第15章 轴对称-2026-2027学年八年级数学上册练培优（人教版）

第15章轴对称 15.1轴对称及其性质 1、围棋起源于中国，古代称为“弈”。如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋 盘，白方若落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形 (填写A,B,C,D中的一处即可，A,B,C,D位于棋盘的格点上) 答案：A（或C) 解析： 图1 图2 当白方落子于点A的位置时，所得的对弈图是轴对称图形；当白方落子于点C的位置时，所 得的对弈图也是轴对称图形。 2、如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，EF是线段AD上的两点， △ABC的面积为18cm2,则图中阴影部分的面积为cm2。 D 答案：9 解答： △ABC是轴对称图形，直线AD是其对称轴 △ABD与△ACD关于直线AD成轴对称 S△ABD=SAACD=2 SAABC 54/142 第15章轴对称 :EF是线段AD上的任意两点 “△BEF与△CEF关于直线AD成轴对称 S△BEF=S△CEF S阴影=S△ABE+S△BEF+SABDF=S△ABD 1 1 S阴影=2 SAABC=2×18=9(cm2) 3、△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，A0的延长线交BC于点D。若 LAB0=25°，LC=20°，则∠ADC的度数是一°。 B 答案：70 解答： :△AOB与△COB关于直线OB成轴对称 ÷.∠CB0=∠AB0=25°，∠A=∠C=20 ·.∠ABD=∠AB0+∠CB0=25°+25°=50° 根据三角形外角的性质可得： ∠ADC=∠A+∠ABD=20°+50°=70° 55/142 第15章轴对称 15.2线段的垂直平分线的性质与判定 1、一块三角形的草坪（记为△ABC),现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距 离相等，凉亭应选择的位置是（) A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三边的垂直平分线的交点 D,△ABC三条高所在直线的交点 答案：C 2、如图，直线L是线段AB的垂直平分线，点C在直线1外，且与点A在直线L的同一 侧，P是直线1上的任意一点，连接AP,BC,PC,则BC与AP+PC的大小关系是（) A.BC>AP+PC B.BC<AP+PC C.BC≥AP+PC D.BC≤AP+PC 答案：D 解析： 连接BP,直线1是线段AB的垂直平分线，P是直线L上任意一点 .AP=BP,AP PC=BP+PC 根据三角形三边关系：两点之间线段最短，可得BP+PC≥BC ·AP+PC≥BC,即BC≤AP+PC。 3、△ABC中，AB=AC,O是平面内一点，且OB=OC,点A到BC的距离为8，点O到BC 的距离为4，则A0的长为. 答案：4或12 解答：0B=0C 56/142 第15章轴对称 ·点0在BC的垂直平分线上 .AB=AC ·点A在BC的垂直平分线上 ·.直线A0是线段BC的垂直平分线 分两种情况讨论： ①当点0与点A在BC同侧时，A0=8-4=4 ②当点0与点A在BC异侧时，A0=8+4=12 综上，A0的长为4或12。 解析：本题需要根据点的位置分类讨论，点0位置不固定，分为与点A在BC同侧、异侧两种情 况，结合垂直平分线性质求解线段长度。 4、如图，AB=CD,连接AC,BC,BD,线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线交 于点E,连接BE,DE,∠CDE=65°，则LABE的度数为一°。 B A 答案：65 解答： 连接AE、CE,~点E是AC、BD垂直平分线的交点， (AB=CD AE=CE,BE=DE,在△ABE和△CDE中， AE=CE, BE=DE ∴.△ABE≈△CDE(SSS),·LABE=∠CDE=65° 57/142 第15章轴对称 5、如图，已知△ABC,点P是边BC的垂直平分线上一点，过点P作PD1AB,交BA的 延长线于点D,PE LAC于点E,且PD=PE (1)求证：BD=CE (2)若AB=2.4cm,AC=6cm,求AD的长。 答案：(1)证明见解答；(2)AD=1.8cm 解答：(1)B 证明：连接PB、PC :点P在BC的垂直平分线，“PB=P PD⊥AB,PE⊥A,·∠BDP=∠CEP=90 在R△BPD和t△CPE中6-PE、△BPD≈△CPE(,“8D=CE (2) B 连接A,在肚△ADP和AAP中， ,Rt△ADP兰Rt△AEP(H),AD=AE, 由(1)得BD=CE,且BD=AD+AB,CE=AC-AE,·AD+AB=AC-AD 代入AB=2.4cm,AC=6cm得：AD+2.4=6-AD 解得：AD=1.8cm 6、如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分 线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为() 58/142 第15章轴对称 A.5 B.6 C.7 D.8 答案：C 解析：DE垂直平分AB,GF垂直平分AC,·AE=BE,AG=CG, CAAEG=AE+EG+AG=BE +EG+CG=BC=7 7、如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=15Cm,AC的垂直平分线交BC于点D,连接AD,AB 的垂直平分线交AD于点F,连接BF,则△BDF的周长为cm。 答案：15 解答：：AC的垂直平分线交BC于点D,AD=CD, AB的垂直平分线交AD于点F, ·AF=BF,C△BDF=BD+DF+BF=BD+DF+AF=BD+AD ·C△BDF=BD+CD=BC=15cm 8、如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D,边AC的垂直平分 线分别交AC、BC于点N、E,MD、NE交于点O,分别连接OA、OB、OC、AD、AE。已知 △0BC的周长为29cm,△ADE的周长为14cm,则0A的长为 cm。 答案：7.5 59/142 第15章轴对称 解答： 由垂直平分线的性质得：DA=DB,EA=EC,OA=OB=OC C△ADE=DA+DE+EA=14cm ∴DB+DE+EC=14cm,即BC=14cm CAOBC =OB+OC+BC=29cm ∴.0B+0C=29-14=15cm .OB=OC=0A ∴.20A=15cm .0A=7.5cm 60/142 第15章轴对称 15.3线段的垂直平分线的作法 1、△ABC(AC<BC,用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求 的作图痕迹是() 答案：C 解析：当点P在线段AB的垂直平分线与BC的交点处时，根据线段垂直平分线的性质可得PA=PB, 因此PA+PC=PB+PC=BC,故选C。 2、已知点P是△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线， 保留作图痕迹，不写作法。 (1)如图1，作一条直线L,使得点B关于1的对称点为点P。 (2)如图2，作一条过点C的直线m,使得点P关于m的对称点落在BC上。 图1 图2 答案：(1)作线段BP的垂直平分线，直线1即为所求； 图1 (2)作∠BCA的平分线，直线m即为所求。 图2 61/142 第15章轴对称 3、如图，已知△ABC,作BC边上的高AD,过点C作AB的垂线EF(用无刻度的直尺和 圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)。 答案：线段AD、直线EF即为所求作图图形。 4、如图，已知线段a,h,求作△ABC,使AC=BC=a,高AD=h(用无刻度的直尺和圆 规作图，不写作法，保留作图痕迹)。 a h 答案：△ABC即为所求作图图形。 图1 图2 解析：作图步骤： ①作直线L,作直线m1l,垂足为点D; ②以点D为圆心，线段h的长为半径作弧，交直线m于点A; ③以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，交直线1于点C; ④以点C为圆心，线段α的长为半径作弧，交直线l于点B; ⑤连接AB,AC,△ABC即为所求作的三角形。 62/142 第15章轴对称 15.4画轴对称的图形 1、图1、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫作 格点，△ABC的顶点均在格点上。只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所作图形的 顶点均在格点上，不要求写出画法。 (1)在图1中，作一个△ACD,使△ACD是轴对称图形； (2)在图2中，作一个△BCE,使△BCE与△ABC成轴对称。 -·B 公 图1 图2 答案： 图1 图2 (1)符合条件的△ACD即为所求（答案不唯一）；(2)符合条件的△BCE即为所求。 2、在正方形网格中，点A,B,C均为网格线的交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度 的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由。 (1)如图1，作出△ABC关于直线MN对称的图形； (2)如图2，在直线MN上求作点P,使得∠APM=∠BPN。 -B A:- M 图1 图2 答案：(1)△A'B'C即为所求对称图形；(2)直线MN上所作点P即为所求。 63/142 第15章轴对称 B M B 图1 图2 解析： (1)分别作出点A、B、C关于直线MN的对称点，依次连接即可得到△ABC关于直线MN对称的 图形△A'B'C。 (2)作点A关于直线MN的对称点A',连接AB交直线MN于点P,连接AP,点P即为所求。 由轴对称的性质可得：△APM兰△A'PM,因此LAPM=∠A'PM。 又由对顶角相等得：∠APM=∠BPW, ∴.∠APM=∠BPN。 64/142 第15章轴对称 15.5用坐标表示轴对称 1、若点P(a+1,2-2a)关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（) 答案：C 解答：点P(a+1,2-2a)关于x轴的对称点坐标为(a+1,2a-2)。 ·该对称点在第四象限 a+20 解得：-1<a<1,结合选项可得选C。 解析：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。第四象限内的点横坐标大于0， 纵坐标小于0，据此列出不等式组求解，即可确定α的取值范围。 2、如图，在平面直角坐标系x0y中，A(-13),B(5,3)两处灯笼的位置关于直线L对称， 则直线1一定经过点() A.(0,3) B.(2,-1) C.(3,3) D.(4,0) Ay B 0 答案：B 解答：A(-1,3),B(5,3),两点纵坐标相同 “两点关于垂直于x轴的直线对称，对称轴直线x=1+5-2 2 ·直线1为直线x=2,直线上所有点的横坐标均为2 故直线1一定经过点(2，-1)。 65/142 第15章轴对称 3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称， 点C的坐标为(4,1)，则点B的坐标为 Y C(4,1) m 答案：(-2,1) 解答：由题意可知，点B、点C关于直线x=1对称，两点纵坐标相等。 设点：的坐标为a,），根据竖直对称轴坐标特征可得：4牛”-1 解得：a=-2 ·点B的坐标为(-2,1)。 拓展结论 (①)若点Axy),点Bx2,y2)关于直线x=x对称，则12=0，y1=y2; 2 (②)若点4xy),点By)关于直线y=对称，则x1=x2,y12=y0 2 4、如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标 是(5,2)，则第2026次变换后点C的对应点的坐标为 0 第1次 第2次 关于y轴对称 关于x轴对称 y 我3火 第4次 关于x轴对称 0 答案：(-5，-2) 解答： 66/142 第15章轴对称 根据变换规律依次列举坐标： 第1次关于y轴对称：(-5,2) 第2次关于x轴对称：(-5，-2) 第3次关于y轴对称：(5，-2) 第4次关于x轴对称：(5,2) 由此可得：每4次变换为一个循环周期。 2026÷4=506…2 即第2026次变换与第2次变换坐标相同，坐标为(-5，-2)。 5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(1,1),直线1经 过点(-1,0)且垂直于x轴。 (1)画出直线1； (2)画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标； (3)求△ABC的面积。 0 5-4-3+241 12345x 答案：(2)点B1坐标为(-2,4)；(3)S△48c=5.5 -5-4-3-21 12345x 解答： 67/142 第15章轴对称 (1)由题意得直线1解析式为x=-1,根据点关于竖直直线对称的坐标规律，求得各顶点对 称点，画出图形即可，B1(-24)。 