第14章 全等三角形-2026-2027学年八年级数学上册练培优（人教版）

第14章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1、如图，已知△ABC≈△A'BC',BC和BC,BA和BA'是对应边。若A'C'BC,∠C=20°， 则LABA的度数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 2、如图，已知△ABC≈△CDE,AC和CE是对应边，∠B=∠D=90°，点B,C,D在同 一条直线上，则侧下列结论错误的是() A.AC L CE B.∠A+∠E=90 C.BC=CE D.BD=AB+DE 3、如图，己知△ABC≈△ADE,AB和AD,AC和AE是对应边，点E在BC的延长线上， LACB=105°，∠CAD=5°，LB=50°，则∠DEC的度数为() A.30° B.35° C.40° D.45° 4、已知一个三角形的三边长分别为5,7，x,另一个三角形的三边长分别为y,7, 6,若这两个三角形全等，则x-y= 9/70 第14章全等三角形 5、如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(-6,0)，(0,4)，△0A'B兰△A0B, 点B和点B是对应顶点，OB和AB是对应边。若点A'在x轴上，则点B的坐标是 6、如图，△ABD兰△ACD,∠B和LACD,∠BDA和LCDA是对应角，BD,AC的延长线 交于点E。若AE=7,AB=5,BE=4,则△CDE的周长为 7、在△ABC中，∠B=∠C,AB=16,BC=12,点D为AB的中点，点P在线段BC上以 每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位长 度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t秒(0≤t≤4)。 (1)用含t的代数式表示线段PC的长； (2)若点P,Q的运动速度不相等，且某个时刻△BPD与△CQP全等，求a的值。 10/70 第14章全等三角形 14.2三角形全等的判定(SAS) 1、如图所示的网格是由边长均为1的小正方形组成的，图形的各个顶点均在小 正方形的顶点上，则∠1+∠2的度数是() A.30° B.45° C.50° D.60° M 1题图 2题图B 2、如图，在△ABC中，∠B=∠C,M,N,P分别是边AB,AC,BC上的点，且 BM=CP,CN=BP,∠A=92°，则∠MPN的度数为() A.44° B.92 C.88° D.136 3、在平面直角坐标系x0y中，已知点A的坐标为(5，-4)，点B的坐标为(0， 4),在坐标轴上找一点C,使△AB0与△OBC全等，那么点C的坐标为 4、如图，点A在点0的正北方向，点B在点0的正东方向，且点A,B到 点0的距离相等，甲从点A出发，以每小时50千米的速度朝正东方向行驶， 同时，乙从点B出发，以每小时30千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，甲、 乙分别位于点C,D处，且位于点0处的观察员发现∠C0D=45°，此时甲、乙 两人相距 千米。 北 东 B 11/70 第14章全等三角形 5、△ABC中，AB=AC,D是直线BC上的一点，以AD为一条边在AD的右 侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=LBAC,连接CE,DE。 (1)如图，当点D在线段BC的延长线上时，求证：BD=CE。 (2)设LBAC=a,∠DCE=B。 ①当点D在线段BC的延长线上时，心与B之间有什么数量关系？请说明理由。 ②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上时，α与B之间有什 么数量关系？请说明理由。 B B 备用图1 备用图2 1270 第14章全等三角形 一题练透手拉手全等模型 6、【模型呈现】(1)如图1，若A,0,D三点共线，猜想AC与BD的数量关系， 并证明。 【模型应用】(2)如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点Q。若LAOB= 40°，求∠APD的度数。 【拓展延伸】(3)如图3，∠AOB=∠C0D=90°，若M,N分别为AC,BD的中点， 连接OM,ON,MN,判断OM与ON的数量关系与位置关系，并证明。 13/70 第14章全等三角形 14.3三角形全等的判定(ASA和AAS) 1、如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或 两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，最省事的做法是带碎片() A.① B.② c.③ D.①③ A C G FE ② ③ ① 1题图 A B 2题图 B 2、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入 相补法。如图所示，在△ABC中，分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,过 点A作AF1DE,垂足为点F,将△ABC分割后拼接成长方形BHCG。若DE=5, AF=4,则△ABC的面积是， 3、如图，在△ABC中，D是AB边上的点，连接CD,BE平分∠ABC,交CD 于点E,EF II AC,交AB于点F,∠A=∠BCD。 (1)求证：EF=EC (2)若LBEF=110°，求∠ACD的度数。 D E 14/70 第14章全等三角形 4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD II BC,连接AC,点G在BC边 上，连接DG并延长，交AB的延长线于点E,交AC于点F,连接AG,已知AE= AC,∠DAC+∠CGF=90°。 (1)求证：△ABC≈△AFE (2)若AC=2AB,求证：AD=CG B 5、如图，在4×4的正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫作格点，线段AB 的端点都在格点上，请按要求用无刻度的直尺作图。 (1)在图1中作格点线段CD1AB,垂足为点E; (2)在图2中的线段AB上作点H,使得AH=BH。 B B 图1 图2 15/70 第14章全等三角形 一题练透一线三等角模型 6、【模型发现】(1)如图1，LADC=LCEB=LACB=90°，AC=BC。猜想DE,AD, BE之间的关系，并说明理由。 (2)如图2，将(1)中的条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=a(90°<a<180),AC=BC, 请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 图1 图2 图3 图4 备用图 【类比应用】(3)如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C在∠ACB的 内部作一条射线CM,分别过点A,B作CM的垂线，垂足为E,F。若BF=3AE, EF=8,求△BFC的面积。 (4)【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系中，点P的坐标是(5,5)，点N在x 轴的正半轴上运动，点M在y轴上运动，且PM1PN,若OM=3,求出点N 的坐标。 16/70 第14章全等三角形 14.4三角形全等的判定(SSS) 1、如图，B,C,E三点在同一条直线上，且AB=AD,AC=AE,BC=DE。若∠1+ ∠2+∠3=94，则∠3的度数为() A.49° B.47° C.45° D.43° 1题图 B 2题图 2,雨伞的戴面示意图如图所示，伞骨AB-AC,支撑杆0B=0,且4-4A, AF=AC。当点0沿AD上、下滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭的过程中，∠BAD 与∠CAD之间的数量关系为一。 3、如图，D为等腰三角形ABC内一点，P为△ABC外一点，AC=BC=BP,AD= BD,LDBP=∠DBC,∠C=62°，则LBPD的度数为 3题图 4题图B 4、学习了全等三角形的判定后，小宛猜想了一个命题：如果两个三角形有两边 及其中一条边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等。她根据命题的意义画 出了图形，并写出了部分已知条件，请你把已知条件补充完整，并写出证明过程。 已知：如图，AD和A'D'分别是△ABC和△AB'C'的中线，，AB=A'B', BC=B'C'。求证：△ABC≈△A'B'C'。 17/70 第14章全等三角形 5、【概念学习】若在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,我们把这种两组邻边 分别相等的四边形叫作“筝形”。 【性质探究】 (1)求证：筝形有一组对角相等。 已知：如图1，在筝形ABCD中，AB=AD,CB=CD。求证：LB=∠D。 (2)如图2，连接筝形ABCD的对角线AC,BD,AC与BD交于点O。请用文字 语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明。 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，点D,E分别是边BC,AB上的 动点，当四边形AEDC为筝形时，直接写出LBDE的度数 B C 图1 图2 图3 18/70 第14章全等三角形 14.5直角三角形全等的判定(HL) 1、如图，AB1CD,且AB=CD,CE1AD于点E,BF1AD于点F。若CE=8, BF=4,EF=3,则AD的长为() A.9 B.8 C.7 D.6 D B 1题图DF 2题图 2、如图，AB=12cm,CA1AB于点A,DB1AB于点B,且AC=4cm,线段BD 足够长，P,Q分别为线段AB,BD上的动点，点P从点B出发以1cm/s的 速度向点A运动，与此同时，点Q从点B出发以2cm/s的速度向点D运动， 则点P,Q运动_s时，△CAP与△PBQ全等。 3、如图，DE1AB,交AB的延长线于点E,DF1AC于点F,连接AD,BD,CD, BD=CD,∠DBE=LC。 (1)求证：Rt△ADE兰Rt△ADF (2)若AB=6,CF=2,求AC的长。 B 19/70 第14章全等三角形 4、【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后，聪聪继续对“两个三角形满足 两边分别相等和其中一组等边的对角相等”的情形进行研究。聪聪将命题用符号 语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E。 【分类讨论】聪聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究。将∠B分为直 角、钝角、锐角三种情况进行探究。 【解决问题】 (1)如图1，当∠B是直角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E= 90°，则Rt△ABC兰Rt△DEF（依据：)。 (2)如图2，当LB是锐角时，BC=EF,∠B=LE<90°，在射线EM上有一点D, 使DF=AC,作出符合条件的点D,则△ABC和△DEF的关系是() A.全等 B.不全等 C.不一定全等 (3)如图3，当LB是钝角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=LE> 90°，试说明△ABC兰△DEF。 ,入7 20/70 第14章全等三角形 14.6角的平分线的性质 1、如图，已知△ABC的周长是35，B0,C0分别平分∠ABC,∠ACB,OD1BC于 点D,且OD=3,则△ABC的面积是() A.105 C.55 D.50 1题图 B 0 2题图 B 2、如图，BD平分∠ABC,DE1AB于点E,△ABC的面积为90，AB=18,BC=12, 则DE的长为() A.15 B.3 C.6 D.9 3、如图，在△ABC中，LABC和∠ACB的外角的平分线BP,CP交于点P,PE1AC, 交AC的延长线于点E。若△ABC的面积为10，△BPC的面积为7，PE=4, 则△ABC的周长为() A.8 B.10 C.11 D.12 4、如图，BD是∠ABC的平分线，BA=BC,点P在线段BD上，PM1AD,PN1CD, 垂足分别是M,N。求证：PM=PN。 21/70 第14章全等三角形 5、己知∠MAN,AP平分∠MAN,定点C在射线AP上，∠DCB与射线AN交 于点B,与直线AM交于点D,且∠MAN+∠DCB=180°。 (1)如图1，当点D在射线AM上，且CB1AN时，判断CD与CB之间的数 量关系，并说明理由。 (2)如图2，当点D在射线AM上，且CB与AN不垂直时，(1)中的结论是否 仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 (3)如图3，当点D在射线AM的反向延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由。 M D A B N A B N A\ BN 图1 图2 图3 22/7014.1全等三角形及其性质 1、如图，已知△ABC兰△ABC',BC和BC',BA和BA是对应边 则LABA'的度数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 答案：B 解析：△ABC≈△A'BC,∠A'BC=∠ABC,∠C=∠C=20° ·∠A'BC-∠ABC=∠ABC-∠ABC',即∠A'BA=∠CBC :A'CIBC,·∠CBC=LC=20°，·∠ABA=20° 2、如图，已知△ABC兰△CDE,AC和CE是对应边，∠B=∠D= 一条直线上，则下列结论错误的是() A.AC L CE B.∠A+∠E=90° C.BC=CE D.BD 答案：C 解析：：△ABC兰△CDE ·.BC=DE,AB=CD,∠A=∠DCE,∠ACB=∠E BD =CD+BC :BD=AB+DE,故D选项正确； :∠D=90° 16/142 第14章全等三角形 若A'C'I BC,LC=20°， 90°，点B,C,D在同 =AB十DE 第14章全等三角形 .LDCE+∠E=90° 又：∠A=∠DCE “∠A+∠E=90°，故B选项正确； 点B,C,D共线，∠DCE+∠ACB=90° :∠ACE=180°-(LDCE+∠ACB)=90°，即AC1CE,故A选项正确； 由全等可知BC=DE,并非BC=CE,故C选项错误。 3、如图，已知△ABC兰△ADE,AB和AD,AC和AE是对应边，点E在BC的延长线上， ∠ACB=105°，∠CAD=5,LB=50°，则∠DEC的度数为() A.30° B.35° C.40° D.45° 答案：A 解析： :∠ACB=105°，∠B=50 ∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-105°-50°=25° :△ABC兰△ADE ·.∠AED=∠ACB=105°，∠EAD=∠CAB=25° ·.∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=25°+5°+25°=55 在△ABE中： ∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-55°-50°=75° ·∠DEC=∠AED-∠AEB=105°-75°=30° 17/142 第14章全等三角形 4、已知一个三角形的三边长分别为5,7，x,另一个三角形的三边长分别为y,7, 6,若这两个三角形全等，则x-y= 答案：1 解析： :两个三角形全等，对应边相等 x=6,y=5 ·x-y=6-5=1 5、如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(-6,0)，(0,4)，△0AB≈△A0B, 点B和点B是对应顶点，OB和AB是对应边。若点A'在x轴上，则点B的坐标是 答案：(6，-4) 解析： 由A(-6,0),B(0,4),得0A=6,0B=4 :△OAB兰△AOB,B、B为对应J顶点，OB与AB为对应边 .0A=0A=6,AB=0B=4 结合A'在x轴上，可得点B坐标为(6，-4) 6、如图，△ABD兰△ACD,∠B和LACD,∠BDA和LCDA是对应角，BD,AC的延长线 交于点E。若AE=7,AB=5,BE=4,则△CDE的周长为 18/142 第14章全等三角形 B 答案：6 解析： :△ABD兰△ACD ·.AC=AB=5,CD=BD :AE=7 .CE=AE-AC=7-5=2 △CDE周长=CD+DE+CE 代入CD=BD得： 周长=BD+DE+CE=BE+CE BE=4,CE=2 …周长=4+2=6 7、在△ABC中，∠B=∠C,AB=16,BC=12,点D为AB的中点，点P在线段BC上以 每秒3个单位长度的速度由点B向点c运动，同时点Q在线段cA上以每秒a个单位长 度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t秒(0≤t≤4)。 (1)用含t的代数式表示线段PC的长； (2)若点P,Q的运动速度不相等，且某个时刻△BPD与△CQP全等，求a的值。 