第七周 宝象国里破数关——分解质因数-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

第七周 宝象国里破数关 —分解质因数 取经情境图 恳请帮忙解难题， 因数太多，一个一个 助我修缮宫殿！ 找太费劲儿了！ (2°+2)× ✉30+3'+3) 我等定当尽力，逐题拆解便是。 ×(5+5+5 分解质因数是妙招，套用公式算更快！ 因数和怎么算？总 分解1320，再组合成 不能逐个加吧？ 连续自然数即可！ 凑连续数：10、11、12 1320= 2×2×2×3×5×1 悟净找得精准，这般 组合正符合要求。 按质因数幂次求和，再相乘就行」 闯关前思考 宝象国国王在修缮宫殿的过程中遇到了需要通过求因数和或者求因数个数才能解决的 难题。国王恳请途经这里的唐僧师徒帮忙解题。师徒四人欣然应允，运用数学智慧轻松破 解了这些看似无从下手的难题。他们是运用什么规律和方法解题的呢？本周我们就跟随师 徒四人，一起学习通过分解质因数破解难题的方法和技巧。 61 小学奥数72变五年级 竞赛版 55变)悟空巧用质因数 求因数的个数 考点人门 2分钟 入门须知： 把一个合数写成几个质因数相乘的形式，叫作分解质因数。通过分解质因数可以求 出一个数的因数个数。 定海神针 因数个数公式：任何一个大于1的自然数n都可以写成分解质因数的标准式： n=pip吃×pg×…×p,其中P1、P2、…、P为n 450的因数个数， 的质因数，a1、a2、、ak为质因数的指数，则 到底怎么算才对？ 自然数n全部因数的个数=(1+a)×（1+ a2)×…×(1+a)。 如360=23×32×51，那么360的因数个数 有(1+3)×(1+2)×(1+1)=24（个）。 问路取经： 宝象国国王需要知道450有多少个因数。可 他逐个列举因数时，要么重复要么遗漏。悟空笑 着说：“先分解质因数，再用公式很快就能算出 来。”让我们跟着悟空学习这种高效求因数个数 的方法吧！ 先分解质因数，再用（指数+1） 相乘，结果就是18个1 图解母题 3分钟 →将2700分解质因数并写成分解质因数的标准式 例 读题审题 （祖冲之杯)2700有多少个因数？ 利用因数个数公式求一 这个数因数的个数 621 第七周 宝象国里破数关 图示解析 写出分解质因数的标准式： 将各质因数的指数代 用短除法将 n=p×p2×pgX…×pg。 入到求因数个数的公 这个数分解 （p1、P2、…、P为n的质因数， 式中，求出2700的 质因数。 a1、a2、…、a,为质因数的指数 因数个数。 易错点：分解质因数不彻底。 解题思路 ①分解质因数。用短除法将2700分解质因数，写成质因数相乘的形式，并整理 成标准式：2700=2×2×3×3×3×5×5=2×33×52。 ②提取指数。从标准式中找出每个质因数对应的指数：2的指数是2,3的指数是3， 5的指数是2。 ③计算因数个数。将各质因数的指数代入到求因数个数的公式中，求出2700的 因数个数：(1+2)×(1+3)×(1+2)=36（个）。 规范解答 2 2700 1350 2700=2×2×3×3×3×5×5=22×33×52 3675 (1+2)×(1+3)×(1+2)=36(个) 3225 答：2700有36个因数。 375 525 5 通关模型角55变/求因数的个数 通用解法：将目标自然数用短除法分解质因数，并整理成标准式，再提取每个质因数的 指数，代入因数个数公式中计算因数的个数。 三步解题： 1.分解质因数：用短除法将目标自然数分解为质数相乘的形式，整理成标准式。 2.提取指数：从标准式中找出每个质因数对应的指数。 3.计算因数个数：将各质因数的指数代入到求因数个数的公式中，求出目标自然数的因 数个数。 63 小学奥数72变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(华罗庚金杯)211680有多少个因数？ 画图思考： 规范解答： 2.(走美杯)6840有多少个奇因数？ 画图思考： 规范解答： 3.(陈省身杯)在8712的所有因数中，有多少个是11的倍数？ 画图思考： 规范解答： 64 第七周 宝象国里破数关 第56变。八戒细算因数和 求因数的和 考点人门 2分钟 入门须知 通过分解质因数可以求出一个数的所有因 450的因数和，算出来是 数之和。 多少呀？ 定海神针： 因数和公式：任何一个大于1的自然数n 都可以写成分解质因数的标准式：n=p×p× pX…×p,其中p1、P2…、pk为n的质因数， a1、a2、、ak为质因数的指数，则自然数n的 (2+2)×(3°+3+ 32)×(50+51+52)=(1+ 所有因数之和=（p+p十…+p）×(p%十 2)×(1+3+9)×(1+5+ p2+…+p2)×…×(p+p+…+p)。 