1 SARG=3×47×3×1-与×3×2-1 (2)利用割补法求三角形面积： 2×4×1 =12-1.5-3-2 =5.5 6、如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，直线L与网格线重合，点A,C, A,B均在格点上。 (1)△A'B'C'与△ABC关于直线L对称，请在图上把△ABC、△AB'C补充完整； (2)在以直线l为y轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为(a,b),则点A的坐标为 BB)】 答案：(1) (2)(-a,b) 解析：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此点A(α，b)的对称点A'坐标为(- a,b)o 68/142 第15章轴对称 15.6等腰三角形的性质 1、△ABC中，AB=BC,将两个完全一样的三角尺按如图的方式摆放，它们较短的直角边分 别在AB,BC上，且这两条直角边所对的顶点重合于点P,连接BP并延长，交AC于点D, 则下列结论错误的是() A.AB=2AD B.AD=DC C.∠ABD=∠CBD D.∠BDA=90 答案：A 解析：由题意得PE1AB,PF L BC,PE=PF,根据角平分线的判定定理可得BP平分∠ABC, 即∠ABD=∠CBD,故C正确。 :AB=BC,BD平分LABC 根据等腰三角形“三线合一"性质，AD=DC,BD1AC,即LBDA=90°，故B、D正确。 题中无任何条件可以推出AB=2AD,故A结论错误。 2、在△AOB中，OB=OA,OP交AB于点C,量角器的摆放如图所示，则∠BCP的度数为 答案：85 解答：由题图可知：∠A0B=130°，∠A0P=70 0A=0B,6a0=cB0-7u80-400-7×180-130)=25 在△A0C中：∠AC0=180°-∠CA0-∠A0P=180°-25°-70°=85° ∠BCP=LAC0=85° 69/142 第15章轴对称 3、如图是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在点 O相连并可绕点O转动，点C固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动。若∠BDE=81°， 则∠CDE的度数是 °。 D B 图1 图2 答案：72 解答：设∠0=x,0C=CD,·LCD0=∠0=x, 由三角形外角性质得：∠DCE=L0+∠CD0=2x,CD=DE,∠DEC=∠DCE=2x, ∠BDE=∠0+∠DEC=3x=81°，解得：x=27° ·∠DCE=∠DEC=2×27°=54 ·∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-54°-54°=72° 4、△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，E为AC上一点，AD=AE。 (1)①如图1，若∠BAD=20°，则∠EDC=一； ②如图2，如果∠BAD=50°，则∠EDC= (2)通过以上两小题，写出LBAD与∠EDC之间的数量关系； (3)如图3，如果AD不是BC边上的高，AD=AE,(2)中的关系是否仍然成立？若成立， 请给出证明过程；若不成立，请写出新的关系式，并说明理由。 图1 图2 图3 答案：(1)①10；②25；(2)∠BAD=2LEDC;(3)关系仍然成立，证明见解答 解答：(1)①AB=AC,AD1BC ∴.∠CAD=∠BAD=20°，∠ADC=90 &AD=AB,LADE=LABD三号180°-LCAD)=3X(180°-209)=80 ·∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-80°=10° ②·AB=AC,AD1BC,LCAD=∠BAD=50°，∠ADC=90° 70/142 第15章轴对称 AD=AB,∠ADE=∠A5D-3180-∠GAD)-3×(180-50)=65 .∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-65°=25° (2)数量关系：∠BAD=2LEDC (3)关系仍然成立，证明如下：'AD=AE,·∠ADE=∠AED :∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC,∠AED=∠C+∠EDC ·∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=LC+∠EDC+∠EDC=LC+2LEDC AB=AC,∠B=∠C,·.∠BAD=2LEDC 5、如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,BD=CD,延长AD交BC于点F。若 ∠BDC=94°，则∠ADE的度数是一°。 D 答案：47 解答： B 延长AD交BC于点F.AB=AC,AD平分∠BAC,·AF1BC(等腰三角形三线合一) 1 1 :BD=CD,DF1BC,DF平分∠BDC,∠BDF=2∠BDC=2×94=47, ·∠ADE=∠BDF=47° 6、在直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC,BC II x轴，若A(2,-1),B(-1,2), 则点C的坐标为 71/142 第15章轴对称 答案：(5,2) 解答： BCIx轴，·点B、C纵坐标相同，即点C纵坐标为2，过点A作AD1BC于点D ~BCIx轴，·ADIy轴，点D横坐标与点A相同，为2， AB=AC,AD1BC,∴.BD=CD,BD=2-(-1)=3,·点C横坐标为2+3=5 ·点C的坐标为(5,2) 7、如图，在△ABC中，CA=CB,D是AB的中点，∠CED=∠CFD=90°，CE=CF,求证： ∠ADF=∠BDE。 D 答案：证明见解答 证明： 连接CD,在REAEGD和R△PCD中，{2二P:RECD=胜△FCDD, “LCDE=∠CDF,CA=CB,D是AB的中点，CD LAB(等腰三角形三线合一) ·.∠CDA=LCDB=90°，∠CDA-∠CDF=∠CDB-∠CDE,·∠ADF=∠BDE 72/142 第15章轴对称 15.7等腰三角形的判定 1、在平面直角坐标系中有A(1,1),B(2,0)两点。