第十一周 师徒巧助木工坊(二)——复杂的长(正)方体问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

第十一周 复杂 取经情境图 坊木心匠图 复杂的立体图形问 我们自有办法， 这三3 三图面积加起来，乘 2就是总表面积！ 闯关前思考 木工作坊里的木匠师徒继乡 题一立体图形的表面染色问题 这些问题看上去是不是很复杂？ 复杂问题的巧妙解法。 师徒巧助木工坊（二） 的长（正)方体问题 题，如何解？ 这三面涂色的小 方块在哪呀9 定能帮你解决」 三面涂色看顶点，两 面涂色棱中找。 图昨算表面积？ 容器底面积乘水位，减去水的体积！ 苹果体积咋算9 1.5分米 2分米 卖请唐僧师徒帮忙解决他们遇到的复杂的长（正)方体问 算复杂立体组合图形的表面积、算水中物体的体积等问题。 里面藏着怎样的奥秘？本周我们就跟着唐僧师徒，学习这些 101 小学奥数72变五年级 竞赛版 第67变0 悟空妙解染色魔方 长（正）方体表面染色问题 考点入门 2分钟 入门须知 长（正）方体表面染色问题指的是将一个长（正) 面涂色的小方块， 方体表面都染上颜色后切成若千个棱长相同的小正方 每个面都有吗？ 体，求染色面数不同的小正方体数量的问题。 定海神针： 1.将棱长为n(n≥2，且为整数)的正方体染 色后切成棱长为1的小正方体，那么，三面被染色的 小正方体个数为8；两面被染色的个数为(n一2) ×12;一面被染色的个数为(n一2)26；六个面 均没有被染色的个数为(n一2)3。 2.将长a、宽b、高h(a,b,h≥2，且为整数) 每个面中心1个，6个面共6个！ 的长方体染色后切成棱长为1的小正方体，那么，三 面被染色的小正方体个数为8；两面被染色的个数为[（a一2)十（b一2)十(h一2)] ×4;一面被染色的个数为[（a-2)×(b-2)+(a-2)×（h-2)+(b-2) ×（h一2)]×2；六个面均没有被染色的个数为(a一2)×（b一2)×(h一2)。 问路取经： 立体图形表面染色问题中，染色面数不同的小正方体的数量究竟有什么规律呢？ 图解母题 3分钟 给出大正方体的棱长和小正方体的棱长← 例 读题审题 (迎春杯)：把一个棱长是4厘米的正方体表面染成， 黄色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体。请问：三面被染色、 两面被染色、一面被染色以及六个面均没有被染色的小方块分别有多！ 少个？ →求染色面数不同的小正方体的数量 102 第十一周师徒巧助木工坊（二） 图示解析 三面被染色的 两面被染色的 一面被染色的 六个面均没有被染色 在8个顶点处 在12条棱上 在6个面上 的在立体图形内部 易错点：混淆正方体与长方体的“两面染色”“一面染色”公式。 解题思路 ①三面被染色的小方块在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三面被染 色的小方块有8个。 ②两面被染色的小方块在大正方体的棱上，正方体有12条棱，所以两面被染色 的小方块个数为：(n一2)×12=（4-2)×12=24（个)。 ③一面被染色的小方块在大正方体的面上，正方体有6个面，所以一面被染色的 小方块个数为：(n一2)2×6=（4一2)2×6=24（个)。 ④六个面均没有被染色的小方块在大正方体的中心，个数为：（n一2)3=(4 2)3=8(个)。 规范解答 三面被染色：8个两面被染色：（4一2)×12=24（个) 一面被染色：(4一2)2×6=24（个）六个面均没有被染色：(4一2)3=8（个） 答：三面被染色、两面被染色、一面被染色、六个面均没有被染色的小方块分别有8 个、24个、24个、8个。 通关模型鱼67变长（正）方体表面染色问题 通用解法：把长（正)方体表面染色后再切成若千个形状、大小相同的小正方体，可根 据对应的公式求出染色面数不同的小正方体的数量。 三步解题： 1.辨类型。根据题目的描述明确原立体图形是正方体还是长方体。 2.选公式。根据原立体图形是正方体还是长方体选择对应的公式。 3.算结果。将相关数据代入对应的公式，算出各类小正方体数量。 103 小学奥数2变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（“数学大王”邀请赛)如右图所示，将一个棱长为5厘米的 立方体的六个面都涂上黄色，然后将这个立方体切成125个 棱长为1厘米的小立方体，至少有一个面是黄色的小立方体 有多少个？ 画图思考/规范解答： 2.(希望杯)如右图所示，将一个4cm×6cm×5cm的长方体表面 涂色，然后切成棱长是1cm的小正方体，那么三面、两面、 面涂色以及六个面均没有涂色的小正方体各有多少个？ 画图思考/规范解答： 3.（世少赛)如右图所示，一个长方体的长为5dm,宽为4dm, 高为3dm。先切去角上一个棱长为1dm的小正方体后，再将 长方体余下部分表面涂成红色，并切割成棱长为1dm的小正方 体，求六个面都没被涂成红色、一面涂色、两面涂色和三面涂 色的小正方体分别有多少个。 画图思考/规范解答： 104 第十一周师徒巧助木 第68变。沙僧巧用三视图 三视 考点人门 2分钟 入门须知： 三视图指的是一个物体的主视图（从前面看到的 主视图面积就是 图形)人、侧视图（从侧面看到的图形）、俯视图（从上面 3×3吗？ 看到的图形)。 运用三视图模型可以解决求组合图形表面积的 问题。 定海神针： 组合图形表面积=（主视图的面积十侧视图的面 积十俯视图的面积)×2 问路取经： 沙僧运用三视图解决了看上去很复杂的立体图 形表面积问题。那么，画三视图要注意什么？怎样用 三视图计算组合图形的表面积？让我们通过下面的 对，再加上侧视和俯 例题深入探究。 图解母题 3分钟 求组合图形的表面积一 例■ 读题审题 (希望杯)求右图所示的组合图形的表 面积。 (每个小正方体的棱长均为1厘米) C已知小正方体的棱长 工坊（二) 图模型 12×8 见面积！ 105 小学奥数72变五年级竞赛版 图示解析 主视图 侧视图 俯视图 主视图与后视图面积相同左视图与右视图面积相同俯视图与仰视图面积相同 易错点：算面积时，混淆小正方体的棱长。 解题思路 ①观察图形，画出三视图。 ②根据三视图，分别计算主视图、侧视图、俯视图的面积。主视图的面积： 1×1×10=10(平方厘米)。侧视图的面积：1×1×8=8（平方厘米）。 俯视图的面积：1×1×9=9（平方厘米)。 ③求组合图形的表面积。根据“组合图形表面积=（主视图的面积十侧视图的面 积十俯视图的面积)×2”计算组合图形的表面积：(10十8十9)×2=54（平 方厘米)。 规范解答 (1×1×10+1×1×8+1×1×9)×2=54(平方厘米) 答：组合图形的表面积为54平方厘米。 通关模型鱼68变三视图模型 通用解法：先画出组合图形的三视图，再分别求出它们的面积，最后将三视图的面积相 加再乘2即可求出原图形的表面积。 三步解题： 1.画三视图。观察图形，画出三视图。 2计算三视图面积。根据三视图，分别计算主视图、侧视图、俯视图的面积。 3.求组合图形的表面积。根据“组合图形表面积=（主视图的面积十侧视图的面积十俯 视图的面积)×2”计算组合图形的表面积。 106 第十一周师徒巧助木工坊（二） 变式巧练 10分钟 1.(“新加坡小学数学奥赛”初赛)右图中的立体图形是由14个棱 长为5cm的小立方体组成的，求这个立体图形的表面积。 画图思考/规范解答： 2.(华罗庚金杯)如图所示，把19个棱长为3厘米的正方体堆成 一个大的立体图形，这个立体形的表面积是多少平方厘米？ 画图思考/规范解答： 3.(祖冲之杯)1个大正方体、4个中正方体、4个小正方体拼成如图所 示的立体图形，已知大、中、小三种正方体的棱长分别为5厘米、2厘 米、1厘米。那么这个立体图形的表面积是多少平方厘米？ 画图思考/规范解答： 107 小学奥数72变五年级 竞赛版 第69变0 八戒妙用排水法 水中浸物 考点人门 2分钟 入门须知： 水中浸物问题是指将物体放入装有水的容器中， 通过观察水位变化计算物体体积，或者根据物体体积 计算水位升降高度的问题。分为完全浸没且水未溢出、 容器内有5.6立方分米的水， 不完全浸没且水未溢出和水溢出容器三种情况。 这个苹果的体积是多少？ 定海神针： 在水中浸物的三种情况下求水面高度。 完全浸没且物体的体积等于水面上升对应高度的水的体 水未溢出 积，H水=(V水十V物体）÷S察器底面积 不完全浸没 水的体积等于容器底面积与物体底面积的差 再乘水的高度， 2×2×1.5-5.6=0.4(立方分米)。 且水未溢出 H水=V水÷（S容器底面积一S物体底面积） 水溢出容器 物体和水的总体积比容器的体积大时，水溢 出，水面高度等于容器的高度，H水=H客器 问路取经： 怎样用排水法解决水中浸物问题呢？让我们通过下面的例题继续探究。 图解母题 3分钟 水池的长、宽、高数据 例 读题审题 (希望杯)在一个：长6米、宽5米、高4米的水池中注满水，然后把 两根长80厘米、宽40厘米、高4米的石柱立着放入水池中，则水池溢出的水的体积是 多少？ 浸入水中的石柱的长、宽、高数据 求溢出的水的体积← 108 第十一周师徒巧助木工坊（二） 图示解析 4米 4米 5米 6米 6米 溢出水的体积等于两根石柱的体积。 易错点：未分辨清楚物体是否完全浸没。 解题思路 ①单位转换：80厘米=0.8米，40厘米=0.4米。 ②计算单根石柱的体积：0.8×0.4×4=1.28（立方米)。 ③计算溢出的水的体积：溢出水的体积等于两根石柱的体积之和，用单根石柱 体积乘以2可得，1.28×2=2.56（立方米)。 规范解答 80厘米=0.8米40厘米=0.4米 0.8×0.4×4×2=2.56(立方米) 答：水池溢出的水的体积是2.56立方米。 通关模型鱼69变水中浸物 通用解法：解决水中浸物问题的核心是“先判类型，再找关系”。先根据“物体是否完 全浸没、水是否溢出”确定浸物类型，再利用“水的体积不变”或“物体体积与水位变 化的关系”计算。 三步解题： 1.辨类型。根据题意判断浸物类型（完全浸没、不完全浸没、水溢出），关键看“物体 是否全部入水”“水位是否超过容器高度”。 2.找数据。提取容器的底面积（或长×宽）、初始水位、最终水位（或溢出水的体积)， 统一单位（如米、分米、厘米)。 3.算结果。根据浸物类型选择对应公式，代入数据计算（如完全浸没时，用“容器底面 积×水位差”求物体体积)。 109 小学奥数2变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（迎春杯)如右图所示，在一个棱长为10分米的正方 体水箱中装有一些水，将一块假山石放人水中，完全浸 没，水面上升了2分米（没有水溢出），这块假山石的体 积是多少？ 画图思考/规范解答： 2.(走美杯)如右图，有一个长方体水箱，它的底面是一个边 长为60厘米的正方形。现于水箱内直立着放人一个高1米、 底面边长都为15厘米的长方体玻璃块，这时水箱内的水深 为0.5米。如果将玻璃块取出，水箱内的水深为多少厘米？ 画图思考/规范解答： 3.（世少赛)如右图，有一个足够深的长方体水槽，底面是 长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有 油层 6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）。如果在水 槽中放人一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米 的铁块，那么此时油层的层高是多少厘米？（铁块以长和 水层 宽所在的面为底面放入) 画图思考/规范解答： 110第八周算面积师徒有妙招 一组合图形的面积 第58变 1.8×3+14×6=108(平方分米) 2.（2+6)×4÷2+10×2=36（平方分米) 3.60×60÷2-35×35÷2=1187.5（平方厘米) 第59变 1.（20一1)×（15-1)=266（平方米) 2.（28-1.5)×(15.5-1.5)=371(平方米) 3.(50一1)×(30一1)=1421（平方米） 第60变 1.3×3÷2=4.5（平方厘米) 2.10×10÷2=50（平方厘米) 3.3×（4+4)÷2-3×4÷2=6(平方厘米) 第九周途经翠竹林 —等积变形和一半模型 第61变 1.18×6÷2÷2÷2=13.5（平方厘米) 2.29.76÷2=14.88(平方厘米) 3.12+12+12=36(平方分米) 36+36=72（平方分米) 第62变 1.8×8÷2=32(平方厘米) 2.56÷2÷2=14(平方厘米) 3.12×12=144(平方厘米) 第63变 1.28÷2=14（平方分米) 2.30×15÷2=225（平方厘米) 3.80平方厘米 第十周师徒巧助木工坊（一）】 —巧求长（正）方体的表面积、体积 第64变 1.表面积增加：4×4×（3一1)×2=64（平方 厘米) 体积不变 2.2.4米=240厘米 96÷[(5-1)×2]×240=2880(立方厘米) 3.18×15×(3-1)×2=1080(平方厘米) 21×15×（3-1)×2=1260(平方厘米) 21×18×（3-1)×2=1512(平方厘米) 第65变 !1.图1：10×10×6一2×2×2=592（平方厘米） 图2：10×10×6-2×2×2+10×2×2=632 (平方厘米) 图3：10×10×6-2×2×2+10×2×4=672 (平方厘米) 2.10-32×10×3+33×2=784（立方厘米) 3.8×8×8-3×3×3-2×2×2-1×1×1= 476（立方厘米) 8×8×6+3×3×4+2×2×4+1×1× 4=440（平方厘米) 第66变 ↓1.10×10×2+10×5×4+5×5×4=500（平方 米) 10×10×5+5×5×5=625(立方米) 2.96+12÷2×4=120(平方分米) 3.5×5-1×4÷2×4=17(平方厘米) 5×5-2×3÷2×4=13（平方厘米) 5×5×6+17×6+13×6=330(平方厘米) 330一(17+13)×2=270（平方厘米） 第十一周师徒巧助木工坊（二） 一复杂的长（正）方体问题 第67变 1.125-（5-2)3=98(个) 2.三面涂色：8个 两面涂色：[(4-2)+（6一2)+（5一2)] ×4=36（个) 一面涂色：[(4-2)×（6-2)+（4-2) ×(5-2)+(6-2)×(5-2)]×2= 52(个) 六个面均没有涂色：(4-2)×(6一2)× (5-2)=24(个)。 3.六个面均没有涂色：(5一2)×（(4一2)× (3-2)=6（个) 一面涂色：[(5-2)×（4-2)+(5-2) ×（3-2)+(4-2)×(3-2)]×2= 22(个) 两面涂色：[(5-2)+（4-2)+（3-2)] ×4一1一1-1=21（个） 三面涂色：8-1+1+1+1=10（个) 第68变 1.5×5×9×2+5×5×6×4 =1050(平方厘米) 123 2.3×3×10=90(平方厘米) 3×3×8=72(平方厘米) 3×3×9=81(平方厘米) (90+72+81)×2=486(平方厘米) 3.5×5+2×2×2+1×1×2=35(平方厘米) 5×5+2×2×2+1×1×2=35(平方厘米) 5×5=25（平方厘米) (35+25+35)×2+(2×2+1×1)×8= 230(平方厘米) 第69变 1.10×10×2=200(立方分米) 2.0.5米=50厘米 50-15×15×50÷(60×60)=46.875(厘米) 3.8×8×12÷（16×12)=4(厘米) 6+6+4=16(厘米) 16×12×6÷（16×12-8×8)=9(厘米) 16-9=7(厘米) 第十二周天宫学校参观记 一容斥问题 第70变 1.37+42-31=48(人) 2.22+30-45=7(人) 3.同时参加两项：36+38一45=29（人） 只参加一项： (36-29)+（38-29)=16(人) 124 第71变 !1.28+25-12+9=50(人) 2.17+13+8-36=2(人) 3.两人都没吃过： 39-(15+9-4)=19(道) 只有一人吃过： (15-4)+(9-4)=16(道)》 第72变 1.25+35+27-12-8-9+4=62(人) 2.48-(35+28+21-19-15-12)=10(人) 3.设既喜欢上英语课又喜欢上数学课的人数为x, 列方程得： （58-6-12-x)+（52-4-12-x)+ (38-6-12-4)+6+4+12+x=100 解方程得：x=14。 只喜欢上英语课： 52-4-12-14=22(人) 1