第六周 桃花山下分果忙——剩余问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

第六周 桃花山下分果忙 剩余问题 取经情境图 下枣 你们会根据余数的情况算总数吗？ 每5个、7个分都剩4个，至少多少个？ 7个组 5个/组 5、7 没问题，我们能解决！ 先找5和7的最小公倍数，再加4。 人/ 每次取都差1颗凑 条件不同，怎么找最少人数？ 先找余数相同 整，至少多少颗？ 的，再验证1 先找6和7的 最小公倍数， 再减1。 7人/列 (多2人) 6颗/次 7颗/次 5人列 (多3人) 闯关前思考 唐僧师徒一行在一座长满桃树的大山下歇脚。八戒将从山上摘的桃子按组分装，沙僧 清点挑担里的佛珠，悟空用毫毛变出小人排练阵法。他们遇到了分物、列阵时有剩余的情况， 该如何用数学方法巧妙解决？本周，我们就跟着师徒四人在桃花山下学数学，攻克剩余问题 的三种典型类型。 小学奥数72变五年级 竞赛版 第 52变0八戒分果 余数相同型剩余问题 考点人门 2分钟 入门须知： 余数相同型剩余问题，是指一个非零自然 数，除以几个不同的非零自然数，所得的余数 公 相同，并据此求被除数的问题。 剩的桃子一样多，总数咋算？ 定海神针： 若一个非零自然数除以a、b、c（a、b、c 为不同的非零自然数)，余数均为r,则： 最小公倍数 (1)核心关系：“这个数一r”是a、b、 7个组 C的公倍数。 （2)求“至少”时：取a、b、c的最小公 倍数[a,b,c],所求数=[a,b,c]+r。 桃数减4，就是5和7的 （3)求“特定范围”时：先找最小公倍数 最小公倍数。 的倍数，再加上r，筛选出符合范围的数。 问路取经： 八戒分桃子，如果每次按5个分一组剩4个，按7个分一组也剩4个，那么，桃子 至少有多少个？悟空教八戒先找5和7的最小公倍数，再加上4，得出桃子至少有39个。 你知道这是什么道理吗？下面我们通过例题好好学学这种方法。 图解母题 3分钟 →余数相同 例D 读题审题 （希望杯)一堆皮球，两个两个一数余1个，三个三个一数余1个：五 个五个一数也余1个，这堆皮球至少有多少个？ 第六周桃花山下分果忙 图示解析 已知条件可转化为三个除法算式： 因为三个除法算式的余数 1 都是1，所以“皮球个数一1” 皮球总个数÷2=a…11 皮球总个数÷3=b1 应该是2、3、5的公倍数。题 皮球总个数÷5=c…1 目要求这堆皮球至少有多少个， 那么“皮球个数一1”就应该 易错点：容易忽略“用最小公倍数 是2、3、5的最小公倍数。 加上余数1”的关键步骤。 解题思路 ①分析余数特征：判断题目为余数相同型，余数均为1，确定“皮球总个数一1” 是除数2、3、5的公倍数。 ②求最小公倍数：因求“至少有多少个”，需计算2、3、5的最小公倍数，通过 短除法或直接相乘（三者互质）得[2,3,5]=2×3×5=30。 ③计算结果：用最小公倍数加上余数1，得到皮球至少有30十1=31（个) 规范解答 [2,3,5]=2×3×5=30 30+1=31(个) 答：这堆皮球至少有31个。 通关模型角52变/余数相同型剩余问题 通用解法：若一个数除以多个不同的除数，所得余数均为r,则“这个数一余数r”是 这几个除数的公倍数。若题目要求“至少”有多少个“或最小是多少”，则取这几个除 数的最小公倍数，再加上余数r,即可得到所求的最小数。 三步解题： 1.定类型：观察题目中“除以不同数，余数是否相同”，若相同，确定为余数相同型剩 余问题。 2.求公倍数：计算所有除数的最小公倍数（若除数互质，直接相乘；若不互质，用短除法）。 3.算结果：用最小公倍数加上相同的余数，得到所求的最小数（或根据范围调整倍数后 加余数)。 53 小学奥数72变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（希望杯)一箱苹果有几十个，如果每4个装一小袋，还剩3个；如果每7个装一小袋， 也剩3个。这箱苹果至少有多少个？ 画图思考： 规范解答： , 2.（迎春杯)一批树苗，每6棵种一行剩2棵，每8棵种一行也剩2棵。这批树苗至少有多 少棵？ 画图思考： 规范解答： 3.(华罗庚金杯)一堆糖果，分给5个小朋友剩4颗，分给8个小朋友也剩4颗，已知糖果 数在100~150，这堆糖果有多少颗？ 画图思考： 规范解答： i 第六周 桃花山下分果忙 第53变0沙僧数珠 补数相同型剩余问题 考点人门 2分钟 入门须知： 补数：除数减余数的差叫作余数的补数（如“除 以6余5”，余数的补数为6一5=1)。 每次都差1颗，总数咋求？ 补数相同型剩余问题，是指一个非零自然数， 除以几个不同的非零自然数，所得的余数不同，但 余数的补数相同，并据此求被除数的问题。 