若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三 角形，则满足条件的点C的个数是() A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B 4) 解析： 图1 图2 图3 分三种情况分类讨论： ①当AB为腰，点A为顶角顶点时：以点A为圆心，AB长为半径作圆，该圆与坐标轴共 有3个交点，分别为点B、C1、C2。其中C2、A、B三点共线，点B无法构成三角形，仅可 得到1个符合条件的点； ②当AB为腰，点B为顶角顶点时：以点B为圆心，BA长为半径作圆，与坐标轴交于C3、 C4,可得到2个符合条件的点； ③当AB为底边时：作线段AB的垂直平分线，该直线与坐标轴交于C5、C6,可得到2个 符合条件的点。 综上所述，满足条件的点C共有1+2+2=5个。 构造等腰三角形通用方法一一两圆一中垂 已知线段AB,平面内找点C使△ABC为等腰三角形： ①当AB=AC时，点C在以点A为圆心，AB长为半径的圆上（不与点B,M重合）； ②当AB=BC时，点C在以点B为圆心，AB长为半径的圆上（不与点A,N重合）； ③当AC=BC时，点C在线段AB的垂直平分线上（不在线段AB上）. M 73/142 第15章轴对称 2、小明根据等腰三角形“三线合一"的性质，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好 也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？小明画出图形，并找到了两种解决 问题的方法 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,且点D是BC的中点。求证：AB=AC。 B D 方法一、证明：如图，过点D分别作AB,AC的垂线，垂足分别为点E,F. 方法二、证明：如图，延长AD到点E,使ED=AD,连接BE. (请从两种方法中任选一个，写出完整的证明过程) B D C 答案：证明见解答 方法一证明（作垂线法)：过点D分别作DE1AB,DF1AC,垂足分别为E、F。 ∠DEB=∠DFC=90°，AD平分∠BAC,DE=DF, :D是BC的中点，BD=CD,在Rt△BED和Rt△CFD中： (BD=CD LDE =DF ·Rt△BED≈Rt△CFD(HL),.∠B=∠C,AB=AC 方法二证明（倍长中线法)：延长AD到点E,使ED=AD,连接BE。 :D是BC的中点，DB=DC, DC-DB 在△ADC和△EDB中： ∠ADC=∠EDB,△ADC≥△EDB(SAS),.AC=BE,∠CAD=LBED, AD=ED :AD平分∠BAC,·∠CAD=∠BAD,·∠BAD=∠BED,·AB=BE,·AB=AC, 3、如图，在△ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,AD1BC于点D,AD与EC交 于点G。 (1)求证：△AEG为等腰三角形； 74/142 第15章轴对称 (2)若GD=5,G为CE的中点，求AG的长。 E G 答案：(1)证明见解答；(2)AG=10 解答：(1)证明：AD1BC,∠ADB=∠CDG=90°，BE=CE,·∠B=LGCD, 90°-LB=∠90°-∠GCD,即LBAG=LCGD, ∠CGD=∠AGE,·∠BAG=∠AGE,·AE=GE,∴△AEG为等腰三角形 (2) 解：过点E作EH1AD,垂足为H,则∠EHG=90°。∠EHG=LCDG=90 (∠EHG=∠CDG ·G为CE的中点，·EG=CG,在△EHG和△CDG中： LEGH LCGD, EG=CG ∴△EHG=△CDG(AAS),HG=DG=5, 由(1)得AE=EG,又EH1AD,·.AH=HG=5(等腰三角形三线合一)， ∴AG=AH+HG=5+5=10 4、【微专题：角平分线+平行线→等腰三角形】 数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形，有角平分线时，常过角平 分线上一点作边的平行线构造等腰三角形如图1，P为LAOB的平分线OC上一点，过点P作 PD/OB,交OA于点D,易证△POD为等腰三角形 B 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B处，AB'交DC于点E, 75/142 第15章轴对称 重合部分△ACE是等腰三角形吗？为什么？ (2)如图3，已知△ABC,其中∠ABC的平分线与△ABC的外角LACG的平分线交于点O, 过点O作OD I BC分别交AB,AC于点D,E,试探究线段BD,DE,CE之间的数量关系 并说明理由。 (3)如图4，在四边形ABCD中，AD II BC,E为CD边的中点，且AE平分∠BAD,连接BE, 求证：BE L AE。 答案：(1)是等腰三角形，理由见解答；(2)BD=DE+CE,理由见解答；(3)证明见解答 解答：(1)△ACE是等腰三角形，理由如下： :四边形ABCD是长方形，·AB II CD,·∠DCA=∠BAC, 由折叠的性质得：∠BAC=LEAC,·∠DCA=∠EAC,AE=CE,△ACE是等腰三角形， (2)数量关系：BD=DE+CE,理由如下：BO、CO分别平分∠ABC、∠ACG, .∠DB0=∠CBO,∠ECO=∠GCO,OD II BC,LDOB=∠CBO,∠EOC=∠GCO, ∴.∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO,BD=OD,CE=OE,OD=DE+OE,∴.BD=DE+CE, D (3)证明：B 延长AE,交BC的延长线于点F。AD II BC,·∠F=∠DAE,∠D=∠ECF, AE平分LBAD,∠BAF=∠DAF,∠BAF=∠F,·AB=BF, (LD=LECF :E是CD的中点，DE=CE,在△ADE和△FCE中： ∠DAE=∠F, DE-CE △ADE兰△FCE(AAS),·.AE=EF, AB=BF,.BE1AE(等腰三角形三线合一) 76/142 第15章轴对称 15.8等边三角形 1、如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD的长等于支杆BC的长，且∠BCE=120°。 若CD的长度为50cm,则此时B,D两点之间的距离为() A.40cm B.45cm C.50cm D.55cm D 答案：C B 解答： 连接BD。∠BCE=120°，∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°， 又CD=BC,∴△BCD是等边三角形，·BD=CD=50cm, 解析：有一个角为0°的等腰三角形是等边三角形，根据该判定定理可证△BCD为等边三角 形，进而得出边长相等的结论。 