专题02 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形倒角四大模型，通过角平分线与高线组合的系统性题型设计，提炼通性通法，培养推理意识与几何直观，构建从基础推导到变式应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双内角角平分线模型|6题|推导∠BOC=90°+1/2∠A，渗透从特殊到一般的归纳法|以三角形内角和为基础，结合角平分线定义推导角度关系| |一内角一外角角平分线模型|6题|总结∠P=1/2∠A，强化动态与四边形情境迁移|延伸内角和定理，拓展外角性质的综合应用| |双外角角平分线模型|6题|提炼∠P=90°-1/2∠A，对比内外角模型差异|深化外角和性质，构建角平分线组合的完整认知| |高线与角平分线模型|6题|归纳∠DFE=1/2(∠C-∠B)，融合高线与角平分线性质|综合直角三角形性质与角平分线定义，提升综合推理能力|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型 题型归纳 题型一三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二三角形中的倒角模型之一内角一外角角平分线模型 题型三三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四三角形中的倒角模型之高线与角平分线模型 题型专练 题型一：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1,(2425八年级上山东聊城期末)如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠4CB的角平分线交于 D,∠ABD,与∠ACD的角平分线交于点D,∠ABD,与∠ACD的角平分线交于点D,依此类推，∠ABD 与∠ACD1的角平分线交于点D,则∠BD,C的度数是()，（用含n的式子表示） D B C A. 90°4520 2” B.90°+52° 2 C.52°+128 2n D.52°+128 2- 2.(25-26七年级下山东德州期末)如图，直线AB,CD被直线EF所截，交点分别是E,F,已知 AB∥CD,∠BEF与∠DFE的角平分线相交于点B,∠BER与∠DFR的角平分线相交于点B,∠BER与 ∠DFB的角平分线相交于点B,…,按此规律依次进行，则∠B6的度数是() E B C D 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 90° 90° 180° 180° A. 2026 B. 2025 C.206 D. 22025 3.(25-26九年级上重庆阶段检测)如图，在△ABC中，∠CAB的角平分线AD与∠CBA的角平分线BD 交于点D,过D点作AB的平行线分别交AC、BC于点MN,若△ABC与△CMN的周长分别为22、14， 则AB的长为. B 4 (2425七年级下·吉林·期中)如图1，△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的角平分线交于点D D B 图1 图2 图3 (1)若∠A=70°，则∠BDC= (2)从上述计算中， 我们能发现： ∠BDC= (用含∠A的代数式表示)： (3)如图2，△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACD的角平分线交于点A,请用含∠A的代数式表示∠A,并 说明理由. (4)如图3，∠ABC的角平分线和∠ACD的角平分线交于点4，如此继续下去，可得A,A,…,A,请 写出∠A与∠A的数量关系为 (直接写出结果即可)， 5.(2425九年级下·山东青岛阶段检测)我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题； 聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： B B 图1 图2 (1)问题再现： 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,若∠A=50°，则∠P= (2)问题推广： ①如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， 若∠I+∠2=100°，则∠BPC= ②如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， 若∠1=m°，∠2=n°，则∠BPC= 6.(25-26八年级下山东烟台期末)综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用. 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动.“前进” 小组得到了一个结论：已知△ABC,如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则 P-0+a 证明如下：BP,CP是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∠PBC=ABC,∠PCB=)∠ACB, 2 :∠A+2(∠PBC+∠PCB)=180°， 2PaC+∠B=0-A, .∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180° 90-3A-0+A 图1 图2 图3 【问题解决】 (I)如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给 出证明：若不成立，写出正确的结论并证明. 【拓展创新】 (②)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， 若∠1+∠2=76°，求∠BPC的度数. 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：三角形中的倒角模型之一内角一外角角平分线模型角 7.(25-26七年级下·山东济南期中)如图，BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，B4,是 ∠ABD的角平分线，CA,是∠ACD的角平分线，BA是∠A,BD的角平分线，CA是∠A,CD的角平分线， 若∠4=C,则∠A026为一 B----- D 8.(25-26七年级下·重庆·阶段检测)如图，直线AB∥CD,E、F分别为直线AB、CD上的点，P为直 线AB上方一点.若∠BEP的角平分线与∠DFP的角平分线交于点H，,∠EPF的角平分线与∠PFC的角平 分线交于点G,PG交EH于点M,∠EHF=15°，∠PMH=35°，则∠PGF=. H 9.(25-26八年级上·全国期末)如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A. D C E 图1 图2 图3 ()如图1，若∠A=70°，则∠A=-· (2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的角平分线相交于点F,若∠A+∠D=230°， 求∠F的度数 (3)如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线交于A,若E为BA延长线上一动点， 连接EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q,当E滑动时有下面两个结论： ①∠Q+∠A的值为定值： ②∠Q-∠A的值为定值； 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值， 10.