第17章 因式分解-2026-2027学年八年级数学上册练培优（人教版）

第17章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 1、把多项式x2y5-xyz分解因式时，提取的公因式是xy5,则n的值可能为() A.6 B.4 C.3 D.2 2、分解因式：(a2-ab)+c(a-b)= 3、已知x,y满足方程组 {-3)=1,在不解方程组的情况下，求7y(x-3y)-2(3y-) 2x+y=6 的值。 4、先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 示例：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3 (1)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2026= (2)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)”(n为正整数) 5270 第17章因式分解 17.2用平方差公式分解因式 1、小贤在抄题目时，不小心漏抄了二项式a2-口b2中“口"的部分，若该二项式能分解因式， 则“口"不可能是() A.4 B.-9 C.25 D.16 2、若k为任意整数，则(2k+3)2-4k2的值总能() A.被2整除 B被3整除 C被5整除 D.被7整除 3、如图，从边长为α+3的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开， 拼成一个长方形（纸片之间不重叠、无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 。 4、分解因式：x2-y2+2x-2y= 5、如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”。例如：8= 32-12,16=52-32,24=72-52,则8、16、24这三个数都是“奇特数”。 (1)填空：40“奇特数”，2026“奇特数”。（填“是或“不是 (2)设两个连续奇数是2n-1和2m+1（其中n是正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特 数”是8的倍数吗？为什么？ (3)如图，拼叠的正方形的边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠得到正方形ABCD,其边 长为199，求阴影部分的面积。 B135… 53/70 第17章因式分解 17.3用完全平方公式分解因式 1、多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 一（填一个即可，答案不唯一)。 2、已知m2-4m+n2+6n+13=0,求m和n的值。 解：把等式左边变形，得(m2-4m+4)+(n2+6n+9)=0, 即m-2)2+(n+3)2=0. 因为m-2)2≥0，n+3)2≥0， 所以m-2=0,n+3=0,所以m=2,n=-3. 仿照以上解法，解答下列问题： (1)无论x,y取何值，多项式x2+y2-2x-4y+6的值总是() A.正数B.负数C.非正数D.非负数 (2)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+b2-12a-16b+|c-61+100=0, 则△ABC的周长为一。 1 (3)已知x2-4xy+5y2+y+4=0,求x和y的值。 54/70 第17章因式分解 17.4综合运用提公因式法和公式法分解因式 1、因式分解x4-18x2+81的结果为（) A.(x2+9)2 B.(x2-3)2 C.(x+9)2(x-9)2 D.(x+3)(x-3)2 2、多项式x4-81和x2-6x+9的公因式是() A.x+3 B.x-3 C.(x+3)2 D.(x-3)2 3、设a,b,c是三角形的三边长，则多项式a2-b2-c2-2bc的值() A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.无法确定 4、232一1可以被10和20之间的某两个整数整除，则这两个数分别是（) A.17,15 B.17,16 C.15,16 D.13,14 5、分解因式： (1)(x2+y2)2-4x2y2; (2)(x2-1)2-6(x2-1)+9。 6、分解因式a3-4a的结果是() A.a(a2+4) B.a(a-4) C.a(a+2)(a-2) D.a(a2-1) 7、分解因式：2x2y-4xy2+2y3= 8、分解因式： (1)m2(m-n)+16(n-m); 55/70 第17章因式分解 (2)x2y2-1)+2x0y2-1)+(y2-1)。 9、若a,b,c是△ABC的三边长，且a2-b2=c(a-b),请判断△ABC的形状，并说 明理由。 10、分解因式： (1)(x-1)2+2(x-5); (2)(x+2)(x+4)+1。 56/70第17章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 1、把多项式x2y5-xyz分解因式时，提取的公因式是xy5,则n的值可能为() A.6 B.4 C.3 D.2 答案：A 解析：多项式公因式的确定规则为：相同字母的次数取各项中最低次数。已知多项式x2y5 xy”z提取的公因式为xy5,说明字母y的最低次数为5，因此n≥5，结合选项，只有A选 项符合条件。 2、分解因式：(a2-ab)+c(a-b)= 答案：(a+c)(a-b) 解题步骤： (a2-ab)+c(a-b)=a(a-b)+c(a-b) =(a+c)(a-b) 3、已知x,y满足方程组 3y-1,在不解方程组的情况下，求7y(x-3y)2-2(3y-) 2x+y=6 的值。 答案：6 解题步骤： 7y(x-3y)2-2(3y-x)3=7y(x-3y)2+2(x-3y)3 =(x-3y)2[7y+2(x-3y)] =(x-3y)2(2x+y) :2x+y=6,x-3y=1 .原式=12×6=6 4、先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 示例：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3 (1)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+.+x(x+1)2026= (2)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n（n为正整数) 答案：(1)(1+x)2027;(2)(1+x)+1 107/142 第17章因式分解 解题步骤： (2)原式通过多次连续提取公因式可得： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2026=(1+x)2027 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+.+x(x+1)” =(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+.+x(x+1)-1] =(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)-2] =1+x)m+1 108/142 第17章因式分解 17.2用平方差公式分解因式 1、小贤在抄题目时，不小心漏抄了二项式a2-口b2中“口"的部分，若该二项式能分解因式， 则“口"不可能是() A.4 B.-9 C.25 D.16 答案：B 解析：能用平方差公式分解因式的式子需满足：两项异号，且两项均为完全平方式。 A选项：a2-4b2=(a-2b)(a+2b),可以分解因式，不符合题意； B选项：填入-9后式子为a2+9b2，两项均为正，无法用平方差公式分解因式，符合题意； C选项：a2-25b2=(a+5b)(a-5b),可以分解因式，不符合题意； D选项：a2-16b2=(a+4b)(a-4b),可以分解因式，不符合题意。 2、若k为任意整数，则(2k+3)2-4k2的值总能() A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 答案：B 解题步骤： (2k+3)2-4k2=(2k+3)2-(2k)2 =(2k+3+2k)(2k+3-2k) =3(4k+3) :k为整数，.4k+3为整数 ∴3(4k+3)是3的倍数，该式子的值总能被3整除。 3、如图，从边长为α+3的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开， 拼成一个长方形（纸片之间不重叠、无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是 答案：a+6 解题步骤：由题意得，拼接前后图形面积相等，长方形面积为： (a+3)2-32=(a+3+3)(a+3-3) =a(a+6) 已知拼成的长方形的一边长为a,因此另一边长为a+6。 109/142 第17章因式分解 4、分解因式：x2-y2+2x-2y= 答案：(x-y)(x+y+2) 解题步骤： x2-y2+2x-2y=(x2-y2)+(2x-2y) =(x+y)(x-y)+2(x-y) =(x-y)(x+y+2) 5、如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”。例如：8= 32-12,16=52-32,24=72-52,则8、16、24这三个数都是“奇特数”。 (1)填空：40“奇特数”，2026“奇特数”。（填“是”或“不是） (2)设两个连续奇数是2m-1和2m+1(其中n是正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特 数”是8的倍数吗？为什么？ (3)如图，拼叠的正方形的边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠得到正方形ABCD,其边 长为199，求阴影部分的面积。 B135… 答案：(1)是；不是 解题步骤(1)： 由题意可得奇特数通用公式：两个连续奇数2m-1、2n+1构造的奇特数为8n(n为正整数)， 即奇特数是8的倍数。 40÷8=5,是8的倍数，故40是奇特数； 2026÷8=253.25,不是8的倍数，故2026不是奇特数。 (2):是 解题步骤：理由如下： (2n+1)2-(2m-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2m+1)-(2m-1)] =4n×2 =8n 110/142 第17章因式分解 n是正整数，8n是8的倍数。 ·由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数。 (3):20000 解题步骤： 根据图形规律，阴影部分面积可拆分多个平方差公式计算： S阴影=1992-1972+1952-1932+…+72-52+32-12 =(199+197)(199-197)+(195+193)(195-193)+.+(3+1)(3-1) =2×(199+197+195+193+.+3+1) (1+199)×100 =2X 2 =20000 111/142 第17章因式分解 17.3用完全平方公式分解因式 1、多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 (填一个即可，答案不唯一)。 答案：4x（或-4x、4x4) 2、已知m2-4m+n2+6n+13=0,求m和n的值。 