2、如图，一艘轮船从海平面上的A地出发向南偏西50°的方向行驶40 amile后到达B地， 再由B地向北偏西10°的方向行驶40 nmile到达C地，则A,C两地相距nmile。 C 北 北 答案：40 77/142 第15章轴对称 解答： B 连接AC。由题意得：AB=BC=40 nmile,∠ABC=10°+50°=60° .△ABC为等边三角形，.AC=BC=40 nmile 解析：先根据方位角求出三角形内角为60°，结合两边相等，判定该三角形为等边三角形，三 边长度相等。 3、如图，△ABC是等边三角形，且BD=CE,∠1=15°，则∠2的度数为 B 答案：60 解答：△ABC是等边三角形，·LABC=∠ACB=60°，AB=BC, AB=BC 在△ABD和△BCE 中 ∠ABC=∠ACB,△ABD=△BCE(SAS),.∠1=∠CBE, BD =CE :∠2=∠1+∠ABE,·.∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60° 4、如图，已知△ABD是等边三角形，BC=DC,点E在边AD上，连接CE交BD于点F, AE=EC。 (1)求证：△DEF是等边三角形。 (2)若∠CBD=2LDCE,求∠DCE的度数。 78/142 第15章轴对称 答案：(1)证明见解答；(2)∠DCE=20° 解答： (1)证明： 连接AC。△ABD是等边三角形，.AB=AD,∠BAD=∠ADB=60°， 1 BC=DC,·点C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD,LCAE=与∠BAD=30°， AE=EC,∠ACE=∠CAE=30°，·∠DEF=∠CAE+∠ACE=30°+30°=60°， 在△DEF中：∠EDF=60°，∠DEF=60°，六∠DFE=180°-∠EDF-∠DEF=60°， ·LDEF=LEDF=LDFE=60°，△DEF为等边三角形 (2)解：BC=CD,·LCBD=∠CDB,LCBD=2LDCE,·LCDB=2LDCE, 由(1)得LDFE=60°，根据三角形外角性质：LCDB+∠DCE=∠DFE=60°， 2LDCE+∠DCE=60°，3LDCE=60°，·∠DCE=20°， 5、已知C为线段AB上一点，△ACM、△CBW都是等边三角形。 (1)如图1，线段AW与线段BM交于点O,求∠A0M的度数； (2)如图2，AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,连接EF,判断△CEF的形状， 并证明你的结论。 图1 图2 答案：(1)∠A0M=60°；(2)△CEF是等边三角形，证明见解答 解答：(1)解：△ACM、△CBN都是等边三角形，·AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°， .∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN,即∠ACN=∠BCM, AC=MC 在△ACN和△MCB中： ∠ACN=∠MCB,△ACN兰△MCB(SAS,.∠ANC=∠MBC, CN=CB 79/142 第15章轴对称 由三角形外角性质可得：∠AOM=∠CAN+∠MBC=∠CAN+∠ANC=∠BCN=60° (2)解：△CEF是等边三角形，证明如下：由(1)得△ACN兰△MCB,.∠CAE=∠CMF ∠ACM=∠BCN=60°，·∠ECF=180°-∠ACM-∠BCN=60°，.∠ACE=∠MCF=60°， (LCAE =LCMF 在△ACE和△MCF中： AC=MC,∴△ACE兰△MCF(ASA),·.CE=CF, LACE=∠MCF 又~∠ECF=60°，∴△CEF是等边三角形 6、如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC 的延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ,交AC于点D,则DE的长为 答案：2 解答： 过点P作PF BC,交AC于点F。 ~△ABC是等边三角形，·∠A=∠ABC=∠ACB=60°， PF I BC,∴.∠APF=∠ABC=60°，∠AFP=∠ACB=60°， ∠A=∠APF=LAFP=60°，△APF是等边三角形，AP=PF=AF, :PE1AC,六AE=EF=2AF(等边三角形三线合一)，~PA=CQ,PF=CQ, (∠PFD=∠OCD PF II BC,∠PFD=∠QCD,在△PFD和△QCD中： ∠PDF=∠QDC,∴△PFD兰△QCD(AAS), PF-QC FD-CD-FC.DE-EF+FD-TAF+FC-AF+FC)-AC 1 AC=1,÷DE= 80/142 第15章轴对称 15.9含30°角的直角三角形的性质 1、如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，DA1AC,垂足为点A,若AD=2,则BD的 长为() A.4 B.6 C.8 D.10 B 答案：B 2、如图，在平面直角坐标系x0y中，已知点A的坐标是(0,2)，以0A为边长在其右侧作等 边三角形0AA1,过点A1作x轴的垂线，垂足为O1,以01A1为边长在其右侧作等边三角 形01A1A2,再过点A2作x轴的垂线，垂足为02，以02A2为边长在其右侧作等边三角形 0242A3…按此规律继续作下去，得到等边三角形02025A202542026,则点A2026的纵坐标为（) 2026 2025 2024 2023 ( c份) .( A A3 0 0 0 答案：B 解答：△0AA1是等边三角形，0A1=0A=2,∠A1001=60°， A1011x轴，∠A1010=90°，∠0A101=30°， 根据含30°角的直角三角形性质：A10-0A1=2×即点A,纵坐标：2×() 同理可得：点A2纵坐标：2×（ 以此类推，点A纵坐标：2×（ 2025 当n=2026时，纵坐标为： 81/142 第15章轴对称 3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=5,D为BC上一动点，连接AD, AD的垂直平分线分别交AC,AB于点E,F,则线段BF的最大值是 B 答案： 20 3 解答： 连接DF。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=5,.AB=2AC=10, :EF垂直平分AD,·.AF=DF,设AF=x,则BF=10-x,FD=x。 