第十一周 狮驼岭下闯环道——环形路上的行程问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（浅奥版）

第十一周 狮驼岭下闯环道 环形路上的行程问题 取经情境图 环道相遇 每次合走一圈， 狮驼岭 算时间 环形山道周长 600米，沙僧(60 单次4分钟，四 阿弥陀佛，善哉善哉」 同地追及 米/分钟)与小妖 求次数 (90米/分钟)同 次16分钟！ 地背向出发。 异地追及 定周长 尔等须闯三道行程关！ 四次相遇的总时间是多少？ 你20分钟能追上我几次？ 异地追及算时间 异地出发，算法 环形道周长400米 戒(100米/分钟在 还和同地一样？ 小纸180米/分钟 1后方 100米， 同向出发，第 同地追及求次数 欢追上要多久？ 环形山道周长 500米，悟空(150 米/分钟)与小妖 (100米/分钟)同地 同向出发，20分钟能 追上几次？ A点（自己） ·B点（小妖在A点前100米） 单次10分钟，20分钟正好2次1 路程差除以速度差，100÷20=5（分钟）。 闯关前思考 唐僧师徒行至狮驼岭下，被青狮精麾下小妖拦下。小妖以“环形山道”为阵，设下三 道关于“环形路上的行程问题”的数学关卡，声称唯有闯关成功，方能放行。环形路上的行 程问题分哪几类？都有哪些解题规律？本周我们便跟随师徒四人，拆解环形行程的奥秘，顺 利闯过狮驼岭环道关。 101 小学奥数72变五年级 浅奥版 第31变。沙僧细算环道遇 环形路上的相遇问题 考点人门 2分钟 入门须知： 环形路上的相遇问题可分为同时同地背向出发和 同时异地相向出发两类。如果两人同时同地背向出发， 那么每相遇一次合走一圈；如果两人同时异地相向出 环形山道周长 发，那么第一次相遇的路程和为两人的初始距离（注 600米，沙僧(60 怎么会是16 米/分钟)在小妖 (90米/分钟)同 分钟？ 意方向)，之后的每一次相遇，都合走一圈。 地背向出发，求四 次相遇总时间。 定海神针： 0=*9 1.同时同地背向出发 44 4x4=1分】 相遇时间=环形周长÷速度和 多次相遇总时间=单次相遇时间×相遇次数 2.同时异地相向出发 第一次相遇时间=初始距离÷速度和 单次4分钟，四次16分钟。 后续每次相遇时间=环形周长÷速度和 问路取经： 沙僧是如何通过“定海神针”中的规律突破此关的？让我们结合经典例题进行探究。 图解母题 3分钟 →路程和 例 读题审题 丽丽和芳芳在一条周长为400米的环形路上跑步，丽丽每分钟跑80米，： 芳芳每分钟跑120米：，她们从同一地点同时出发背向而行，请问：从出发到第一次相遇，经过 多长时间？ 从第一次相遇到第二次相遇，经过多长时间？从出发到第五次相遇，总共经过多 长时间？ 可以求出速度和 102 第十一周狮驼岭下闯环道 图示解析 丽丽：每分钟跑80米 火第二次相遇，点 第一次相遇点 芳芳：每分钟跑120米 易错点：误将“背向出发”的“速度和”算成“速度差”。 解题思路 ①明确类型：本题属于“同时同地背向出发”类型，每次相遇的路程和=环形周长(400米)。 ②计算速度和：丽丽的速度十芳芳的速度=80十120=200（米/分钟)。 ③求时间：由图可知，两人每相遇一次就合走一圈，路程和是400米，根据“路程和÷ 速度和=相遇时间”求出单次相遇经过的时间，再根据“多次相遇经过的时间=单次 相遇经过的时间×相遇次数”求出五次相遇经过的时间。 规范解答 80+120=200（米/分钟) 400÷200=2（分钟) 2×5=10(分钟) 答：从出发到第一次相遇，经过2分钟。从第一次相遇到第二次相遇， 经过2分钟。从出发到第五次相遇，总共经过10分钟。 