第13-14章（三角形和全等三角形） 综合评价试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以三角形性质与全等判定为核心，通过基础概念辨析、多结论推理及实际测量应用，系统整合知识逻辑，渗透辅助线构造与模型迁移思想，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-4、填空11-14|三角形内角和、三边关系、角平分线性质|从三角形基本性质到特殊线段性质，构建概念网络| |全等应用|单选5-10、解答17-22|SAS/AAS/HL判定、辅助线构造（延长/截取）|全等判定→性质应用→多结论推理，形成逻辑闭环| |综合实践|解答23-24|全等模型迁移、实际测量方案设计|从数学思维到实际问题解决，体现应用意识与创新意识|

第13-14章（三角形和全等三角形） 综合评价试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．在中，如果，那么的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．16 2．如图，，点B，M，N，C在一条直线上．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．一只杯子静止在斜面上，其受力分析情况如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，和的平分线交于点P．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，若，点B，E，C在一条直线上，则下列结论：①是的平分线；②；③；④线段是的中线；⑤．其中一定正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为2，若，则的面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．15 7．如图，在和中，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 8．如图，在与中，，交于点D，连接．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，已知，则的度数为______． 12．如图，，垂足分别为E，F．若，则______． 13．当三角形中一个内角的度数是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”的度数是，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数是______． 14．三角尺和直尺按如图所示的方式放置在一起，已知．若，则的度数为______． 15．如图，已知，是的垂线，F为上一点，，则______． 16．在平面直角坐标系中有三点，以A，B，P为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为______． 三、解答题 17．如图，，垂足为，．求证：是直角三角形． 18．如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 19．如图，点D、E、F分别在的三条边上，点G在上，如果，，那么与平行吗？请说明理由． 20．如图，，，． (1)求证：； (2)若与的交点为M，，求的度数． 21．如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分． (1)若，求的度数； (2)点F在上，连接．若，请说明：． 22．如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． (1)画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； (2)求的面积； (3)画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 23．综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 24．（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B A B D C C D 1．C 2．B 3．C 4．B 如图，延长交于点E．设，交于点F． 平分， ， ， ． 平分， ． ， 即， ． 5．A ①， ， 是的平分线，故①正确； ②，点B，E，C在同一条直线上， ， ， ． ， ， ． 点A，D，C可能不在同一条直线上， 可能不垂直于，故②不一定正确； ③已知． 若点A，D，C不在同一直线上，则， ，故③不一定正确； ④，点B，E，C在同一条直线上， ， ∴线段是的中线，故④正确； ⑤， ． 若点A，D，C不在同一条直线上，则，此时，故⑤不一定正确． 6．B 此题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，过点O作交于点E，首先得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 如图所示，过点O作交于点E ∵，的平分线交于点O，点O到边的距离为2， ∴ ∵ ∴的面积为． 故选：B． 7．D 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定. 由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，故①正确； ， 由三角形的外角性质得：， ，故②正确； 作于，于，如图所示， 则， ， ， 平分，故④正确； 假设平分，则， 在与中， ， ， ， ， ， 而，故③错误； 所以其中正确的结论是①②④． 故选：D． 8．C 在和中， ， ，故结论①正确； ，，故结论②正确； ， ，故结论③正确；无法证明，故结论④错误． 综上，正确的个数为3． 9．C 本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， ①满足AAS定理可证明 故选：C． 10．D 本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 在上截取，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得． 解：如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 11． 12． 13． 14． 15．13 是的垂线，． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ． ． 16．或或 结合全等三角形的性质，分情况讨论与全等时点的位置即可． 解：如图所示． 以A，B，P为顶点的三角形与全等，， ∴点P的坐标为或或． 本题考查了平面直角坐标系中三角形全等时点的位置，分类讨论是解题的关键． 17．见解析 本题考查了直角三角形的证明，需熟练掌握等量代换以及三角形内角和为是解决本题的关键． 根据，可得，再由等量代换可得，再根据三角形的内角和为即可证明． 证明：，， ， 又， ． 在中，， ， 是直角三角形． 18． 证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 略 19．与平行 本题考查了内错角相等两直线平行，三角形内角和定理，解题关键是利用三角形的内角和定理证明相关角相等 先判断为平行，再利用三角形的内角和定理证明，然后利用内错角相等两直线平行证明． 解：与平行， 理由：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20．(1) 证明：， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）由得，即，再由证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）由得，再由三角形内角和定理可推出，即可解题． （1）略 （2）解：如图，和交于点， ， ， ，， ， ． 21．(1) (2) 证明：，， ， ， ， ． 本题考查了三角形内角和，熟记三角形内角和定理是解题的关键． （1）先利用角平分线的意义求出，再利用三角形内角和求出，进而求出，然后利用三角形内角和求出； （2）先求出，再利用三角形内角和求出即可． （1）解：∵平分，， ∴， ， ， ， ， ， ∴； （2）略 22．(1) 见解析见解析 (2)10 (3) 见解析 本题考查格点作图，利用网格求三角形面积，平行线的性质．掌握三角形的中线、高线的概率及性质是解题的关键． （1）①画出边上的中线即可；②过点A向的延长线作垂线，垂足为点E即可； （2）根据网格，利用割补法求解即可； （3）过点B作，直线与格线的交点是格点，即为所求的点F． （1）解：如图所示：①线段即为所求；线段即为所求． ①∵点D是， ∴ 根据等底同高的两三角形面积相等得； ∵， ∴是边上的高线． （2）解：． （3）解：如图所示：点即为所求． ∵ ∴与的底边的高相等， ∴． 23．(1) (2) （方法不唯一）方案： 1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C； 2、连接并延长到，使；连接并延长到，使； 3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离． 证明：，，（对顶角相等）， ， ． 本题考查的是全等三角形的应用的应用； （1）如图，连接．证明，即可求解． （2）（方法不唯一）方案二：1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C；2、连接并延长到，使；连接并延长到，使；3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离．证明，即可解答． （1）解：如图，连接． 由原地旋转可得， 又， ， ； （已知）； ； 故：A、B两点间的距离为． （2）略 24．（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 解：（1），， ， 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 学科网（北京）股份有限公司 $