过点F作FH1BC于点以.在△BFH中，∠B=30,FH-F0-习-5-司x 根据垂线段最短可知：FD≥FH, 1 8x25,解得：x之，即4的最小值为，÷BF的最大值为：10020 3=3 4、如图，在△ABC中，AB=12cm,AC=10cm,∠A=60°，P、Q分别是边AB,AC上的动 点，点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以1cm/s的速 度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts, 当△APQ为直角三角形时，求t的值。 B 答案：t=3或t=4.8 解答：由题意得：BP=2tcm,AQ=tcm,AP=AB-BP=(12-2t)cm, 由运动范围得：0≤2t≤12,0≤t≤10，即0≤t≤6， 82/142 第15章轴对称 :LA=60°，△APQ为直角三角形，·.分∠AQP=90°、∠APQ=90°两种情况讨论： ①当∠A0P=90时：∠AP0=90-6A=30,a0号4，即t2-20, 1 解得：t=3,符合取值范围。 ②当2AP0=90时：乙40P=90-A=30,4AP-40,即12-2- 解得：t=4.8,符合取值范围。 综上，当t=3或t=4.8时，△APQ为直角三角形。 一题多变构造含30°角的直角三角形 5、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB,BE=4,则AC的长为() A.2 B.3 C.4 D.以上都不对 A D B ■ E 答案：A 解答：连接AE。DE垂直平分AB,·AE=BE=4·∠BAE=∠B=15°， 1 角形外角性质得：∠AEC=∠BAE+∠B=30°，2C=90,÷ACAE=)X4 6、如图，∠BAC=30°，P是∠BAC的平分线上一点，PM I AC,交AB于点M,PD⊥AC于 点D,PD=8,则PM值为() A.10 B.12 C.16 D.20 B M P A 答案：C E M 解答： DC 过点P作PE1AB于点E。AP平分∠BAC,PD⊥AC,PE⊥AB,PE=PD=8, 83/142 第15章轴对称 PM II AC,.∠EMP=∠BAC=30°，在Rt△PME中，∠EMP=30°，PM=2PE=2×8=16 7、如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，∠BCD=120°，CD=3,BC=8,则AD的 长是 0 B 答案：2 解答：B 分别延长BC,AD交于点E。在△ABE中，∠A=90°，∠B=30°， ∠E=60°，BE=2AE,∠BCD=120°，∴.∠ECD=180°-120°=60°， 在△CDE中，∠E=60°，∠ECD=60°，LCDE=60°，△CDE为等边三角形， CE=DE=CD=3 BE=BC+CE=8+3=11,AB=BE= AD=A-DE-号-3- 5 8、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=12,D为BC边上一点，连接AD,且AD=AC, 若CD=2,则BD的长为 0 B DC 答案：5 解答：过点A作AE1BC于点E,则LAEB=90°。 ~AD=AC,AE1BC,CE=DE-CD=1(等腰三角形三线合-） 84/142 第15章轴对称 在题△AaE中，ABc=60,BAE=30,BE-号4AB-2X12=6, .BD=BE-DE=6-1=5 9、如图，在△ABC中，AB=AC=8,∠ABC=15°，则△ABC的面积为 A 夕 答案：16 D 解答：B 过点B作BD1AC,交CA的延长线于点D。AB=AC,·∠C=∠ABC=15°， 由三角形外角性质得：∠DAB=∠C+∠ABC=30°， 1 1 在Rt△ABD中，∠D=90,∠DAB=30,BD=2AB=2×8=4, 5ar-7xAC×BD-x8x4=16 1 85/142第15章轴对称 15.1轴对称及其性质 1、围棋起源于中国，古代称为“弈”。如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋 盘，白方若落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形 (填写A,B,C,D中的一处即可，A,B,C,D位于棋盘的格点上) 2、如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，EF是线段AD上的两点， △ABC的面积为18cm2,则图中阴影部分的面积为cm2。 3、△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，A0的延长线交BC于点D。若 LAB0=25°，∠C=20°，则∠ADC的度数是°。 B 23/70 第15章轴对称 15.2线段的垂直平分线的性质与判定 1、一块三角形的草坪（记为△ABC),现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距 离相等，凉亭应选择的位置是() A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三边的垂直平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点 2、如图，直线1是线段AB的垂直平分线，点C在直线L外，且与点A在直线L的同一 侧，P是直线L上的任意一点，连接AP,BC,PC,则BC与AP+PC的大小关系是() A.BC>AP+PC B.BC<AP+PC C.BC≥AP+PC D.BC≤AP+PC 2题图 3题图 3、△ABC中，AB=AC,O是平面内一点，且OB=OC,点A到BC的距离为8，点O到BC 的距离为4，则A0的长为 -0 4、如图，AB=CD,连接AC,BC,BD,线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线交 于点E,连接BE,DE,∠CDE=65°，则LABE的度数为 °。 5、如图，已知△ABC,点P是边BC的垂直平分线上一点，过点P作PD1AB,交BA的 延长线于点D,PE L AC于点E,且PD=PE (1)求证：BD=CE (2)若AB=2.4cm,AC=6cm,求AD的长。 