19/142 第14章全等三角形 (1)解：由题意得BP=3t,“BC=12,PC=BC-BP=12-3t 1 (②)解：“AB=16,D为AB中点，BD三5AB=)×16=8 :P、Q速度不相等，BP≠CQ 又：△BPD兰△CQP,∠B=LC,对应关系为BP=PC,BD=CQ 列方程：3t=12-3t,6t=12,t=2 此时cQ=BD=8,:CQ=at,t=2,2a=8,解得a=4 综上，a的值为4 20/142 第14章全等三角形 14.2三角形全等的判定(SAS) 1、如图所示的网格是由边长均为1的小正方形组成的，图形的各个顶点均在小 正方形的顶点上，则∠1+∠2的度数是() A.30 B.45° C.50° D.60° 答案：B B 解析： BC=EC 连接BC,CE,DE,在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC,△ABC兰△DEC(SAS), AB=DE ·∠1=∠CDE,∠1+∠2=∠CDE+∠2=∠BDE=45° 2、如图，在△ABC中，∠B=∠C,M,N,P分别是边AB,AC,BC上的点，且 BM=CP,CN=BP,LA=92°，则∠MPN的度数为() A.44° B.92 C.88° D.136° M B 21/142 第14章全等三角形 答案：A 解析： (BM=CP 在△BMP和△CPN中， ∠B=∠C BP=CN ∴.△BMP≈△CPN(SAS) ·∠BMP=LCPN :∠A=92°，∠B=∠C 1 ∠B=2C=2×(180°-92)=44° .∠BPM+∠BMP=180°-∠B=136° .∠BPM+∠CPN=136° .∠MPN=180°-(LBPM+∠CPN)=44 3、在平面直角坐标系x0y中，已知点A的坐标为(5，-4)，点B的坐标为(0，- 4),在坐标轴上找一点C,使△AB0与△OBC全等，那么点C的坐标为 答案：(5,0)或(-5,0) C 解析： A(5,-4),B(0,-4) AB‖x轴，0B=4,AB=5,AB1y轴，即∠AB0=90° 要使△AB0兰△OBC,点C在x轴上，分两种情况： ①点C在x轴负半轴，0C=AB=5,此时C(-5,0); ②点C在x轴正半轴，0C=AB=5,此时C(5,0) 22/142 第14章全等三角形 综上，点C的坐标为(5,0)或(-5,0)。 避坑指南 要注意区分“全等”和“≥”，当用“全等”描述两个三角形全等时，对应关系不明确， 需要分类讨论；当用“≈”表示两个三角形全等时，对应关系已明确，不需要分类 讨论。 4、如图，点A在点0的正北方向，点B在点0的正东方向，且点A,B到 点0的距离相等，甲从点A出发，以每小时50千米的速度朝正东方向行驶， 同时，乙从点B出发，以每小时30千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，甲、 乙分别位于点C,D处，且位于点0处的观察员发现∠C0D=45°，此时甲、乙 两人相距 千米。 北 十东 D B 答案：80 E 北 东 解析： B 由题意得：A0=B0,∠CA0=∠DB0=90°，AC=50km,BD=30km,LC0D=45°，∠A0B= 90°。延长CA至点E,使AE=DB,连接E0,则∠EA0=90°。 DB=EA 在△DB0和△EA0中， LDBO=∠EAO BO=AO 23/142 第14章全等三角形 ·△DBO≥△EAO(SAS) .LBOD=LAOE,OD=OE :∠C0D=45° .∠A0C+∠B0D=90°-45°=45° ∠A0C+∠A0E=45°，即 ∠E0C=45° ·∠EOC=∠D0C OE=OD 在△E0C和△D0C中， ∠EOC=∠DOC 0C=0C .△EOC兰△DOC(SAS) ·.CD=CE=AC+AE=AC+BD=50+30=80千米 5、△ABC中，AB=AC,D是直线BC上的一点，以AD为一条边在AD的右 侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE,DE。 (1)如图，当点D在线段BC的延长线上时，求证：BD=CE。 (2)设LBAC=a,LDCE=B。 ①当点D在线段BC的延长线上时，《与B之间有什么数量关系？请说明理由。 ②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上时，与B之间有什 么数量关系？请说明理由。 B B B 备用图1 备用图2 答案： 24/142 第14章全等三角形 (1)证明：·∠BAC=∠DAE,∠BAC+LCAD=∠DAE+∠CAD 即∠BAD=LCAE AB=AC 在△BAD和△CAE中， LBAD=∠CAE AD-AE ∴.△BAD≈△CAE(SAS) ·.BD=CE (2)①a=B,理由如下： 由(1)得△BAD≈△CAE ·.∠ABD=∠ACE :LACD=∠ABD+∠BAC=LACE+∠DCE ·LBAC=∠DCE,即a=B D B B D C ②图1 图2 当点D在线段BC上时，a+B=180°，理由如下： 如图1，LBAC=∠DAE ·LBAC-LCAD=∠DAE-LCAD 即∠BAD=∠CAE AB=AC 在△BAD和△CAE中， ∠BAD=∠CAE AD-AE ∴△BAD≥△CAE(SAS) ·∠ADB=∠AEC,∠ABD=LACE :∠ADC+∠ADB=180° 25/142 第14章全等三角形 .∠ADC+∠AEC=180° ·.∠DAE+∠DCE=180° ∠BAC+∠DCE=180°，即a+B=180° 当点D在线段BC的反向延长线上时，=B,理由如下： 如图2，同理可证△BAD兰△CAE,·.∠ABD=∠ACE :∠ABD=∠ACD+∠BAC,∠ACE=LACD+∠DCE,·∠BAC=∠DCE,即a=B 一题练透手拉手全等模型 模型总结：条件：OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,0为直线AC、BD的交点。 图示 结论：①△A0C≈△B0D;②对应夹角相等。 解题思路：等角加（减）共顶点的角的公共部分，得到一组对应角相等。 在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠A0B=∠COD,连接AC,BD。 6、【模型呈现】 (1)如图1，若A,0,D三点共线，猜想AC与BD的数量关系，并证明。 