第九周 途经翠竹林——等积变形和一半模型-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

第八周算面积师徒有妙招 一组合图形的面积 第58变 1.8×3+14×6=108(平方分米) 2.（2+6)×4÷2+10×2=36（平方分米) 3.60×60÷2-35×35÷2=1187.5（平方厘米) 第59变 1.（20一1)×（15-1)=266（平方米) 2.（28-1.5)×(15.5-1.5)=371(平方米) 3.(50一1)×(30一1)=1421（平方米） 第60变 1.3×3÷2=4.5（平方厘米) 2.10×10÷2=50（平方厘米) 3.3×（4+4)÷2-3×4÷2=6(平方厘米) 第九周途经翠竹林 —等积变形和一半模型 第61变 1.18×6÷2÷2÷2=13.5（平方厘米) 2.29.76÷2=14.88(平方厘米) 3.12+12+12=36(平方分米) 36+36=72（平方分米) 第62变 1.8×8÷2=32(平方厘米) 2.56÷2÷2=14(平方厘米) 3.12×12=144(平方厘米) 第63变 1.28÷2=14（平方分米) 2.30×15÷2=225（平方厘米) 3.80平方厘米 第十周师徒巧助木工坊（一）】 —巧求长（正）方体的表面积、体积 第64变 1.表面积增加：4×4×（3一1)×2=64（平方 厘米) 体积不变 2.2.4米=240厘米 96÷[(5-1)×2]×240=2880(立方厘米) 3.18×15×(3-1)×2=1080(平方厘米) 21×15×（3-1)×2=1260(平方厘米) 21×18×（3-1)×2=1512(平方厘米) 第65变 !1.图1：10×10×6一2×2×2=592（平方厘米） 图2：10×10×6-2×2×2+10×2×2=632 (平方厘米) 图3：10×10×6-2×2×2+10×2×4=672 (平方厘米) 2.10-32×10×3+33×2=784（立方厘米) 3.8×8×8-3×3×3-2×2×2-1×1×1= 476（立方厘米) 8×8×6+3×3×4+2×2×4+1×1× 4=440（平方厘米) 第66变 ↓1.10×10×2+10×5×4+5×5×4=500（平方 米) 10×10×5+5×5×5=625(立方米) 2.96+12÷2×4=120(平方分米) 3.5×5-1×4÷2×4=17(平方厘米) 5×5-2×3÷2×4=13（平方厘米) 5×5×6+17×6+13×6=330(平方厘米) 330一(17+13)×2=270（平方厘米） 第十一周师徒巧助木工坊（二） 一复杂的长（正）方体问题 第67变 1.125-（5-2)3=98(个) 2.三面涂色：8个 两面涂色：[(4-2)+（6一2)+（5一2)] ×4=36（个) 一面涂色：[(4-2)×（6-2)+（4-2) ×(5-2)+(6-2)×(5-2)]×2= 52(个) 六个面均没有涂色：(4-2)×(6一2)× (5-2)=24(个)。 3.六个面均没有涂色：(5一2)×（(4一2)× (3-2)=6（个) 一面涂色：[(5-2)×（4-2)+(5-2) ×（3-2)+(4-2)×(3-2)]×2= 22(个) 两面涂色：[(5-2)+（4-2)+（3-2)] ×4一1一1-1=21（个） 三面涂色：8-1+1+1+1=10（个) 第68变 1.5×5×9×2+5×5×6×4 =1050(平方厘米) 123第九周、 途经翠竹林 等积变形和一半模型 取经情境图 今有三题老考你们。 三角形ABD与三角形ACE,面积可相等？ 师父尽管出题！ 等底同高，面积自然一样！ ● 程 长方形面积12平方厘 这长方形竹板上的两个 米，阴影面积是多少9 三角形，面积相等吗？ AD与BC平行，同底等高，面积相等。 阴影是长方形的一半 闯关前思考 唐僧师徒西行至一片翠竹林，林中竹影交错，竹制器具错落摆放。唐僧见此情景，心 生一计，决定以翠竹林中的图形为引，设题考查三个徒儿的几何思维。师徒四人是如何拆解 “等积变形”与“一半模型”的奥秘的呢？本周我们就跟随他们学习这类面积计算问题的巧 妙解法吧！ 81 小学奥数72变五年级 竞赛版 第61变0 悟空巧辨竹间三角 等底同高模型 考点人门 2分钟 入门须知： 两个平面图形面积相等，则这两个图形 等积。等积变形是指图形形状改变但面积不 变的现象，其中“等底同高模型”是三角形 为何这两个三角形面积相等？ 等积变形的核心。如果几个三角形的底边长 度相等，且高相同，则这几个三角形的面积 相等。 定海神针： 等底同高的几个三角形面积相等。 