定海神针： 若一个非零自然数除以a、b、c(a、b、c为不 同非零自然数)，余数分别为r1、2r3,且补数a r1=b一r2=c一r3=k,则： (1)核心关系：“这个数十”是a、b、c的 6颗次 7颗/次 公倍数。 加1颗后，就是6和7的最划小公倍数。 (2)求“至少”时：取a、b、c的最小公倍数 所求数=[a,b,c]-k。 (3)求“特定范围”时：先找最小公倍数的倍数，再减去k,筛选出符合范围的数。 问路取经； 沙僧数佛珠，每次取6颗剩5颗，每次取7颗剩6颗，要求佛珠至少有多少颗。唐 僧教沙僧先找6和7的最小公倍数，再减去1，得出佛珠至少有41颗。你明白其中的道 理吗？下面我们通过例题探究这种解法中的道理。 图解母题 3分钟 例山 读题审题 (走美杯)一批武警战士分成若干小组值勤，如果3人一组则多2人，： 4人一 组则多3人，5人一组则多4人。那么，这批武警战士最少有多少人？ →除数减余数的差相同 55 小学奥数72变五年级 竞赛版 图示解析 用三个除法算式表达已知条件，如下所示： 战士总人数÷3=a2 余数是2，除数是3，余数的补数是：3一2=1 战士总人数÷4=b…3 → 余数是3，除数是4，余数的补数是：4一3=1 战士总人数÷5=c…41→余数是4，除数是5，余数的补数是：5一4=1 L」 易错，点：容易混淆“余数”和“补数”的概念，误将余数当作补数。 解题思路 ①算补数：分别计算每个除数与余数的差，发现补数均为1，确定为补数相同型 问题。 ②求最小公倍数：因“战士人数十1”是3、4、5的公倍数，三者两两互质，最 小公倍数为60。 ③算结果：用最小公倍数减去补数1，得到战士最少人数为59。 规范解答3一2=1,4-3=1,5一4=1 [3,4,5]=3×4×5=60 60-1=59(人) 答：这批武警战士最少有59人。 通关模型鱼53变补数相同型剩余问题 通用解法：若一个数除以多个不同除数，余数的补数均为飞，则“这个数十补数”是 这几个除数的公倍数。求“至少”时取最小公倍数，再减去补数飞，即可得到所求的最 小数。 三步解题： 1.定类型：计算每个除数与余数的补数，若补数相同，确定为补数相同型剩余问题。 2.求公倍数：计算所有除数的最小公倍数（根据除数是否互质，选择直接相乘或短除法）。 3.算结果：用最小公倍数减去相同的补数，得到所求的最小数（或根据范围调整倍数后 减补数)。 56 第六周桃花山下分果忙 变式巧练 10分钟 1.（华罗庚金杯)有一个自然数，用它除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除。这 个自然数最小是多少？ 画图思考： 规范解答： 2.（走美杯)有一批果苗，如果将其每5棵扎成一捆，则剩余1棵；如果将其每6棵扎成一 捆，则剩余2棵；如果将其每7棵扎成一捆，则剩余3棵。这批果苗至少有多少棵？ 画图思考： 规范解答： 3.（陈省身杯)妈妈准备把苹果装在保鲜袋里，如果每3个装一袋，就多2个；如果每4个 装一袋，就多3个；如果每7个装一袋，就差1个，这些苹果最少有多少个？ 画图思考： 规范解答： 67 小学奥数72变五年级 竞赛版 54变0 悟空列阵 般型剩余问题 考点人门 2分钟 入门须知： 一般型剩余问题，是指一个非零自然数，除 每列3人和每列7人余数 以几个不同的非零自然数，所得的余数不完全相 相同，接下来怎么做？ 同，且余数的补数也不完全相同，据此求被除数 的问题。 定海神针： 一般型剩余问题无统一余数或补数，可以运 用“逐级满足法”求解：先分组，根据分组条件 的类型（余数相同/补数相同），计算组内除数 的最小公倍数，求出满足该组条件的最小数，再 用“组内最小数十组内最小公倍数的倍数”，依 次验证是否满足剩余条件，直到找到符合所有条 件的数。 先算这个数，再看是否符合“每列 5人，多3人”的条件。 问路取经： 悟空用毫毛变出一群小人，想排成不同列数的阵形，每列排3人则多2人，每列排 5人则多3人，每列排7人则多2人。你知道悟空变出的小人至少有多少个吗？这属于 般型剩余问题，可以用“逐级满足法”求解。 图解母题 3分钟 例 读题审题（华罗庚金杯)一个盒子中装着若干个小球。若每次取出3个，最后剩 1个； 若每次取出5个或7个，最后都剩2个。盒子中至少有多少个小球？ 虽然三种情况的余数不完全相同，但有两种情 况的余数都是2，这是解题的突破口 58 第六周桃花山下分果忙 图示解析 小球总个数÷3=…1 这两个除法算式 小球总个数÷5=b…2 的余数相同，就以此 小球总个数÷7=c…2 作为解题突破口。 小球总个数一2=5×7=35，此时小球总个数至少为35+2=37，而37÷3 =12…1,恰好也符合第一个除法算式，即盒子中至少有37个小球。 易错点：找到满足部分条件的数后，未验证是否满足所有条件。 