第四周 朱紫国图形挑战——平面几何问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（浅奥版）

第四周 朱紫国图形挑战 一平面几何问题 取经情境图 朱紫国藏着几何谜 正好露一手，瞧瞧 题，敢挑战吗？ 咱们的本事！ 30°G 2G 弧长加两条半径 这涂色周长怎么算？ 草坪植草需多少钱？ 镜中正方形面积怎么求？ ∠===里 先算面积，再算钱数！ 22,直接算就行！ 闯关前思考 师徒四人西行至朱紫国，刚踏入都城便见市井繁华。街道旁的玩具商铺里，半圆形玩 具让人好奇；铜镜商铺中，“外圆内方”的唐朝铜镜，其内部的正方形面积问题难倒了掌柜。 八戒挠头：“这怎么算？”悟空笑道：“算复杂平面图形的周长和面积，要用到一定的解题 技巧。”本周我们就跟着沙僧、八戒、悟空学习圆、扇形及组合图形周长、面积的计算技巧。 小学奥数72变六年级 浅奥版 第10变0 朱紫国的玩具 圆和扇形的周长 考点人门 2分钟 入门须知： 圆的周长是指围成圆的曲线的长度，扇形的周 长是指围成扇形的孤长和两条半径的长度之和。 涂色部分的周长是多少？ 定海神针： 圆的周长：C=Td=2πr（d是圆的直径，r 是圆的半径)】 半圆的周长：C*围=2πd+d=πr+d= 1 20cm Tr 2r 扇形的孤长：L=3站0×2mr=哥(n为国心 180 角度数，r是扇形所在圆的半径) 扇形的周长：C扇形=L十2r 用弧长加直径。 T≈3.14 问路取经： 沙僧在玩具商铺看到一款半圆形玩具，涂色部分的周长让掌柜犯了难。八戒凑过来 问：“这又有孤又有边的，怎么算周长？”沙僧指着玩具说：“关键是分清周长组成， 孤长加两条半径就行！”让我们跟着经典例题，学习具体算法。 图解母题 3分钟 例 读题审题求图中阴影部分的周长{（单位：cm)。 求阴影部分周长 30° 40 32 第四周朱紫国图形挑战 图示解析 圆的周长的一半 ·扇形的孤长 扇形所在圆的半径+ 30 40 观察图形可知，阴影部分的周长是由一个直径为40cm的圆的周长 的一半，一个半径为40cm、圆心角为30°的扇形的孤长以及这个扇形 所在圆的一条半径组成的。 易错点：容易遗漏扇形的一条半径，或误将半圆的直径当作半径计算孤长。 解题思路 ①计算直径为40cm的圆的周长的一半：3.14×40×2=62.8(cm)。 ②计算丰径为40cm、国心角为30的扇形的孤长：熟×2×3.14×40=2093(cm。 ③计算阴影部分的周长：62.8+20.93+40=123.73（cm)。 规范解答 3.14×40×号+0×2×3.14×40+40=123.73(cm) 答：图中阴影部分的周长为123.73cm。 通关模型鱼J0变圆和扇形的周长 通用解法：解决圆和扇形的周长问题，一般都要先找出圆的半径、扇形的圆心角度数和扇 形所在圆的半径，再恰当运用周长计算公式进行计算。求组合图形的周长一般采用平移 线段等方法。 三步解题： 1.找组成：分析图形周长由哪些部分构成。 2.定参数：明确圆的半径（或直径)，扇形的圆心角和所在圆的半径。 3.算总和：分别计算各部分长度，相加得到周长。 33 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.求图中阴影部分的周长（单位：cm)。 画图思考/规范解答： 2.如图所示，两只蚂蚁比赛，甲蚂蚁跑外圈1个 大半圆，乙蚂蚁跑内圈2个小半圆。如果它们 的速度相同，谁先到达终点？ 起点 8dm 终，点 画图思考/规范解答： 4dm 3.一位同学用卡纸剪了一个如图所示的杯子图案。