D 24/70 第15章轴对称 6、如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分 线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为() A.5 B.6 C.7 D.8 7、如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=15cm,AC的垂直平分线交BC于点D,连接AD,AB 的垂直平分线交AD于点F,连接BF,则△BDF的周长为cm。 8、如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D,边AC的垂直平分 线分别交AC、BC于点N、E,MD、NE交于点O,分别连接OA、OB、OC、AD、AE。已知 △0BC的周长为29cm,△ADE的周长为14cm,则0A的长为 _cm。 25/70 第15章轴对称 15.3线段的垂直平分线的作法 1、△ABC(AC<BC,用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求 的作图痕迹是() AB P 2、已知点P是△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线， 保留作图痕迹，不写作法。 (1)如图1，作一条直线l,使得点B关于1的对称点为点P。 (2)如图2，作一条过点C的直线m,使得点P关于m的对称点落在BC上。 图1 图2 3、如图，已知△ABC,作BC边上的高AD,过点C作AB的垂线EF(用无刻度的直尺和 圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)。 4、如图，已知线段a,h,求作△ABC,使AC=BC=a,高AD=h(用无刻度的直尺和圆 规作图，不写作法，保留作图痕迹)。 a 一Lh 26/70 第15章轴对称 15.4画轴对称的图形 1、图1、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫作 格点，△ABC的顶点均在格点上。只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所作图形的 顶点均在格点上，不要求写出画法。 (1)在图1中，作一个△ACD,使△ACD是轴对称图形； (2)在图2中，作一个△BCE,使△BCE与△ABC成轴对称。 B 公 N 图1 图2 2、在正方形网格中，点A,B,C均为网格线的交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度 的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由。 (1)如图1，作出△ABC关于直线MW对称的图形； (2)如图2，在直线MN上求作点P,使得LAPM=LBPN。 C N M 图1 图2 27/70 第15章轴对称 15.5用坐标表示轴对称 1、若点P(a+1,2-2a)关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为() 2、如图，在平面直角坐标系x0y中，A(-1,3),B(5,3)两处灯笼的位置关于直线1对称， 则直线1一定经过点() A.(0,3) B.(2,-1) C.(3,3) D.(4,0) 2 B C(4,1) 2题图 3题图 3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1)对称， 点C的坐标为(4,1)，则点B的坐标为 4、如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标 是(5,2)，则第2026次变换后点C的对应点的坐标为 、0 第1次 第2次 关于y轴对称 关于x轴对称 我3火 第4次 关于x轴对称 28/70 第15章轴对称 5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(1,1),直线l经 过点(-1,0)且垂直于x轴。 (1)画出直线1； (2)画出△ABC关于直线1对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标； (3)求△ABC的面积。 54-3+2-1 2345x 2 6、如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，直线L与网格线重合，点A,C, A',B均在格点上。 (1)△A'B'C'与△ABC关于直线L对称，请在图上把△ABC、△A'B'C补充完整； (2)在以直线1为y轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为 29/70 第15章轴对称 15.6等腰三角形的性质 1、△ABC中，AB=BC,将两个完全一样的三角尺按如图的方式摆放，它们较短的直角边分 别在AB,BC上，且这两条直角边所对的顶点重合于点P,连接BP并延长，交AC于点D, 则下列结论错误的是() A.AB=2AD B.AD =DC C.∠ABD=∠CBD D.∠BDA=909 P 1题图 2题图 2、在△AOB中，OB=OA,OP交AB于点C,量角器的摆放如图所示，则∠BCP的度数为 °。 3、如图是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,0B组成，两根棒在点 0相连并可绕点O转动，点C固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动。若∠BDE=81°， 则∠CDE的度数是 图1 图2 4、△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，E为AC上一点，AD=AE。 (1)①如图1，若∠BAD=20°，则∠EDC=—°； ②如图2，如果∠BAD=50°，则∠EDC= (2)通过以上两小题，写出∠BAD与∠EDC之间的数量关系； (3)如图3，如果AD不是BC边上的高，AD=AE,(2)中的关系是否仍然成立？若成立， 请给出证明过程；若不成立，请写出新的关系式，并说明理由。 30/70 第15章轴对称 5、如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,BD=CD,延长AD交BC于点F。若 ∠BDC=94°，则∠ADE的度数是°。 B 6、在直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC,BCIx轴，若A(2,-1),B(-1,2), 则点C的坐标为 7、如图，在△ABC中，CA=CB,D是AB的中点，∠CED=∠CFD=90°，CE=CF,求证： LADF=∠BDE。 