第二周 雷音寺前破三关——类牛吃草问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

第二 取经情境图 山寺 票 俺老孙目 检票▣入八 11人能喝几 天呀？ 8人 6人 闯关前思考 唐僧师徒行至雷音 吃草问题’，可按‘牛 维破解现实难题？本周 周雷音寺前破三关 一类牛吃草问题 音雷 2个检票口几 分钟可以无 1个检 前路三关如何破？ 票口6分钟 人排队？ 后无人排队 先算原有人数和新增人数！ 6 自有办法」 15 30×6 用梯级差算速度！ 每天漏4份酒 男孩28级/分 5分钟到顶 女孩22级/分 8分钟到顶 喝10天 喝12天 ×乙8 先算每天漏多少 扶梯每分钟走几级？ 98=9×8乙-8 寺山前，见前路有三道难题拦路。悟空笑道：“此三题属于‘类牛 吃草问题’的解法求解！”何为“类牛吃草问题”？如何用牛吃草思 我们跟随师徒四人的脚步，闯过三关，解锁类牛吃草问题的解法。 小学奥数72变五年级 竞赛版 ④40变0 雷音寺前检票忙 排队检票问题 考点人门 2分钟 入门须知： 我们把生活中可以用牛吃草原理来解题的问题 称为类牛吃草问题。排队检票问题就是类牛吃草问 2个检票口几分钟检完票？ 题中的一种。检票口如同“牛”，旅客如同“草” 30+60-15= 原有排队旅客是“原有草量”，每分钟新增旅客是 “新长草量”。 定海神针： 两次总检票量差÷两次时间差=每分钟新增 旅客量 90÷(60-15)=2(分钟)1 检票口数×检票时间一每分钟新增旅客量× 检票时间=原有排队人数 原有排队人数÷（目标检票口数一每分钟新增旅客量）=检票时间 问路取经： 沙僧手持通关文牒，急着入寺面佛，却见检票口前旅客排成长队，不知还要等多久。 让我们通过下面的例题一起帮沙僧算明白吧！ 图解母题 3分钟 →检票量=原有的十30分钟新增的 例 读题审题 (世少赛)某火车站的检票口， 在检票开始前已有若干旅客在排队。假 设每分钟来的旅客一样多，若同时开4个检票口， 从开始检票到没有人排队需30分钟：；若 同时开5个检票口，检票开始20分钟后就没有人排队了。那么，如果同时开7个检票口， 检票开始几分钟后便没有人排队了？ 检票量=原有的十20分钟新增的 2 第二周 雷音寺前破三关 图示解析 原有排队人数 30分钟新增人数 4个检票口： 原有排队人数 20分钟新增人数 5个检票口： 差是10分钟新增人数 易错，点：混淆“检票口总检票量”与“原有排队人数” 解题思路 ①设1个检票口1分钟检票的人数为1份。用两次检票总量差除以时间差，得每 分钟新增旅客量（即新增旅客速度）：(4×30-5×20)÷(30一20)=2（份/分）。 ②用4个检票口30分钟的总检票量，减去30分钟新增的旅客量，得到原有旅客量： 4×30-2×30=60（份)。 ③7个检票口中，2个专门处理新增旅客，剩下5个处理原有旅客，用“原有排队人 数÷（检票口数一新增旅客速度）”得检票时间：60÷（7一2)=12（分)。 规范解答 (4×30-5×20)÷(30-20)=2(份/分) 4×30-2×30=60(份)60÷（7-2)=12（分） 答：如果同时开7个检票口，检票开始12分钟后便没有人排队了。 通关模型角40变排队检票问题 通用解法：先设定“1个检票口1分钟检票量为1份”，再通过两次检票情况求出“新 增旅客速度”和“原有排队人数”，最后用“原有排队人数÷（目标检票口数一新增旅 客速度)”计算检票时间。 三步解题： 1.定对应关系，算新增旅客速度：设1个检票口1分钟检票1份，用“两次总检票量差÷ 两次时间差”算出每分钟新增旅客量（即新增旅客速度）。 2.算原有排队人数：用“检票口数X检票时间一新增旅客速度×检票时间”计算原 有排队人数。 3.算目标检票时间：用“原有排队人数÷（目标检票口数一新增旅客速度）”计算检票 时间。 13 小学奥数2变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(走美杯)六一儿童节这天，许多人去动物园游玩。