解：把等式左边变形，得(m2-4m+4)+(n+6n+9)=0, 即m-2)2+(n+3)2=0. 因为(m-2)2≥0，(m+3)2≥0， 所以m-2=0,n+3=0,所以m=2,n=-3. 仿照以上解法，解答下列问题： (1)无论x,y取何值，多项式x2+y2-2x-4y+6的值总是() A.正数B.负数C.非正数D.非负数 答案：A 解题步骤： x2+y2-2x-4y+6=x2-2x+1+y2-4y+4+1 =(x-1)2+(y-2)2+1 :(x-1)2≥0，(y-2)2≥0 ·(x-1)2+(y-2)2+1≥1>0 “.该多项式的值总是正数。 (2)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a2+b2-12a-16b+|c-61+100=0, 则△ABC的周长为 答案：20 解题步骤： a2+b2-12a-16b+|c-6+100=0 (a2-12a+36)+(b2-16b+64)+1c-61=0 (a-6)2+(b-8)2+lc-6=0 112/142 第17章因式分解 :(a-6)2≥0，(b-8)2≥0,1c-6≥0 a-6=0,b-8=0,c-6=0 得a=6,b=8,c=6 周长：6+6+8=20 解析：平方、绝对值均为非负数，和为0则每一项均为0，求出三边长度后相加得到周长。 1 (3)已知x2-4xy+5y2+y+4=0,求x和y的值。 1 答案：x=-1,y=-2 解题步骤： x2-4xy+5y2+y+4=0 2-4g+4+62+y+用=0 e-2y+6+》-0 x-9=0,6+0 1 x-2y=0,y+2=0 1 1 由y+20得y=2 将y-号代入x-2-0: x-2×()-0=x+1-0=x-1 综上：×1y-号 113/142 第17章因式分解 17.4综合运用提公因式法和公式法分解因式 1、因式分解x4-18x2+81的结果为（) A.(x2+9)2 B.(x2-3)2 C.(x+9)2(x-9)2 D.(x+3)(x-3)2 答案：D 解析： x4-18x2+81=(x2-9)2 =(x+3)2(x-3)2 2、多项式x4-81和x2-6x+9的公因式是（) A.x+3 B.X-3 C.(x+3)2 D.(x-3)2 答案：B 解析： x4-81=(x2+9)(x2-9) =(x2+9)(x+3)(x-3) x2-6x+9=(x-3)2 故多项式x4-81和x2-6x+9的公因式为x-3。 3、设a,b,c是三角形的三边长，则多项式a2-b2-c2-2bc的值() A.等于0 B.大于0 C小于0 D.无法确定 答案：C 解析： a2-b2-c2-2bc=a2-(b2+2bc+c2) =a2-(b+c)2 =(a+b+c)(a-b-c) :a,b,c是三角形的三边长， .a+b+c>0,a<b+c,a-b-c<0, .(a+b+c)(a-b-c)<0, .a2-b2-c2-2bc<0。 114/142 第17章因式分解 4、232一1可以被10和20之间的某两个整数整除，则这两个数分别是() A.17,15 B.17,16 C.15,16 D.13,14 答案：A 解析：：232-1=(216+1)(216-1)=(216+1)(28+1)(28-1)=(216+1)(28+1)(24+ 1)(24-1)=(216+1)(28+1)×17×15,·这两个数分别是17,15. 5、分解因式： (1)(x2+y2)2-4x2y2; 解：(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2+2xy)x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2 (2)(x2-1)2-6(x2-1)+9。 解：(x2-1)2-6(x2-1)+9=(x2-1-3)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2 6、分解因式a3-4a的结果是() A.a(a2+4) B.a(a-4) C.a(a+2)(a-2) D.a(a2-1) 答案：C 解析：a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2) 7、分解因式：2x2y-4xy2+2y3=」 答案：2y(x-y)2 解：2x2y-4xy+2y3=2y·x2-2y·2xy+2y·y2=2y(x2-2xy+y2)=2y(x-y)2 8、分解因式： (1)m2(m-n)+16(n-m); 解：m2(m-n)+16(n-m) =m2(m-n)-16(m-n) =(m-n)(m2-16) =(m-n)(m+4)(m-4) 115/142 第17章因式分解 (2)x20y2-1)+2x0y2-1)+6y2-1)。 解：x26y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1)=(y2-1)x2+2x+1)=(x+1)20y+1)y-1). 9、若a,b,c是△ABC的三边长，且a2-b2=c(a-b),请判断△ABC的形状，并说 明理由。 解：△ABC是等腰三角形理由如下： a2-b2=c(a-b),÷(a+b)(a-b)=c(a-b), (a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+b-)=0. 'a+b>c（三角形两边的和大于第三边)，a+b-c>0, a-b=0,a=b, “△ABC是等腰三角形. 10、分解因式： (1)(x-1)2+2(x-5); 解：(x-1)2+2(x-5)=x2-2x+1+2x-10=x2-9=(x+3)(x-3) (2)(x+2)(x+4)+1。 解：(x+2)(x+4)+1 =x2+4x+2x+8+1 =x2+6x+9 =(x+3)2 116/142