(24-25七年级下湖南衡阳期末)【结论发现】(1)如图1，在△ABC中，∠A=40°，点E是△ABC 的内角∠ABC平分线与外角∠ACD平分线的交点，求∠E的度数： (2)如图2，在△ABC中，∠A=40°，延长AB至点E,延长BC至点D,已知∠ABC的角平分线与∠ACD 的角平分线交于点P,∠CBE的角平分线与∠ACD的角平分线反向延长线交于点F,求∠F的度数： 【拓展延伸】(3)如图3，CE是四边形ABCD的内角∠BCD的角平分线，BF是四边形ABCD的外角 ∠ABG的角平分线，形成如图所示形状，已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数. 图1 图2 图3 11.(2425七年级下·山东威海期末)己知：四边形ABCD,延长AB至点E,分别作∠DAB和∠CBE的 角平分线， 图1 图2 ()如图1，当∠D=145°，∠C=85°时，∠DAB和∠CBE的角平分线交于点F,则∠F的度数为： (②)如图2，当LD=64°，∠C=60°时，∠DAB和∠CBE的角平分线的反向延长线交于点F,求∠F的度数： (3)猜想：当∠D与∠C满足什么条件时，∠DAB和∠CBE的角平分线平行？画出图形，并说明理由， 12.(23-24七年级下·甘肃兰州期末)在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角 和内外角平分线夹角问题.聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如 下： 图1 图2 图3 备用图 备用图 (①)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC∠ACB的角平分线交于点P,若∠A=50°，则∠P=- 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与∠ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P,求 ∠APB与∠ACB之间的数量关系； (3)【拓展提升】如图3，在四边形BCDE中，EB∥CD,点F在直线ED上运动（点F不与E,D两点重 合)，连接BF,CF,∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q,若∠EBF=a,∠DCF=B,求∠Q和&，B之间 的数量关系 题型三：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 13.(24-25七年级下·河南南阳期末)如图，点M是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平 分线的交点，则下列说法错误的是() A.∠BMC=90°+∠A B.∠N=90-∠A 2 C.∠BMC+∠N=2∠A D.∠BMC+∠N=180° 14.(25-26八年级上江西南昌阶段检测)如图，己知在△ABC中，∠A=54°，∠ABC的外角平分线和 ∠ACB的外角平分线交于点P.则∠P= 15.(25-26八年级上江西赣州期中)(1)如图1所示，△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的平分线 交于点O,则∠BOC=一： 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 (2)如图2所示，∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角平分线交于点O,写出∠BOC与∠A的关系，并证 明 E 图2 16.(21-22七年级下·山东泰安期中)在△ABC中， A E D B 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) (I)如图(1)，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P.若∠A=60°，求∠BPC的度数.若∠A=n°，则 ∠BPC= (2)如图(2)，在△ABC中的外角平分线相交于点Q.∠A=n°，求∠BQC的度数. (3)如图(4)，△ABC中的内角平分线相交于点P,外角平分线相交于点Q,延长线段BP、QC交于点E, △BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数. 17.(24-25八年级上四川广元期中)【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线 相交于点P, B 9 图① 图② 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A=度，∠P=度： (2)∠A与∠P的数量关系为一，并说明理由. 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P,∠ABC的外角平分线与 ∠ACB的外角平分线相交于点Q,写出∠A与∠Q的数量关系，并说明理由. 18.(24-25七年级下河南洛阳期末)在△ABC中，点P为∠ABC与∠BCA的内角或外角平分线的交点. ò 图1 图2 图3 (I)如图1，若P为∠ABC与∠BCA的内角平分线的交点，∠ABC=80°，∠BCA=50°，则∠BPC= (②)如图2，若P为∠ABC和∠BCA的外角平分线的交点，∠ABC=80°，∠BCA=50°，求∠BPC的度数. 对于以上问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） :BP平分∠EBC(已知) 2Psc=E8c=080r-∠AB0=2080-80n=50 2 同理可得：∠PCB= :∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°( .∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB(等式性质) =180°-50°-° =0 (3)如图3，若P为∠ABC的内角平分线与∠BCA的外角平分线的交点，则∠BPC=一（用∠A表示） 题型四：三角形中的倒角模型之高线与角平分线模型 19.(25-26七年级下·重庆长寿期中)已知：如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的角平分线，若 ∠B=30°，∠ACD=56°，则∠EAD的度数为 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 20.(23-24七年级下·吉林长春·期末)如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是高，BD与CE相交于 点O,过点D作DFI‖EC,当∠ECB=30°时，求∠BDF的度数. 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）· D 解：CE是高（已知）， ∴.LBEC= （三角形高的定义)· ∠EBC+=90°（直角三角形的两个锐角互余）· ∠EBC=90°-∠BCE=°. BD是角平分线， ∠EB0=EBC=·(角平分线定义) .∠BOC=∠EBO+∠BEC=°(). :DF∥EC(已知)， :∠BDF==120°（两直线平行，同位角相等）· 21.(25-26七年级下·重庆期中)如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，AD,CF 相交于点O,且∠BAC=60°，∠ABC=74°. D (1)求∠COD的度数： (2)若△ABE的面积是3，BC=4,求高AD的长度. 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(23-24七年级下·吉林长春期中)【感知】(1)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分 线，CD是高，AE,CD相交于点F.若LB=40°，则∠CFE=,∠CEF=_. 【探究】(2)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE,CD相交于点F.