31/70 第15章轴对称 15.7等腰三角形的判定 1、在平面直角坐标系中有A(1,1),B(2,0)两点。若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三 角形，则满足条件的点C的个数是() A.4 B.5 C.6 D.7 2、小明根据等腰三角形“三线合一"的性质，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好 也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？小明画出图形，并找到了两种解决 问题的方法 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,且点D是BC的中点。求证：AB=AC。 方法一、证明：如图，过点D分别作AB,AC的垂线，垂足分别为点E,F. 方法二、证明：如图，延长AD到点E，使ED=AD,连接BE, B D O B DC (请从两种方法中任选一个，写出完整的证明过程) 3、如图，在△ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,AD L BC于点D,AD与EC交 于点G。 (1)求证：△AEG为等腰三角形； (2)若GD=5,G为CE的中点，求AG的长。 B 3270 第15章轴对称 4、【微专题：角平分线+平行线→等腰三角形】 数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形，有角平分线时，常过角平 分线上一点作边的平行线构造等腰三角形如图1，P为∠AOB的平分线OC上一点，过点P作 PD/OB,交OA于点D,易证△POD为等腰三角形 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，AB'交DC于点E, 重合部分△ACE是等腰三角形吗？为什么？ (2)如图3，已知△ABC,其中∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG的平分线交于点O, 过点O作OD I BC分别交AB,AC于点D,E,试探究线段BD,DE,CE之间的数量关系 并说明理由。 (3)如图4，在四边形ABCD中，AD II BC,E为CD边的中点，且AE平分∠BAD,连接BE, 求证：BE1AE。 33/70 第15章轴对称 15.8等边三角形 1、如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD的长等于支杆BC的长，且∠BCE=120°。 若CD的长度为50cm,则此时B,D两点之间的距离为() A.40cm B.45cm C.50cm D.55cm E 北 B A 北 1题图 2题图 B 2、如图，一艘轮船从海平面上的A地出发向南偏西50°的方向行驶40 nmile后到达B地， 再由B地向北偏西10°的方向行驶40 nmile到达C地，则A,C两地相距nmile。 3、如图，△ABC是等边三角形，且BD=CE,∠1=15°，则∠2的度数为 4、如图，已知△ABD是等边三角形，BC=DC,点E在边AD上，连接CE交BD于点F, AE=EC。 (1)求证：△DEF是等边三角形。 (2)若LCBD=2LDCE,求LDCE的度数。 34/70 第15章轴对称 5、已知C为线段AB上一点，△ACM、△CBW都是等边三角形。 (1)如图1，线段AN与线段BM交于点0，求∠A0M的度数； (2)如图2，AW与MC交于点E,BM与CN交于点F,连接EF,判断△CEF的形状， 并证明你的结论。 MO 图1 图2 6、如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE1AC于点E,Q为BC 的延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ,交AC于点D,则DE的长为 35/70 第15章轴对称 15.9含30°角的直角三角形的性质 1、如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，DA1AC,垂足为点A,若AD=2,则BD的 长为() A.4 B.6 C.8 D.10 A A A 3 1题图B D 2题图0 002 2、如图，在平面直角坐标系x0y中，已知点A的坐标是(0,2)，以0A为边长在其右侧作等 边三角形0AA1,过点A1作x轴的垂线，垂足为01，以01A1为边长在其右侧作等边三角 形01A1A2,再过点A2作x轴的垂线，垂足为02，以02A2为边长在其右侧作等边三角形 02A2A3…按此规律继续作下去，得到等边三角形02025A2025A2026,则点A2026的纵坐标为() c份 囹 3、如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，∠B=30°，AC=5,D为BC上一动点，连接AD, AD的垂直平分线分别交AC,AB于点E,F,则线段BF的最大值是 D B 4、如图，在△ABC中，AB=12cm,AC=10cm,∠A=60°，P、Q分别是边AB,AC上的动 点，点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以1cm/s的速 度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为s, 当△APQ为直角三角形时，求t的值。 B 36/70 第15章轴对称 一题多变构造含30°角的直角三角形 5、如图，在△ABC中，LC=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB,BE=4,则AC的长为() A.2 B.3 C.4 D.以上都不对 B D M P B 5题图 E 6题图 DC 6、如图，∠BAC=30°，P是∠BAC的平分线上一点，PM II AC,交AB于点M,PD⊥AC于 点D,PD=8,则PM值为() A.10 B.12 C.16 D.20 7、如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，∠BCD=120°，CD=3,BC=8,则AD的 长是 D A 8、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=12,D为BC边上一点，连接AD,且AD=AC, 若CD=2,则BD的长为 B DC 9、如图，在△ABC中，AB=AC=8,∠ABC=15°，则△ABC的面积为 A B 37/70