通关模型鱼3)变环形路上的相遇问题 通用解法：先判断相遇类型（同时同地背向而行或同时异地相向而行），确定“路程和” (同地：每次均为周长；异地：首次为初始距离，后续均为周长)，再计算“速度和”（甲 速度十乙速度)，最后用“时间=路程和÷速度和”求解；多次相遇时，总时间需累加 各次相遇的时间。 三步解题： 1.判类型：区分“同时同地背向而行”或“同时异地相向而行”，明确单次相遇的路程和。 2.算核心量：计算“速度和”，并根据相遇次数确定“总路程和”（单次或多次）。 3.求时间：用“总时间=总路程和÷速度和”计算，验证结果是否符合环形相遇规律（如 多次相遇总时间是否为单次时间的整数倍)。 103 小学奥数72变五年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.晚饭后，丽丽和芳芳一起绕着公园的环形小路散步。已知环形小路一周的长度是600米， 丽丽每分钟走55米，芳芳每分钟走65米，她们从同一地点同时出发背向而行，请问从 出发到第五次相遇，总共经过多长时间？ 画图思考： 规范解答： 2.一个环形跑道的周长是400米，明明和红红同时从相距200米的两地出发，相向而行。 已知明明每分钟走45米，红红每分钟走55米，则从出发到第十次相遇，总共需要多长 时间？ 画图思考： 规范解答： 3.小张和小王在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，沿着相反方向跑，小张每秒跑2 米，小王每秒跑3米，经过1分20秒两人相遇，学校跑道长多少米？ 画图思考： 规范解答： i| 104 第十一周狮驼岭下闯环道 第32变0 悟空速破同地追 同地出发追及问题 考点人门 2分钟 入门须知： 同地出发追及问题，是指两人或物体在环形轨 你20分钟真能追上我2次？ 道上从同一地，点同时同向出发，速度快的一方追赶速 度慢的一方的问题。其核心特点是每追上一次，速度 快的一方比速度慢的一方多跑一圈（即环形轨道的周 长)，且每次追及的时间相同。 同地追及求次数 环形山道周长 500米，悟空(150 定海神针： 米1分钟)与小妖 (100米分钟)同地 速度差=快速一慢速 同向出发，20分钟能 追上几次？ 单次路程差=环形周长 单次追及时间=环形周长÷（快速一慢速） 多次追及总时间=单次追及时间×追及次数 追及次数=总路程差÷环形周长 单次10分钟，20分钟正 好2次！错不了I 问路取经： 第二关，小妖从环形山道起点与悟空同时同向出发，妄图用“先跑”的错觉混淆视听， 却被悟空用“同地追及只需算速度差”的规律快速求出追及次数。悟空是如何利用同地 出发追及问题的规律解题的？让我们结合经典例题进行探究。 图解母题 3分钟 例■ 读题审题 甲、乙二人绕着周长为2000米的环形跑道跑步，已知甲每分钟跑125米， 乙的速度是甲的2倍。两人同时同地出发，同向而行。乙第一次超过甲需要多少分钟？乙从 出发到第三次超过甲需要多少分钟？ 同时同地出发，同向而行，属于追及问题 105 小学奥数2变五年级 浅奥版 图示解析 乙：每分钟跑125×2米 甲：每分钟跑125米 出发点 易错点：误将“同向出发”的“速 度差”算成“速度和”。 解题思路 ①明确类型：本题属于“同时同地同向出发”类型，每次追及的路程差=环形周长2000米。 ②计算速度差：乙的速度-甲的速度=125×2一125=125（米/分钟）。 ③求时间：单次追及时间=环形周长÷速度差=2000÷125=16（分钟），多次追及 总时间=单次追及时间×追及次数=16×3=48（分钟)。 规范解答 125×2-125=125(米/分钟) 2000÷125=16(分钟) 16×3=48（分钟) 答：乙第一次超过甲需要16分钟，乙从出发到第三次超 过甲需要48分钟。 