方形菜地，八戒根据两 块菜地的宽相等，它们的面积之比等于它们的长之比，算出了两块菜地的面积之比为2：3。 各位同学，八戒的算法有道理吗？让我们通过下面的例题进行研究。 图解母题 3分钟 已知3个小长方形的面积< 例● 读题审题 如图，将一个大长方形分成9个 甲 小长方形，其中甲、乙、丙3个小长方形的面积分别 是9、15和12，求小长方形行的面积。 （单位：cm) →求另外一个小长方形的面积 丙 丁 62 第七周师徒共探图形比 图示解析 甲9 乙15 利用长方形面积与长、宽的关 系，根据大长方形被分割后各 部分宽和长的特性，找出面积 的比例关系，进而求解未知小 丙12 丁？ 长方形的面积。 易错点：忽略“甲和乙共 用宽、丙和丁共用宽”的 解题思路 隐含条件，导致比例关系 建立错误。 ①分析各个长方形宽和长的关系，找出面积比 例关系：甲和乙面积之比是9：15，又它们 的宽相等，所以甲和乙的长之比是9：15， 规范解答 所以丙和丁的长之比也是9：15，又丙与丁 解：设丁的面积为xcm。 宽相等，所以丙与丁的面积之比也是9：15。 12:x=9:15 ②设丁的面积为xcm,列出比例式：12：x= 9x=12×15 9:15。 x=12×15÷9 ③解比例，得出答案：x=20,即小长方形丁 x=20 的面积是20cm2。 答：小长方形丁的面积是 20cm2。 通关模型鱼9变长方形中的比例 通用解法：解决长方形中的比例问题，核心是抓住长、宽、面积三者的比例关系：当宽（或 长)相等时，面积比等于长（或宽）的比；当面积相等时，长的比等于宽的反比。 三步解题： 1.辨关系：观察长方形的分割结构，确定哪两组小长方形存在“共用宽”或“共用长” 的条件，明确建立比例关系的依据。 2.建比例：根据“等宽，则面积之比=长的比”“等长，则面积之比=宽的比”“当面 积相等时，长的比=宽的反比”列出比例式。 3.解比例：解比例得出答案，过程中注意统一单位和约分，确保结果准确。 63 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.如图，已知一个长方形被分成四个小长方形，其中①号、③号、 ④号三个小长方形的面积分别为18dm2、15dm2、24dm2,求②号 ① ② 小长方形的面积。 ③ ④ 画图思考/规范解答： 2.一块长方形土地被分割成6个小长方形，其中四块的面积 32 A 12 如图所示（单位：m)，那么A、B两块地的面积之和是 多少平方米？ 40 10 B 画图思考/规范解答： 3.长方形草地ABCD被分成面积相等的甲、乙、丙、丁 b D 四份，其中甲的长和宽的比是a：b=2:1,那么乙 乙 的长和宽的比是多少？ 丙 甲 a 画图思考/规范解答： 丁 B C 64 第七周 师徒共探图形比 第20变。沙僧巧算底边比 平行四边形中的比例 考点人门 2分钟 入门须知 平行四边形的面积=底×高。与长方形 类似，平行四边形的底、高、面积三者也存在 BC与CD的比是多少？ 比例关系：面积一定，底和高成反比例底一定， 面积和高成正比例；高一定，面积和底成正 比例。 定海神针： BC-18m,两条 1.若两个平行四边形底相等，则它们的面 高(AE=7.5m AF=9m) 积比等于对应高的比；若高相等，则面积比等 9 于对应底的比。 2.若两个平行四边形面积相等，则它们的 底之比等于对应高的反比。 3.在同一个平行四边形中，两条底边的比 面积一定，底与高成反比， 等于对应高的反比。 所以是6：51 问路取经： 平行四边形菜地的两条高分别是7.5m和9m,两条高对应的底边长度的比是多少？ 沙僧根据“同一个平行四边形中，两条底边的比等于对应高的反比”很快得出结果为6：5。 各位同学，沙僧的算法你弄懂了吗？ 图解母题 3分钟 例■ 读题审题 如图，平行四边形ABCD中，AE垂直于 D BC,AF垂直于CD,AE=10cm,AF=12cm,BC+CD= 12cm 33cm。求平行四边形的面积。 两条高的长度，两条相邻底边的长度之和 65 小学奥数72变六年级 浅奥版 图示解析 A D 根据“在同一个平行四边形中，两条底边的比 1 cm 等于对应高的反比”，求出平行四边形相邻两 条底边长度的比，再结合已知条件求出平行四 边形的一条底边的长度，进而求出面积。 E 解题思路 易错点：弄混底与高的对应关系。 ①找出底的比例关系：两条高的比是 AE:AF=10:12=5:6,在同一个 规范解答 平行四边形中，两条底边的比等于对 应高的反比，所以，两条底边的比是 AE:AF=10:12=5:6 BC:CD=6:5。 BC:CD=6:5 ②求出BC的长度：已知“BC十CD= BC=3×6年518(cm) 33cm”,因为BC:CD=6:5,所以， 18×10=180(cm2) Bc=33×6千5=18(m)。 答：平行四边形的面积是 ③计算平行四边形的面积：根据平行四边 180cm2。 形面积公式，以BC为底，AE为高， BC=18cm,AE=10cm,可求出面 积为18×10=180(cm2)。 通关模型角20变平行四边形中的比例 通用解法：若多个平行四边形“等底”或“等高”，则面积比等于对应高或底的比；若为“单 个平行四边形”（面积固定），则两条邻边的比等于对应高的反比。解题时需先明确“底 与高的对应关系”，再结合边长和、周长等已知条件，通过比例分配或面积公式计算结果。 三步解题： 1.定类型：判断题目是“多个平行四边形的比例”还是“单个平行四边形的邻边与高的 比例”问题。 2找比例：若面积固定，根据“邻边比=对应高的反比”列出比例；若等底（或等高)， 根据“面积比=高（或底)的比”建立比例关系。 3.算结果：结合已知条件（如边长和、周长），按比例分配求出具体底或高，再代入面 积公式计算，过程中注意“底与高的一一对应”。 66 第七周师徒共探图形比 变式巧练 10分钟 A D 1.如图，平行四边形ABCD的两条高分别长14cm、16cm。如 果这个平行四边形的周长是75cm,那么它的面积是多少 ~、,16cm 平方厘米？ 画图思考/规范解答： B E 2.如图，已知E是平行四边形ABCD对角线AC的四等分点， F是AB的三等分点。如果四边形BCEF的面积比三角形 AEF的面积多36cm2,求平行四边形ABCD的面积。 画图思考/规范解答： 3.如图，把平行四边形AD、BC边三等分，AB、DC边二等分， 求阴影部分和空白部分的面积比。 画图思考/规范解答： 67 小学奥数2变六年级 浅奥版 第21变0 悟空妙用三角比 三角形中的比例 考点人门 2分钟 入门须知： 比例关系在三角形中也有着广泛的应用。三 角形的面积=底X高÷2。在三角形中，面积一定， 先分一半得400，再取号，就是801 底和高成反比例；底一定，面积和高成正比例； 高一定，面积和底成正比例。 而积800m,AD BD,BE EC=1:4 定海神针： 1.若两个三角形底相等，则它们的面积比等 于对应高的比；若高相等，则面积比等于对应底 的比。 B 2.若两个三角形面积相等，则它们的底之比 等于对应高的反比。在同一个三角形中，高与它对 大师兄，△BDE面积是多少？ 应的底成反比例关系。 3.求两个三角形中线段的比，可以转化成求两个三角形面积的比。 问路取经： 一块面积为800m的三角形菜地，DE把△ABC分成两块，AD=BD,BE:EC 1:4,求△BDE的面积。悟空连接CD,根据BE:EC=1:4,很快算出了△BDE的面 积是80m。各位同学，你明白了吗？让我们通过经典例题继续探究。 图解母题 3分钟 两条高的长度✉ 例 读题审题 如图， AD是BC边上的高，CE是AB边 上的高， AD =8cm, CE 6 cm,AB BC=21cm, 求三角形ABC的面积。 两条高对应的两 条底的长度之和 68 第七周师徒共探图形比 图示解析 利用三角形面积公式以及高与对应底 成反比例关系，设未知数，列出方程 求解底边长度，进而求出三角形面积。 E 解题思路 易错点：高与底对应错误，导致 ①根据比例关系列方程：设AB为xcm, 面积计算错误。 根据在同一个三角形中高与它对应的 底成反比例关系，以AB为底时高是 规范解答 6cm,以BC为底时高是8cm,列出 解：设AB为xcm,则BC为 方程号×6x=×8×(21-x)。 （21一x)cm,列方程得 ②解方程求出AB的长度：对×6x= 3×6r=分×8×(21-x) 3×8×(21-x)进行求解，得x 3x=84-4x =12,也就是AB=12cm。 7x=84 ③计算三角形ABC的面积：以AB为底， x=12 CE为高，将AB=12cm,CE=6cm 12×6÷2=36(cm2) 代入三角形面积公式，可得面积为 答：三角形ABC的面积是36cm2。 12×6÷2=36(cm2)。 通关模型角2」变三角形中的比例 通用解法：三角形比例问题的核心是“等积变形”，即利用“等高（底）三角形面积比 =底（高）的比”，将“线段比例”转化为“面积比例”。通常需根据线段中点、比例 关系连接辅助线，构造等高或等底的三角形，建立已知面积与未知线段（面积）的关联， 通过按比分配或列方程求解。 三步解题： 1.构辅助线：根据题目中的线段关系（如中点、比例)，作出辅助线，构造可利用的“等 高”或“等底”三角形。 2.转比例：将所求线段（或面积)比转化为相关三角形的面积比，或利用中点、比例求 出部分三角形面积。 3.算结果：根据面积比或已知总面积，计算未知面积（或线段比）。 69 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.如图，在三角形ABC中，BD=5DC,AM=MD,求AE与 EC的比。 画图思考/规范解答： M B 2.如图（单位：cm),把大三角形分成甲、乙两部分， 3 乙由M、N两部分组成，甲与乙的面积比是多少？ 4.5 甲 画图思考/规范解答： D M 4.5 B 3.如图所示，某公园的外轮廓是四边形ABCD,对角线 AC、BD将四边形ABCD分成四个部分，△BOC、 △C0D、△AOD的面积分别是5km2、2km2、1km2, 公园陆地总面积为8.11km2,求人工湖（图中阴影部分）D 的面积。 画图思考/规范解答： 7017变 1.28.26dm3 2.1750g 3.188.4cm3 18变 1.12cm 2.1406.72cm 3.650cm 第七周师徒共探图形比 —图形中的比例 19变 1.28.8dm3 2.23m2 3.9:2 20变 1.280cm2 2.144cm2 3.7:5 21变 1.AE:EC=5:6 2.1:7 3.2.39km2 第八周 读经书唐僧设题 —分数应用题 22变 1.80元 2.1200m 3.450元，410元 23变 1.500kg 2.300页 3.6人 24变 1.2名 2.108人3.26本 第九周 师徒路遇修路队 一工程问题 25变 1.4天 2.12天 3.9天 26变 1.25天 2.360个 3.15天，60天 27变 30 1.150天 2.7天 3.15天 第十周师徒智解促销题 —经济问题 28变 1.10000元2.1000元3.八折 29变 1.20元，40% 2.2.5元 3.亏了，亏了20元 123