动物园开门前门口已有700人排队等候， 开门后每分钟来的游客总是同样多。已知一个入口每分钟可以进30人，开放4个入口， 经过10分钟门口就没有人排队了。这时，只要开放几个入口就可以保证再来的游客不需 要排队？ 画图思考： 规范解答： 2.(迎春杯)某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的。假设 一个入口每分钟可以进人10个游客，那么开4个入口，20分钟就没有人排队了。现在 开6个入口，开门后多少分钟就没有人排队了？ 画图思考： 规范解答： 3.(世少赛)科技馆上午8时开馆，但早有小朋友来排队，从第一个小朋友来到时起，每分 钟来的小朋友一样多。如果开放5个入口，8时3分就没人排队了，如果开放3个入口， 8时7分就没人排队了。问：第一个小朋友到达的时间是几时几分？ 画图思考： 规范解答： 14 第二周 雷音寺前破三关 第41变0 通天河畔酒漏愁 酒缸漏酒问题 考点人门 2分钟 入门须知 酒缸漏酒问题类似于“草减型（草场上的草 在寒冷季节以固定的速度自然衰减)”的牛吃草问 120÷(11+4)=8(天)1 题一饮酒的人如同“牛”，酒缸里的酒如同“草”， 原有120份酒 原有酒量是“原有草量”，每天漏的酒是“草的衰 减量”。 每天漏4份酒 定海神针： 两次饮酒总量差÷漏酒天数差=漏酒速度 饮酒人数×饮酒天数十漏酒速度×饮酒天 数=原有酒量 11人可喝几天？ 原有酒量÷（饮酒人数十漏酒速度）=饮酒天数 问路取经： 通天河畔有一酒肆，酒肆的酒缸天天漏酒，掌柜请悟空帮忙算酒缸里的酒可供11人 喝几天。悟空道：“先算清漏酒量与原有酒量，才知能喝几天！”你会算吗？让我们跟 着悟空的思路学解法吧！ 图解母题 3分钟 例 读题审题 (“数学花园探秘”决赛)有一酒缸，因缸体破损每天漏等量的酒。假 设每人每天饮同量的酒，2人9天或5人6天可以将酒饮完，那么这缸酒可供14人饮几天？ 喝的酒=原有的一9天中漏掉的 喝的酒=原有的一6天中漏掉的 15 小学奥数72变五年级竞赛版 图示解析 原有酒量 6天漏掉的酒量 5人6天饮完 3天漏掉的酒量 原有酒量 2人9天饮完 9天漏掉的酒量 易错点：计算原有酒量时，容易忘记加上漏酒的量。 解题思路 ①设1人1天饮酒1份，用“（第一次总饮酒量一第二次总饮酒量）÷（第二次天数 第一次天数)”计算漏酒速度：（5×6一2×9)÷（9一6)=4（份/天)。 ②用“饮酒人数×饮酒天数十漏酒速度×饮酒天数”计算原有酒量：5×6+ 6×4=54（份)。 ③用“原有酒量÷（饮酒人数十漏酒速度)”计算饮用时间：54÷（14十4)= 3(天)。 规范解答 (5×6-2×9)÷(9-6)=4(份/天) 5×6+6×4=54(份)54÷(14+4)=3（天） 答：这缸酒可供14人饮3天。 通关模型鱼4)变酒缸漏酒问题 通用解法：先设定“1人1天饮酒量为1份”，对应牛吃草问题的“1头牛1天吃1份 草”，再通过两次饮酒情况求出“每天漏酒量”和“原有酒量”，最后用“原有酒量÷（饮 酒人数十漏酒速度)”计算饮用时间。 三步解题： 1.定对应关系，算漏酒速度：设1人1天饮酒1份，用“（第一次总饮酒量一第二次总 饮酒量)÷（第二次天数一第一次天数)”计算漏酒速度。 2.算原有酒量：用“饮酒人数×饮酒天数十漏酒速度×饮酒天数”计算原有酒量。 3.算饮用时间：用“原有酒量÷（饮酒人数十漏酒速度）”计算饮用时间。 6 第二周雷音寺前破三关 变式巧练 10分钟 1.(启智杯)有一酒缸，每天漏等量的酒。如果每人每天饮定量的酒，现在3人饮此酒4天 可以饮完或5人饮此酒3天就能饮完。那么每天的漏酒量是多少？原来总酒量是多少？ 画图思考： 规范解答： 2.(走美杯)有一酒缸，每天漏等量的酒。假设每人每天饮同量的酒，20人5天或12人7 天可以将酒饮完，那么这缸酒可供6人饮几天？ 画图思考： 规范解答： 3.(华罗庚金杯)有一酒缸，每天漏等量的酒。