第四周 花果山上学数学——公因数、公倍数问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

第四周 花果山上学数学 公因数、公倍数问题 取经情境图 2》 俺回花果山教你 两根绳子剪成等长的小段， 们学数学！ 每小段绳子最长几分米？ 太好了，俺们学1 18分 求两根绳子长度的最大 公因数即可。 8 这实际上就是求最小公倍数。 大圣，另一坛酒有几千克9 21千克 2 30w50 、 60个 最大公 因物是7、 小公倍数是 可用短除模型 47 来计算。 桃子能刚好装完，这些桃子最少有多)个，怎么算呢？ 闯关前思考 悟空暂别取经路回花果山探望众猴，却见老猴为剪绳子犯愁、小猴装桃子遇难题，自 己珍藏的两坛老酒也须算清重量。这些生活中的问题，如何用公因数、公倍数和短除模型巧 妙破解？本周，我们就跟着悟空在花果山学数学，一起攻克这些实用的数学难题。 31 小学奥数72变五年级 竞赛版 磨46变。老猴剪绳子 一最大公因数的应用 考点入门 2分钟 入门须知： 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数， 其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数。 绳子昨剪每段最长？ 注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候， 我们所指的数是自然数（一般不包括0）。 定海神针： 60分米 最大公因数 最大公因数的知识在解决实际生活问题中经常 48分米 会被用到。在有关公因数和公倍数的题目中，如果 出现“至多”“最大”等词语，一般用求最大公因 求48和60的最大公因数。 数的方法解题。 用短除法可以简便地求几个数的最大公因数。例如，求18和30的最大公因数： 21830…用公有的质因数2除 3915 …用公有的质因数3除 3 5…除到两个商只有公因数1为止 18和30的最大公因数：2×3=6，可以记作：（18,30)=6。 问路取经： 老猴子剪绳子遇到了难题，悟空告诉他这类“剪相同小段且无剩余，求最长段长” 的问题，关键要找两个数的最大公因数。你明白其中的道理吗？让我们通过经典例题学 习如何运用最大公因数的知识解决生活中的实际问题吧！ 图解母题 3分钟 →三根彩带的长度 例口读题审题 (希望杯)把长度分别为60厘米、45厘米、30厘米的三根彩带剪成长 度一样的小段彩带且没有剩余，海小段彩带最长是多少厘米？一共剪成了多少段这样的小 段彩带？ 将问题转化为求最大公因数。 32 第四周花果山上学数学 图示解析 60厘米 3604530 45厘米 5201510 432 30厘米 易错，点：漏算某一根彩带的段数。 解题思路 ①要求每小段彩带最长是多少，实际上就是求60、45和30的最大公因数。 ②用短除法求出60、45和30的最大公因数为15，即小段彩带最长为15厘米 ③计算小段彩带的总段数。60÷15十45÷15+30÷15=9（段)。 规范解答 60、45和30的最大公因数是15，即小段彩带最长为15厘米。 60÷15+45÷15+30÷15=9(段) 答：每小段彩带最长是15厘米；一共剪成了9段这样的小段彩带。 通关模型角46变最大公因数的应用 通用解法：当题目中出现“至多”“最大”等表述时，先明确需分配或分割的相关数量，求 出这些数的最大公因数，再结合实际场景，用这个最大公因数解决问题。 三步解题： 1.定类型。识别题目中的关键词（如“最长”“最多”“无剩余”），确定题目是求相 关数的最大公因数。 2.求最大公因数。用短除法求出所有数的最大公因数。 3.算结果。根据题目需求，用每个数除以最大公因数，得到对应份数（如每根绳子的段数、 每种物品的堆数)，再通过加法或直接取值得到最终答案（如总段数、总堆数）。 33 小学奥数72变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(迎春杯)花店里有玫瑰花49朵，康乃馨105朵，百合花63朵。现在要把它们平均分成 若干堆，每堆中这三种花的数量分别相等，最多可以分成多少堆？ 画图思考： 规范解答： 2.(“数学花园探秘”决赛)把65个苹果和77个梨分别平均分给一个组的同学，结果苹果 剩5个、梨剩2个。这个组最多有几位同学？ 画图思考： 规范解答： 3.（华罗庚金杯)一条道路由甲村经过乙村到丙村。甲、乙两村相距450米，乙、丙两村 相距630米。现在准备在路边栽树，相邻两棵树之间的距离相等，并且甲、乙两村的中 点和乙、丙两村的中点都要栽上树。相邻两棵树之间的距离最多是多少米？ 画图思考： 规范解答： 34 第四周 花果山上学数学 第47变0 小猴摘桃子 最小公倍数的应用 考点人门 2分钟 入门须知： 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中 最小的公倍数叫作这几个数的最小公倍数。 权系西 定海神针： 桃子的个数就是30、50、 在有关公因数和公倍数的题目中，如果出现 60的最小公倍数。 “至少”“最小”等词语，一般用求最小公倍数的 方法解题。 用短除法可以简便地求几个数的最小公倍数。 30C50 、60n 例如，求18和30的最小公倍数： 21830…用公有的质因数2除 3915 …用公有的质因数3除 3 5…除到几个商两两互质为止。 [30,50,60] 18和30的最小公倍数：2×3×3×5=90， 这些桃子最少有多少个？ 可以记作：[18,30]=90。 问路取经； 小猴子们摘的桃子不管是30个、50个还是60个装一袋，都刚好装完。小猴子们 在孙大圣的引导下算出了这些桃子最少有多少个。你学会了吗？让我们通过下面的例题 深入探究如何运用最小公倍数的知识解决生活中的实际问题吧！ 图解母题 3分钟 长方形卡片的长和宽← 例 读题审题（走美杯）一张长方形卡片长20厘米，宽16厘米。用这样的卡片拼 成一个大的正方形图案（卡片不裁剪、不重叠），：至少需要这样的卡片多少张？这个正方 形图案的面积是多少平方厘米？ 将问题转化为求最小公倍数← 35 小学奥数72变五年级 竞赛版 图示解析 16……16 如右图，根据题意可知， 20 20 要让卡片数最少，就是要让拼 22016 : 成的正方形的边长最小，也就 2108 20 20 54 是求20和16的最小公倍数。 16…16 易错点：分不清题目实质上是求“最大公因数”还是求“最小公倍数”。 解题思路 ①要让卡片数最少，就是要让拼成的正方形的边长最小，也就是求20和16的最 小公倍数。 ②用短除法求出20和16的最小公倍数是80，即拼成的最小的正方形图案的边 长是80厘米。 ③计算卡片张数与正方形面积。80×80=6400（平方厘米），80÷20×（80÷ 16)=20（张)。 规范解答 20和16的最小公倍数是80，即拼成的最小的正方形图案的边长是80厘米。 80×80=6400(平方厘米) 80÷20×(80÷16)=20(张) 答：至少需要这样的卡片20张，这个正方形图案的面积是6400平方厘米。 通关模型角47变最小公倍数的应用 。一-一-一---。--”-=---■---。。。-=--=- 通用解法：当题目出现“至少”“最小”等表述，且要满足多个数的共同倍数要求时， 通常先找出相关数的最小公倍数，再结合题意判断是否直接应用该结果，或进行简单调 整即可解题。 三步解题： 1.定类型。识别题目中的关键词（如“至少”“最少”“刚好装完”“下次同时”），确定 需求相关数的最小公倍数。 2.求最小公倍数。用短除法求出所有数的最小公倍数。 3.算结果。根据题目需求，用最小公倍数除以相关数（如长方形的长/宽、装袋数量）， 得到各方向/各方式的数量，再通过乘法或直接取值得到最终答案（如卡片张数、总 物品数)。 第四周花果山上学数学 变式巧练 10分钟 1.（希望杯)小张、小王、小李三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，小张3 天去一次，小王4天去一次，小李5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会。 问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？ 画图思考： 规范解答： 2.（启智杯)甲、乙、丙三人在一条长240米的环形跑道上跑步。甲每秒跑4米，乙每秒跑 5米，丙每秒跑3米。若三人从同一点同时同方向出发，至少经过多少时间三人又同时 从出发点出发？ 画图思考： 规范解答： 3.（陈省身杯)寺庙给和尚们分配餐食，已知每2个和尚合用一个饭碗，每3个和尚合用一 个汤碗，每4个和尚合用一个菜碗。这样下来，一共用去了52个碗，则进餐的和尚共有 多少个？ 画图思考： 规范解答： 37 小学奥数72变五年级 竞赛版 第48变。大圣的酒坛 短除模型 考点人门 2分钟 入门须知： 短除模型通常被称为短除法。利用短除模型 的相关结论可以解决与最大公因数和最小公倍数 有关的数论问题。 大圣，另一坛酒多重呀？ 定海神针： 右下图为短除模型，短除模型的常用结论有： （1)a、b互质； mA B （2)A=ma,B=mb; (a,b)=1 a b （3)(A,B)=m; 互质 7×147÷21=49(千克)。 (4）[A,B]=mab; (5)由(2)(3)(4)可得：(A,B)×[A,B]=A×B,即两个数的最大公因 数与最小公倍数的积等于这两个数的积。 问路取经： 悟空利用短除模型的关键结论巧妙地算出了第二坛酒有多少千克。那么，什么是短 除模型？想知道这个模型具体怎么用吗？我们跟着例题一步步探究吧！ 图解母题 3分钟 →已知两个数的乘积和它们的最大公因数 例 读题审题 (祖冲之杯)}两个数的乘积是1152，它们的最大公因数是4，求这两个数。 灵活运用短除模型解决问题← 图示解析 4A B 运用短除模型，设这两个数分别为A、 (a,b)=1 a b B,且A、B除以它们的最大公因数4所 互质 得的商分别为a、b。 38 第四周 花果山上学数学 易错点：列举a、b的因数组合时，列出了非互质组合。 解题思路 ①求ab的值。