第五周 火焰山下解难题——尾数和余数-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

第四周花果山上学数学 一公因数、公倍数问题 第46变 1.这些花最多可以分成7堆。 2.这个组最多有15位同学。 3.相邻两棵树之间的距离最多是45米。 第47变 1.至少再过60天他们三人又在图书馆相会。 2.至少经过240秒三人又同时从出发点出发。 3.进餐的和尚共有48个。 第48变 1.这两个数分别是20和120或40和60。 2.这两批图书的数量分别是11和242或22和 121。 3.这两个数的和有4种可能的情况，分别是186、 102、78、66。 第五周火焰山下解难题 —尾数和余数 第49变 1.299个36的积的尾数是6。 2.82026的尾数是4。 3.2025个13+2027个28的和的尾数是5。 第50变 1.题中算式的商是整数时，余数是5。 2.题中算式的商是整数时，余数是9。 3.2194除以7的余数是4。 第51变 1.这两个数的差除以13的余数是10；这两个数的 积除以13的余数是1。 2.这个整数是19。 3.这个自然数是43。 第六周桃花山下分果忙 一剩余问题 第52变 1.[4,7]=28 28+3=31(个) 2.[6,8]=24 24+2=26（棵) 3.[5,8]=40 120+4=124（颗) 第53变 1.[3,5,7]=105105-2=103 22 2.[5,6,7]=210210-4=206(棵) 3.[3,4,7]=84 84-1=83(个) 第54变 1.[5,6]=30 30+2=32（枚) 32÷7=4(次)…4（枚） 2.[7,9]=6363-5=58(人) 58+63=121(人) 121÷4=30（列)…1（人) 3.[6,7]=42 42+1=43（颗) 43+42=85(颗) 85÷8=10(包)…5（颗) 第七周宝象国里破数关 —分解质因数 第55变 1.211680=25×33×51×72 (1+5)×(1+3)×(1+1)×(1+2) =144(个) 2.6840=23×32×51×19 (1+2)×（1+1)×(1+1)=12(个) 3.8712=23×32×112 8712÷11=23×32×111 （1+3)×(1+2)×(1+1)=24(个) 第56变 1.2028=22×31×132 (2°+2+22)×(3°+3)×(13°+131+ 132)=5124 2.26460=22×33×51×72 (2°+2+22)×(3°+31+32+33)×(5 +51)×(7°+71+72)=95760。 3.5100=22×31×52×17 5100÷22=31×52×171 (3°+31)×(5°+51+52)×(17°+171) =2232 第57变 1.2328=2×2×2×3×97=2×（2×2×3)×97 =2×12×97 张伟今年12岁，他在数学竞赛中得了97分， 是第2名。 2.10159=11×37×37 一共用了37辆车，运了11次。 3.143=11×1313=2+11 11×11×2=242(立方厘米)第五周 火焰山下解难题 尾数和余数 取经情境图 烦请四位帮我们解 尾数、余数难题。 2025个34相乘 积的尾数是几？ 这么多个34相乘， 算到啥时候啊？ 不用那么麻烦，寻找循环规律可解。 无妨，我们逐一来解。 7减2得5，余数就是5？ 余数按2、4、0的顺序循环。 对1这是余数 的可减性质。 8÷6余2 二师兄，通过试 大数除以9余7，小数除以9 88号6余4 算找规律。 余2，两数之差除以9除几？ 888兰6余0 闯关前思考 山神清点祭祀用品时遇到了难题：①2025个34相乘，积的尾数是几？②101个8组 成的数除以6，余数是几？③两个自然数除以9分别余7和2，它们的差除以9余几？唐僧 师徒运用尾数和余数的规律帮助山神解决了这些看上去无从下手的数学问题。本周我们就跟 着师徒四人一起深入探究尾数和余数的奥妙。 X 小学奥数72变五年级 竞赛版 第49变0 定尾数悟空找规律 确定积的尾数 考点人门 2分钟 入门须知： 自然数末位的数字称为自然数的尾数。 2025除以2余1，尾数 当多个整数相乘时，积的尾数无须计算完整 循环节： 就取第一个数4？ 乘积，只需通过乘数的尾数规律推导，这类 4、6 通过尾数规律求积的尾数的问题，就是“确 周期 2025 定积的尾数”问题。 定海神针： 几个整数之积的尾数等于这些整数的尾 数之积的尾数。 没错！抓着尾数循环就够了。 问路取经： 山神不知道怎么求2025个34相乘的积的尾数，向唐僧师徒求助。悟空果然智慧超群， 给山神讲解了几个整数之积的尾数的规律，并帮助他迅速找到了答案。那么，积的尾数 到底有着哪些规律呢？让我们跟着悟空学习这种方法吧！ 图解母题 3分钟 根据乘数确定积的尾数← 例 读题审题 (祖冲之杯)求下列乘法算式的结果的尾数。 “一一一一一二二二 （1)115×225×3335×44445×555555×6666665 (2)12027×2027×…×2027: →6个数连乘的算式 2027个数连乘的算式 图示解析 (1)15×225×3335×44445×555555×6666665 乘数的尾数都是5，个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不 管多少个尾数为5的数相乘，积的尾数总是5。 42 第五周火焰山下解难题 (2）2027×2027×…×2027 乘数的尾数都是7时，积的 尾数按7、9、3、1循环。 2027个2027 易错点：混淆“循环尾数”与“恒不变尾数”。 解题思路 ①分析尾数特征：第(1)题所有乘数尾数均为5，属于“尾数恒不变”类型；第(2) 题所有乘数尾数均为7，属于“尾数循环”类型。 ②选择对应解法：第(1)题直接用“尾数为5的数相乘，积的尾数恒为5”的规律； 第（2)题先试算前4次的尾数，找出循环节“7、9、3、1”及周期4。 ③计算最终结果：第(1)题直接得尾数5；第（2)题用乘数的个数2027除以周期 4,余数为3，对应循环节第3个数“3”，得尾数3。 规范解答 答：(1)每个乘数的尾数都是5，所以结果的尾数是5。 (2)每个乘数的尾数都是7，积的尾数按7、9、3、1循环，2027÷4=506… 3,所以结果的尾数是3。 通关模型鱼49变确定积的尾数 通用解法：确定积的尾数时，先找出每个相乘整数的尾数，再将这些尾数相乘，所得结 果的尾数，就是原来几个整数之积的尾数，按此步骤即可快速求解。 三步解题： 1.定类型：观察所有乘数的尾数，判断是“尾数恒不变”类型(1、5、6)还是“尾数循环” 类型(2、3、4、7、8、9)。 2.找规律：“尾数恒不变”类型直接确定尾数；“尾数循环”类型试算前几次尾数，找 出循环节和周期长度；各个乘数的尾数不相等时，尝试用分组法转化成各个乘数的尾 数相等的算式，再求出结果。 3.算结果：“尾数循环”类型用乘数个数÷周期，余数对应循环节中的位置，得出最终 尾数。 43 小学奥数72变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(希望杯)36×36×36×·×36，的积的尾数是几？ 299个36 画图思考： 规范解答： 11111 2.(走美杯)8226的尾数是几？ 画图思考： 规范解答： 3.(华罗庚金杯)13×13×13×…×13+28×28×28×…×28的和的尾数是几？ 2025个13 2027个28 画图思考： 规范解答： 第五周火焰山下解难题 第50变0 求余数八戒帮村民 复杂除法求余数 考点人门 2分钟 入门须知： 复杂除法求余数问题，是指被除数由多 个相同数字组成，位数很多，无法直接计算完 整除法时，通过余数的循环规律求最终余数的 师兄，余数算出来了吗？ 问题。 定海神针： 当被除数位数很多时，余数随被除数位数 的增加呈现循环规律，无须计算完整除法，只 需通过试算被除数前n位的余数→确定循环节 与周期→用“被除数总位数÷周期”找对应 余数的步骤就可求解。 问路取经： 888…88÷6 山脚下的村民想求出101个8组成的数除 2,4,0 101个8 以6的余数，可被除数太长，他们算到一半就 卡住了。八戒通过“试算前几位余数→找循环 余数按2、4、0循环，第 节→算周期”的方法和步骤解决了这个难题。 101个8对应的余数是4 这样的方法你学会了吗？让我们通过下面的例 题深入学习。 图解母题 3分钟 例 读题审题 (祖冲之杯)已知算式：222…22÷61， 当商是整200个2数时，余数 是几？ 200个2 被除数有200个2， 根据周期知识或数论知识求余 直除到最后再看余数， 数会方便很多 太麻烦 45 小学奥数2变五年级 竞赛版 图示解析 解题思路 2÷6余2 ①试算找余数：先依次用1个2、2个2、3 22÷6余4 个2组成的数除以6，记录余数分别为2、 222÷6余0 4、0。 2222÷6余2 ②确定循环规律：继续试算4个2除以6 22222÷6余4 的余数为2，与1个2除以6的余数相同， 222222÷6余0 说明余数按“2、4、0”循环，周期为3。 (可继续多算几个验证循环) ③计算最终余数：被除数总位数为200，用 200÷3得商66余2，对应循环节中第2 规范解答 个余数“4”，即为最终余数。 