第十周 师徒巧助木工坊(一)——巧求长(正)方体的表面积、体积-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

第十周 一巧求长( 取经情境图 坊木心 切割、挖取、拼接，怎么算 我师徒可助你一臂之力！ 挖掉小正方体，表面积变不变？ 棱上挖 顶点挖 顶点挖 2面、面 闯关前思考 唐僧师徒西行途中，路 正方体木材犯愁一在切割、 此情景，决定留下来，结合木 表面积和体积的计算奥秘。本 的方法。 徒巧助木工坊（一) 正)方体的表面积、体积 匠 锯1次加2个面，锯3次就加6个面！ 下 表面积和体积呢？ 锯开这木块，表面积咋变？ 拼接后表面积、体积怎么算？ 面上挖 总表面积减2个重合 不变，棱上挖多 面，体积直接加！ 上挖多4面！ 过一处热闹的木工作坊。作坊里的木匠们正围着一堆长方体、 挖取、拼接木材时，他们总算不清表面积和体积。师徒四人见 匠们遇到的实际问题，拆解长（正）方体切割、挖取、拼接时 周我们就跟随唐僧师徒，学习巧求长（正）方体表面积与体积 97 小学奥数2变五年级 竞赛版 64变 第 、悟空切 长（正 考点入门 2分钟 入门须知： 长（正)方体的切割是指将完整的长（正）方体， 按照需求沿平行于面的方向切开，分成多个小的长方体 或正方体的操作。在切割时，木材的总体积始终不变， 但每切割一次会新增加两个与切面大小相同的面，因此 表面积会发生变化。 定海神针： 切割后增加的表面积=切面面积×切割次数×2 切割后的总体积=切割前的总体积 问路取经： 木匠师傅拿着一根长方体木料叹气：“要把这木料 锯成3段做桌腿，可怎么也算不清表面积多了多少，这 样就没法提前准备桐油了！”悟空听后，拿起一把锯子 笑着说：“关键在‘新增的面’，我教你一算就准！” 让我们看看悟空是如何解决切割问题的。 图解母题 3分钟 已知长方体的长、宽、高 例 读题审题 （走美杯)如右图，一个长方体的 长是15分米，宽是10分米，高是5分米， 沿图中虚线 将这个长方体切成3个相同的小长方体后，表面积增加 了多少平方分米？ 求切割后增加的表面积 92 0木 )方体的切割 切3次加6个面，按切 面面积算就行！ 2次，加4个面 成3段，得加几个面？ 第十周师徒巧助木工坊（一） 图示解析 切2次共增加4个面 增加的表面积=每个切面的面积×切开的次数×2 易错点：未判断切面平行 于原立体图形的哪个面， 解题思路 导致弄错切面形状。 ①计算切割次数。切成3块，切割次数 是3一1=2（次）。 规范解答 ②计算单个切面的面积。从图中可以看 切开的次数： 出，切面的长和宽分别是原长方体宽 3-1=2(次) 和高，所以单个切面的面积是10× 每个切面的面积： 5=50(平方分米)。 10×5=50(平方分米) ③计算一共增加的表面积。根据“切割 一共增加的表面积： 后增加的表面积=单个切面的面积× 50×2×2=200(平方分米) 切割次数×2”列式计算：50×2×2 答：表面积增加了200平方 200(平方分米)。 分米。 通关模型鱼64变长（正）方体的切割 通用解法： 1.表面积计算：核心是“算新增面” 切割后增加的表面积二切面面积X切割次 数×2。 2.体积计算：核心是“总量不变”一切割后的总体积=切割前的总体积。 三步解题： 1.辨类型。根据已知条件和所求问题，明确目标问题是求切割后增加的表面积还是根据 切割后增加的表面积求原立体图形的体积，或者是求其他问题。 2.找数据。提取原立体图形的长、宽、高，确定切割后小立体图形个数，判断切面对应 的长、宽数据或边长数据。 3.算结果。若求表面积，用“切割后增加的表面积=切面面积×切割次数×2”计算； 若求体积，用“总体积=小立体图形体积之和”推导。 93 小学奥数2变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（启智杯)如右图所示，将一个长12厘米，宽4厘 米，高4厘米的长方体分割成3个一样大的正方 4厘米 体，三个小正方体表面积总和与原长方体相比有什 么变化？体积有什么变化？ 4厘米 12厘米 画图思考/规范解答： 2.（希望杯)如右图，把一根长2.4米的长方体木料锯成 相等的5段，表面积比原来增加了96平方厘米。这根 木料原来的体积是多少立方厘米？ 2.4米 画图思考/规范解答： 3.（华罗庚金杯)把一个长21厘米、宽18厘米、高15厘米的长方体木块，锯成三个完全 相同的小长方体后，表面积最多增加多少？最少增加多少？ 画图思考/规范解答： 94 第十周师徒巧助木工坊（一） 角65变。沙僧凿木 长（正)方体的挖取 考点人门 2分钟 入门须知： 长（正）方体的挖取是指在完整的长方体或正 方体上，根据制作需求，从顶点、棱上或面上的位 面上挖这处，多了几个面9 置挖去一个小的长方体或正方体的操作。 棱上挖 面上挖 定海神针： 顶点挖 在长（正）方体上“挖洞”分在顶点处挖、在 棱上挖、在面上挖三种情况。 规律：顶点挖，表面积不变；棱上挖，多2面； 面上挖，多4面。 剩下图形的体积=原图形体积一挖走的体积。 多4个小面，表面积就加这么多 问路取经： 木匠师傅拿着一块正方体木料，想在上面挖个 小正方体，却不确定表面积会不会变：“要是表面积变了，刷桐油的量就不准了，这可 怎么办？”沙僧接过木料说：“不同位置挖取，表面积变化不一样，我给你分情况讲， 保证你能算明白！”下面我们通过经典例题来学习长（正）方体挖取问题的解法。 图解母题 3分钟 分别在不同的位置挖4 原正方体的棱长个」 例 读题审题 (祖冲之杯) 如右图所示，在一个棱长为 9厘米的大正方体的角上、棱上、面上分别挖去一个棱长为 2厘米的小正方体，形成的新几何体的表面积是多少？ 挖走的小正方体的棱长 求挖走后剩下图形的表面积 96 小学奥数72变五年级 竞赛版 图示解析 棱上挖，多2面 →顶，点挖，表面积不变 面上挖，多4面 易错点：忽略挖取位置对表面积的影响。 解题思路 ①分析挖洞后表面积的变化情况。顶，点挖，表面积不变；棱上挖，多2面；面上挖， 多4面。 ②计算新增加的总面数。2+4=6（个)。 ③计算新几何体的表面积。9×9×6十2×2×6=510（平方厘米）。 规范解答 新增加的总面数：2+4=6（个） 形成的新几何体的表面积：9×9×6+2×2×6=510（平方厘米） 答：形成的新几何体的表面积是510平方厘米。 通关模型鱼65变长（正）方体的挖取 通用解法： 1.挖走后的表面积：关键在于找出挖走后的图形增加了哪些面，减少了哪些面，进而判 断表面积是不变、增加还是减少。 2.挖走后的体积：剩下图形的体积=原图形体积一挖走的体积。 三步解题： 1.辨类型。明确挖取位置（顶，点、棱、面）和挖去的小立体图形的形状（长方体/正方 体)，确定是求表面积还是体积。 2.找数据。提取原立体图形的长、宽、高（或棱长），挖去的小立体图形的尺寸，判断 是否有重叠。 3.算结果。若求表面积，用“原表面积十新增面积”计算；若求体积，用“原图形体积 挖走的体积”计算。 96 第十周师徒巧助木工坊（一） 变式巧练 10分钟 1.(世少赛)从一个棱长为10厘米的正方体木块 中挖去一个长为10厘米、宽为2厘米、高为2 厘米的小长方体。现有如右图三种情况，请分 ☑ 别求出每个新立体图形的表面积。 图1 图2 图3 画图思考/规范解答： 2.（走美杯)如右图所示，有一个棱长10厘米的正方体，分别在它的前 后、左右、上下各面的中心位置挖去一个横截面是边长为3厘米的正 ① 方形的长方体（都和对面打通)。求剩下部分的体积。 画图思考/规范解答： 3.（希望杯)右图所示是一个棱长为8厘米的正方体，在正方体的表 面正中间，向下挖一个棱长为3厘米的正方体小洞，接着在小洞底 面正中间向下挖一个棱长为2厘米的正方体小洞，第三个正方体小 洞的挖法与之前类似，棱长为1厘米，那么最后得到的立体图形的 体积和表面积分别是多少？ 画图思考/规范解答： 97 小学奥数72变五年级 竞赛版 第66变。八戒拼木 长（正)方体的拼接 考点人门 2分钟 入门须知： 长（正）方体的拼接是指将多个小的长方体或 正方体，按照一定方式（如面与面贴合）组合成一 个大的立体图形的操作。 重合面多大？怎么减？ 定海神针： 拼接后的表面积=拼接前的大立体图形的表面 4分米4分米 积十放了小立体图形后净增加的几个面的面积 6分米 1分米 拼接后的表面积=拼接前各立体图形的表面积 之和一所有重合面面积 8分米 拼接后的体积=拼接前各立体图形的体积之和 问路取经： 重合面的面积是4×4平方分米， 木匠师傅想把一个长方体木座和一个正方体木 减去2个重合面面积就对了！ 柱拼接成一个花架，却算不清拼接后的表面积。八 戒用小木块摆了个拼接模型：“你看，重合多大的面，就少2个这样的面，我教你用不 同方法算！”让我们通过经典例题学习长（正）方体拼接问题的解法。 图解母题 3分钟 →三个正方体的棱长 例 读题审题 (启智杯 右图所示是由三个正方体木 块粘合而成的模型， 它们的棱长分别为1米、2米、4米， 现在要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂刷油漆， 则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 求与拼接图形表面积相关的问题 98 第十周师徒巧助木工坊（一） 图示解析 解题思路 增加4个边长为 1米的正方形面 ①观察、分析组合体：在大正方体 上面加放小正方体后，重叠了一 增加4个边长为 部分，与大正方体的表面积相 2米的正方形面 比，增加了两个小正方体的4个 侧面的面积。由于大正方体下面 不涂刷油漆，所以模型涂刷油漆 →底面不涂刷油漆 的面积相当于大正方体5个面的 面积十两个小正方体4个侧面的 易错，点：误将所有面都计入涂 面积。 ②分别列式表示大正方体5个面的面 漆面积。 积、中正方体4个侧面的面积、小 正方体4个侧面的面积：4×4×5、 规范解答 2×2×4、1×1×4。 ③计算组合体涂刷油漆的面积： 4×4×5+2×2×4+1×1×4 4×4×5+2×2×4+1×1×4= =80+16+4 100(平方米)。 =100(平方米) 答：模型涂刷油漆的面积是100 平方米。 通关模型鱼66变长（正）方体的拼接 通用解法：计算拼接后的体积，直接将各立体图形体积相加即可。计算拼接后的表面积， 应先算所有立体图形表面积的总和，再减去拼接时重合面的总面积；也可通过原图形表 面积加净增面面积求解。 三步解题： 1.辨类型。判断目标问题是求拼接后的表面积还是求拼接后的体积，明确是否有特殊要 求（如：哪些面不刷漆、哪些面不计算等）。 2.找数据。提取每个立体图形的长、宽、高（或棱长)，确定重合面的尺寸。 3.算结果。若求表面积，用“各立体图形表面积之和一所有重合面面积”计算；若求体 积，用“各立体图形体积之和”计算。 99 小学奥数2变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（迎春杯)计算右图所示的组合图形的表面积和体积。 画图思考/规范解答： 米 5米 10米 10米 2.(世少赛)王叔叔要做右图这样的艺术品，组合体下面这个长方体 铁块的表面积是96平方分米，底面是一个面积为12平方分米的正 方形。在它上面粘一个正方体铁块，正方体的四个顶点正好落在长 方体上面各边的中点。这个组合体的表面积是多少平方分米？ 画图思考/规范解答： 3.（华罗庚金杯)两个较小的正方体零件黏合在一个大正方体零件 的两个面上，构成如右图所示的立体图形，其中，两个小正方 体的黏合面的四个顶点分别是大正方体的黏合面各边的其中一 个五等分点。如果三个正方体零件的棱长互不相等且最大的棱 长为5厘米，那么，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？ 画图思考/规范解答： 100第八周算面积师徒有妙招 一组合图形的面积 第58变 1.8×3+14×6=108(平方分米) 2.（2+6)×4÷2+10×2=36（平方分米) 3.60×60÷2-35×35÷2=1187.5（平方厘米) 第59变 1.（20一1)×（15-1)=266（平方米) 2.（28-1.5)×(15.5-1.5)=371(平方米) 3.(50一1)×(30一1)=1421（平方米） 第60变 1.3×3÷2=4.5（平方厘米) 2.10×10÷2=50（平方厘米) 3.3×（4+4)÷2-3×4÷2=6(平方厘米) 第九周途经翠竹林 —等积变形和一半模型 第61变 1.18×6÷2÷2÷2=13.5（平方厘米) 2.29.76÷2=14.88(平方厘米) 3.12+12+12=36(平方分米) 36+36=72（平方分米) 第62变 1.8×8÷2=32(平方厘米) 2.56÷2÷2=14(平方厘米) 3.12×12=144(平方厘米) 第63变 1.28÷2=14（平方分米) 2.30×15÷2=225（平方厘米) 3.80平方厘米 第十周师徒巧助木工坊（一）】 —巧求长（正）方体的表面积、体积 第64变 1.表面积增加：4×4×（3一1)×2=64（平方 厘米) 体积不变 2.2.4米=240厘米 96÷[(5-1)×2]×240=2880(立方厘米) 3.18×15×(3-1)×2=1080(平方厘米) 21×15×（3-1)×2=1260(平方厘米) 21×18×（3-1)×2=1512(平方厘米) 第65变 !1.图1：10×10×6一2×2×2=592（平方厘米） 图2：10×10×6-2×2×2+10×2×2=632 (平方厘米) 图3：10×10×6-2×2×2+10×2×4=672 (平方厘米) 2.10-32×10×3+33×2=784（立方厘米) 3.8×8×8-3×3×3-2×2×2-1×1×1= 476（立方厘米) 8×8×6+3×3×4+2×2×4+1×1× 4=440（平方厘米) 第66变 ↓1.10×10×2+10×5×4+5×5×4=500（平方 米) 10×10×5+5×5×5=625(立方米) 2.96+12÷2×4=120(平方分米) 3.5×5-1×4÷2×4=17(平方厘米) 5×5-2×3÷2×4=13（平方厘米) 5×5×6+17×6+13×6=330(平方厘米) 330一(17+13)×2=270（平方厘米） 第十一周师徒巧助木工坊（二） 一复杂的长（正）方体问题 第67变 1.125-（5-2)3=98(个) 2.三面涂色：8个 两面涂色：[(4-2)+（6一2)+（5一2)] ×4=36（个) 一面涂色：[(4-2)×（6-2)+（4-2) ×(5-2)+(6-2)×(5-2)]×2= 52(个) 六个面均没有涂色：(4-2)×(6一2)× (5-2)=24(个)。 3.六个面均没有涂色：(5一2)×（(4一2)× (3-2)=6（个) 一面涂色：[(5-2)×（4-2)+(5-2) ×（3-2)+(4-2)×(3-2)]×2= 22(个) 两面涂色：[(5-2)+（4-2)+（3-2)] ×4一1一1-1=21（个） 三面涂色：8-1+1+1+1=10（个) 第68变 1.5×5×9×2+5×5×6×4 =1050(平方厘米) 123