B 答案：AC=BD,证明如下：：LAOB=LCOD ·∠AOB+LBOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD 26/142 第14章全等三角形 OA-OB 在△A0C和△B0D中， AOC=∠BOD 0C=0D ∴△AOC兰△BOD(SAS) ..AC=BD 【模型应用】 (2)如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点Q。若∠A0B=40°，求∠APD 的度数。 B 答案：由(1)同理可得△A0C≈△B0D ·∠OAC=∠OBD 在△AOQ和△BPQ中， ∠OAQ=LQBP,∠AQ0=∠BQP ·.∠A0Q=∠BPQ :∠A0Q=409 ·∠BPQ=40° .∠APD=180°-∠BPQ=140 【拓展延伸】 (3)如图3，∠A0B=∠C0D=90°，若M,N分别为AC,BD的中点，连接0M,ON, MW,判断OM与ON的数量关系与位置关系，并证明。 27/142 第1 B M D 答案：OM=ON,OM1ON,证明如下： 由(1)同理可得△A0C兰△B0D ·.∠OAM=∠OBN,AC=BD :M,N分别为AC,BD的中点 .AM-ZAC,BN-BD 1 1 .AM=BN 在△AOM和△BON中， OA=OB ∠OAM=∠OBN AM-BN ∴△AOM兰△BON(SAS) ∴.OM=ON,∠AOM=∠BON :∠A0B=90 ·∠AOM+∠MOB=90° ∠B0N+∠M0B=90°，即LM0N=90° .OM⊥0N 28/142 张售三养话卓 第14章全等三角形 14.3三角形全等的判定(ASA和AAS) 1、如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或 两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，最省事的做法是带碎片() A.① B.② C.③ D.①③ C ② ③ B 答案：C 解析：由题图可知，碎片③有完整的两角与夹边，根据ASA判定定理可以得到 与原三角形模具全等的三角形，所以最省事的做法是带碎片③去。 2、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入 相补法。如图所示，在△ABC中，分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,过 点A作AF1DE,垂足为点F,将△ABC分割后拼接成长方形BHCG。若DE=5, AF=4,则△ABC的面积是一。 答案：40 解析：可通过证明△FAD≥△GBD(AAS),△AFE≥△CHE(AAS),得出拼接前后图形 面积不变。 由三角形中位线性质得：长方形长BC=2DE=10,长方形宽BG=AF=4。 29/142 第14章全等三角形 S△ABC=S长方形BHcG=BC·BG=10×4=40。 3、如图，在△ABC中，D是AB边上的点，连接CD,BE平分∠ABC,交CD 于点E,EF II AC,交AB于点F,∠A=LBCD。 (1)求证：EF=EC (2)若∠BEF=110°，求LACD的度数。 D E B 答案： (1)证明：·BE平分∠ABC,·∠FBE=LCBE, EF II AC,.∠BFE=∠A,∠A=∠BCD,∴LBFE=∠BCE, (LBFE=∠BCE 在△BEF和△BEC中： ∠FBE=∠CBE,∴.△BEF≈△BEC(AAS),·.EF=EC BE-BE (2)解：由(1)得△BEF≈△BEC,÷∠BEC=∠BEF=110°， .∠CEF=360°-∠BEC-∠BEF=360°-110°-110°=140°， EF‖AC,∠ACD+∠CEF=180°，∠ACD=180°-140°=40°， 4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD II BC,连接AC,点G在BC边 上，连接DG并延长，交AB的延长线于点E,交AC于点F,连接AG,已知AE= AC,∠DAC+∠CGF=90°。 (1)求证：△ABC≈△AFE 30/142 第1 (2)若AC=2AB,求证：AD=CG B E 答案： (1)证明： AD II BC ·.∠DAC=∠ACG :∠DAC+∠CGF=90° :∠ACG+∠CGF=90° ∠CFG=90°，即∠AFD=90° .∠AFE=90 :∠ABC=90° ·∠ABC=∠AFE LCAB=∠EAF 在△ABC和 △AFE中： ∠ABC=∠AFE AC=AE ·.△ABC≈△AFE(AAS) (2)证明： 由(1)得△ABC兰△AFE .AB AF .AC=2AB ·AC=2AF ..AF=FC AD II BC 31/142 张售三养话卓 第14章全等三角形 ·.LDAF=LGCF (LAFD=∠CFG 在△DAF和△GCF中： AF-FC (∠DAF=∠GCF ·.△DAF兰△GCF(ASA) ..AD=CG 5、如图，在4×4的正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫作格点，线段AB 的端点都在格点上，请按要求用无刻度的直尺作图。 (1)在图1中作格点线段CD1AB,垂足为点E; (2)在图2中的线段AB上作点H,使得AH=BH。 B B 图1 图2 答案： A G FL- (1)作图： B 线段CD、垂足E即为所求（答案不唯一）。 原理证明： BE=CG 连接AF,FB,DG,在△ABF和△DCG中： LAFB=∠DGC AF-DG ·△ABF兰△DCG(SAS) 32/142 .∠BAF=∠CDG :∠ABF+∠BAF=90° ·.∠DCG+∠BAF=90° .∠AEC=180°-90°=90° .CD⊥AB A D (2)作图： C B 点H即为所求。 原理证明： 连接AD,BC,CD,CD与AB交于点H。 AD II BC ·∠DAH=∠CBH,∠ADH=∠BCH I∠DAH=∠CBH 在△ADH和△BCH中： AD=BC LADH=∠BCH ∴△ADH≈△BCH(ASA) .AH=BH 一题练透一线三等角模型 模型总结 模型识别：三个相等的角的顶点在同一条直线上 合，称为一线三等角。 