第13章 三角形-2026-2027学年八年级数学上册练培优（人教版）

第13章三角形 13.1三角形的边 1、把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是() A. B. D. 答案：B 解析：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2 段，这两段的长度和都等于另一部分的长度，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形。A, C,D选项符合要求。 2、八一中学八(2)班的学生杨冲和李锐，他们两家到学校的直线距离分别是5km和3km, 那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是() A.1km B.2 km C.3 km D.8 km 答案：A 解析：当杨冲、李锐两家与学校在同一条直线上时，杨冲、李锐两家的直线距离为2或8 ;当杨冲、李锐两家与学校不在同一条直线上时，设杨冲、李锐两家的直线距离为xkm。 根据三角形的三边关系，得5-3<x<5+3,即2<x<8。 综上，2≤x≤8，结合选项可知，A项符合题意。 3、四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化。当△ABC 为等腰三角形时，对角线AC的长为。 B 4 答案：3 解析：：△ABC为等腰三角形，·AC=BC或AC=AB。 当AC=BC=4时，AD+CD=AC=4,此时不满足三角形的三边关系； 当AC=AB=3时，满足三角形的三边关系。 综上，AC=3。 3/142 第13章三角形 4、三角形三边长为2，a-4,4,则化简a-3引+a-11的结果是。 答案：8 解析： 根据三角形的三边关系，得4-2<a-4<4+2 解得6<a<10。a-3>0,a-11<0 la-3|+la-11|=a-3+11-a=8 解析：先利用三角形三边不等式求出α的取值范围，再判断绝对值内代数式的正负，去绝对值 化简求值即可。 5、若一个三角形的三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”。例如，三边长为6， 8,10的三角形是“好运三角形”。 【概念运用】 (1)在△ABC中，AB=2,BC=4,若△ABC为“好运三角形”，求AC的长； 解析： 在△ABC中，AB=2,BC=4,由三角形三边关系： BC-AB<AC<BC+AB 4-2<AC≤4+2 2≤AC<6 △ABC为“好运三角形”，·AC为偶数， ·AC=4。 【变式运用】 (2)已知△ABC的周长为16，AC=4,AB的长为偶数，求出AB的长，并判断△ABC是 不是“好运三角形"。 解析：设AB=x（x为偶数)，则BC=16-4-x=12-x x+(12-x)>4 根据三角形两边之和大于第三边，列不等式组： x+4>12-x,解得4<x<8。 (12-x)+4>x :AB的长为偶数，.AB=6,BC=12-6=6 :AC=4,三边4、6、6均为偶数，“△ABC是“好运三角形”。 4/142 第13章三角形 6、推理能力 图1 图2 图3 如图1，填空：由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD> PD+CD> 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD>」 ,即AB+AC>。 (1)补全上面的步骤。 答案依次为：BD、PC、BD+PC、BP+PC (2)如图2，过点P作直线MN分别交AB,AC于点M,N,连接PB,PC。仿照图1的 方法，试说明AB+AC>PB+PC(不添加辅助线) 解析：在△AMN中，AM+AN>MN, 在△MPB中，MB+MP>PB, 在△NPC中，NP+NC>PC。 将三个不等式左右两边分别相加，得AM+AN+MB+MP+NP+NC>MN+PB+PC MN=MP+NP,AM+MB=AB,AN+NC=AC,.AB+AC>PB+PC (3)如图3，点0是△ABC内一点，连接OB,0C。若AB=5,AC=6,BC=7,求0B+0C 的取值范围。 解析：B 延长BO,交AC于点D,在△ABD中，AB+AD>BD, 在△ODC中，OD+CD>OC。将两式左右两边分别相加：AB+AD+OD+CD>BD+OC :BD=BO+OD,AD+CD=AC,代入化简得AB+AC>OB+OC 代入AB=5,AC=6,得0B+0C<5+6=11。 又在△0BC中，由三角形三边关系得：OB+OC>BC=7,·.7<0B+OC<11 5/142 第13章三角形 13.2三角形的内角 1、一副三角尺按如图所示的方式放置，点A在边DE上，点F在边BC上，AD1AC, 则∠BFD的度数为() A.45° B.60° C.75° D.80° D E B 答案：C 解析 设AB与EF交于点G 由题意得∠E=∠B=90°，∠DFE=45°，∠BAC=60° :AD⊥AC,:∠EAC=∠EAG+∠BAC=90° ∠EAG=90°-60°=30° 在△AGE中：∠AGE=180°-∠E-∠EAG=180°-90°-30°=60° :∠AGE=∠BGF=60°（对顶角相等) 在△BGF中：∠BFG=180°-∠B-∠BGF=180°-90°-60°=309 ·∠BFD=∠BFG+∠DFE=30°+45°=75° 2、某品牌自行车的示意图如图所示，其中AB II CD,LACD=70°，CE平分∠ACD,∠BAE= 60°，则LAEC的度数是° 答案：95 解析 AB II CD ·∠ACD+∠CAB=180° 6/142 第13章三角形 :∠ACD=709 .