问路取经： 悟空盯着唐僧指的两个三角形竹架，很 快答道：“师父，这两个三角形面积相等！ 作高AF,这两个三角形等底 您看，BD和EC一样长，从顶点A往下作条 同高，面积必相等。 垂直的高，这条高既管三角形ABD,也管三 角形ACE,底相等、高相同，面积自然一样。”唐僧点头笑道：“那若已知其中一个三 角形面积，另一个是否也能直接确定？”悟空答：“正是！只需找到‘等底’和‘同高' 两个条件，就能直接用这个规律算面积。”下面我们通过经典例题进一步验证这个模型。 图解母题 3分钟 例D 读题审题 (希望杯)如图所示，三角形ABC的面 积是78平方分米，BE=EC,AB=13分米，FB=FE。求 三角形4AFE的面积。 根据三角形ABE和三角形ABC等底同高，求出三 B 角形ABE的面积是解题的关键 E 8 第九周途经翠竹林 图示解析 解题思路 ①根据“三角形ABC的面积是78平 F 方分米，BE=EC”,画出三角形 ABC的底边BC上的高AP。三角形 E ABE和三角形AEC的高相同，都是 AP,且BE=EC,所以三角形ABE 的面积为78÷2=39（平方分米）。 ②根据三角形ABE的面积及AB的 长，求出FE的长：39×2÷13=6 (分米)。 ③根据AB=13分米，FB=FE=6 B EP 分米，可得FA的长为(13一6)分米。 根据三角形的面积公式求出三角形 易错点：忽略“同高”条件， AFE的面积为（13一6)×6÷2= 仅观察到底边相等，就直接判 21（平方分米)。 断三角形面积相等。 规范解答 三角形ABE的面积：78÷2=39（平方分米） FE的长：39×2÷13=6（分米) 三角形AFE的面积：(13一6)×6÷2=21（平方分米） 答：三角形AFE的面积是21平方分米。 通关模型角61变等底同高模型 通用解法：根据等底同高的几个三角形面积相等，把一个图形的面积转化成另一个图形 的面积，进而求出目标图形的面积。 三步解题： 1.辨模型。判断题目是否符合“等底同高模型”，关键看是否同时满足“底边相等”和“高 相同”两个条件。 2.找数据。提取已知三角形的面积（或底、高），确认“等底”和“同高”的具体对应 关系（如哪两条边是等底，高是哪条线段)。 3.算结果。根据“等底同高，面积相等”，直接推导未知三角形的面积，或结合三角形 面积公式“S=底×高÷2”计算。 83 小学奥数2变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(祖冲之杯)如右图所示，在长方形ABCD中，D C E是BD的中点，F是DE的中点，AB=18厘米， BC=6厘米，求三角形ECF的面积。 画图思考/规范解答： E B E 2.(华罗庚金杯)如右图所示，长方形ABCD的 B 面积是29.76平方厘米，E、F、G分别是长方 形AB、AD、BC上的中点，H是CD上的任F G 意一点，求阴影部分的面积。 画图思考/规范解答： H C A 3.(世少赛)如右图所示，在三角形ABC中，AD= BD,E、F是BC上的三等分点，如果三角形 D EDF的面积是12平方分米，那么三角形ABC 的面积是多少平方分米？ 画图思考/规范解答： B E C 84 第九周 途经翠竹林 第62变0； 沙僧细观竹影面积 平行线间的等积变形 考点人门 2分钟 入门须知： 当三角形的底边固定在一条平行线上，顶 再讲讲这高为何相等？ 点在另一条平行线上时，无论顶点在平行线的哪 个位置，三角形的高始终等于两条平行线间的 距离，这种情况下的面积变形就是“平行线间 的等积变形”。 定海神针： 以平行线中的一条线段为底，顶点在另一 条平行线上的几个三角形，面积相等。 AD平行于BC,EF和DC 问路取经： 都是高，所以相等。 沙僧拿着唐僧递过来的长方形竹板，仔细 观察后说：“师父，这竹板是长方形，AD和BC平行，从E作BC的高EF,从D作BC 的高DC,平行线间的距离处处相等，EF=DC,底边都是BC,同底等高，面积就相等。” 各位同学，你明白了吗？ 图解母题 3分钟 B 已知正方形边长 例 读题审题 (走美杯)如右图所示， 个正方形和 G 一个梯形组合成了新的图形，{正方形的边长是4厘米！。连 接BE,交CD于点G,求阴影部分的面积 组成阴影部分的两个三角形 面积无法直接用公式求出 85 小学奥数72变五年级 竞赛版 图示解析 A B B G G D 易错点：未准确识别“平行线”，导致无法判断“同底等高”条件。 解题思路 ①观察原图。阴影部分无法直接计算面积，可考虑通过等积变形转化成可直接运 用已知数据进行计算的图形再解答。 ②第一次等积变形。连接CE,因为CD∥EF,所以△CGF与△CGE同底等高， 面积相等，△CGF就转化成了△CGE,原阴影部分转化成了△BCE。 ③第二次等积变形。连接BD,因为BC∥AE,所以△BCE与△BCD同底等高， 面积相等，原阴影部分转化成了△BCD。4X4÷2=8（平方厘米)。 规范解答 4×4÷2=8（平方厘米) 答：阴影部分的面积是8平方厘米。 通关模型62变平行线间的等积变形 一-“----一=-=--一=“-==。==== 通用解法：在图形中找出一组或多组平行线（如长方形对边、梯形上下底），确定以平 行线中的线段为底的三角形；再判断三角形是否“等高”；最后利用“同底等高，面积 相等”，将复杂的阴影三角形转化为可直接计算的三角形。 三步解题： 1.找平行线。从题目图形中识别平行线。 2.定同底等高。确定三角形的底边（需在一条平行线上），确认顶，点在另一条平行线上， 保证“同底等高”。 3.算面积。将未知面积的三角形转化为同底等高的已知三角形，代入数据计算。 86 第九周 途经翠竹林 变式巧练 10分钟 1.(希望杯)如右图所示，已知正方形ABCD的边长 A B 是8厘米，正方形DEFG的边长是5厘米，则三角 形FAC的面积是多少平方厘米？ 画图思考/规范解答： D C 2.(启智杯)如右图所示，已知三角形ABC的 面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC 面积的2倍，则阴影部分的面积是多少平方 E 厘米？ 画图思考/规范解答 0 3.（世少赛)将三个正方形按右图所示方式放置，D C 并且它们的顶点D、G、K恰好在同一条直线上， G F 其中正方形GFEB边长是12厘米，那么阴影 部分的面积为多少平方厘米？ 画图思考/规范解答： B E 87 小学奥数72变五年级 竞赛版 第63变。八戒算竹匾阴影面积 半模型 考点人门 2分钟 入门须知： 半模型，是指在某些图形中，其中一 大 部分图形的面积是整个图形面积的一半，常 若竹匾中长方形的面积是12， 见的有三角形、平行四边形（长方形、正方形） 阴影面积也是6吗？ 和梯形的一半模型。 定海神针： 1.三角形中常见的一半模型 等高模型 等底模型 A 只要是长方形里的这种阴影， D D 都是一半，错不了！ 高相等，底一半 底相等，高一半 2.其他图形中的一半模型 问路取经： 八戒看着唐僧手中的竹匾，挠挠头说：“师父，这阴影是个三角形吧？三角形的 底就是长方形的长，高就是长方形的宽，那面积就是长方形面积的一半。”八戒说的就 是长方形中的一半模型。各位同学，你学会了吗？ 88 第九周 途经翠竹林 图解母题 3分钟 图形形状 例 读题审题 (走美杯)四边形ABFE和CDEF都是！ H 长方形，AB的长是6.2厘米，BC的长是5.5厘米 那么图 中阴影部分的面积是多少平方厘米？ →已知长度 利用长方形的一半模型求阴影部分的面积 D 图示解析 解题思路 ①确定模型。观察图形可知，本题 适用于长方形中的一半模型。 ②分析模型。在长方形ABFE中， 阴影部分的面积是长方形ABFE 的一半；同理，在长方形CDEF 中，阴影部分的面积是长方形 CDEF的一半。因此，整个阴影 部分的面积是长方形ABCD面 积的一半。 ③列式计算。6.2×5.5÷2=17.05 易错点：误将“非一半模型” (平方厘米) 的图形当作一半模型计算。 规范解答 6.2×5.5÷2=17.05(平方厘米) 答：图中阴影部分的面积是17.05平方厘米。 通关模型角63变一半模型 通用解法：先判断图形是否为长方形、平行四边形、梯形，再观察阴影部分（或特定部分） 是否满足“一半模型”的特征，若满足，直接用“整体面积÷2”计算阴影面积。 三步解题： 1.识模型。确认整体图形是长方形或平行四边形，且阴影部分符合“一半模型”特征。 2.算整体。计算长方形（或平行四边形)的整体面积。 3.求一半。用整体面积除以2，得到阴影部分（或特定部分）的面积。 89 小学奥数72变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 D 1.(启智杯)如右图所示，平行四边形ABCD的 面积是28平方分米，求阴影部分的面积。 画图思考/规范解答： B 2.(希望杯)如右图，在长方形ABCD中，AB= 15厘米，BC=30厘米，EF是AD和BC的平 行线，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 画图思考/规范解答： E B G 3.(华罗庚金杯)如右图，正方形ABCD的面积为80平方厘 米，梯形AEFG的顶点E在线段BC上，D是线段FG的中点。 D 求梯形AEFG的面积。 4 画图思考/规范解答： C B E