33/142 第14章全等三角形 其中两个角的一边与该直线重 第14章全等三角形 同侧图示A 异侧图示 推导步骤：1.找等角：∠1=∠2=∠3；2.导角计算：根据平角及外角定理进行等角 代换，得出另一组相等的角；3.证全等：利用ASA或AAS判定三角形全等。 6、【模型发现】 (1)如图1，LADC=LCEB=LACB=90°，AC=BC。猜想DE,AD,BE之间的关系， 并说明理由。 (2)如图2，将(1)中的条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=(90°<<180)，AC=BC, 请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 图 图2 图3 图4 备用图 答案： (1)结论：DE=AD+BE,理由如下： :∠ADC=∠ACB=90° ·∠ACD+∠CAD=90°，LACD+LBCE=90° ·∠CAD=∠BCE 34/142 LCAD=∠BCE 在△ADC和△CEB中： ∠ADC=∠CEB AC=CB ·△ADC兰△CEB(AAS) ·AD=CE,CD=BE .DE=CE+CD=AD+BE (2)结论：仍然成立，证明如下： :∠ADC=∠ACB=a .∠ACD+∠CAD=180°-a,∠ACD+∠BCE=180°-C ·∠CAD=LBCE (LADC=∠CEB 在△ADC和△CEB 中： LCAD=∠BCE AC=CB ∴△ADC≈△CEB(AAS) ·.AD=CE,CD=BE .DE=CE+CD=AD+BE 【类比应用】 (3)如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点 射线CM,分别过点A,B作CM的垂线，垂足为E, 求△BFC的面积。 答案：解：∠ACB=90° .∠ECA+∠FCB=909 'AE⊥CM,BF⊥CM ·∠AEC=∠CFB=909 .∠ECA+∠EAC=90° ·.∠EAC=LFCB 35/142 第14章全等三角形 在∠ACB的内部作一条 F。若BF=3AE,EF=8, 第14章全等三角形 (LAEC=∠CFB 在△ACE和△CBF中： ∠EAC=∠FCB AC=CB ·.△ACE兰△CBF(AAS) ·AE=CF,CE=BF .EF=CE-CF ·.EF=BF-AE .BF=3AE,EF=8 ·.3AE-AE=8 解得：AE=4 .CF=4,BF=12 1 SABFG=-2×CF×BF=2×4×12=24 (4)【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系中，点P的坐标是(5,5)，点N在x 轴的正半轴上运动，点M在y轴上运动，且PM1PN,若OM=3,求出点N 的坐标。 答案：点N的坐标为(7,0)或(13,0) 解答： 40y D M ① 当点M在y轴正半轴上时： 过点P作PF1y轴于点F,过点N作NE1FP,交FP的延长线于点E。 :P(5,5),PF=0F=NE=5 'PM⊥PN 36/142 ∠MPN=90° .∠FPM+∠EPN=90 :∠PFM=909 ·∠FPM+∠PMF=90° .∠PMF=∠EPN (LPMF=∠NPE 在△PFM和△NEP中： ∠PFM=∠NEP PF=NE ·△PFM≈△NEP(AAS) ..FM=PE :0M=3 .FM=0F-0M=5-3=2 PE=2 ·.ON=EF=PF+PE=5+2=7 此时点N坐标为(7,0)。 ② M 当点M在y轴负半轴上时： 过点P作PT1y轴于点T,过点N作NS1TP, :P(5,5),.PT=NS=0T=5 同理可证△PTM兰△NSP(AAS),·.TM=PS TM=0T+0M=5+3=8 .PS=8 ·0N=TS=PT+PS=5+8=13 此时点N坐标为(13,0)。 综上所述，点N的坐标为(7,0)或(13,0)。 37/142 第14章全等三角形 交TP的延长线于点S。 第14章全等三角形 14.4三角形全等的判定(SSS) 1、如图，B,C,E三点在同一条直线上，且AB=AD,AC=AE,BC=DE。若∠1+ ∠2+∠3=94，则∠3的度数为() A.49° B.47° C.45° D.43 A 答案：B (AB=AD 解析：在△ABC和△ADE中， AC=AE BC=DE ∴.△ABC≈△ADE(SSS) ·∠ABC=∠1，∠ACB=∠2 由三角形外角性质可得：∠3=∠1+∠2 :∠1+∠2+∠3=94° .2∠3=94° .∠3=47° 2、雨伞的截面示意图如图所示，伞骨AB=AC,支撑杆0E=0F,且AE=AB, AF=AC。当点0沿AD上、下滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭的过程中，∠BAD 与∠CAD之间的数量关系为一。 38/142 第14章全等三角形 答案：LBAD=∠CAD 解析： AB=AC,AE= 34B,4F= 34c ·.AE=AF (AE-AF 在△A0E与△A0F中， A0=A0 OE=OF ∴△AOE≥△AOF(SSS) ∠BAD=∠CAD 3、如图，D为等腰三角形ABC内一点，P为△ABC外一点，AC=BC=BP,AD= BD,LDBP=∠DBC,∠C=62°，则∠BPD的度数为。 答案：31 解：B 连接CD。 (BD=AD 在△BCD和△ACD中， CD=CD (BC=AC ∴△BCD兰△ACD(SSS) ·.∠BCD=∠ACD ∠ACB=62 39/142 第14章全等三角形 ·LBCD= 2ACB=31° BD=BD 在△BCD和△BPD中， ∠DBC=∠DBP BC=BP ∴.△BCD=△BPD(SAS) ∠BPD=∠BCD=31° 4、学习了全等三角形的判定后，小宛猜想了一个命题：如果两个三角形有两边 及其中一条边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等。