第三周 子母河畔玩游戏——趣味相遇问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

参考 第一周灵山脚下牧草记 一牛吃草问题 第37变 1.（20×10-24×6)÷（10-6)=14(份/天)！ （20×10-10×14)÷(18-14)=15(天) 2.（25×4-16×6)÷（6-4)=2（份/天) （25×4+2×4)÷（10+2)=9(天) 3.（7×60-8×40)÷(60-40)=5(份/天) 8×40-5×40=120(份) 120+5×30-6×30=90(份) 90÷（6+4-5)=18（天) 第38变 1.（14×30-70÷4×16)÷（30-16)=10(份) 14×30-10×30=120(份) 17+20÷4=22(份) 120÷(22-10)=10(天) 2.80羊=20牛，60羊=15牛 (16×20-20×12)÷（20-12)=10(份/天) 16×20-10×20=120(份) 120÷(10+15-10)=8(天) 3.30羊=10牛，15羊=5牛 （10×20-15×10)÷（20-10)=5(份/天) 15×10-5×10=100(份) 100÷(10+5-5)=10(天) 39变 1.(12×25-24×10)÷（25-10)=4(份/天) 12×25-4×25=200（份) (200+4×20)÷20=14（头) 2.(30×25-18×35)÷(35-25)=12(份/天) 30×25+12×25=1050(份) (1050一12×30)÷30=23（头） 3.(18×10-20×8)÷（10-8)=10(份/天) 要使草永远吃不完，只能吃新长的草，故最多 放10头牛。 第二周雷音寺前破三关 一类牛吃草问题 第40变 1.(30×4×10-700)÷10=50(人/分) 因为2×30>50，所以开放两个入口即可。 2.6×10-(10×4×20-400)÷20 答案 =40(（人/分) 400÷40=10（分) 3.5×3-(3×7-5×3)÷(7-3)×3=10.5(份) 10.5÷[(3×7-5×3)÷(7-3)] =7(分) 8时一7分钟=7时53分 第41变 1.(5×3-3×4)÷(4-3)=3（份/天) 5×3+3×3=24（份) 2.(20×5-12×7)÷（7-5)=8（份/天) （20×5+8×5)÷(6+8)=10(天) 3.(6×4-4×5)÷(5-4)=4（份/天) 6×4+4×4=40（份) [40-2×（2+4)]÷（3+4)=4(天) 第42变 1.（18×5-12×7)÷(7-5)=3（级/分) （18+3)×5=105(级) 2.（10-6)×3÷(16-10)=2（分) [10×(3+2)-6×(5+2)]÷2=4(级/分) 3.(20×5-15×6)÷(6-5)=10(级/分) (20+10)×5=150(级) 150÷2÷（10-150÷2÷10)-10=20(级/分) 第三周子母河畔玩游戏 —趣味相遇问题 第43变 1.(5+4)×[1×2÷(5-4)]=18(千米) 2.(60+52)×[16×2÷(60-52)]=448(千米) 3.(120×5-50×2-30)÷5=94(米/分) 第44变 1.200×[1000÷(60+40)]=2000(米) 2.50×[440÷（35+45)]=275（千米) 3.16×[100÷(6+4)]=160(千米) 第45变 1.（50+70)×2=240(米) (60+70)×[240÷(60-50)]=3120(米) 2.10×(70+30)÷(10+10)-30=20(米/分) 3.（100+75)×3÷（90-75)=35（分) (100+90)×35=6650（米) 121 第四周花果山上学数学 一公因数、公倍数问题 第46变 1.这些花最多可以分成7堆。 2.这个组最多有15位同学。 3.相邻两棵树之间的距离最多是45米。 第47变 1.至少再过60天他们三人又在图书馆相会。 2.至少经过240秒三人又同时从出发点出发。 3.进餐的和尚共有48个。 第48变 1.这两个数分别是20和120或40和60。 2.这两批图书的数量分别是11和242或22和 121。 3.这两个数的和有4种可能的情况，分别是186、 102、78、66。 第五周火焰山下解难题 —尾数和余数 第49变 1.299个36的积的尾数是6。 2.82026的尾数是4。 3.2025个13+2027个28的和的尾数是5。 第50变 1.题中算式的商是整数时，余数是5。 2.题中算式的商是整数时，余数是9。 3.2194除以7的余数是4。 第51变 1.这两个数的差除以13的余数是10；这两个数的 积除以13的余数是1。 2.这个整数是19。 3.这个自然数是43。 第六周桃花山下分果忙 一剩余问题 第52变 1.[4,7]=28 28+3=31(个) 2.[6,8]=24 24+2=26（棵) 3.[5,8]=40 120+4=124（颗) 第53变 1.[3,5,7]=105105-2=103 22 2.[5,6,7]=210210-4=206(棵) 3.[3,4,7]=84 84-1=83(个) 第54变 1.[5,6]=30 30+2=32（枚) 32÷7=4(次)…4（枚） 2.[7,9]=6363-5=58(人) 58+63=121(人) 121÷4=30（列)…1（人) 3.[6,7]=42 42+1=43（颗) 43+42=85(颗) 85÷8=10(包)…5（颗) 第七周宝象国里破数关 —分解质因数 第55变 1.211680=25×33×51×72 (1+5)×(1+3)×(1+1)×(1+2) =144(个) 2.6840=23×32×51×19 (1+2)×（1+1)×(1+1)=12(个) 3.8712=23×32×112 8712÷11=23×32×111 （1+3)×(1+2)×(1+1)=24(个) 第56变 1.2028=22×31×132 (2°+2+22)×(3°+3)×(13°+131+ 132)=5124 2.26460=22×33×51×72 (2°+2+22)×(3°+31+32+33)×(5 +51)×(7°+71+72)=95760。 3.5100=22×31×52×17 5100÷22=31×52×171 (3°+31)×(5°+51+52)×(17°+171) =2232 第57变 1.2328=2×2×2×3×97=2×（2×2×3)×97 =2×12×97 张伟今年12岁，他在数学竞赛中得了97分， 是第2名。 2.10159=11×37×37 一共用了37辆车，运了11次。 3.143=11×1313=2+11 11×11×2=242(立方厘米)第三周 取经情境图 我们玩相遇游戏如何？ 小狗共跑多少米9 A、B相距 990米 50米1分2 80米/分 先算相遇时间， 再求小狗路程。 闯关前思考 唐僧师徒行至子母河畔， 的数学游戏。那么，趣味相遇 们本周要探究的问题。 子母河畔玩游戏 趣味相遇问题 两地相距多 少米？ 中点 先找路程差可解 距中点18米○ 沙僧：72米/分 啊！俺参加1 八戒：60米/分 还需多久与大师兄相遇？ 40米/分 50米/分 60米/分 先算两次相遇时间。 60米/分 A相 B 之0心卷 烈日当空，他们便在岸边树荫下歇脚，玩起了趣味相遇问题 可题“趣”在哪里？它与一般相遇问题的解法相同吗？这是我 21 小学奥数72变五年级 竞赛版 磨43变。八戒沙僧相向行 中点相遇问题 考点人门 2分钟 入门须知 中点相遇问题指的是相遇时快者超过中点、 慢者未到中点，并以此为基础求解未知量的一类应 相遇时间咋算？ 用题。 定海神针： 路程差÷速度差=相遇时间 00米/4 速度和×相遇时间=总路程 72米/分 问路取经： 距中点18米 八戒和沙僧相向而行，在距中，点18米处相遇， 两地之间的距离是多少呢？沙僧通过先找路程差， 路程差除以速度差」 再算相遇时间的方法巧妙解题，你明白其中的道理 了吗？让我们跟着例题进一步探究吧！ 图解母题 3分钟 例 读题审题（走美杯)甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行56千 米，乙车每小时行48千米，两车在距离中点32千米处相遇。求A、B两地间的距离。 两车的路程差为相遇，点到中点距离的2倍← 求总路程 图示解析 中点 32千米1 甲● ●乙 56千米/时， 48千米/时 22 第三周子母河畔玩游戏 易错，点：容易忽略“路程差是相遇点到中点距离的2倍”的规律。 解题思路 ①分析路程差。两车在距离中点32千米处相遇，由此可知甲、乙两车所行的路 程差为32×2=64（千米）。 ②求相遇时间。已知甲、乙两车的速度，利用公式“路程差÷速度差=相遇时间” 求出两车的相遇时间：32×2÷（56一48)=8（时）。 ③计算总路程。根据“速度和×相遇时间=总路程”求出两地间的距离：(56十 48)×8=832(千米)。 规范解答 相遇时间：32×2÷(56一48)=8（时)》 两地的距离：(56+48)×8=832（千米） 答：A、B两地间的距离是832千米。 通关模型鱼43变中点相遇问题 通用解法：解答中点相遇问题的关键是先求出路程差，再用“路程差÷速度差”求出 相遇时间，进而求出总路程。 路程差÷速度差=相遇时间 速度和X相遇时间=总路程 三步解题： 1.分析路程差。快者超过中，点，慢者未到中点，二者的路程差为相遇点到中点距离的2倍。 2.求相遇时间。利用公式“路程差÷速度差=相遇时间”求出二者的相遇时间。 3.计算总路程。根据“速度和×相遇时间=总路程”求出两地间的距离。 23 小学奥数72变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（“小学数学伊甸园”初赛)王老师从甲地到乙地（每小时行5千米)，张老师从乙地到 甲地（每小时行4千米)，他们同时出发后在离中点1千米处相遇。求甲、乙两地的距离。 画图思考： 规范解答： 2.(“数学花园探秘”决赛)甲、乙两车同时从东、西两地相向开出。甲车每小时行60千米， 乙车每小时行52千米，两辆汽车在离中点16千米处相遇。东、西两地相距多少千米？ 画图思考： !规范解答： 3.(启智杯)画画和妈妈同时从学校和家中出发，相向而行。妈妈每分钟走120米，5分钟 后，妈妈已超过中点50米，这时妈妈和画画二人还相距30米。求画画行走的速度。 画图思考： !规范解答： 24 第三周子母河畔玩游戏 第44变0 奔狗往返迎师徒 奔狗往返问题 考点人门 2分钟 入门须知： 奔狗往返问题是相遇问题的趣味变形：两人相向 而行，狗在中间往返奔跑，直到两人相遇。 定海神针： 小狗跑多远？ 狗跑的时间=两人的相遇时间=路程和÷速度和 90米 狗跑的路程=狗的速度X狗跑的时间 问路取经： 面对看上去很复杂的奔狗往返问题，八戒开动脑 筋，抓住关键，找到了解题方法。让我们通过下面的 相遇时间乘速度，80×9= 例题探究奔狗问题的巧妙解法吧。 720米。 图解母题 3分钟 例■ 读题审题（华罗庚金杯)两地相距45千米，甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。 甲骑自行车，速度是每小时10千米；乙步行，速度是每小时5千米。乙带着一条狗，当乙出发时， 狗也开始向前奔跑，速度是每小时15千米。这只狗遇到甲以后立刻回头奔向乙，遇到乙以后 又立刻回头奔向甲，如此来回奔跑，直到甲、乙相遇为止。这时，狗共计跑了多少千米？ 狗跑的时间与甲、乙两人的相遇时间相同《 求狗跑的路程 25 小学奥数2变五年级 竞赛版 图示解析 45千米 相遇，点 乙5千米/时 甲10千米/时 狗15千米/时 易错，点：陷入“计算狗每次往返路程”的误区，导致步骤烦琐且易出错。 解题思路 ①求相遇时间。根据“相遇时间=总路程÷速度和”计算甲、乙相遇时间：45÷ (10+5)=3(小时)。 ②定狗跑时间。狗从出发到甲、乙相遇持续运动，因此狗跑的时间与两人的相遇 时间相同，为3小时。 ③算狗跑路程。根据“狗跑的路程=狗的速度×狗跑的时间”计算狗跑的路程： 15×3=45（千米)。 规范解答 甲、乙相遇时间：45÷（10+5)=3（小时） 狗跑的路程：15×3=45（千米) 答：这时，狗共计跑了45千米。 通关模型鱼44变奔狗往返问题 通用解法：先算出两人（或两物）的相遇时间，这就是狗跑的总时间，再用狗的速度乘 总时间，即为狗跑的总路程。 三步解题： 1.求相遇时间。根据“相遇时间=总路程÷速度和”计算两人（或两物)的相遇时间。 2.定狗跑时间。狗从出发到甲、乙相遇持续运动，因此狗跑的时间与两人的相遇时间相同。 3.算狗跑路程。根据“狗跑的路程=狗的速度×狗跑的时间”计算狗跑的路程。 26 第三周子母河畔玩游戏 变式巧练 10分钟 1.（陈省身杯)甲、乙两人分别从东、西两地同时出发，相向而行，两地相距1000米。甲 每分钟行60米，乙每分钟行40米。