求 证：∠CFE=∠CEF 【拓展】(3)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线 交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=a,则∠CEF的大小为（用含 的代数式表示). G A D E B B 图① 图② 23. (23-24七年级下·四川成都期中)小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： G D E B E M C E B 图1 图2 图3 (①)【习题回顾】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F. 求证：∠CFE=∠CEF: (②)【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线 交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=35°，求∠CFE和∠CEF的度数： (3)【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,角平分线AE交CD于点 F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线N与BC的延长线交于点M,若∠M=25°，求∠CFE的度数， 24.(24-25八年级上浙江期末)【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段， 我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点. 10/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图1 图2 图3 M 图4 图5 (1)①如图1，在△ABC中，∠A=90°，则△ABC三条高线所在的直线交于点 ②如图2，在△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE,AD,请你仅用一把无刻度的直尺做出△ABC的第 三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 (2)如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C,AD平分∠BAC,过点B作BE⊥AD于点E ①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD= ②请写出∠EBD于∠ABC,∠C之间的数量关系，并说明理由. 【拓展延伸】 (③)三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于 △ABM的面积BM 对应底边的比.如图4，M是BC上的一点，则有AACM的面积CM·如图5，AABC中，M是BC上一 点， BM-BC,N是AC中点，若AABC的面积是m,请直接写出四边形CMDV的面积 4 (用含m的代数式表示) 11/11 专题02 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型 题型一 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二 三角形中的倒角模型之一内角一外角角平分线模型 题型三 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四 三角形中的倒角模型之高线与角平分线模型 题型一：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，根据三角形的角平分线的性质求出与的关系，并能找出与的关系规律成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得到再根据三角形的内角和定理可得：的度数，再根据与的角平分线交于点，可得，进而求出，，以此类推可得到： ，然后整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴ ∴ ∴， 同理：， 依此类推， ． 故选C． 2．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图，直线，被直线所截，交点分别是，，已知，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，，按此规律依次进行，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得，结合角平分线得到，，过点作，过点作，则和，有，，即可得，及，再次根据角平分线得到和，则，同理，，依此类推得到，即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴，， 如图所示，过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过点作， ∴， ∵与的角平分线相交于点，， ∴，， ∴， 同理，， 依此类推，， ∴． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点D，过D点作的平行线分别交、于点M、N，若与的周长分别为22、14，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 4．（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D    (1)若，则_________． (2)从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； (3)如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． (4)如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： (4) 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握其性质定理． （1）利用求出，再利用角平分线的性质求出，即可求解； （2）结合（1）的过程得，即可作答． （3）利用三角形的外角性质得出，，从而可得，，再利用角平分线的性质，即可证明； （4）与（3）同理先求出，则得，再观察规律，得即可求解． 【详解】（1）解：∵的角平分线和的角平分线交于点D， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由（2）得出， 故答案为：． （3）解：依题意，，， ，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， ； （4）解：依题意，，，， ∴，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， 由（3）可知： ， ， 同理得 ， 以此类推，得， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 (1)如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． 【答案】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为， 证明：，是和的角平分线， ，， ， 又，， ， ∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为． (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，，由外角的性质得，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）连接，由外角的性质得，，由折叠的性质得：，即可求出的度数，再根据题干的结论，即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 由题干的结论得：， ． 题型二：三角形中的倒角模型之一内角一外角角平分线模型角 7．