若每人每天的饮酒量相同，现在这个酒缸中 的酒6人喝4天可以喝完，或者4人喝5天可以喝完。那么两个人喝了两天以后，还可 以供3人喝几天？ 画图思考： 规范解答： 小学奥数72变五年级 竞赛版 42变0 灵山扶梯逆行走 自动扶梯问题 考点人门 2分钟 入门须知： 自动扶梯问题也可以转化成牛吃草问题。问题 的关键在于在走扶梯的同时，扶梯在反向走或顺向 36÷3=12(级/分)。 走，相当于扶梯的级数在增加或减少。 男孩28级/分】 分， 定海神针： 女核2 8分纳到顶 扶梯的速度不变，反向上扶梯时，人的实际有 效速度=人的速度一扶梯速度；顺向上扶梯时，人的 实际有效速度=人的速度十扶梯速度。 问路取经： 灵山山巅有一架扶梯，扶梯匀速向下运动，两 扶梯速度咋算呀？ 个孩子要反向向上爬梯。男孩每分钟走28级，5分钟到顶；女孩每分钟走22级，8分钟 到顶。请问：这个扶梯的速度是每分钟多少级？让我们跟着例题解锁解法吧！ 图解母题 3分钟 人与扶梯运动方向相反← 例 读题审题（陈省身杯商场自动扶梯匀速往下行驶着：，两个孩子牛牛和妞妞错把下 行扶梯当成了上行扶梯，从下行的扶梯反向上楼！。已知牛牛每分钟走30级梯级，妞妞每分 钟走22级梯级。结果牛牛用了6分钟到达梯顶，妞妞用了10分钟到达梯顶。问：扶梯共有多 少级？扶梯的速度是每分钟多少级？（小朋友千万别模仿哟！） 图示解析 扶梯级数 6分钟增加的级数 牛牛： 差是4分钟增加的级数 妞妞： 扶梯级数 10分钟增加的级数 18 第二周 雷音寺前破三关 易错点：弄错人行走的方向与扶梯运行方向是反向还是顺向。 解题思路 ①计算扶梯运行速度。妞妞比牛牛多走22×10一30×6=40（级）；妞妞到达 梯顶比牛牛多用了10一6=4（分)；用梯级差除以时间差，得到扶梯运行 的速度为：40÷4=10（级/分）。 ②计算人的实际有效速度。因为牛牛每分钟走30级，扶梯每分钟向下运行10级， 所以，牛牛的实际有效速度为：30一10=20（级/分）。 ③计算扶梯总级数。用“牛牛的实际有效速度×牛牛到达梯顶所用的时间”得 到扶梯总级数为：20×6=120（级）。也可用“妞妞的实际有效速度×妞 妞到达梯顶所用的时间”计算扶梯总级数：(22一10)×10=120（级）。 规范解答 妞妞比牛牛多走的梯级：22×10一30×6=40（级) 妞妞比牛牛多用的时间：10一6=4（分） 扶梯每分钟运动的级数（扶梯速度)：40÷4=10（级/分） 牛牛的实际有效速度：30一10=20（级/分) 扶梯总级数：20×6=120（级) 答：扶梯共有120级，扶梯的速度是每分钟10级。 通关模型鱼42变自动扶梯问题 通用解法：先根据两人行走的“梯级差”和“时间差”求出扶梯速度，再计算人的实际 有效速度，最后用“实际速度×时间”得到扶梯总级数。 三步解题： 1.计算扶梯速度：用“（慢者走的总梯级一快者走的总梯级）÷（慢者时间一快者时间)” 求出扶梯速度。 2.计算人的实际有效速度：反向时，用“人的行走速度一扶梯速度”计算；顺向时，用 “人的行走速度十扶梯速度”计算。 3.计算扶梯总级数：用“实际有效速度×行走时间”计算扶梯总级数。 小学奥数2变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（华罗庚金杯)自动扶梯匀速向上行驶着，甲、乙二人同时从扶梯的下端上梯。已知甲每 分走18级梯级，乙每分走12级梯级。结果甲用了5分钟到达梯顶，乙用了7分钟到达梯顶。 问：扶梯共有多少级？扶梯的速度是多少？ 画图思考： 规范解答： 2.(迎春杯)小李、小张、小王同时从某匀速向上行驶的自动扶梯下端上扶梯，小李每分钟 上6级，小张每分钟上10级，小王开始和小李一起每分钟上6级，3分钟后他想去追小张， 他于是用每分钟上16级的速度上扶梯，恰好在小张到达梯顶的时候追上小张，2分钟后 小李也到达梯顶，问：自动扶梯的速度是多少？ 画图思考： 规范解答： 3.