弧PQ是直 从17cm17cy 径为40cm的半圆弧，扇形NPQ和扇形MQP有共同的半径 G PQ,且PQ=PN=Mg=RS,∠NP2=∠MQP=30°， p30.0.30c0 MG=NG=17cm,弧TR和弧TS是半径相等的圆的子。求这 40cm 个杯子图案的周长。 画图思考/规范解答： R● 40cm 34 第四周 朱紫国图形挑战 11变。朱紫国国王的草坪 圆和扇形的面积 考点人门 2分钟 入门须知： 圆的面积是圆所占平面的大小，圆的面积可 以看作是360°圆心角所对应的扇形的面积。在实 际应用中，找到圆和扇形所在圆的半径是解题的 关键。 铺满草坪需要多少钱？ 定海神针 S=T2(r是圆的半径) S环形=T（R一2)(R是外圆的半径，r 是内圆的半径) 20m S房帮=360 ×πr2（n是圆心角度数，r是扇 形所在圆的半径) 半径10m,面积314m2, 要3140文钱！ 问路取经； 朱紫国国王要给圆形草坪植草，想知道所需费用。八戒想了一会儿，说：“直径 20m,半径就是10m,再用T2算出面积为314m2,每平方米需10文钱，所以共需 3140文钱。”下面我们通过经典例题，学习圆和扇形面积的计算技巧。 图解母题 3分钟 圆心角度数 例 读题审题有一把扇子，完全展开是一个 :圆心角为120°的扇形，扇子的尺寸如图所示（单位： cm),这把扇子的：扇面（阴影部分)的面积是多 少平方厘米？ -15 求阴影部分面积 35 小学奥数2变六年级 浅奥版 图示解析 观察图形可知，用大扇形的面积减去小扇 形的面积就是扇面（阴影部分）的面积。 两个扇形的圆心角都是120°，大、小扇形 120° -15 的半径分别是30cm、15cm。 易错点：容易误将（R一r)2当作R一2。 解题思路 ①明确扇形面积公式并计算大扇形面积：S=60×T-器×3.14×302=942(cm2 360 ②计算小扇形面积：S=7×m2=120×3.14×152=235.5(cm2)。 360 360 ③计算扇面（阴影部分)的面积：942-235.5=706.5（cm2)。 规范解答 120×3.14×302- 360 320×3.14×152=706.5(cm) 答：这把扇子的扇面（阴影部分）的面积是706.5cm2。 通关模型鱼」变圆和扇形的面积 通用解法：解决圆、环形、扇形的面积问题，核心是“锁定关键数据十巧用公式计算”。 先找到圆的半径、环形的外圆与内圆半径、扇形的圆心角和半径，再根据对应的面积公 式计算；组合图形的面积通过“大减小”“分块求和”等方式求解。 三步解题： 1.确定关键数据：确定圆的半径、环形的外圆半径R和内圆半径r、扇形的圆心角度数 n和半径ro 2.计算各部分面积：根据公式分别计算单个图形或各部分图形的面积。 3.求出最后结果：如果是单个图形，用对应的公式求出最后结果；如果是组合图形，用 “和”或“差”求出最终面积。 36 第四周朱紫国图形挑战 变式巧练 10分钟 1.一个圆形花坛的周长是18.84m,这个花坛的面积是多少平 方米？ 画图思考/规范解答： 2.校园圆形水池的半径是6m,在水池的周围修一条2m宽的水 泥路，水泥路的面积是多少平方米？ 画图思考/规范解答： 3.小区里有一个如图所示（单位：m)的扇形花坛，半径为 5m,圆心角为90°。后来物业对这个花坛进行改建，在圆 心角不变的情况下，把花坛向外扩建了2m,扩建后花坛的 面积比原来多多少平方米？ 画图思考/规范解答： -2十一5 37 小学奥数2变六年级浅奥版 第12变。外圆内方的铜镜 组合图形的面积 考点人门 2分钟 入门须知： 组合图形由两个或两个以上的图形组合而成，具 有图形重叠、条件隐蔽等特点。 要求正方形面积，没有 边长怎么办？ 定海神针 1.方中圆：正方形的面积=圆的面积义是=4r2。 