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，同理可得：，， 进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， 则， ∵， ， ． 8．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，，则______． 【答案】 【分析】过作，设，，根据角平分线的定义可得，，利用平行线的性质和三角形外角的性质可得，在中，利用外角性质可得，根据点位置（由在右侧推断在，右侧），可得，从而求出和，的值，最后利用角平分线和三角形内角和定理求． 【详解】解：如图，过作， 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， 设，则， ∵， ∴同理可得：， ∴，即， 在中，是外角， ∴，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 10．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）【结论发现】（1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，求的度数； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知的角平分线与的角平分线交于点P，的角平分线与的角平分线反向延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，是四边形的内角的角平分线，是四边形的外角的角平分线，形成如图所示形状，已知，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设，由角平分线定义得，由三角形外角定理得，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）延长交于，延长交于，先求出，再根据得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， ∵平分平分， ， ， ， 整理得：， ∴当时，； （2）∵和是邻补角， ， ∵平分平分， ， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）延长交于，延长交于，如下图所示： ， ， ， 即， 同理：， ， ， 由（1）可知：， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 11．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知：四边形，延长至点，分别作和的角平分线．    (1)如图1，当，时，和的角平分线交于点，则的度数为 ； (2)如图2，当，时，和的角平分线的反向延长线交于点，求的度数； (3)猜想：当与满足什么条件时，和的角平分线平行？画出图形，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和的角平分线交于点，得到，根据外角性质，得，解答即可； （2）仿照（1）的解题思路，解答即可； （3）根据；结合平行线的性质，得到，得到，根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性，角的平分线，三角形外角性质，四边形内角和定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵和的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：设分别在射线上取一点M，点N， ∵和的角平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． （3）解：如图，设分别是的角平分线， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若，则 ． (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，求与之间的数量关系； (3)【拓展提升】如图3，在四边形中， ，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，求和，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)当点F在点E左侧时， ；当点F在点D，E之间时，；当点F在点D的右侧， 【分析】此题主要考查了角平分线定义，平行线性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握角平分线定义，平行线性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点． （1）由角平分线定义得，再由三角形内角和定义得，则，然后由三角形内角和定理得，由此可得的度数； （2）设，由角平分线性质得，则，再由得，由此得，然后由得，由此可得结论； （3）分三种情况讨论如下：①当点F在点E左侧时；②当点F在点D，E之间时；③当点F在点D的右侧，根据角平分线定义结合三角形内角和定理可得出和α，β之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）设， ∵的角平分线与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合）， ∴有以下三种情况： ①当点F在点E左侧时，如图所示： ∵， ∴， ∵的角平分线交于点Q，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ②当点F在点D，E之间时，如图所示： 同理得：， ∴， ∴， ∴； ③当点F在点D的右侧，如图所示： 同理得：， ∴， 综上所述：当点F在点E左侧时， ；当点F在点D，E之间时，；当点F在点D的右侧，． 题型三：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 13．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的外角性质．熟练运用三角形内角和定理，三角形外角性质、角平分线的相关只是并作出合理的辅助线是解题的关键．根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质结合选项分析即可求解． 【详解】解：∵ 平分 平分 ， ， ， ，故A正确； ∵点为的两外角平分线的交点， ，  ， ， ∴ ，故B正确； ∴ ，故D正确； ∵，∴， 故C错误； 故选：C． 14．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点．则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的外角平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先由三角形的内角和算出，再根据外角平分线即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 15．（25-26八年级上·江西赣州·期中）（1）如图1所示，中，，和的平分线交于点，则______；    （2）如图2所示，的外角平分线和的外角平分线交于点，写出与的关系，并证明．    【答案】（1）   （2）， 证明：∵， ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理是解本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理整理即可得解； （2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义表示出和，再根据三角形的内角和定理解答． 【详解】解：（1）， ． 和的平分线交于点O， ，， ． ． 故答案为：． （2）略 16．