25)=3×13×31=1209 注：除0外任何数的0次方都等于1。 如360=23×32×51，那么360的因数之和 算完啦！结果是1209，错不了1 =（2°+21+2+23)×(3°+3+32)×(5° +51)=1170. 问路取经： 宝象国国王算出450的因数个数后，又犯了难：“知道了因数个数，可这些因数的 和是多少呢？”八戒凑过来，拍着胸脯说：“俺老猪有办法！用分解质因数的标准式， 套个公式就能算，比一个一个加省事多了！”接下来，我们就跟着八戒学习求因数和的 方法。 图解母题 3分钟 →将2700分解质因数并写成分解质因数的标准式 例■ 读题审题 (祖冲之杯)2700的所有因数的和是多少？ 利用因数和公式求这个数的所有因数之和 66 小学奥数72变五年级 竞赛版 图示解析 写出分解质因数的标准式： 将各质因数代入到求 用短除法将 n=piXp%Xpgx…Xp%。 因数和的公式中，求 这个数分解 （P1、P2…、P为n的质因数， 出2700的所有因数 质因数。 a1a2、、ak为质因数的指数) 之和。 易错点：算因数和时，漏加质因数的0次方。 解题思路 ①分解质因数。用短除法将2700分解质因数，写成质因数相乘的形式： 2700=2×2×3×3×3×5×5。 ②整理成标准式。将质因数相乘的形式整理成分解质因数的标准式： 2700=2×2×3×3×3×5×5=22×33×52。 ③计算因数和。将各质因数代入到求因数和的公式中，求出2700的所有因数之 和：(2°+2+22)×(3°+3+32+33)×(5°+5+52)=8680。 规范解答 2L2700 2700=2×2×3×3×3×5×5=22×33×52 21350 (2°+2+22)×(3°+3+32+33)×(5°+5+52)=8680 3 675 3225 答：2700的所有因数的和是8680。 375 52 5 通关模型鱼56变求因数的和 通用解法：先将目标自然数用短除法分解质因数，并整理成标准式，再将各质因数代入 到求因数和的公式中，求出目标自然数的所有因数之和。 三步解题： 1.分解质因数：用短除法将目标自然数分解为质数相乘的形式。 2.整理成标准式。将质因数相乘的形式整理成分解质因数的标准式n=p×p× pgX…Xpg。 3.计算因数和。将各质因数代入到求因数和的公式中，求出目标自然数的所有因数之和。 66 第七周宝象国里破数关 变式巧练 10分钟 1.(迎春杯)2028的所有因数的和是多少？ 画图思考： 规范解答： 2.(世少赛)26460的所有因数的和是多少？ 画图思考： 规范解答： 3.(陈省身杯)5100的所有奇因数的和是多少？ 画图思考： 规范解答： 小学奥数72变五年级 竞赛版 磨57变)沙僧妙解综合题 分解质因数的综合应用 考点人门 2分钟 入门须知： 分解质因数往往是解决数论问题的突破口， 长方体的长、宽、高，怎么对 它可以帮助我们分析数的特征。利用分解质因 应1320立方米的体积呀？ 数结合数论知识可以帮助我们解决一些较复杂 的数学问题。 定海神针： 2米 根据问题中的总量或等量关系，先将关键 数量分解质因数，再结合题目中的限制条件（如 1320= 倍数、整数、连续数等)筛选并组合质因数， 2×2×2×3×5×11 最终求出符合要求的解。 问路取经： 分解后凑连续数，10、11、12正好符合！ 宝象国国王要打造宫殿的长方体木梁，他 遇到了难题：木梁体积是1320立方米，要求长、宽、高是三个连续自然数。可是，怎 么算长、宽、高的具体尺寸呢？沙僧先把1320分解质因数，再按“连续自然数”的要 求进行组合，算出了长、宽、高的具体尺寸。让我们通过下面的例题学习分解质因数的 综合应用吧。 图解母题 3分钟 →师生一共植树的棵数 例 读题审题 （希望杯)植树节那天 张老师带同学们去植树，同学们平均分成8组， 张老师也一起参加植树。他们二共植树330棵，并且每人植树的棵数都相同，那么参加植 树的学生有多少人？每人植树多少棵？ →利用分解质因数的知识结合总人数的特点，推断出 学生的人数以及平均每人植树的棵数 68 第七周 宝象国里破数关 图示解析 同学们平均分成8 总人数减去1即为 组，说明学生的人 将330分解质因数， 学生的人数，用植 数是8的倍数，加 在330的因数中找出 树的总棵树除以 上老师1个人，参 8的倍数加1这样的 总人数即可求出 加植树的总人数就 数，即为总人数。 每人植树的棵数。 是8的倍数加上1。 易错点：漏找330的因数（如漏掉33)，导致无法找到符合条件的总人数。 规范解答 解题思路 2L330 3165 ①分解质因数：将植树总棵数330分解质因 5L55 数：330=2×30×50×11。 11 ②分析所求数的特征，求出学生人数：参加 330=2×3×5×11 植树的总人数是8的倍数加上1，在330 3×11=33 的因数中找出8的倍数加1这样的数，即 33=4×8+1 为总人数。