2.圆中方：正方形的面积=圆的面积×是=2r2。 3.妙用r2:如果要求圆的面积，但根据题目的条 件用小学知识无法求出半径r,可以尝试先求r2,再将 r2整体代入面积公式中，从而求出面积。 4转化思维：将不规则图形转化为规则图形，再 求解。 不用边长，直接用2 计算即可。 问路取经 悟空在铜镜商铺看到“外圆内方”的唐朝铜镜，掌柜想知道内部正方形的面积。悟 空笑道：“知道圆的半径就行，正方形面积是22！”各位同学，悟空说的方法你明白了吗？ 下面我们继续学习组合图形面积的转化技巧。 图解母题 3分钟 →已知半圆直径 例读题审题 如图，两个半圆的直径均为.10cm, 求阴影部分的面积。 38 第四周 朱紫国图形挑战 图示解析 如图所示，把阴影部分进行分割，下 面的部分补到上面，由此可以知道阴 影部分的面积就是扇形的面积减去一 个三角形的面积。 易错，点：不知道怎样将不规则图形转化为规则图形，导致解题受阻。 解题思路 ①图形转化：把阴影部分进行分割，下面的部分补到上面，阴影部分的面积转化为扇形的 面积减去一个三角形的面积。 ②分别计算扇形面积和三角形面积：S角形=90×3.14×102=78.5(cm2),SA 360 10×10÷2=50(cm2)。 ③计算阴影部分的面积：78.5-50=28.5（cm2)。 规范解答 90×3.14×102-10×10÷2=28.5(cm2) 360 答：阴影部分的面积是28.5cm2。 通关模型鱼2变/组合图形的面积 通用解法：求组合图形的面积，应先仔细观察图形，发现特点，找出已知条件的内在联 系，通过割补、平移、旋转、等积变形等方法，把不规则图形面积转化成规则图形面积 的和差关系求解。 三步解题： 1.观察图形：观察组合图形的构成，寻找可转化的规律。 2.巧妙转化：通过割补、平移等方式，将不规则图形面积转化为规则图形（圆、三角形、 正方形等)面积的和或差。 3.计算结果：将转化后的图形用规则图形面积公式计算，再通过和或差得到组合图形 面积。 39 小学奥数72变六年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.如图所示，一个正方形内接于一个大圆中，在这个正方形中画了 个最大的小圆。已知小圆的半径是2cm,则阴影部分的面积是 多少平方厘米？ 画图思考/规范解答： 2.如图，AD=DB=DC=10cm,涂色部分的面积是多少 平方厘米？ 画图思考/规范解答： 3.两个半径相等的圆A和圆B相交于D、E,三角形 D C BCD是等腰直角三角形，面积为60cm2,ABCD是平 行四边形，求阴影部分的面积。 画图思考/规范解答： 0第三周书香村里巧分书 一按比分配 7变 1.（1)线段图如下： 全班 (2)56人 2.20kg 3.7.5dm3 8变 1.32个，48个，40个 2.12人 3.105人 9变 1.五年级32人，六年级20人 2.108人 3.甲60元，乙50元，丙40元 第四周朱紫国图形挑战 一平面几何问题 10变 1.154.2cm 2.它们同时到达终点 3.241.47cm 11变 1.28.26m2 2.87.92m2 122 3.18.84m 12变 1.12.56cm2 2.107cm2 3.34.2cm2 第五周 智破轨迹阵 轨迹问题 13变 1.25.12cm 2.13.61cm 3.37.68cm 14变 1.2.71cm2 2.153.86m2 3.2512m2 15变 1.60.56cm2 2.111.74cm2 3.7.83m2 第六周 金箍棒大变身 圆柱和圆锥 16变 1.7.065cm2 2.182.8736cm2 3.135.02dm2