（21-22七年级下·山东泰安·期中）在中， (1)如图（1），、的平分线相交于点．若，求的度数．若，则______． (2)如图（2），在中的外角平分线相交于点．，求的度数． (3)如图（4），中的内角平分线相交于点，外角平分线相交于点，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【答案】(1)当时，，当时， (2)时， (3)的度数为，或 【分析】（1）根据角平分线性质以及三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理、外角和定理及角平分线性质求解即可； （3）根据（1）、（2）题的结论，进行分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 当时，， 当时，则． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴， 当时，则． （3）解：由（1）、（2）得，， ∵、分别为的外角平分线和内角平分线， ∴， ①当时， 即， 解得； ②当时， ∵， 解得， ∴， 得； ③当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ④当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为，或． 【点睛】图1为“双内角平分线模型”，结论为，图2为“双外角平分线模型”，结论为，两个模型的结论都可以由三角形的内角和定理(或三角形的外角的性质)和角平分线的定义得出． 17．（24-25八年级上·四川广元·期中）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）50，115；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键． （1）依据三角形内角和定理进行计算即可； （2）依据分别平分，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； （3）依据的外角平分线与的外角平分线相交Q，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】（1） ∵的平分线与的平分线相交于点P， 故答案为：50，115 （2） 证明：∵分别平分， （3） 理由：∵的外角平分线与的外角平分线相交于点Q， 中 又 18．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在△ABC中，点P为与的内角或外角平分线的交点． (1)如图1，若P为与的内角平分线的交点，，，则______ (2)如图2，若P为和的外角平分线的交点，，，求的度数．对于以上问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） 平分（已知） 同理可得：______ （______） （等式性质） ______ ______ (3)如图3，若P为的内角平分线与的外角平分线的交点，则＝______（用表示） 【答案】(1)115 (2)65，三角形的内角和等于，65，65 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，根据三角形内角和定理可得； （2）根据平角的定义和平分线的定义可得，，根据三角形内角和定理可得； （3）根据平角的定义和可得，，根据三角形外角的现在可得， ，进而可得． 【详解】（1）解： 平分，平分，且，， ，， ． 故答案为：115 （2）解：平分（已知）， ， 同理可得：， （三角形的内角和等于）， （等式性质）， ． 故答案为：65，三角形的内角和等于，65，65 （3）解：如图3， 平分，平分， ，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型四：三角形中的倒角模型之高线与角平分线模型 19．（25-26七年级下·重庆长寿·期中）已知：如图，中，是高，是的角平分线，若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由为高，，，利用外角性质求出，根据是角平分线，求出，即可求出的度数. 【详解】解：∵为高，， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴. 20．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，是角平分线，是高，与相交于点，过点作，当时，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：是高（已知）， ______（三角形高的定义）． ______（直角三角形的两个锐角互余）． ______°． 是角平分线， ______°（角平分线定义）． ______°（______）． （已知）， ______（两直线平行，同位角相等）． 【答案】；；60；30；120；三角形的外角性质； 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，角平分线的定义．根据直角三角形的两个锐角互余的性质求得，利用角平分线定义求得，再利用三角形的外角性质结合平行线的性质即可求解． 【详解】解：是高（已知）， （三角形高的定义）． （直角三角形的两个锐角互余）． ． 是角平分线， （角平分线定义）． （三角形的外角性质）． （已知）， （两直线平行，同位角相等）． 21．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，AD，CF相交于点O，且∠BAC＝60°，∠ABC＝74°． (1)求∠COD的度数； (2)若△ABE的面积是3，BC＝4，求高AD的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用高的定义得到直角，根据三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义即可求解； （2）根据三角形中线的性质得到的面积是6，进而即可求解． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是中线，的面积是3， ∴的面积是6， ∴，即， ∴． 22．（23-24七年级下·吉林长春·期中）【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先求得，， ，再结合三角形的外角的性质可得结论； （2）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论； （3）先求解，结合角平分线可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1），是高，， ，， 是角平分线， ， ，， 故答案为：，； （2）证明：，是高， ，， ， 是角平分线， ， ，， ； （3）∵， ， 为的角平分线， ， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键． 23．（23-24七年级下·四川成都·期中）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是高， ∴， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵， ∴ （2）∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）∵C、A、G三点共线，是角平分线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 24．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①A；见解析；（2）①25；，见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解． 