她根据命题的意义画 出了图形，并写出了部分已知条件，请你把已知条件补充完整，并写出证明过程。 已知：如图，AD和AD'分别是△ABC和△AB'C的中线，，AB=AB, BC=B'C'。求证：△ABC≈△A'B'C。 答案：补充条件：AD=AD 证明：·AD和A'D'分别是△ABC和△AB'C的中线 Bm-c,80-38c BC=BC ·.BD=B'D (AB=A'B 在△ABD和△A'BD'中， AD-A'D BD=B'D' ∴.△ABD≈△ABD(SSS) .∠B=∠B 40/142 第14章全等三角形 AB=AB 在△ABC和△AB'C'中， LB=∠B BC B'C △ABC≈△A'BC(SAS 5、【概念学习】若在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,我们把这种两组邻边 分别相等的四边形叫作“筝形”。 【性质探究】 (1)求证：筝形有一组对角相等。 已知：如图1，在筝形ABCD中，AB=AD,CB=CD。求证：∠B=LD。 (2)如图2，连接筝形ABCD的对角线AC,BD,AC与BD交于点O。请用文字 语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明。 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，∠A=80°，LB=40°，点D,E分别是边BC,AB上的 动点，当四边形AEDC为筝形时，直接写出∠BDE的度数. 一0 图1 图2 图3 答案： (1)证明： 41/142 第14章全等三角形 (AB=AD 连接AC,在△ABC和△ADC中， BC=DC,△ABC≈△ADC(SSS),·∠B=∠D AC=AC (2)性质：筝形的一条对角线平分一组对角（答案不唯一）。 (AB=AD 证明：在△ABC和△ADC中， BC=DC,△ABC兰△ADC(SSS), AC-AC ·LCAB=∠CAD,∠ACB=∠ACD,即AC平分∠BAD和∠BCD。 (3)100°或20° 解析：分两种情况讨论： E 1 B 当筝形AEDC中∠CDE=∠A=80°时： ∠BDE=180°-∠CDE=180°-80°=100° E ② B 先计算∠C=180°-∠A-∠B=180°-80°-40°=60° 当筝形AEDC中LAED=LC=60°时： ∠BDE=∠AED-∠B=60°-40°=20° 综上，∠BDE的度数为100°或20°。 42/142 第14章全等三角形 14.5直角三角形全等的判定(HL) 1、如图，AB1CD,且AB=CD,CE1AD于点E,BF1AD于点F。若CE=8, BF=4,EF=3,则AD的长为() A.9 B.8 C.7 D.6 E 答案：A 解答：设AB与CD交于点G。 :CE⊥AD,AB⊥CD,BF⊥AD .∠CED=∠AGD=∠AFB=90° ∠C+∠D=90°，∠A+∠D=90° ·.∠C=∠A (∠C=∠A 在△CED和△AFB中：}LCED=LAFB CD=AB ∴△CED兰△AFB(AAS) ..AF=CE=8,DE=BF=4 ·.DF=DE-EF=4-3=1 .AD=AF+DF=8+1=9 2、如图，AB=12Cm,CA1AB于点A,DB1AB于点B,且AC=4cm,线段BD 足够长，P,Q分别为线段AB,BD上的动点，点P从点B出发以1cm/s的 速度向点A运动，与此同时，点Q从点B出发以2cm/s的速度向点D运动， 则点P,Q运动_s时，△CAP与△PBQ全等。 43/142 P+B 答案：4 解析：设运动时间为t秒，则BP=tcm,BQ=2tcm,AP ·CA⊥AB,DB⊥AB ·.∠A=∠B=90° 当△CAP兰△PBQ时，AC=BP,AP=BQ AC =4cm .t=4 此时AP=12-4=8cm,BQ=2×4=8cm,满足AP=BQ, 3、如图，DE1AB,交AB的延长线于点E,DF1AC于点 BD=CD,∠DBE=∠C。 (1)求证：Rt△ADE兰Rt△ADF (2)若AB=6,CF=2,求AC的长。 E B 答案： (1)证明： ·DE⊥AB,DF⊥AC 44W142 第14章全等三角形 =(12-t)cm。 符合题意。 F,连接AD,BD,CD, 第14章全等三角形 ·LE=∠DFC=∠AFD=90° ILE=∠DFC 在△DBE和△DCF中： ∠DBE=∠C BD=CD ∴△DBE兰△DCF(AAS) .DE=DF 在RtAADE和RIAADF中：C二C ∴.Rt△ADE≈Rt△ADF(HL (2)解：由(1)得△DBE兰△DCF ·.BE=CF=2 .AE=AB+BE=6+2=8 由(1)得Rt△ADE兰Rt△ADF ..AF=AE=8 ∴.AC=AF+CF=8+2=10 4、【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后，聪聪继续对“两个三角形满足 两边分别相等和其中一组等边的对角相等”的情形进行研究。聪聪将命题用符号 语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E。 【分类讨论】聪聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究。将∠B分为直 角、钝角、锐角三种情况进行探究。 【解决问题】 (1)如图1，当∠B是直角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E= 90°，则Rt△ABC兰Rt△DEF(依据：)。 (2)如图2，当∠B是锐角时，BC=EF,∠B=∠E<90°，在射线EM上有一点D, 使DF=AC,作出符合条件的点D,则△ABC和△DEF的关系是() 45/142 第14章全等三角形 A.全等 B.不全等 C不一定全等 (3)如图3，当LB是钝角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E> 90°，试说明△ABC兰△DEF。 