∠CAB=180°-∠ACD=180°-70°=110° :∠BAE=60° ·.∠CAE=∠CAB-∠BAE=110°-60°=50° :CE平分∠ACD LACR-号4ACn-7×70-35 在△ACE中：∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=180°-50°-35°=95° 3、当三角形中一个内角阝的度数是另一个内角α的度数的二分之一时，我们称此三角形为 “友好三角形”，这个内角为“友好角”。如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那 么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为°，°或 °。 答案：54,108,84 解析 分三种情况讨论： ①若54°角是友好角，则友好角ax=54°； ②若54°角是B,则B-20-54,解得a=108； ③若54°既不是a也不是B,根据三角形内角和： a+B+54°=180° 1 +2+54=180° 3 28=126° a=84° 综上，友好角度数为54°、108°或84°。 4、如图，在△ABC中，点0是△ABC内部LABC平分线上的一点，连接OC,点P是 ∠B0C,∠OCB平分线的交点。若∠P=100°，则∠ABC的度数为 答案：40 7/142 第13章三角形 解析 在△POC中： ∠P0C+∠PC0=180°-∠P=180°-100°=80° :P0平分∠BOC,PC平分∠0CB ·∠BOC=2∠POC,∠OCB=2∠PC0 ∠B0C+∠0CB=2(∠P0C+∠PC0)=2×80°=160° 在△BOC中： ∠0BC=180°-（∠B0C+∠0CB)=180°-160°=20° :B0平分∠ABC .∠ABC=2L0BC=2X20°=40° 5、如图1，光线射向一个平面镜后被反射，两条光线与平面镜的夹角相等（即∠1=∠2）。 如图2，光线射到平面镜甲上后，又被反射到平面镜乙上，然后光线又被反射到平面镜甲上… 若∠ax=55°，∠y=75°，则∠B= LLUL 甲 图1 图2 答案：65 LLLLI 6双B 7777A71分7m 解析甲 由反射性质得：∠5=4a=55°，∠3=∠y=75°，∠6=∠β 在中间三角形中：∠4=180°-∠5-∠3=180°-55°-75°=50° 又∠6+∠4+∠B=180°，代入∠6=∠β： 2∠β+50°=180 2∠β=130° ∠β=65 6、问题情景：如图1，有一块含30°角的直角三角尺PMN放置在△ABC上（点P在 8/142 第13章三角形 △ABC内)，使三角尺PMN的两条直角边PM,PN恰好分别经过点B和点C。试问∠ABP 与∠ACP之间是否存在某种确定的数量关系？ 图1 图2 (1)特殊探究：若LA=50°，则∠ABC+∠ACB= :LPBC+LPCB=·,·LABP+LACP= 答案：130,90,40 解析：在△ABC中：∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130° :∠P=90°，在△PBC中：∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90° ∠ABP+∠ACP=(LABC-LPBC)+(LACB-∠PCB) =(LABC+∠ACB)-(LPBC+∠PCB) =130°-90° =40° (2)类比探究：请探究∠ABP+∠ACP与∠A之间的数量关系。 答案：ABP+LACP=90°-LA 解析 ∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∠PBC+∠PCB=180°-∠P=90° ∠ABP+∠ACP=(LABC+∠ACB)-(LPBC+∠PCB) =(180°-∠A)-90° =90°-LA 即数量关系：∠ABP+∠ACP=90°-∠A 9/142 第13章三角形 (3)类比延伸：如图2，改变直角三角尺PMN的位置，使点P在△ABC外，直角三角 尺PMN的两条直角边PM,PN分别经过点C和点B,则(2)中的结论是否仍然成立？ 若不成立，请直接写出你的结论。 答案：不成立；结论：LACP-∠ABP=90°-∠A 解析 在△ABC中：∠ABC+∠ACB=180°-∠A :∠P=90°，·∠PBC+∠PCB=90° (LABC+LACB)-(LPBC+∠PCB)=180°-LA-90°=90°-LA 由图可知：LACB=∠ACP-∠PCB,∠ABC=∠PBC-LABP 代入化简：(LPBC-∠ABP+∠ACP-∠PCB)-(LPBC+∠PCB)=90°-∠A ∠ACP-∠ABP-2LPCB=90°-∠A(化简后最终得) ∠ACP-∠ABP=90°-∠A 故(2)结论不成立，新结论：∠ACP-LABP=90°-∠A 10/142 第13章三角形 13.3三角形的外角 1、如图1是“抖空竹"时的一个瞬间，小明把它抽象成图2，且AB‖CD,∠E=30°，∠ECD=110°， 则∠A的度数是() A.60° B.70° C.80° D.90° 图1 图2 答案：C D 解析 B 延长DC,交AE于点F。:∠E=30°，∠ECD=110 .∠EFC=∠ECD-∠E=110°-30°=80° AB‖CD,LA=∠EFC=80° 2、如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五个顶角（∠A,∠B,∠C, ∠D,∠E)的度数必须相等，设计师需要知道这个顶角的度数以便制图，则这个顶角的度数() A.40° B.36° C.35 D.30° 答案：B 11/142 第13章三角形 B 解析 设∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=a,根据三角形外角性质可得： 五角星内部三角形的两个底角均为2α。 由三角形内角和定理得：+2a+2a=180° 解得：a=36°。 3、一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°。检验工人量得∠BDC= 148°，就断定这个零件不合格，这是为什么？ C D B 答案：∠BDC=143°≠148°，该零件不合格，标准角度，证明见解析 D 解析 E B 延长CD交AB于点E。 根据三角形外角性质：∠AEC=∠A+∠C,∠AEC=90°+32°=122°， 又∠BDC=∠AEC+∠B,∠BDC=122°+21°=143° :实测∠BDC=148°，143°≠148° 该零件不合格。 12/142 第13章三角形 4、在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其沿CD折叠，使点A的对应点A'落在边 CB上，则∠A'DB=°。 B 答案：20 解析 在△ABC中：∠B=90°-∠A=90°-55°=35° 由折叠的性质得：∠CAD=∠A=55° 根据三角形外角性质：∠ADB=∠CAD-∠B=55°-35°=20° 5、在三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=65°，将纸片的一角沿DE折叠，使点C落在 △ABC内部的点C处，若∠1=45°，则∠2=°。 B 答案：35 解析 在△ABC中：∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-65°=40° 在△CDE中：∠CDE+∠CED=180°-∠C=140 由折叠性质得：LCDE=∠CDE,∠CED=∠CED LCDC+∠CEC=2(LCDE+LCED)=2×140°=280° :∠1+∠CEC=180°，∠2+∠CDC=180° 13/142 第13章三角形 ∴.∠1+∠2+∠CDC+∠CEC=360° 45°+∠2+280° =360° 代入数据得： ∠2 =360°-280°-45° ∠2 =35° 6、在△ABC中，∠A=54°，∠C=46°，D是线段AC上的一个动点，连接BD,把△ABC 沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C处。当CD平行于△ABC的边时，∠CDB的 大小为 或 B 答案：67；117 图1 图2 解析 在△ABC中：∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-54°-46°=80° 情况一：当C'D IBC时，由平行线性质得：∠CDB=LCBD, 由折叠性质得：∠CDB=∠CDB,LC=∠C=46° LCBD=∠CDB,△BCD为等腰三角形，∠CDB= 180°-∠C_180°-46 2 2 =67° 情况二：当CDIAB时 由平行线性质得：∠CDA=∠A=54°，∠CDC'=180°-∠CDA=180°-54°=126° 1 由折叠性质得：∠CDB=∠C'DB,∠CDB=2×(360-∠CDC)=2×(360°-126)=117° 14/142 第13章三角形 综上，∠CDB的度数为67°或117°。 7、已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中LABC=∠C。将纸片沿过点B的直线折叠， 使点C落到AB边上的点E处，折痕为BD(如图乙)，再将纸片沿过点E的直线折叠， 使点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)。在原三角形纸片ABC中，∠A的度数为 E 甲 丙 答案：36 解析 设LA=X,由折叠的性质得：∠EDA=LA=x。 由三角形外角性质得： ∠BED=LA+∠EDA=2X 再次由折叠性质得：∠C=∠BED=2x LABC=∠C=2x 由三角形内角和定理得： ∠A+∠ABC+∠C=180° x+2x+2x =180 5x =180° X =36 ∠A=36 15/142第13章三角形 13.1三角形的边 1、把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是() ▣ A. B. C.& D 2、八一中学八(2)班的学生杨冲和李锐，他们两家到学校的直线距离分别是5m和3am, 那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是() A.1 km B.2 km C.3 km D.8 km 3、四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化。当△ABC 为等腰三角形时，对角线AC的长为】 4、三角形三边长为2，a-4,4,则化简1a-3+|a-11的结果是 。 5、若一个三角形的三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”。例如，三边长为6， 8,10的三角形是“好运三角形”。 【概念运用】 (1)在△ABC中，AB=2,BC=4,若△ABC为“好运三角形”，求AC的长； 【变式运用】 (2)已知△ABC的周长为16，AC=4,AB的长为偶数，求出AB的长，并判断△ABC是 不是“好运三角形”。 3/70 第13章三角形 6、推理能力 图1 图2 图3 如图1，填空：由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD>,PD+CD> 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD> ,即AB+AC>。 (1)补全上面的步骤。 (2)如图2，过点P作直线MN分别交AB,AC于点M,N,连接PB,PC。仿照图1的 方法，试说明AB+AC>PB+PC(不添加辅助线) (3)如图3，点0是△ABC内一点，连接0B,OC。若AB=5,AC=6,BC=7,求0B+OC 的取值范围。 4/70 第13章三角形 13.2三角形的内角 1、一副三角尺按如图所示的方式放置，点A在边DE上，点F在边BC上，AD1AC, 则∠BFD的度数为() A.45° B.60 C.75° D.80° 1题图 2题图 2、某品牌自行车的示意图如图所示，其中AB II CD,∠ACD=70°，CE平分∠ACD,∠BAE= 60°，则∠AEC的度数是 3、当三角形中一个内角B的度数是另一个内角《的度数的二分之一时，我们称此三角形为 “友好三角形”，这个内角《为“友好角”。如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那 么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为，°或 °。 4、如图，在△ABC中，点0是△ABC内部∠ABC平分线上的一点，连接OC,点P是 LB0C,∠0CB平分线的交点。若∠P=100°，则∠ABC的度数为。 5、如图1，光线射向一个平面镜后被反射，两条光线与平面镜的夹角相等（即∠1=∠2）。 如图2，光线射到平面镜甲上后，又被反射到平面镜乙上，然后光线又被反射到平面镜甲上… 若∠=55°，∠y=75°，则∠B= 图1 图2 5/70 第13章三角形 6、问题情景：如图1，有一块含30°角的直角三角尺PMN放置在△ABC上（点P在 △ABC内)，使三角尺PMN的两条直角边PM,PN恰好分别经过点B和点C。试问∠ABP 与∠ACP之间是否存在某种确定的数量关系？ 图1 图2 (1)特殊探究：若LA=50°，则∠ABC+∠ACB= '∠PBC+∠PCB=°，·LABP+∠ACP=° (2)类比探究：请探究∠ABP+∠ACP与∠A之间的数量关系。 (3)类比延伸：如图2，改变直角三角尺PMN的位置，使点P在△ABC外，直角三角 尺PMN的两条直角边PM,PN分别经过点C和点B,则(2)中的结论是否仍然成立？ 若不成立，请直接写出你的结论。 6/70 第13章三角形 13.3三角形的外角 1、如图1是“抖空竹"时的一个瞬间，小明把它抽象成图2，且AB II CD,∠E=30°，∠ECD=110°， 则∠A的度数是() A.60° B.70° C.80° D.90° 1题图 图1 图2 2题图 2、如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五个顶角（∠A,∠B,∠C, ∠D,∠E)的度数必须相等，设计师需要知道这个顶角的度数以便制图，则这个顶角的度数() A.40° B.36° C.35 D.30° 3、一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°。检验工人量得∠BDC= 148°，就断定这个零件不合格，这是为什么？ 4、在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其沿CD折叠， 使点A的对应点A落在边CB上，则∠ADB=°。 7/70 第13章三角形 5、在三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=65°，将纸片的一角沿DE折叠，使点C落在 △ABC内部的点C处，若∠1=45°，则∠2=°。 6、在△ABC中，∠A=54°，∠C=46°，D是线段AC上的一个动点，连接BD,把△ABC 沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C处。当CD平行于△ABC的边时，∠CDB的 大小为或 B 7、已知一张三角形纸片ABC（如图甲)，其中∠ABC=∠C。将纸片沿过点B的直线折叠， 使点C落到AB边上的点E处，折痕为BD(如图乙)，再将纸片沿过点E的直线折叠， 使点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)。在原三角形纸片ABC中，∠A的度数为 A 分 丙 8/70