根据短除模型，用两个数的积除以两个数的最大公因数可以求出 这两个数的最小公倍数：1152÷4=288。根据最大公因数是4，最小公倍数 是288，得4ab=288,ab=288÷4=72。 ②找互质组合。分类列举出a、b的所有可能值，因为a与b互质，所以a、b可 能为1和72，也可能为8和9.72=1×72=8×9。 ③求出A、B。当a、b为1和72时，A=1×4=4,B=72×4=288;当a、 b为8和9时，A=8×4=32,B=9×4=36。 规范解答 设这两个数是A和B,这两个数除以它们的最大公因数4的商分别为a、b。 1152÷4=288288÷4=72 72=1×72=8×9 4 A B 1×4=472×4=288 (a,b)=1 8×4=329×4=36 答：这两个数分别是4和288或32和36。 通关模型鱼48变短除模型 通用解法：借助短除法，利用短除模型的常用结论，由已知条件和数量关系逐步推导、 计算出目标问题的结果。 三步解题： 1.求关键量。根据已知条件和短除模型结论，计算关键中间量：若已知A×B和m,先求 [A,B]=AXB÷m,再求ab=[A,B]-m;若已知m和[A,B],直接求ab=[A,B] m;若已知[A,B]和A×B,先求m=A×B÷[A,B],再求ab=[A,B]÷m。 2.找互质组合。列举关键量ab的所有正整数因数组合，筛选出互质的组合（α、b互质）。 3.求目标数：将每一组互质的a、b分别与最大公因数m相乘，得到对应的两个数A= ma、B=mb,即为题目所求。 39 小学奥数72变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（走美杯)已知两个正整数的最大公因数是20，最小公倍数是120，这两个数分别是 多少？ 画图思考： 规范解答： 2.(希望杯)某学校购进了两批图书，已知两批图书数量的最大公因数是11，最小公倍数 是242。这两批图书的数量分别是多少？ 画图思考： 规范解答： 3.(华罗庚金杯)两个数的积是1080，它们的最小公倍数是180，这两个数的和有多少种可 能的情况？分别是多少？ 画图思考： 规范解答： 40第四周花果山上学数学 一公因数、公倍数问题 第46变 1.这些花最多可以分成7堆。 2.这个组最多有15位同学。 3.相邻两棵树之间的距离最多是45米。 第47变 1.至少再过60天他们三人又在图书馆相会。 2.至少经过240秒三人又同时从出发点出发。 3.进餐的和尚共有48个。 第48变 1.这两个数分别是20和120或40和60。 2.这两批图书的数量分别是11和242或22和 121。 3.这两个数的和有4种可能的情况，分别是186、 102、78、66。 第五周火焰山下解难题 —尾数和余数 第49变 1.299个36的积的尾数是6。 2.82026的尾数是4。 3.2025个13+2027个28的和的尾数是5。 第50变 1.题中算式的商是整数时，余数是5。 2.题中算式的商是整数时，余数是9。 3.2194除以7的余数是4。 第51变 1.这两个数的差除以13的余数是10；这两个数的 积除以13的余数是1。 2.这个整数是19。 3.这个自然数是43。 第六周桃花山下分果忙 一剩余问题 第52变 1.[4,7]=28 28+3=31(个) 2.[6,8]=24 24+2=26（棵) 3.[5,8]=40 120+4=124（颗) 第53变 1.[3,5,7]=105105-2=103 22 2.[5,6,7]=210210-4=206(棵) 3.[3,4,7]=84 84-1=83(个) 第54变 1.[5,6]=30 30+2=32（枚) 32÷7=4(次)…4（枚） 2.[7,9]=6363-5=58(人) 58+63=121(人) 121÷4=30（列)…1（人) 3.[6,7]=42 42+1=43（颗) 43+42=85(颗) 85÷8=10(包)…5（颗) 第七周宝象国里破数关 —分解质因数 第55变 1.211680=25×33×51×72 (1+5)×(1+3)×(1+1)×(1+2) =144(个) 2.6840=23×32×51×19 (1+2)×（1+1)×(1+1)=12(个) 3.8712=23×32×112 8712÷11=23×32×111 （1+3)×(1+2)×(1+1)=24(个) 第56变 1.2028=22×31×132 (2°+2+22)×(3°+3)×(13°+131+ 132)=5124 2.26460=22×33×51×72 (2°+2+22)×(3°+31+32+33)×(5 +51)×(7°+71+72)=95760。 3.5100=22×31×52×17 5100÷22=31×52×171 (3°+31)×(5°+51+52)×(17°+171) =2232 第57变 1.2328=2×2×2×3×97=2×（2×2×3)×97 =2×12×97 张伟今年12岁，他在数学竞赛中得了97分， 是第2名。 2.10159=11×37×37 一共用了37辆车，运了11次。 3.143=11×1313=2+11 11×11×2=242(立方厘米)