第二章 一元二次方程高频易错题（单元通关检测）-2026-2027学年苏科版数学 九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元高频易错点，通过选择、填空、解答题梯度覆盖概念理解、运算求解及实际应用，适配初中数学单元复习，强化抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|根的概念（第1题）、方程定义（第3题）、根的判别式（第4题）|基础概念辨析，突出易错点| |填空题|8题|韦达定理（第14题）、增长率问题（第17题）、菱形面积（第15题）|知识迁移应用，强化运算能力| |解答题|7题|实际应用（23题销售利润、24题草坪面积）、数学文化（25题《周髀算经》）、创新定义（22题衍生点）|融合文化传承与现实情境，发展模型意识与创新思维|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二章 一元二次方程高频易错题（单元通关检测） 参考答案 1．A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 2．C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 3．B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 4．C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 5．D 【详解】将代入方程可得，因式分解得，得到，即可求解． 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 7．D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 8．C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 9．A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 10．A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 11． 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 12． 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 13．且 【分析】一元二次方程有两个不相等实数根需同时满足两个条件：①二次项系数不为0，保证是一元二次方程；②判别式，保证两根不等．联立两个不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：由原方程是关于的一元二次方程， ， 解得：， 又原方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 即的取值范围是：且． 14． 【分析】利用一元二次方程根的定义化简已知等式，得到关于的一元二次方程，求解后结合根的判别式判断即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， 根据根的定义，得，即，同理可得， 化简已知等式的两个因式：，， 代入，得：， 整理得：，解得或， 原方程有两个实数根， 根的判别式，即，解得， 满足题意，且符合等式的解为． 15． 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 16． 【分析】和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系即可求得的值． 【详解】解： 由题意得 ，，且， 可知，是一元二次方程 的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得 ． 17．约为 【详解】解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． 18． 【分析】设这两个月产值的月平均增长率为x，根据题意得到二月份的产值为万元，三月份的产值为，进而列出方程求解即可． 【详解】解：设这两个月产值的月平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：x值为． 19．(1) (2)， 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 原方程的解为． （2）解：， 即， 或， 解得：，． 20．(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 21．(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． (2)或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 22．(1) (2) (3)有，， 【分析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想． （1）解方程，根据 判断得解； （2）用因式分解法解方程，可得，根据做分类讨论，分别计算即可判断得解； （3）依据题意，衍生点与的取值无关，直线过定点，故方程的衍生点M为，根据，由根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：解方程得， ， ， ， ， 该方程的衍生点M的坐标为； （2）方程为， ， ，或，， ①当，即时， 衍生点M的坐标为． ∵点M在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时， 衍生点M的坐标为， ∵点M在直线上， 代入得， ，与矛盾，故舍去； 综上，； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的衍生点M为， 即，， ，． 23．(1)120，； (2)每箱应降价5元； (3)不能，理由如下： 假设能使每天销售该饮料获利达到1500元， 根据题意列方程得： 整理得 该一元二次方程的判别式， ∴该方程没有实数根，不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 【分析】（1）根据题意，直接计算得到不同降价对应的销售量； （2）设每箱降价元，根据题意得出每箱利润为元，每天销售量为箱，列出方程求解即可； （3）同（2）方法一致，列出方程进行判断即可． 【详解】（1）解：已知原平均每天售出100箱，每降价1元多售出20箱， 降价1元时，销售量为(箱)， 降价元()时，多售出箱，销售量为箱； （2）设每箱降价元， 此时每箱利润为元，每天销售量为箱， 根据题意列方程得： 整理得 解得，， ∵要求扩大销售，增加利润， ∴降价越多销售量越大， ∴， 答：每箱应降价5元，可使每天销售该饮料获利1400元； （3）略 24．(1)平方米； (2)； (3)原长方形的长为60米，宽为40米． 【分析】（1）根据两条人行道的总面积等于两个长方形面积之和减去重叠部分的面积求解即可； （2）等式两边进行分母有理化即可解答； （3）由题意可列方程，结合（2）中的比值，设，，求解出即可解答． 【详解】（1）解：∵两条人行道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴两条人行道的总面积为平方米； （2）解： ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，四块草坪的面积之和为， ∵， ∴设，， 则， 解得（负值已舍去）， ∴（米），（米）， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 25．(1)144，3 (2)证明：（，）， 由题意，构造的大正方形的面积为，边长为， ∴， ∴， 即关于的方程（，）的正数解为：； (3)77 【分析】（1）将方程化为，进而得到大正方形的面积为，进而得到，即可得出结果； （2）仿照题干，得到大正方形的面积为，边长为，进而得到，即可得证； （3）将方程化为，进而得到，求出，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴构造的大正方形面积为， ∴大正方形的边长为， ∴； （2）略 （3）解：∵（，）， ∴， ∵构造的大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二章 一元二次方程高频易错题（单元通关检测） 一、选择题 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 2．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 5．若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 6．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 7．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 8．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 10．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 12．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 13．若关于的一元二次方程(有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________． 15．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 16．已知，，，则______． 17．某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 18．某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为________． 三、解答题 19．解方程： (1) (2) 20．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 21．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 22．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值； (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 23．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． (1)若售价下降1元，每天能售出______箱饮料，若售价下降元（），每天能售出______箱饮料； (2)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ (3)能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 24．目前，瓜沥镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若a，b满足代数式，求； (3)若已知值满足（2）的条件，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 25．综合与实践： 数学项目团队专门研究中国数学史，探究《周髀算经》中解一元二次方程的方法． 史料解读：《周髀算经》是中国现存最古老的天文学与数学著作，其中记载了一种利用矩形构造来解形如的方程的正数解的几何方法．方法如下： 先将方程转化为长为、宽为、面积为的长方形；再将四个全等长方形拼成一个大正方形，如右图所示，则大正方形的面积为，边长为，中间小正方形的面积为，从而可求得方程的正数解． (1)特殊验证：若按此方法解方程，则构造的大正方形面积为 ，方程的正数解为 ； (2)一般论证：请结合以上资料和图形，证明：关于的方程（，）的正数解为：； (3)迁移应用：已知用此方法解关于的方程（，）时，构造的大正方形面积为，小正方形的面积为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $