第八周 算面积师徒有妙招——组合图形的面积-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

第八周 算面积师徒有妙招 一组合图形的面积 取经情境图 施主莫慌，我们能帮你。 这地不规则，咋算面积？ 长老们，不规则侧士地 面积怎么算呀？ 分割成长方形和三角形，加起来就对！ 旋转拼成直角三角形 涂色部分很零碎， 再算 平移拼成长方形， 算着费劲1 算就清楚！ 这阴影面积昨求？ 之 闯关前思考 唐僧师徒西行至通天河畔，恰逢村民们为计算村头那块不规则土地的面积犯愁。村民 们听闻大唐高僧智慧过人，纷纷前来求助。师徒四人见状，决定用“割补”“平移”“旋转” 三种方法帮村民解决难题。他们是如何将不规则图形转化为规则图形计算面积的呢？本周我 们就跟随师徒四人，学习求组合图形面积的技巧。 7 小学奥数72变五年级 竞赛版 第 58变g 悟空测地巧分割 割补法求面积 考点人门 2分钟 入门须知： 在求复杂或不规则图形的面积时，可以先 使用分割或拼补图形的方法把它转化成规则的 图形，再求几个图形的面积和或面积差。 大圣，这地的面积咋算？ 定海神针： 分割法：将不规则图形分割成规则图形， 再求面积和。 拼补法：将不规则图形拼补成规则图形， 再求面积差。 问路取经 悟空巧用割补法帮助通天河畔的村民们算 分割成长方形和三角形，面积 出了不规则土地的面积。那么，怎样运用割补 相加便知 法求组合图形的面积呢？让我们通过下面的例 题进一步学习这种巧妙的方法。 图解母题 3分钟 例■ 读题审题 (走美杯)如右图，已知正方形 ABCD的边长为6厘米，正方形BEFG的边长为10厘 米，则三角形DEG的面积是多少平方厘米？ D C 三角形DEG底和高都未知， 无法直接算面积 6cm 第八周算面积师徒有妙招 图示解析 E ① D ③ 分割图形法：连接CG,将△DEG分 100 割成3个小三角形（△DEC、△CEG △DCG),图中已用①②③做了标记。 6cm B 易错点：分割时漏算或多算图形。 解题思路 ①观察图形特征：△DEG的底和高都未知，无法直接用公式计算，需借助两个 正方形的边长转化。 ②选择割补策略：连接CG,将△DEG分割成三个规则三角形，再将它们相加。 ③计算结果：可得出△DEG的面积为50平方厘米。 规范解答 6×(10一6)÷2=12（平方厘米） (10一6)×10÷2=20（平方厘米） 6×6÷2=18(平方厘米) 12+20+18=50(平方厘米) 答：三角形DEG的面积是50平方厘米。 通关模型鱼58变割补法求面积 通用解法：求不规则组合图形的面积时，先观察图形与规则图形的关联，用“分割成规 则图形求面积和”或“拼补成规则图形求面积差”解题。 三步解题： 1.观察图形特征，判断题目适合用“分割法”还是“拼补法”求面积。 2.若用割补法，则将图形分成若干个可直接计算的规则图形；若用拼补法，则将原图形 补成规则大图形。 3.计算分割后各图形面积并相加，得到目标图形面积；或计算拼补后大图形与空白图形 面积并相减，得到目标图形面积。 73 小学奥数72变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 8 1.（希望杯)计算右侧图形的面积。（单位：分米) 3 画图思考/规范解答： 3 6 14 2.（创新杯)如右图所示，求这个组合图形的面积。（单 位：分米) 画图思考/规范解答： 6 4 10 3.（迎春杯)如右图，已知一个四边形有两个直角，有一个 ▣ 角是45°，两条边的长度分别为35cm和60cm,求这个 35cm 四边形的面积。 画图思考/规范解答： 45> 60cm 74 第八周 算面积师徒有妙招 角59变。八戒平移涂纸条 平移法求面积 考点人门 2分钟 入门须知： 平移法求面积是通过平移图形的部分或整 体，将分散、不规则的图形转化为完整的规则图 形，再计算面积。 定海神针： 长老，涂色部分面积昨算？ 进行平移操作后，图形面积保持不变。 问路取经： 通天河村民要给祭祀用的纸条涂色，算不清 涂色面积就没法准备颜料。八戒通过仔细观察， 运用平移法快速算出了涂色部分的面积。怎样 运用平移法求不规则图形的面积呢？让我们继 平移拼成大长方形，长乘 续往下学。 宽就搞定」 图解母题 3分钟 例口 读题审题 (创新杯)右图所示为一块长方形 2米 的草坪，长为20米，宽为12米，在草坪中央有两条 宽为2米的长方形小路（阴影部分），求图中没有被 米 小路覆盖的草坪面积： 已知长方形草坪的长和 宽及中间小路的宽 求除去小路后的草坪面积 75 小学奥数72变五年级 竞赛版 图示解析 >2米 >2米 2米 易错点：平移后新图形的边长计算错误。 没有被小路覆盖的草坪部分 被分成了4个小长方形，长、宽未 知，不能直接计算面积。可以运用 解题思路 平移法，将两条小路都平移到左上 ①观察图形特征：草坪被两条小路 角，那么没有被草坪覆盖的部分就 分成4块小长方形，每块小长方 拼成了一个完整的长方形。 形的长和宽未知，无法直接计算。 ②选择平移法：将横向小路向上平 规范解答 移、纵向小路向左平移，两条小 路集中到草坪左上角，未被覆盖 没有被小路覆盖的部分可以拼成一 的草坪部分会拼成一个新的长 个长方形。 方形。 这个长方形的长：20一2=18（米） ③计算新图形：新长方形的长=原 这个长方形的宽：12一2=10（米） 草坪长一小路宽=20一2=18 这个长方形的面积： (米)，宽=原草坪宽一小路宽= 18×10=180(平方米)》 12一2=10（米），面积= 答：没有被小路覆盖的草坪面积是 18×10=180(平方米)。 180平方米。 通关模型鱼59变/平移法求面积 通用解法：当组合图形中有分散的目标区域或干扰性区域时，通过平移操作将分散部分 整合、干扰部分集中，使目标区域转化为完整的规则图形，再用规则图形面积公式计算。 三步解题： 1.观察分析：观察图形中分散部分的形状和干扰部分（如小路）的位置，判断是否可通 过平移整合目标区域。 2.平移整合：确定平移方向和距离，将干扰部分（如小路）平移到边缘，或把分散的目 标部分平移到一起，拼成完整规则图形。 3.计算面积：计算平移后规则图形的面积。 6 第八周算面积师徒有妙招 变式巧练 10分钟 m 1.(启智杯)某公园有一块长20m,宽15m 的长方形草地，草地中有两条均匀的小路 (如右图)，求草地的实际面积。 画图思考/规范解答： 15m 20m 2.(祖冲之杯)如右图所示，在一块长为28m, 1.5m 宽为15.5m的草坪上有一条宽为1.5m的曲 折小路，求这块草坪的绿地面积。 画图思考/规范解答： 15.5m 28m 3.（华罗庚金杯)如右图所示，在长50m,宽 30m的长方形地上，有纵横交错的几条小 路，小路的宽度均为1m,其他部分种植花 30m 草，种植花草的面积是多少平方米？ 画图思考/规范解答： 50m 小学奥数72变五年级 竞赛版 第 60变。沙僧旋转解三角 旋转法求面积 考点人门 2分钟 入门须知： 旋转法求面积是绕某一固定点（如正方形 顶点、三角形顶点)旋转图形的一部分，使它 长老，阴影面积难 与另一部分拼接成规则图形，再计算面积。 住我了1 定海神针： 进行旋转操作后，图形面积保持不变。 问路取经： 通天河村民有张直角三角形图纸，想算其 中的阴影部分面积却不知从何下手。沙僧把其 中一个三角形旋转了一下，巧妙解决了难题。 你知道用旋转法求组合图形的面积的步骤和技 旋转拼三角，计算不费劲！ 巧吗？让我们通过下面的例题继续学习吧！ 图解母题 3分钟 阴影部分包含两个小直角三角形，已知这 两个小直角三角形的斜边长 例口 读题审题（小机灵杯)如右图， 在直角三角形 10厘米 ABC中有一个正方形BDEF,点E正好落在直角三角！ E :形的斜边AC上，已知AE=10厘米，EC=13厘米：， 13厘米 阴影部分的面积是多少平方厘米？ →利用旋转法求阴影部分的面积 D 78 第八周算面积师徒有妙招 图示解析 在正方形BDEF中，EF=ED,将△AEF 逆时针旋转90°，使EF和ED重合。通过左图 10厘米 可以知道，阴影部分变成了一个直角三角形， 两条直角边分别是10厘米和13厘米，可以求 E 出面积。 10 甲米 13厘米 解题思路 ①观察图形特征：阴影部分由△AEF和 △EDC组成，两个三角形均为不规 规范解答 则三角形，且有些底和高未知，无法 10×13÷2=65(平方厘米) 直接计算。 答：阴影部分的面积是65平方 ②选择旋转法：因四边形BDEF是正方 厘米。 形，EF=ED,且∠FED=90°， 将△AEF绕点E逆时针旋转90°， 易错点：旋转中心或角度 使EF与ED重合，此时阴影部分拼 错误（如绕点F旋转而非 接成一个直角三角形（直角边分别为 绕点E,或旋转180°而非 AE=10厘米、EC=13厘米)。 90°），导致无法拼接成规 ③计算面积：直角三角形面积=底X 则图形。 高÷2=10×13÷2=65（平方厘 米)，即影部分面积。 通关模型角60变旋转法求面积 通用解法：图形中有正方形、等腰直角三角形等对称元素，且阴影部分不规则时，绕固 定点旅旋转部分图形，使其与另一部分拼接成规则图形，再用对应面积公式计算目标面积。 三步解题： 1.找旋转元素：观察图形，确定可旅转的部分（如含正方形边的三角形）和旋转中心（如 正方形顶点)。 2.旅转转化：将可旋转部分绕中心旋转合适角度（如90°)，使它与另一部分拼接成规 则图形（如直角三角形)。 3.计算面积：确定拼接后规则图形的关键边长（如直角三角形的两条直角边），用对应 公式计算目标面积。 79 小学奥数72变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（世少赛)如右图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，直 角三角形ADE的直角边DE=3厘米，求阴影部分的面积。 画图思考/规范解答： E C A 2.(祖冲之杯)如右图所示，三角形ABC是等腰直角三角 形，P是三角形外的一点，其中∠BPC=90°，AP= 10厘米。四边形ABPC的面积是多少平方厘米？ 画图思考/规范解答： P 3.(世少赛)如右图所示，正方形ABFG、直角三 3cm E 角形FBE和正方形BCDE共点于点B,EF=G 3cm,EB=4cm,求图中阴影部分的面积。 D 画图思考/规范解答： 4cm B 80第八周算面积师徒有妙招 一组合图形的面积 第58变 1.8×3+14×6=108(平方分米) 2.（2+6)×4÷2+10×2=36（平方分米) 3.60×60÷2-35×35÷2=1187.5（平方厘米) 第59变 1.（20一1)×（15-1)=266（平方米) 2.（28-1.5)×(15.5-1.5)=371(平方米) 3.(50一1)×(30一1)=1421（平方米） 第60变 1.3×3÷2=4.5（平方厘米) 2.10×10÷2=50（平方厘米) 3.3×（4+4)÷2-3×4÷2=6(平方厘米) 第九周途经翠竹林 —等积变形和一半模型 第61变 1.18×6÷2÷2÷2=13.5（平方厘米) 2.29.76÷2=14.88(平方厘米) 3.12+12+12=36(平方分米) 36+36=72（平方分米) 第62变 1.8×8÷2=32(平方厘米) 2.56÷2÷2=14(平方厘米) 3.12×12=144(平方厘米) 第63变 1.28÷2=14（平方分米) 2.30×15÷2=225（平方厘米) 3.80平方厘米 第十周师徒巧助木工坊（一）】 —巧求长（正）方体的表面积、体积 第64变 1.表面积增加：4×4×（3一1)×2=64（平方 厘米) 体积不变 2.2.4米=240厘米 96÷[(5-1)×2]×240=2880(立方厘米) 3.18×15×(3-1)×2=1080(平方厘米) 21×15×（3-1)×2=1260(平方厘米) 21×18×（3-1)×2=1512(平方厘米) 第65变 !1.图1：10×10×6一2×2×2=592（平方厘米） 图2：10×10×6-2×2×2+10×2×2=632 (平方厘米) 图3：10×10×6-2×2×2+10×2×4=672 (平方厘米) 2.10-32×10×3+33×2=784（立方厘米) 3.8×8×8-3×3×3-2×2×2-1×1×1= 476（立方厘米) 8×8×6+3×3×4+2×2×4+1×1× 4=440（平方厘米) 第66变 ↓1.10×10×2+10×5×4+5×5×4=500（平方 米) 10×10×5+5×5×5=625(立方米) 2.96+12÷2×4=120(平方分米) 3.5×5-1×4÷2×4=17(平方厘米) 5×5-2×3÷2×4=13（平方厘米) 5×5×6+17×6+13×6=330(平方厘米) 330一(17+13)×2=270（平方厘米） 第十一周师徒巧助木工坊（二） 一复杂的长（正）方体问题 第67变 1.125-（5-2)3=98(个) 2.三面涂色：8个 两面涂色：[(4-2)+（6一2)+（5一2)] ×4=36（个) 一面涂色：[(4-2)×（6-2)+（4-2) ×(5-2)+(6-2)×(5-2)]×2= 52(个) 六个面均没有涂色：(4-2)×(6一2)× (5-2)=24(个)。 3.六个面均没有涂色：(5一2)×（(4一2)× (3-2)=6（个) 一面涂色：[(5-2)×（4-2)+(5-2) ×（3-2)+(4-2)×(3-2)]×2= 22(个) 两面涂色：[(5-2)+（4-2)+（3-2)] ×4一1一1-1=21（个） 三面涂色：8-1+1+1+1=10（个) 第68变 1.5×5×9×2+5×5×6×4 =1050(平方厘米) 123