通关模型鱼32变同地出发追及问题 通用解法：先确认“同时同地同向而行”的追及类型，计算“速度差”（快速一慢速)， 再根据“每次追及路程差=环形周长”，用“单次追及时间=环形周长÷速度差”求解； 多次追及时，总时间=单次时间×次数，追及次数=总路程差÷环形周长。 三步解题： 1.判类型：确认“同时同地同向而行”，明确每次追及的路程差=环形周长。 2.算核心量：计算“速度差”，并根据已知条件确定“总时间”或“总路程差”。 3.求结果：单次追及时间=周长÷速度差，多次追及次数=总路程差÷环形周长，验证 结果是否为整数（追及次数为整数，符合实际场景）。 106 第十一周 狮驼岭下闯环道 变式巧练 10分钟 1.小明骑车，小亮慢跑，二人同时从一点出发，沿着长4000米的公园环形跑道进行晨练。 假设两人的速度一直不变，出发10分钟后，小明便从小亮身后追上了他。已知两人的速 度和是700米/分钟，那么，二人的速度分别是多少？ 画图思考： 1 规范解答： 2.丽丽和芳芳在周长为600米的湖边环形小路上跑步，丽丽每分钟跑250米。已知两人 从同一地点出发同向而行，1小时后，丽丽正好第五次超过芳芳，那么芳芳每分钟跑多 少米？ 画图思考： 规范解答： 3.哥哥和弟弟在一条环形小路上比赛跑步，已知环形小路的周长是400米，哥哥每分钟跑 250米，弟弟每分钟跑210米。他们从同一地点同时出发，同向而行，哥哥从出发到第 一次超过弟弟需要多少分钟？哥哥从出发到第三次超过弟弟需要多少分钟？ 画图思考： 规范解答： 07 小学奥数72变五年级； 浅奥版 第33变0 八戒巧解异地追 异地出发追及问题 考点人门 2分钟 入门须知： 异地出发追及问题，是指两人或物体在 环形轨道上从不同地，点同时出发，同向而行， 异地追及，真 保地追及算时间 这么算？ 速度快的一方追赶速度慢的一方的问题。其 核心特点是第一次追及的路程差等于两人的 初始距离（需判断“前后位置”）；从第一 次追及后，每次追及的路程差均等于环形轨 道的周长。 定海神针： 速度差为20米/分钟 速度差=快速一慢速 5分钟准追上1 第一次追及时间=第一次路程差÷（快速一慢速) 后续每次追及时间=环形周长÷（快速一慢速） 多次追及总时间=第一次追及时间十后续追及时间×（次数一1)》 问路取经 第三关，八戒虽看似粗心，却能分清“快、慢方的初始位置”，先算第一次追及的 路程差，再算后续追及时间，很快算出总结果。八戒是如何分阶段计算路程差的？让我 们一探究竟。 图解母题 3分钟 同时异地出发，同向而行，属于追及问题← 例■ 读题审题 一个环形跑道的周长是800米，丽丽和芳芳分别从相距200米的两地同时： :出发，丽丽在前，芳芳在后，同向而行。已知丽丽每分钟跑80米，芳芳每分钟跑120米。芳芳 从出发到第一次追上丽丽至少需要多少分钟？芳芳从出发到第三次追上丽丽至少需要多少 分钟？ 08 第十一周狮驼岭下闯环道 图示解析 丽丽：每分钟跑80米丽丽的出发点 芳芳的出发点 易错点：误用“周长一初始距 芳芳：每分钟跑120米 离”作为第一次路程差。 解题思路 ①明确类型：本题属于“同时异地同向出发”类型，芳芳速度快且在丽丽后方，第一次 路程差=初始距离200米，后续每次路程差=周长800米。 ②计算速度差：两人速度差为120一80=40（米/分钟)。 ③分阶段求时间：第一次追及时间为200÷40=5（分钟)，后续每次追及时间为 800÷40=20(分钟)，芳芳从出发到第三次追上丽丽至少需要5十20×（3一1) =45（分钟)。 规范解答 120-80=40(米/分钟) 200÷40=5（分钟) 800÷40=20(分钟) 5+20×（3-1)=45(分钟) 答：芳芳从出发到第一次追上丽丽至少需要5分钟。芳芳从出发到第三次追上丽丽 至少需要45分钟。 通关模型鱼33变异地出发追及问题 通用解法：先判断两人“同时异地同向而行”的初始位置，确定“分阶段路程差”，计 算“速度差”（快速一慢速），再分阶段用“追及时间=路程差÷速度差”求解，总 时间叠加各阶段时间。 三步解题： 1.判位置：确定快、慢方的初始位置，明确第一次追及的路程差。 2.算核心量：计算“速度差”，并根据追及次数确定“总路程差”。 3.求总时间：第一次时间=第一次路程差÷速度差，后续时间=周长÷速度差，总时 间=第一次追及时间十后续追及时间×（次数一1)。 109 小学奥数72变五年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.甲、乙两名运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走。已知甲在乙前面100米处， 乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍。那么，多长时间后甲第一 次追上乙？ 画图思考： 规范解答： 2.一个环形跑道的周长是200米，丽丽和芳芳同时从相距100米的两地出发，芳芳在前， 丽丽在后，同向而行。已知丽丽每分钟跑80米，芳芳每分钟跑60米，则丽丽从出发到 第四次追上芳芳，总共需要多长时间？ 画图思考： 规范解答： D 3.如图所示，甲、乙二人沿一个周长为1200米的正方形水库散步。 两人分别从正方形水库的两个顶点B、D同时出发，顺时针行走， 甲每分钟走50米，乙每分钟走30米。那么，出发后多长时间， 两人第一次走在同一边上？ 画图思考/规范解答： C 110第30变 1.（13一3)×3÷(17-13)=7.5（小时) 答：甲船开出7.5小时后能追上乙船。 2.2÷4=0.5（小时) 答：他们追上水壶需要0.5小时。 3.20×2=40（分钟) 2÷（40÷60)=3（千米/时) (42+3)×(40÷60)+2=32(千米) 答：A、B两港的距离为32千米。 第十一周狮驼岭下闯环道 一环形路上的行程问题 第31变 1.600÷(55+65)×5=25（分钟) 答：总共经过25分钟。 2.200÷（45+55)=2(分钟) 400÷（45+55)=4(分钟) 2+4×（10一1)=38（分钟） 答：总共需要38分钟。 3.1分20秒=80秒 (2+3)×80=400(米) 答：学校跑道长400米。 第32变 1.4000÷10=400(米) (700一400)÷2=150（米/分钟） 700-150=550（米/分钟) 答：小明骑车的速度是550米/分钟，小 亮慢跑的速度是150米/分钟。 2.1小时=60分钟 250-600÷（60÷5)=200(米/分钟) 答：芳芳每分钟跑200米。 3.400÷（250-210)=10（分钟) 10×3=30（分钟) 答：哥哥从出发到第一次超过弟弟需要10 分钟，到第三次超过需要30分钟。 第33变 1.80×1.25=100（米/分钟) （400一100)÷（100-80)=15（分钟） 答：15分钟后甲第一次追上乙。 2.100÷（80-60)=5（分钟) 200÷20=10（分钟) 5+10×（4一1)=35（分钟) 答：丽丽从出发到第四次追上芳芳，总共 需要35分钟。 3.1200÷4=300(米) 300÷（50-30)=15（分钟) 300÷2=150（米) 15+150÷50=18（分钟) 答：出发后18分钟，两人第一次走在同 一边上。 第十二周悟空巧智救师父 一逻辑推理 第34变 1.预测对的是C。 2.4号座位上坐的是D。 3.在C门后面能够找到唐僧。 第35变 1.窗户是廖刚打碎的。 2.丙的号码是4号。 3.爸爸买的是欢欢、晶晶、迎迎三个福娃。 第36变 1.甲是医生，乙是教师，丙是工程师。 2.甲在B校，爱好弹琴；乙在C校，爱好画 画；丙在A校，爱好下围棋。 3.甲教语文、英语，乙教数学、美术，丙教 音乐、体育。