【详解】解：（1）①A； ②如图，即为所求． （2）①中，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：25； ②与之间的数量关系为， 理由如下： ， ， , ． （3）如图，连接， N是中点， 设， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型 题型一 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二 三角形中的倒角模型之一内角一外角角平分线模型 题型三 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四 三角形中的倒角模型之高线与角平分线模型 题型一：三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，根据三角形的角平分线的性质求出与的关系，并能找出与的关系规律成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得到再根据三角形的内角和定理可得：的度数，再根据与的角平分线交于点，可得，进而求出，，以此类推可得到： ，然后整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴ ∴ ∴， 同理：， 依此类推， ． 故选C． 2．C 【分析】根据平行线的性质得，结合角平分线得到，，过点作，过点作，则和，有，，即可得，及，再次根据角平分线得到和，则，同理，，依此类推得到，即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴，， 如图所示，过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过点作， ∴， ∵与的角平分线相交于点，， ∴，， ∴， 同理，， 依此类推，， ∴． 3． 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 4．(1) (2) (3)，理由如下： (4) 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握其性质定理． （1）利用求出，再利用角平分线的性质求出，即可求解； （2）结合（1）的过程得，即可作答． （3）利用三角形的外角性质得出，，从而可得，，再利用角平分线的性质，即可证明； （4）与（3）同理先求出，则得，再观察规律，得即可求解． 【详解】（1）解：∵的角平分线和的角平分线交于点D， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由（2）得出， 故答案为：． （3）解：依题意，，， ，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， ； （4）解：依题意，，，， ∴，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， 由（3）可知： ， ， 同理得 ， 以此类推，得， 故答案为：． 5．(1) (2)① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 6．(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为， 证明：，是和的角平分线， ，， ， 又，， ， ∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为． (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，，由外角的性质得，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）连接，由外角的性质得，，由折叠的性质得：，即可求出的度数，再根据题干的结论，即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 由题干的结论得：， ． 题型二：三角形中的倒角模型之一内角一外角角平分线模型角 7． 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，同理可得：，， 进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， 则， ∵， ， ． 8． 【分析】过作，设，，根据角平分线的定义可得，，利用平行线的性质和三角形外角的性质可得，在中，利用外角性质可得，根据点位置（由在右侧推断在，右侧），可得，从而求出和，的值，最后利用角平分线和三角形内角和定理求． 【详解】解：如图，过作， 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， 设，则， ∵， ∴同理可得：， ∴，即， 在中，是外角， ∴，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，． 9．(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 10．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设，由角平分线定义得，由三角形外角定理得，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）延长交于，延长交于，先求出，再根据得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， ∵平分平分， ， ， ， 整理得：， ∴当时，； （2）∵和是邻补角， ， ∵平分平分， ， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）延长交于，延长交于，如下图所示： ， ， ， 即， 同理：， ， ， 由（1）可知：， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和的角平分线交于点，得到，根据外角性质，得，解答即可； （2）仿照（1）的解题思路，解答即可； （3）根据；结合平行线的性质，得到，得到，根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性，角的平分线，三角形外角性质，四边形内角和定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵和的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：设分别在射线上取一点M，点N， ∵和的角平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． （3）解：如图，设分别是的角平分线， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．(1) (2) (3)当点F在点E左侧时， ；当点F在点D，E之间时，；当点F在点D的右侧， 【分析】此题主要考查了角平分线定义，平行线性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握角平分线定义，平行线性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点． （1）由角平分线定义得，再由三角形内角和定义得，则，然后由三角形内角和定理得，由此可得的度数； （2）设，由角平分线性质得，则，再由得，由此得，然后由得，由此可得结论； （3）分三种情况讨论如下：①当点F在点E左侧时；②当点F在点D，E之间时；③当点F在点D的右侧，根据角平分线定义结合三角形内角和定理可得出和α，β之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）设， ∵的角平分线与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合）， ∴有以下三种情况： ①当点F在点E左侧时，如图所示： ∵， ∴， ∵的角平分线交于点Q，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ②当点F在点D，E之间时，如图所示： 同理得：， ∴， ∴， ∴； ③当点F在点D的右侧，如图所示： 同理得：， ∴， 综上所述：当点F在点E左侧时， ；当点F在点D，E之间时，；当点F在点D的右侧，． 