2÷6余2 22÷6余4 222÷6余0 2222÷6余2 易错，点：算错周期长度，误将循环节记为“2、 22222÷6余4 4”（周期2)，忽略“0”的存在。 222222÷6余0 … 余数按2、4、0的顺序循环，200÷3=66…2，原式的余数是循环节中的第2个数， 也就是4。 答：余数是4。 通关模型鱼50变/复杂除法求余数 通用解法：当被除数由多个相同数字组成、位数很多时，通过试算被除数前位的余数 →确定循环节与周期→用“被除数总位数：周期”找对应余数的步骤求解，核心是利用 余数的循环性简化计算。 三步解题： 1.试算余数：用被除数的前1位、前2位、前3位…依次除以除数，记录每次余数， 直到余数重复出现。 2.找循环节：根据重复的余数序列，确定循环节和周期。 3.定最终余数：用被除数总位数÷周期，得到的余数对应循环节中的位置，该位置的余 数即为答案。 46 第五周火焰山下解难题 变式巧练 10分钟 1.(走美杯)已知算式888…88÷7，当商是整数时，余数是几？ 88个8 画图思考： 规范解答： 1 2.（希望杯)已知算式555…55÷13，当商是整数时，余数是几？ M 2025个5 画图思考： 规范解答： 3.（华罗庚金杯)24除以7的余数是几？ 画图思考： 规范解答： 4 小学奥数2变五年级 竞赛版 角51变0氵 沙僧巧用余数性质 余数性质的应用 考点入门 2分钟 入门须知： 在整数除法中，当一个数不能被另一个数整除 这两数之差除以9，余数是几？ 时，就会产生余数。余数有一些重要性质，巧妙运 用余数的性质，可以解决一些看似复杂的问题。 定海神针： 被除数=除数×商十余数 被除数一余数=除数×商 余数的可加性：a与b的和除以c得到的余数， 等于a与b分别除以c的余数之和（当余数之和大 1-2=5 大数7，小数余2 于除数时，所求余数等于两余数之和再除以C后得 到的余数)。 所求余数就是7与2的差，也就是5。 余数的可减性：a与b的差除以c得到的余数， 等于a与b分别除以c的余数之差（当大数的余数减小数的余数不够减时，补上除数再 减)。 余数的可乘性：a与b的乘积除以c得到的余数，等于a与b分别除以c的余数之积 (当余数之积大于除数时，所求余数等于两余数之积再除以℃后得到的余数)。 问路取经： 火焰山旁有位商人，想算两个自然数的差除以9的余数，已知这两个数除以9分别 余7和2，商人算来算去总出错。沙僧巧用余数性质帮助商人求出了答案。那么，怎样 巧妙运用余数的性质解决一些看似复杂的问题呢？让我们通过下面的例题进行探究。 图解母题 3分钟 已知两个自然数分别除以13所得的余数。】 例看 读题审题 （睿达杯)已知两个自然数a和b(a≥b):a和b除以13的余数分！ 别是5和9，求a十b除以13的余数。利用余数的性质求两个自然数的和除以13所得的余数 48 第五周火焰山下解难题 图示解析 余数的可加性：a与b的和除 a和b除以13的余数分别是 以c得到的余数，等于a与b 5和9，则a+b除以13的余 分别除以c的余数之和（当 数是5与9的和（即5+9= 余数之和大于除数时，所求 14),由于14大于13，用14 余数等于两余数之和再除以C 再除以13,14÷13=1…1， 后得到的余数)。 所以a十b除以13的余数是1。 易错点：忽略余数调整。直接将14当作余数，忽略14>13需再除。 解题思路 ①确定应用的余数性质：题目求两数和的余数，根据余数的可加性质解题。 ②计算余数和：提取a、b除以13的余数5和9，求和得5+9=14。 ③调整余数：因14大于除数13，须再用14除以13，所得余数1即为a+b除 以13的最终余数。 规范解答5十9=14,14>13,14÷13=1…1，a+b除以13的余数是1。 通关模型角5引变余数性质的应用 通用解法：运用余数的可加性、可减性、可乘性，结合带余除法的一般规律解题。 三步解题： 1.定性质：根据题目最后所求的问题，确定运用余数的可加性、可减性或可乘性解题。 2.算余数：提取两个数除以除数的余数，按所选性质进行运算。 3.调结果：根据结果与除数的大小关系调整，得到最终结果。 49 小学奥数72变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(华罗庚金杯)已知两个自然数除以13的余数分别是5（大数的余数）和8（小数的余 数)，求这两个数的差（大数减小数）除以13的余数以及这两个数的积除以13的余数。 画图思考： 规范解答： 2.(希望杯)一个整数除300,262,205得到相同的余数。这个整数是多少？ 画图思考： 规范解答： 3.（走美杯)有一个自然数，用它分别去除63,91,129，所得的3个余数的和是25，求这 个自然数。 画图思考： 规范解答： 50