如果甲带了一只狗，和甲同时同地出发，狗以每分 钟200米的速度向乙奔去，遇到乙后立即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直 到甲、乙两人相遇时狗才停住。此时这只狗共跑了多少米？ 画图思考： 规范解答： 2.(希望杯)A、B两站相距440千米，甲、乙两车同时从两站相对开出，甲车每小时行35千 米，乙车每小时行45千米。一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞 去，遇到乙车又折回向甲车飞去，遇到甲车又折回飞向乙车。这样一直飞下去，燕子飞 行了多少千米两车才相遇？ 画图思考： 规范解答： 3.(迎春杯)甲、乙两人同时从相距100千米的两地出发，相向而行。甲每小时走6千米， 乙每小时走4千米，甲带机器人同时出发，机器人碰到乙就掉头走向甲，碰到甲时又掉 头往乙这边走，直到两人相遇为止。已知机器人每小时走16千米，机器人走了多少千米 甲、乙两人才相遇？ 画图思考： 规范解答： 1 27 小学奥数72变五年级 竞赛版 第45变0 多人相遇有先后 多人相遇问题 考点人门 2分钟 入门须知： 多人相遇问题是“两人相遇问题”的延伸，这类 大师兄，我们还要多久相遇？ 问题的解题思路是两两分析，运用公式逐步求解。 定海神针： 路程和=速度和X相遇时间 路程差=速度差×时间 两次相遇时间相减。 相遇时间=路程和÷速度和 时间=路程差÷速度差 式相 问路取经： 你学会了吗？让我们通过下面的例题学习更多的 解题技巧。 图解母题 3分钟 例 读题审题 (启智杯)甲、乙、丙三人走路的速度分别为：甲80米/分，乙60米/分， 丙100米/分。现在甲、乙两人从A地出发，丙从B地同时相向出发， 经过20分钟丙与写 甲相遇 丙与甲相遇后，再经过多少分钟丙与乙相遇？ 多人相遇问题需两两分析，逐步求解← 图示解析 A地 B地 甲 20分 80米/分1 20分 20分 丙 乙● ?分 i100米/分 60米/分 ?分 28 第三周子母河畔玩游戏 易错点：容易忽略“乙、丙两人的路程和与甲、丙两人的路程和相同， 都是两地之间的距离”这个解题关键。 解题思路 ①求路程和。由甲、丙的速度及相遇时间，可以求出甲、丙的路程和（即A、B 两地之间的距离)：(（80+100)×20=3600（米）。 ②求乙、丙的相遇时间。乙、丙的路程和与甲、丙的路程和相同，都是A、B两 地之间的距离。3600÷（100+60)=22.5（分)。 ③求丙与甲相遇后再与乙相遇的时间。用乙、丙的相遇时间减去甲、丙的相遇时 间：22.5-20=2.5（分)。 规范解答 甲、丙的路程和（即A、B两地之间的距离）： (80+100)×20=3600(米) 乙、丙的相遇时间：3600÷（100十60)=22.5（分） 丙与甲相遇后再与乙相遇的时间：22.5一20=2.5（分) 答：再经过2.5分钟丙与乙相遇。 通关模型鱼45变多人相遇问题 通用解法：多人相遇问题，核心是两两拆解关系，先明确相遇时的路程和或路程差，再 结合对应速度和或速度差，逐步推算相遇时间及未知量，化繁为简求解。 三步解题： 1.识别关系，求基础量（路程和/路程差）：利用“速度和×相遇时间”求路程和，利 用“速度差X时间”求路程差。 2.推导中间量（相遇时间/速度和)：利用“路程和÷速度和”或“路程差÷速度差” 推导相遇时间，利用“路程和÷相遇时间”求速度和。 3.关联数据，求目标量（时间/路程/速度)：利用对应的公式或相关的数量关系求出 目标量。 29 小学奥数72变五年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(希望杯)甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。 甲、乙两人从A地出发，丙从B地同时相向出发，丙遇乙后2分钟遇到甲，A、B两地 相距多远？ 画图思考： 规范解答： 2.(华罗庚金杯)甲每分钟走70米，他和乙同时从A地出发，丙以每分钟30米的速度也同 时从B地出发，相向而行。出发后10分钟甲和丙相遇，又过了10分钟，乙也和丙相遇。 求乙的速度。 画图思考： 规范解答： 3.（走美杯)橙橙和爸爸、妈妈三人的步行速度分别是75米/分、100米/分和90米/分。 爸爸在公路的A处，妈妈和橙橙在公路的B处，三人同时出发，相向而行。爸爸和妈妈 相遇3分钟后，爸爸与橙橙相遇。求A、B之间的距离。 画图思考： 规范解答：