图1 图 图3A 答案： (1)HL (2)C 解析：M方 以F为圆心，AC长为半径作弧，交射线EM于点D、D',满足DF=D'F=AC。 其中△DEF兰△ABC,△D'EF与△ABC不全等，故两个三角形不一定全等。 (3)证明：过点C作CM1AB,交AB的延长线于点M,过点F作FN1DE, 交DE的延长线于点N。 :CM⊥AB,FN⊥DE :∠M=∠N=909 :∠CBA=∠FED ·.180°-∠CBA=180°-∠FED 46/142 第1 :.LCBM=∠FEN ∠M=∠N 在△CBM和△FEN 中： LCBM=∠FEN BC=EF ∴△CBM兰△FEN(AAS) .CM=FN 在Rt△ACM和Rt△DFN中：AC=DE LCM=FN ∴Rt△ACM兰Rt△DFN(HL) ·∠A=∠D ∠A=∠D 在△ABC和△DEF中： LABC=∠DEF BC=EF ∴.△ABC兰△DEF(AAS) 47/142 张售三养话卓 第14章全等三角形 14.6角的平分线的性质 1、如图，已知△ABC的周长是35，B0,C0分别平分∠ABC,LACB,OD1BC于 点D,且OD=3,则△ABC的面积是() A.105 B C.55 D.50 答案：B 解析： 连接OA,过点0作OE1AB于点E,OF1AC于点F。 :B0,C0分别平分∠ABC,∠ACB,OD1BC,OE1AB,OF1AC .0E=0D=0F=3 :△ABC的周长是35 ·.AB+BC+AC=35 S△ABC=S△AB0+S△BC0+S△AC0 1 1 1 =2AB.OE+BC.OD+ZAC.OF 1 =2(AB+BC+AC·OD =2×35×3 105 2 48/142 第14章全等三角形 2、如图，BD平分∠ABC,DE1AB于点E,△ABC的面积为90，AB=18,BC=12, 则DE的长为() A.15 B.3 c.6 D.9 B 答案：C 解析： 过点D作DF L BC于点F。 :BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC .DE=DF 'S△ABc=S△ABD+S△BCD SABc=2DE·AB+2DF.BC 将DE=DF、AB=18、BC=12代入得： 1 1 S△ABC=1 DE×18+DE×12=15DE S△4Bc=90 15DE=90 解得：DE=6 3、如图，在△ABC中，LABC和∠ACB的外角的平分线BP,CP交于点P,PE1AC, 交AC的延长线于点E。若△ABC的面积为10，△BPC的面积为7，PE=4, 则△ABC的周长为() 49/142 第14章全等三角形 A.8 B.10 C.11 D.12 答案：D G B 解析： A 连接AP,过点P作PF1BC于点F,PG1AB,交AB的延长线于点G。 :BP,CP分别平分∠ABC、LACB的外角，PE⊥AC,PF1BC,PG⊥AB ·PE=PF=PG=4 'S△BPC=7 1 BC.PF=7 1 2XBCX4=7 解得：BC :S△ABC=S△ABP+S△ACP-S△BPc=10 1 1 AB.PG+AC.PE-7=10 代入PE=PG=4得： 2AB+2AC=17,即AB+AC= △ABC的周长=AB+AC+BC=7+7 2+2 =12 4、如图，BD是∠ABC的平分线，BA=BC,点P在线段BD上，PM1AD,PN1CD, 垂足分别是M,N。求证：PM=PW。 50/142 第14章全等三角形 B 答案： 证明：·BD是∠ABC的平分线 ·.∠ABD=∠CBD BA=BC 在△ABD和△CBD 中： ∠ABD=∠CBD BD=BD ·.△ABD≈△CBD(SAS) ..∠ADB=∠CDB ·DB平分∠ADC :PM⊥AD,PN⊥CD .PM=PN 5、己知LMAN,AP平分LMAN,定点C在射线AP上，LDCB与射线AW交 于点B,与直线AM交于点D,且∠MAN+∠DCB=180°。 (1)如图1，当点D在射线AM上，且CB1AN时，判断CD与CB之间的数 量关系，并说明理由。 (2)如图2，当点D在射线AM上，且CB与AN不垂直时，(1)中的结论是否 仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 (3)如图3，当点D在射线AM的反向延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由。 51/142 第14章全等三角形 P M C M M D D A B B N BN D 图1 图2 图3 答案： (1)CD=CB,理由如下： 在四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC+∠DCB+∠ADC=360° :∠MAN+∠DCB=180°，且∠DAB=∠MAN ·.∠ADC+∠ABC=180° :CB⊥AN ·∠ABC=90° ·∠ADC=90°，即CD1AM :AP平分∠MAN,CD L AM,CB1AN ·.CD=CB (2)结论仍然成立，证明如下： P M C E A FB N 图1 如图1，过点C分别作CE1AM于点E,CF1AN于点F, ·∠CED=∠CFB=90° :AP平分∠MAN ..CE=CF 52/142 由四边形内角和可得：∠MAN+∠ECF=180° ∠MAN+∠DCB=180 ·.∠ECF=LDCB ·.∠ECF-∠DCF=∠DCB-∠DCF 即∠ECD=∠FCB (LCED=∠CFB 在△CED和△CFB中： CE-CF (∠ECD=LFCB .△CED≈△CFB(ASA) .CD=CB (3)结论仍然成立，证明如下： BN 图2 如图2，过点C分别作CE1AM于点E,CF1AN :AP平分∠MAN,·CE=CF, 由四边形内角和可得：∠MAN+∠ECF=180° ∠MAN+∠DCB=180°，.∠ECF=∠DCB ·.∠ECF-∠DCF=∠DCB-∠DCF 即∠ECD=∠FCB (LCED=∠CFB 在△CED和△CFB中： CE=CF,△CED≌ (LECD=∠FCB 53/142 第14章全等三角形 于点F,∠CED=∠CFB=90°， △CFB(ASA),·.CD=CB