第十二周 天宫学校参观记——容斥问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

2.3×3×10=90(平方厘米) 3×3×8=72(平方厘米) 3×3×9=81(平方厘米) (90+72+81)×2=486(平方厘米) 3.5×5+2×2×2+1×1×2=35(平方厘米) 5×5+2×2×2+1×1×2=35(平方厘米) 5×5=25（平方厘米) (35+25+35)×2+(2×2+1×1)×8= 230(平方厘米) 第69变 1.10×10×2=200(立方分米) 2.0.5米=50厘米 50-15×15×50÷(60×60)=46.875(厘米) 3.8×8×12÷（16×12)=4(厘米) 6+6+4=16(厘米) 16×12×6÷（16×12-8×8)=9(厘米) 16-9=7(厘米) 第十二周天宫学校参观记 一容斥问题 第70变 1.37+42-31=48(人) 2.22+30-45=7(人) 3.同时参加两项：36+38一45=29（人） 只参加一项： (36-29)+（38-29)=16(人) 124 第71变 !1.28+25-12+9=50(人) 2.17+13+8-36=2(人) 3.两人都没吃过： 39-(15+9-4)=19(道) 只有一人吃过： (15-4)+(9-4)=16(道)》 第72变 1.25+35+27-12-8-9+4=62(人) 2.48-(35+28+21-19-15-12)=10(人) 3.设既喜欢上英语课又喜欢上数学课的人数为x, 列方程得： （58-6-12-x)+（52-4-12-x)+ (38-6-12-4)+6+4+12+x=100 解方程得：x=14。 只喜欢上英语课： 52-4-12-14=22(人) 1第十 取经情境 统计人数的难题可 我师 先算喜欢一种的， 再加都不喜欢的！ 闯关前思 唐僧师徒西行途 大帝正为统计学生参与 都藏着“重复计数”的 除”的奥秘，教大家轻 题方法。 二周天宫学校参观记 容斥问题 难倒我了1 这个怎么求总人数？ 音乐组30人 美术组22以 两组都参加的15人 走四人愿助一臂之力。 用30加22，再减重复的15就行) 这个总人数怎么算？ 三项都参加的人算乱了，怎么理清？ 先减两两重复，再补 三三重复！ 25人喜欢牛奶 43人喜欢豆浆 5人两种都喜 6人两种都不喜欢 25人 13人/12 6人 27人 9人24人 ，受邀前往玉皇大帝开设的天宫学校参观。刚踏入校门，便见玉皇 兴趣小组、早餐饮品偏好、体育比赛报名等数据犯愁一这些问题里 难题。师徒四人决定结合具体问题，用容斥原理拆解“重复”与“排 松应对这类计数问题。本周我们就跟随师徒四人，学习容斥问题的解 111 小学奥数72变五年级 竞赛版 第70变 天宫学校的兴趣小组 较简单的二元容斥问题 考点人门 2分钟 入门须知： 集合是指具有某种属性的事物汇总而成的集体， 组成集合的每个事物都称为这个集合的元素。在两 大圣，重复的人怎么处理？ 个及两个以上的集合中，包含的元素有重复的部分， 这两个或两个以上的集合就是容斥关系。与容斥关 音禾830人 美木姆2以 系有关的问题就是容斥问题。 再超酵的5队 二元容斥问题是指涉及两个集合或对象之间包 3022-15 含与排斥关系的计数问题。在二元容斥问题中，如 果每个元素都至少属于两个集合中的其中一个集合， 我们就把这类问题称为较简单的二元容斥问题。此 类问题的韦恩图为两圆无框： 总数 -4B 重复算的15人减掉 定海神针： 总数就对了1 总数=A十B一AB AB=A十B一总数 问路取经： 玉皇大帝不清楚如何处理“既参加音乐组又参加美术组”的重复人数。悟空得知后， 笑着说：“这简单，用容斥原理可解！”什么是容斥原理？悟空是如何用容斥原理解决 这个问题的呢？我们通过经典例题一探究竞。 图解母题 3分钟 例 读题审题 (希望杯)一次小测试，五(1)班学生每人至少做对了一题，做对第 :一题的有25人，做对第二题的有23人，两题都做对的有10人，五(1)班学生一共有多： 少人？ 做对一题的人数 两题都做对的人数 已知两个对象的量和重复的量，求总量 12 第十二周天宫学校参观记 图示解析 本题考查含有两个对象的简单二元容斥问题。题中给出了 做对第一题的人数和做对第二题的人数，以及两题都做对的人 数，要求全班总人数。根据题意可以画出韦恩图（如下图）。 两题都做对的有10人 做对第一题 做对第二题 25人 10人 23人 的有25人 的有23人 全班？人 易错点：漏减重复计算的人数。 解题思路 ①观察问题特征。题目涉及“做对第一题”和“做对第二题”两个集合，且每个 学生至少属于一个集合（每人至少做对一题），存在重复计数的“两题都做对” 的部分，须用二元容斥原理解决。 ②确定公式应用。总数=A十B一AB。 ③代入数据，得出结果。25+23一10=38（人)。 规范解答 25+23-10=38(人) 答：五(1)班学生一共有38人。 