题型三：三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 13．C 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的外角性质．熟练运用三角形内角和定理，三角形外角性质、角平分线的相关只是并作出合理的辅助线是解题的关键．根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质结合选项分析即可求解． 【详解】解：∵ 平分 平分 ， ， ， ，故A正确； ∵点为的两外角平分线的交点， ，  ， ， ∴ ，故B正确； ∴ ，故D正确； ∵，∴， 故C错误； 故选：C． 14． 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的外角平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先由三角形的内角和算出，再根据外角平分线即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 15．（1）   （2）， 证明：∵， ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理是解本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理整理即可得解； （2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义表示出和，再根据三角形的内角和定理解答． 【详解】解：（1）， ． 和的平分线交于点O， ，， ． ． 故答案为：． （2）略 16．(1)当时，，当时， (2)时， (3)的度数为，或 【分析】（1）根据角平分线性质以及三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理、外角和定理及角平分线性质求解即可； （3）根据（1）、（2）题的结论，进行分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 当时，， 当时，则． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴， 当时，则． （3）解：由（1）、（2）得，， ∵、分别为的外角平分线和内角平分线， ∴， ①当时， 即， 解得； ②当时， ∵， 解得， ∴， 得； ③当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ④当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为，或． 【点睛】图1为“双内角平分线模型”，结论为，图2为“双外角平分线模型”，结论为，两个模型的结论都可以由三角形的内角和定理(或三角形的外角的性质)和角平分线的定义得出． 17．（1）50，115；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键． （1）依据三角形内角和定理进行计算即可； （2）依据分别平分，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； （3）依据的外角平分线与的外角平分线相交Q，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】（1） ∵的平分线与的平分线相交于点P， 故答案为：50，115 （2） 证明：∵分别平分， （3） 理由：∵的外角平分线与的外角平分线相交于点Q， 中 又 18．(1)115 (2)65，三角形的内角和等于，65，65 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，根据三角形内角和定理可得； （2）根据平角的定义和平分线的定义可得，，根据三角形内角和定理可得； （3）根据平角的定义和可得，，根据三角形外角的现在可得， ，进而可得． 【详解】（1）解： 平分，平分，且，， ，， ． 故答案为：115 （2）解：平分（已知）， ， 同理可得：， （三角形的内角和等于）， （等式性质）， ． 故答案为：65，三角形的内角和等于，65，65 （3）解：如图3， 平分，平分， ，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型四：三角形中的倒角模型之高线与角平分线模型 19． 【分析】由为高，，，利用外角性质求出，根据是角平分线，求出，即可求出的度数. 【详解】解：∵为高，， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴. 20．；；60；30；120；三角形的外角性质； 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，角平分线的定义．根据直角三角形的两个锐角互余的性质求得，利用角平分线定义求得，再利用三角形的外角性质结合平行线的性质即可求解． 【详解】解：是高（已知）， （三角形高的定义）． （直角三角形的两个锐角互余）． ． 是角平分线， （角平分线定义）． （三角形的外角性质）． （已知）， （两直线平行，同位角相等）． 21．(1) (2)3 【分析】（1）利用高的定义得到直角，根据三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义即可求解； （2）根据三角形中线的性质得到的面积是6，进而即可求解． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是中线，的面积是3， ∴的面积是6， ∴，即， ∴． 22．（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先求得，， ，再结合三角形的外角的性质可得结论； （2）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论； （3）先求解，结合角平分线可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1），是高，， ，， 是角平分线， ， ，， 故答案为：，； （2）证明：，是高， ，， ， 是角平分线， ， ，， ； （3）∵， ， 为的角平分线， ， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键． 23．(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是高， ∴， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵， ∴ （2）∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）∵C、A、G三点共线，是角平分线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 24．（1）①A；见解析；（2）①25；，见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解． 【详解】解：（1）①A； ②如图，即为所求． （2）①中，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：25； ②与之间的数量关系为， 理由如下： ， ， , ． （3）如图，连接， N是中点， 设， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $