第五周 智破轨迹阵——轨迹问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（浅奥版）

第五周 智破轨迹阵 轨迹问题 取经情境图 之2 俺老孙正想会会这些运动的图形 轨迹是半圆上的圆弧，半径8cm。 A点的轨迹是怎样的？ 长8cm、宽5cm 180 此阵藏着轨迹奥秘，可愿一同破解？ 石盘扫过的面积，是长方形 这只狗的活动范围有多大？ 加两个半圆吗？ 5m,狗 两个半圆合为 圆，再加长方 6dm 绳长为半径，墙角90度，算 形面积就行！ 四分之一圆面积！ 2dm 闯关前思考 师徒四人西行途中，偶遇一座法阵。法阵中，有的图形绕着定点旋转，有的线段绕着 固定一端摆动，还有圆形石盘沿着轨道滚动。唐僧道：“悟空、八戒、沙僧，你们看这些运 动留下的轨迹，能算出它们的长度或面积吗？”点、线段、圆的运动轨迹都有规律可循，本 周我们就从点的运动轨迹开始，层层深入，慢慢解开轨迹问题的奥秘。 X 小学奥数2变六年级浅奥版 第13变01 悟空慧眼辨轨迹 点的运动轨迹 考点人门 2分钟 入门须知： 点不断运动会形成线，我们可以根据点的运动轨 迹分析点经过的路线并计算其长度。 A点路径是圆弧，圆心角是多少？ 定海神针： 1.画出，点的运动轨迹图，分析轨迹图，求出轨迹 的长度。 8m、宽5cm 2.求，点的运动轨迹时，注意观察每一段轨迹的旋 转中心。 180° 问路取经： 悟空看到法阵中一个长方形木框绕着B点旋转 旋转180度，圆心角是180度， 180°，便问沙僧：“长方形绕B点旋转后，A点经过 半径是长方形的长！ 的路径长多少？”沙僧挠挠头：“好难！”悟空提示： “,点旋转的轨迹是圆孤，找旋转中心、半径和圆心角就行！”各位同学，你知道悟空说 的关键点是什么吗？让我们通过经典例题进行深入探究。 图解母题 3分钟 旋转中心和旋转角度 例■ 读题审题 如图所示，长方形ABCD中，AB= 6cm,AD =9cm, 现将长方形ABCD绕点A顺时针旋转！ 90到图中实线所示位置，画出图中点D经过的路径，并： 求出经过的路程 →求D点的运动轨迹和轨迹长度 42 第五周智破轨迹阵 图示解析 D 根据题意，可知，点D经过的路径是 以点A为圆心、AD为半径的孤， 如图所示，它经过的路径是孤DE, 它所对的圆心角是90°。 B E 易错点：容易混淆旋转中心或忽略圆心角的度数。 规范解答 解题思路 画出点D的运动轨迹如图所示。 ①根据题意，画出点D的运动轨迹。 D ②确定旋转中心和旋转角：旋转中心是 ,点A,旋转角是90度。 ③计算点D经过的路程：点D经过的 路径是孤DE,其长度可以通过孤长 B E 公式L=60×2mr来计算，其中n 由图可知，点D经过的路径是弧DE。 为圆心角度数(90度)，r是扇形所 经过的路程： 在圆的半径（AD的长度9cm), 90 0×2×3.14×9=14.13(cm） 360×2×3.14×9=14.13(cm）。 36 答：点D经过的路程是14.13cm。 通关模型鱼3变点的运动轨迹 通用解法：点的运动轨迹多为圆孤，核心是抓住“旋转中心”“旋转半径”“圆心角” 三个关键要素，再利用孤长公式计算轨迹长度，若有多次旋转则分段计算后求和。 三步解题： 1.画轨迹：根据，点的运动方式（如旋转)画出轨迹的大致形状（多为圆孤）。 2.定参数：明确轨迹对应的旋转中心、旋转半径（点到旋转中心的距离)、圆心角（旋 转的角度)。 3.算长度：代入孤长公式L=30×2mr(n为圆心角，r为半径)计算，多段轨迹需 分别计算后相加。 43 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.将一个边长为6cm的等边三角形沿水平线滚 B 动，B点从位置①到位置③所经过的路线总 长度是多少厘米？ ① ② ③ 画图思考1规范解答： 2.如图所示，△ABC是直角三角形，AB=4cm, BC=2cm,∠A=30°。从图中所示的位置开始， △ABC在DE上不滑动地连续转两次，顶点B经 过的路径的总长度是多少厘米？ D B 画图思考/规范解答： 3.如图，桌面上有一个长8cm,宽6cm的长方 形硬纸片，长方形的对角线长10cm,将这 个硬纸片在桌面上顺时针翻转4次，图中B 点所走的路径长多少厘米？ 画图思考/规范解答： 44 第五周 智破轨迹阵 第14变0 线动成面沙僧解 线段扫过的面积 考点人门 2分钟 入门须知： 线不断运动会形成面。我们可以根据线段的运 动，分析其形成的面，并根据形成的面求出线段扫 为何是四分之一圆？不是整圆吗？ 过的面积。 定海神针： 1.先根据线段的运动，分析其形成的面，再根 据形成的面求出线段扫过的面积。 2.求线扫过的面积时，需要注意线在运动时， 不受限制和受到限制所形成的区域不同。 问路取经： 墙角是直角，圆心角90度， 法阵角落的墙角拴着一只狗，拴狗的绳子长 所以是四分之一圆 5m,唐僧问沙僧：“这只狗能活动的区域面积是 多少？”沙僧答道：“绳子固定一端，狗活动时绳子扫过的是扇形，弄清扇形的半径和 圆心角就行！”你能像沙僧一样找到解题关键吗？让我们跟着经典例题一起学习。 图解母题 3分钟 例 读题审题 在一个平面上有一个长8cm, 宽6cm,对角线长10cm的长方形，将这个长方形 绕着点C顺时针旋转90，分别求出AC和CD: 扫过的面积。 →旋转中心和旋转角度 求线段扫过的面积 45 小学奥数72变六年级 浅奥版 图示解析 解题思路 ①确定AC、CD扫过的图形及相关参数： AC、CD扫过的图形分别是以AC、 CD为半径，圆心角为90°的扇形。 AC为长方形对角线，长10cm;CD 为长方形的宽，长6cm。 ②计算AC扫过的面积：AC扫过的扇 形的半径是10cm,圆心角为90°， 画出AC和CD扫过的轨迹。如图所示， AC、CD扫过的区域分别是以AC、CD 这个扇形的面积为别×314×10 为半径，圆心角为90°的扇形。分别求 =78.5(cm2)。 出这两个扇形的面积即可。 ③计算CD扫过的面积：CD扫过的扇 形的半径是6cm,圆心角为90°，这 规范解答 个扇形的面积为器×3.14×6- 28.26(cm2)。 90×3.14×102=78.5(cm2) 360 器×3.14×6=28,26(cm2) 答：AC扫过的面积是78.5cm2,CD 易错点：混淆线段对应的旋转 扫过的面积是28.26cm2。 半径。 通关模型鹿4变线段扫过的面积 通用解法：线段扫过的面积多为扇形（旋转运动)或组合扇形，核心是“确定运动形式 十锁定图形参数”。旋转运动时，线段扫过的是扇形，需明确扇形的半径（线段长度) 和圆心角（旋转角度）；受限运动时（如拴在墙角），需分区域分析扇形的半径和圆心角， 再求和。 三步解题： 1.画区域：根据线段的运动方式（旋转、受限摆动等)，画出扫过的区域形状（扇形或 组合扇形)。 2.定参数：确定每个扇形的半径（线段长度或受限后的剩余长度)和圆心角（旋转角度 或墙角角度)。 3.算面积：利用扇形面积公式S=n×T2（n为圆心角，r为半径)计算各区域面积， 360 总和即为扫过的面积。 46 第五周智破轨迹阵 变式巧练 10分钟 1.如图所示，△ABC是一个等腰直角三角形，直角边 A (B') 的长度是2cm。现在以点C为圆心，把△ABC顺时 针旋转90°，AB边在旋转时扫过的面积是多少平方 厘米？ 画图思考/规范解答： 2.有一栋底面呈长方形的建筑物，墙角有一根木桩，木桩上拴着一 条小狗。拴狗的绳子长8m,这条小狗活动区域的面积有多大？ 6m 画图思考/规范解答： 12m 3.草场上有一个长20m、宽10m的关闭着的羊圈，在羊圈的一角 用长30的绳子拴着一只羊（如图）。这只羊能够活动的范围有 30m 多大？ 20m 10m 画图思考/规范解答： 47 小学奥数2变六年级浅奥版 第15变。八戒破解石盘阵 圆扫过的面积 考点人门 2分钟 入门须知： 圆扫过的面积指的是圆沿直线运动或沿折线运 扫过的面积，如何拆 动时所扫过的面积。 分计算？ 定海神针： 1.圆沿直线运动时，扫过的面积=长方形的面 积十两个半圆的面积（合为一个完整圆的面积）。 2.圆沿折线运动时，求圆扫过的面积，需要注 意判断圆在运动时，在拐角处所形成的图形形状。 问路取经： 法阵中有一个直径6dm的圆形石盘，八戒推着 2dm 石盘向前滚动了2dm,若有所思地说：“石盘扫过 长方形加一个圆。 的面积，是长方形加两个半圆。”悟空补充道：“两 个半圆合为一个完整的圆，再加长方形面积就行！”各位同学，你明白这个道理吗？ 让我们通过经典例题加深理解。 图解母题 3分钟 例 读题审题如图所示，等边三角形的边长是5cm, 2cm。 圆的半径是2cm。 当圆绕等边三角形滚动：一周又回到原来！ 位置时，扫过的面积是多少平方厘米？ 。沿三角形外侧滚动 5cm 求圆扫过的面积 人60 48 第五周智破轨迹阵 图示解析 圆形绕等边三角形滚动一周扫过的面积 由两类图形的面积组成：等边三角形三 条边外侧的三个长方形面积、三个顶，点 处的三个扇形面积（合起来是一个整圆 的面积)。分别计算后相加即得圆扫过 的面积。 解题思路 ①计算等边三角形三条边外侧的三个长 方形的面积之和：长方形的长为等边 易错点：沿折线滚动时，容易 三角形的边长5cm,宽为圆的直径 遗漏拐角处的扇形面积。 (2×2)cm,所以三个长方形的面积 共5×(2×2)×3=60(cm2)。 规范解答 ②计算三个顶点处的三个扇形的面积之 和：三个扇形合起来刚好是一个半径 5×(2×2)×3=60(cm2) 为（2×2)cm的圆，所以三个扇形的 3.14×(2×2)2=50.24(cm2) 面积共3.14×(2×2)2=50.24(cm2)。 60+50.24=110.24(cm2) ③相加求和。 答：圆扫过的面积是110.24cm2。 通关模型鱼5变圆扫过的面积 通用解法：计算圆扫过的面积核心是“分区域计算十组合求和”。 三步解题： 1.画区域：根据圆的运动轨迹（直线、折线外侧、折线内侧)，画出扫过的区域，明确 区域组成（长方形、扇形等）。 2.算各部分面积：沿直线滚动时，长方形面积=滚动距离X圆的直径，圆面积=π2； 沿折线外侧滚动时，长方形面积=多边形边长和×圆的直径，扇形面积合成一个完 整圆计算；沿折线内侧滚动时，先算整体面积，再算未扫过的区域面积。 3.求总面积：沿直线或折线外侧滚动时，将各部分面积相加；沿折线内侧滚动时，用整 体面积减去未扫过的面积，得到扫过的面积。 49 小学奥数72变六年级浅奥版 变式巧练 10分钟 1.一个半径为1cm的圆盘绕着边长为4cm的正六边形外缘滚动一 周又回到原来的位置，圆盘扫过的面积是多少平方厘米？ 画图思考/规范解答： 2.一个半径为3cm的圆盘沿着20cm×25cm的矩形四条 25cm- 边的内缘移动，如图所示。请问在此矩形中不能被圆 盘扫过的区域面积是多少？ 画图思考/规范解答： 20 cm 3.如图所示，有一个半径为10cm的圆盘形扫地机器人，在一个边 长为10m的正方形建筑物中，机器人贴着墙壁的内侧清扫，走 过一圈后回到了出发点，求这个扫地机器人清扫的面积。 画图思考/规范解答： 50第三周书香村里巧分书 一按比分配 7变 1.（1)线段图如下： 全班 (2)56人 2.20kg 3.7.5dm3 8变 1.32个，48个，40个 2.12人 3.105人 9变 1.五年级32人，六年级20人 2.108人 3.甲60元，乙50元，丙40元 第四周朱紫国图形挑战 一平面几何问题 10变 1.154.2cm 2.它们同时到达终点 3.241.47cm 11变 1.28.26m2 2.87.92m2 122 3.18.84m 12变 1.12.56cm2 2.107cm2 3.34.2cm2 第五周 智破轨迹阵 轨迹问题 13变 1.25.12cm 2.13.61cm 3.37.68cm 14变 1.2.71cm2 2.153.86m2 3.2512m2 15变 1.60.56cm2 2.111.74cm2 3.7.83m2 第六周 金箍棒大变身 圆柱和圆锥 16变 1.7.065cm2 2.182.8736cm2 3.135.02dm2