通关模型鱼70变较简单的二元容斥问题 通用解法：在计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有元素的数目先计 算出来，再把计数时重复计算的元素排除出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。二 元容斥原理基本公式：总数=A十B一AB,AB=A十B一总数。 三步解题： 1.辨类型。判断问题是否为较简单的二元容斥问题，且是否满足“每个元素至少属于一 个集合”（无“都不”情况）。 2.找数据。从题目中提取两个集合的元素个数(A、B)和交集元素个数(AB)。 3.算结果。根据公式计算得出总人数或目标数据。 113 小学奥数2变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（走美杯)五(1)班的老师给本班学生布置了语文和数学两门作业，要求每人至少完成 一门作业。经统计，完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，两门作业都完 成的有31人，五（1)班一共有学生多少人？ 画图思考： 规范解答： I ! 2.（希望杯)某班有学生45人，在一次考试中，语文优秀的有22人，数学优秀的有30人， 两科都是优秀的至少有多少人？ 画图思考： 规范解答： 3.（世少赛)学校开展运动会，只要参加比赛均可获得“运动小健将”的奖状。张晓明所在 的五（3)班有学生45人，大家积极报名参加运动会，每人都至少参加赛跑和跳绳比赛 中的一种。已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。请问：同时参加两项运动的 有多少人？只参加一项运动的有多少人？ 画图思考： 规范解答： 114 第十二周天宫学校参观记 递71变0 天宫学校的早餐饮品 较复杂的二元容斥问题 考点人门 2分钟 入门须知： 在二元容斥问题中，如果存在“都不”元素（既 不属于集合A,也不属于集合B的元素)，我们就 还有两种都不喜欢，怎么算？ 把这类问题称为较复杂的二元容斥问题。此类问题 的韦恩图为两圆有框： 都不 总 →AB 定海神针： 总数=A十B一AB十都不 AB=A十B十都不一总数 问路取经： 天宫学校食堂要统计学生早餐饮品的偏好，却 遇到了难题：除了喜欢牛奶、喜欢豆浆的学生，还 25+13-5+6=39(人)。 有既不喜欢牛奶也不喜欢豆浆的学生，该怎么算总 人数呢？八戒到底是如何解决的呢？让我们通过下 面的例题进一步学习。 图解母题 3分钟 分别会不同项目的人数←】 例■ 读题审题 (迎春杯)五(2)班的所有学生中，会打乒乓球的18人，会踢毽子的： 有25人， 两项都会的有11人，两项都不会的有8人。 五（2)班共有学生多少人？ 两项都会 两项都不会 已知两个对象各自的 的人数 的人数 量、重复的量和都不 满足的量，求总量 115 小学奥数72变五年级 竞赛版 图示解析 易错点：遗漏“都不”的元素，直 本题考查含有两个对象的较复杂二 接用“A十B一AB”作为总人数。 元容斥问题。题中给出了会打乒乓球的 人数、会踢毽子的人数、两项都会的人 数和两项都不会的人数，要求全班总人 解题思路 数。根据题意可以画出韦恩图（如下图）。 ①观察问题特征。题目涉及“会 打乒乓球”(A)和“会踢毽 全班？人 会打乒乓球 会踢毽子 子”(B)两个集合，还存在 “两项都不会”的元素，属 18 25人 于较复杂的二元容斥问题。 ②算至少会一种的人数。可以 两项都 8 两项都会 不会 用“A十B一AB”算至少 会一种的人数：18十25- 由上图可知，求五（2)班的总人 11=32(人)。 数时，先用会两种项目的人数之和减去 ③算全班总人数。用“至少会 两项都会的人数，求出至少会一种项目 一种的人数十都不人数”算 的人数，再加上两项都不会的人数，即 总人数：32+8=40（人）。 可求出总人数。 规范解答18十25一11+8=40（人） 答：五（2)班共有学生40人。 通关模型7)变较复杂的二元容斥问题 通用解法：当问题涉及两个集合且存在“都不”元素时，先通过“至少会一种的人数 A十B一AB”计算出属于两个集合的总元素数，再加上“都不”的元素数，得到最终 总人数；若要求“AB”,则用“AB=A十B十都不一总数”计算。核心是先“排除重复”， 再“补充都不”。 三步解题： 1.分集合。明确两个集合的元素个数(A、B)、交集元素个数(AB)和“都不”元素个数。 2.算“至少一种”人数：代入“至少会一种的人数=A十B一AB”,求出属于两个集合 的总人数。 3.求目标数：用“至少会一种的人数十都不人数”，得到最终总人数（若要求“AB” 则用“AB=A十B十都不一总数”计算)。 第十二周 天宫学校参观记 变式巧练 10分钟 1.（启智杯)某兴趣小组组织象棋和军棋的棋类比赛。参加象棋比赛的有28人，参加军棋 比赛的有25人，有12人两项比赛都参加了，有9人两项比赛都没有参加。这个兴趣小 组一共有多少人？ 画图思考： 规范解答： 2.(走美杯)某班有36名学生，会蛙泳的有17人，会仰泳的有13人，两种泳姿都不会的有8 人。两种泳姿都会的有多少人？ 画图思考： 规范解答： 3.（华罗庚金杯)小明家附近新开了一家餐馆，餐馆里有39道招牌菜。小明吃过其中的15 道，妈妈吃过其中的9道，有4道菜是两人都吃过的，请问：有多少道招牌菜两人都没 有吃过？有多少道招牌菜只有一个人吃过？ 画图思考： 规范解答： 17 小学奥数72变五年级 竞赛版 第72变 天宫学校的体育比赛 较简单的三元容斥问题 考点人门 2分钟 入门须知： 三元容斥问题是指涉及三个集合或对象之间包含 与排斥关系的计数问题。在三元容斥问题中，如果每 三项都参加的人怎么补？ 个元素都至少属于三个集合中的其中一个集合，我们 就把这类问题称为较简单的三元容斥问题。此类问题 的韦恩图为三圆无框： 总数 定海神针： 25+27+24-13-9 -12+6=48(人) 总数=A+B+C一AB一BC一AC+ABC ABC=总数-(A+B+C一AB-BC一AC) 多减了1次，加回6人就对了！ ABC=总数+(AB+BC+AC)一(A+B+C) 问路取经： 天宫学校要统计参加百米跑、跳高、跳远三项体育比赛的总人数，可参加两项比赛 的人数重复统计了一次，三项都参加的人数被多算了两次，怎么算总人数呢？让我们通 过例题进一步学习。 图解母题 3分钟 参加每个项目的人教】 例☐ 读题审题 (希望杯)在棋类比赛中，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比 赛的有51人，参加国际象棋比赛的有30人，同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人，同 时参加围棋和国际象棋比赛的有7人，同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人，同时 参加三种棋类此赛的有3人：，问参加棋类比赛的共有多少人？ 参加两个项目的人数和三项都参加的人数 →根据各对象的数量、两两重复数量和 三个对象共同重复的数量，求总数量 18 第十二周 天宫学校参观记 图示解析 本题考查含有三个对象的容斥问题。我们可以画三个圈的 韦恩图，在图上标出每个位置对应的数据。 参加围棋的人数 参加围棋和国际象棋的人数 参加围棋和中国象棋的人数 42人 13人 三种都参加的人数 3人 51人 11 30人 参加中国象棋的人数 参加国际象棋的人数 参加中国象棋和国际象棋的人数 易错点：漏加“三项都参加”的人数。 解题思路 ①不考虑重叠，算三个集合的总人数：42+51+30=123（人)。此时，参加 两项比赛的人数被重复计算了1次，参加三项比赛的人数被重复计算了2次。 ②将参加两项比赛的人数从总数中排除重复计算的1次：123一13一7一11= 92(人)。此时，参加三项的人数被排除了3次。 ③由于原来参加三项比赛的人数被重复计算了2次，因此还应该加回1次，于是 有92+3=95（人）。 规范解答 42+51+30-13-7-11+3=95(人) 答：参加棋类比赛的共有95人。 通关模型美72变较简单的三元容斥问题 通用解法：先从题目中提取三个集合、两两交集、三集合交集的关键数据，再根据所求 目标（总数或三集合交集）选择对应公式，最后将数据代入相关公式，准确计算得出结果。 三步解题： 1.列数据。从题目中提取三个集合的元素个数（A、B、C)、每两个集合的交集元素个 数（AB、BC、AC)、三个集合的交集元素个数（ABC)。 2.选公式。根据目标问题，选择合适的公式。 3.算结果。将数据代入相应的公式进行计算。 119 小学奥数2变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（祖冲之杯)五(3)班同学参加课外兴趣小组，每人至少参加一项。其中有25人参加科 学兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组；参加语文兴趣小组同时 又参加美术兴趣小组的有12人，参加科学兴趣小组同时又参加美术兴趣小组的有8人， 参加科学兴趣小组同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、科学3科兴趣小组 都参加的有4人。求这个班的学生人数。 画图思考： 规范解答： 2.（迎春杯)学校开展课外活动，某班的48名同学全部参加了课外兴趣小组。其中，参加 乐器组的有35人，参加美术组的有28人，参加围棋组的有21人；有19人既参加乐器 组又参加围棋组，有15人既参加乐器组又参加美术组，有12人同时参加了美术组和围 棋组。那么，三个小组都参加的有多少人？ 画图思考： 规范解答： 3.（世少赛)某小学对100名学生进行调查，结果有58人喜欢上数学课，有38人喜欢上语 文课，有52人喜欢上英语课。另外还知道，喜欢两门功课的学生中，既喜欢上数学课又 喜欢上语文课的有6人，既喜欢上英语课又喜欢上语文课的有4人，三门功课都喜欢上 的有12人。如果这100名同学至少喜欢上一门课，那么，有多少人只喜欢上英语课？有 多少人既喜欢上数学课又喜欢上英语课？ 画图思考： 规范解答： 120