（希望杯)自动扶梯以匀速向上行驶着，一个聪明的孩子想要知道扶梯有多少级，他先用 每分钟走20级的速度上扶梯，用了5分钟；第二次他以每分钟走15级的速度上扶梯， 用了6分钟；最后他先站在扶梯上不动，等扶梯上到一半的时候开始上扶梯，如果他想 用10分钟的时间到达梯顶，他将用怎样的速度继续上扶梯呢？扶梯又有多少级呢？（小 朋友千万别模仿哟！) 画图思考： 规范解答： 0参考 第一周灵山脚下牧草记 一牛吃草问题 第37变 1.（20×10-24×6)÷（10-6)=14(份/天)！ （20×10-10×14)÷(18-14)=15(天) 2.（25×4-16×6)÷（6-4)=2（份/天) （25×4+2×4)÷（10+2)=9(天) 3.（7×60-8×40)÷(60-40)=5(份/天) 8×40-5×40=120(份) 120+5×30-6×30=90(份) 90÷（6+4-5)=18（天) 第38变 1.（14×30-70÷4×16)÷（30-16)=10(份) 14×30-10×30=120(份) 17+20÷4=22(份) 120÷(22-10)=10(天) 2.80羊=20牛，60羊=15牛 (16×20-20×12)÷（20-12)=10(份/天) 16×20-10×20=120(份) 120÷(10+15-10)=8(天) 3.30羊=10牛，15羊=5牛 （10×20-15×10)÷（20-10)=5(份/天) 15×10-5×10=100(份) 100÷(10+5-5)=10(天) 39变 1.(12×25-24×10)÷（25-10)=4(份/天) 12×25-4×25=200（份) (200+4×20)÷20=14（头) 2.(30×25-18×35)÷(35-25)=12(份/天) 30×25+12×25=1050(份) (1050一12×30)÷30=23（头） 3.(18×10-20×8)÷（10-8)=10(份/天) 要使草永远吃不完，只能吃新长的草，故最多 放10头牛。 第二周雷音寺前破三关 一类牛吃草问题 第40变 1.(30×4×10-700)÷10=50(人/分) 因为2×30>50，所以开放两个入口即可。 2.6×10-(10×4×20-400)÷20 答案 =40(（人/分) 400÷40=10（分) 3.5×3-(3×7-5×3)÷(7-3)×3=10.5(份) 10.5÷[(3×7-5×3)÷(7-3)] =7(分) 8时一7分钟=7时53分 第41变 1.(5×3-3×4)÷(4-3)=3（份/天) 5×3+3×3=24（份) 2.(20×5-12×7)÷（7-5)=8（份/天) （20×5+8×5)÷(6+8)=10(天) 3.(6×4-4×5)÷(5-4)=4（份/天) 6×4+4×4=40（份) [40-2×（2+4)]÷（3+4)=4(天) 第42变 1.（18×5-12×7)÷(7-5)=3（级/分) （18+3)×5=105(级) 2.（10-6)×3÷(16-10)=2（分) [10×(3+2)-6×(5+2)]÷2=4(级/分) 3.(20×5-15×6)÷(6-5)=10(级/分) (20+10)×5=150(级) 150÷2÷（10-150÷2÷10)-10=20(级/分) 第三周子母河畔玩游戏 —趣味相遇问题 第43变 1.(5+4)×[1×2÷(5-4)]=18(千米) 2.(60+52)×[16×2÷(60-52)]=448(千米) 3.(120×5-50×2-30)÷5=94(米/分) 第44变 1.200×[1000÷(60+40)]=2000(米) 2.50×[440÷（35+45)]=275（千米) 3.16×[100÷(6+4)]=160(千米) 第45变 1.（50+70)×2=240(米) (60+70)×[240÷(60-50)]=3120(米) 2.10×(70+30)÷(10+10)-30=20(米/分) 3.（100+75)×3÷（90-75)=35（分) (100+90)×35=6650（米) 121