解题思路 ①求余数相同的两个除法算式的除数的最小公倍数。[5,7]=5×7=35。 ②求满足“每次取出5个或7个，最后都剩2个”条件的小球最少总数：35十 2=37(个)。 ③验证是否满足“每次取出3个，最后剩1个”的条件。37÷3=12…1，满 足条件，所以，盒子中至少有37个小球。 规范解答 5和7的最小公倍数：[5,7]=5×7=35 35+2=37(个) 37÷3=12…1,满足“每次取出3个，最后剩1个”的条件。 答：盒子中至少有37个小球。 通关模型鱼54变一般型剩余问题 通用解法：先按条件分组求组内最小数，再加组内最小公倍数的倍数，逐一代入验证， 直至找到符合所有条件的数。 三步解题： 1.优先分组：观察条件，优先将余数相同或补数相同的2个条件分为一组（无则任意选 2个)，减少验证次数。 2.求组内最小数：根据分组条件的类型（余数相同/补数相同），计算组内除数的最小 公倍数，求出满足该组条件的最小数。 3.逐级验证：用“组内最小数十组内最小公倍数的倍数”，依次验证是否满足剩余条件， 直到找到符合所有条件的数。 69 小学奥数72变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（希望杯)一堆棋子，如果每次取5枚，还剩2枚；如果每次取6枚，还剩2枚；如果每 次取7枚，还剩4枚。这堆棋子至少有多少枚？ 画图思考： 规范解答： 2.(迎春杯)在队列表演中，每列7人，则多2人；每列9人，则多4人；每列4人，则多 1人。参加队列表演的最少有多少人？ 画图思考： 规范解答： 3.(走美杯)有一些糖果，如果每6颗装一包，还剩1颗；如果每7颗装一包，还剩1颗； 如果每8颗装一包，还剩5颗。这些糖果至少有多少颗？ 画图思考： 规范解答：第四周花果山上学数学 一公因数、公倍数问题 第46变 1.这些花最多可以分成7堆。 2.这个组最多有15位同学。 3.相邻两棵树之间的距离最多是45米。 第47变 1.至少再过60天他们三人又在图书馆相会。 2.至少经过240秒三人又同时从出发点出发。 3.进餐的和尚共有48个。 第48变 1.这两个数分别是20和120或40和60。 2.这两批图书的数量分别是11和242或22和 121。 3.这两个数的和有4种可能的情况，分别是186、 102、78、66。 第五周火焰山下解难题 —尾数和余数 第49变 1.299个36的积的尾数是6。 2.82026的尾数是4。 3.2025个13+2027个28的和的尾数是5。 第50变 1.题中算式的商是整数时，余数是5。 2.题中算式的商是整数时，余数是9。 3.2194除以7的余数是4。 第51变 1.这两个数的差除以13的余数是10；这两个数的 积除以13的余数是1。 2.这个整数是19。 3.这个自然数是43。 第六周桃花山下分果忙 一剩余问题 第52变 1.[4,7]=28 28+3=31(个) 2.[6,8]=24 24+2=26（棵) 3.[5,8]=40 120+4=124（颗) 第53变 1.[3,5,7]=105105-2=103 22 2.[5,6,7]=210210-4=206(棵) 3.[3,4,7]=84 84-1=83(个) 第54变 1.[5,6]=30 30+2=32（枚) 32÷7=4(次)…4（枚） 2.[7,9]=6363-5=58(人) 58+63=121(人) 121÷4=30（列)…1（人) 3.[6,7]=42 42+1=43（颗) 43+42=85(颗) 85÷8=10(包)…5（颗) 第七周宝象国里破数关 —分解质因数 第55变 1.211680=25×33×51×72 (1+5)×(1+3)×(1+1)×(1+2) =144(个) 2.6840=23×32×51×19 (1+2)×（1+1)×(1+1)=12(个) 3.8712=23×32×112 8712÷11=23×32×111 （1+3)×(1+2)×(1+1)=24(个) 第56变 1.2028=22×31×132 (2°+2+22)×(3°+3)×(13°+131+ 132)=5124 2.26460=22×33×51×72 (2°+2+22)×(3°+31+32+33)×(5 +51)×(7°+71+72)=95760。 3.5100=22×31×52×17 5100÷22=31×52×171 (3°+31)×(5°+51+52)×(17°+171) =2232 第57变 1.2328=2×2×2×3×97=2×（2×2×3)×97 =2×12×97 张伟今年12岁，他在数学竞赛中得了97分， 是第2名。 2.10159=11×37×37 一共用了37辆车，运了11次。 3.143=11×1313=2+11 11×11×2=242(立方厘米)