3×11=33,33=4×8+1， 33-1=32(人) 只有33符合条件。故学生人数为33一1 330÷33=10(棵) =32(人)。 答：参加植树的学生有32人 ③求出每人植树的棵数：330÷33=10（棵） 每人植树10棵。 通关模型角57变分解质因数的综合应用 通用解法：先锁定题目关键数量并彻底分解质因数，紧扣倍数、整数等限制条件，合理 筛选、组合质因数，精准匹配题意，最终求出符合要求的解。核心是“分解彻底、条件 抓准、组合合理”。 三步解题： 1.分解关键数量：将问题中的关键数量（如植树总棵数、体积、乘积）分解为质因数相 乘的形式。 2.分析限制条件：明确题目中的隐含要求（如人数为整数、是某数的倍数、连续自然数 等)，将条件转化为数学关系。 3.筛选、组合质因数：根据限制条件，将质因数筛选、组合成符合要求的数，最终求出答案。 69 小学奥数72变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(WM0世奥赛)六年级学生张伟今年参加了学校举行的数学竞赛，成绩公布后，他高兴地 对同学说：“我的得分、名次和我的年龄的连乘积正好是2328。”那么张伟今年多少岁？ 他在那次数学竞赛中的得分是多少？获得了第几名？ 画图思考： 规范解答： 2.(祖冲之杯)用车运15059袋米，每车装米的袋数相同，用车若干辆，运了若千次。巧 的是每车装米的袋数与用车的辆数正好相等。一共用了多少辆车？运了多少次？ 画图思考： 规范解答： 3.(华罗庚金杯)一个长方体相邻的两个面面积之和是143平方厘米，它的长、宽、高都 是不超过11的整数，且均为质数。这个长方体的体积是多少？ 画图思考： 规范解答： 70第四周花果山上学数学 一公因数、公倍数问题 第46变 1.这些花最多可以分成7堆。 2.这个组最多有15位同学。 3.相邻两棵树之间的距离最多是45米。 第47变 1.至少再过60天他们三人又在图书馆相会。 2.至少经过240秒三人又同时从出发点出发。 3.进餐的和尚共有48个。 第48变 1.这两个数分别是20和120或40和60。 2.这两批图书的数量分别是11和242或22和 121。 3.这两个数的和有4种可能的情况，分别是186、 102、78、66。 第五周火焰山下解难题 —尾数和余数 第49变 1.299个36的积的尾数是6。 2.82026的尾数是4。 3.2025个13+2027个28的和的尾数是5。 第50变 1.题中算式的商是整数时，余数是5。 2.题中算式的商是整数时，余数是9。 3.2194除以7的余数是4。 第51变 1.这两个数的差除以13的余数是10；这两个数的 积除以13的余数是1。 2.这个整数是19。 3.这个自然数是43。 第六周桃花山下分果忙 一剩余问题 第52变 1.[4,7]=28 28+3=31(个) 2.[6,8]=24 24+2=26（棵) 3.[5,8]=40 120+4=124（颗) 第53变 1.[3,5,7]=105105-2=103 22 2.[5,6,7]=210210-4=206(棵) 3.[3,4,7]=84 84-1=83(个) 第54变 1.[5,6]=30 30+2=32（枚) 32÷7=4(次)…4（枚） 2.[7,9]=6363-5=58(人) 58+63=121(人) 121÷4=30（列)…1（人) 3.[6,7]=42 42+1=43（颗) 43+42=85(颗) 85÷8=10(包)…5（颗) 第七周宝象国里破数关 —分解质因数 第55变 1.211680=25×33×51×72 (1+5)×(1+3)×(1+1)×(1+2) =144(个) 2.6840=23×32×51×19 (1+2)×（1+1)×(1+1)=12(个) 3.8712=23×32×112 8712÷11=23×32×111 （1+3)×(1+2)×(1+1)=24(个) 第56变 1.2028=22×31×132 (2°+2+22)×(3°+3)×(13°+131+ 132)=5124 2.26460=22×33×51×72 (2°+2+22)×(3°+31+32+33)×(5 +51)×(7°+71+72)=95760。 3.5100=22×31×52×17 5100÷22=31×52×171 (3°+31)×(5°+51+52)×(17°+171) =2232 第57变 1.2328=2×2×2×3×97=2×（2×2×3)×97 =2×12×97 张伟今年12岁，他在数学竞赛中得了97分， 是第2名。 2.10159=11×37×37 一共用了37辆车，运了11次。 3.143=11×1313=2+11 11×11×2=242(立方厘米)