第五周 盘丝洞循环秘阵——循环小数-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（浅奥版）

第五周 取经情境图 三关不过，休 想出洞！ 循环 小数 徒弟们，寻 用数学智慧 这猴子竟懂转化规律，服了！ 0.215 2152213 分母990 7 880 02i5等于8品，约分得0，于 闯关前思考 师徒四人误入盘丝洞，汇 将分数化为循环小数破网，第 期规律。面对“余数重复” 悟空般灵活转化、八戒般巧找 盘丝洞循环秘阵 循环小数 竟能找余数规律？这招厉害 规律破循环， 闯关」 余数重复即循环，来破网！ 尚 这胖子找规律挺快！ -0.142857 100÷6=164 门 余数4，对应循环节第4位“8”1 ]内生满“循环小数”蛛网，蜘蛛精设下三重关卡：第一关需 二关要把循环小数化成分数开门，第三关得破解循环小数的周 循环节转化”“周期计算”等难题，如何像沙僧般细心算除法 规律？这正是本周要探究的循环小数的奥秘。 41 小学奥数72变五年级 浅奥版 嚅13变。沙僧勇 考点人门 2分钟 入门须知： 分数与小数可相互转化。分母中除了2 和5以外没有其他质因数的最简分数能化成 有限小数；分母只含有2和5以外的质因数， 该最简分数可化为纯循环小数；分母既含有2 或5，又含有其他质因数的，该最简分数可化 为混循环小数。 定海神针： 将分数的分子除以分母，计算过程中观 察余数，若余数重复出现，说明商开始循环， 重复余数对应的商的数字即为循环节；若余数为0， 问路取经： 沙僧为何能通过余数快速找循环节？我们跟着 图解母题 3分钟 →用分子16除以 例1 读题审题 化成循环小数。 图示解析 5.33 316 15 第一次余数1，补 10 0后除，商为3。 9 1 0 余数1重复，商3 9 开始循环。 42 闯第一关卡 分数化循环小数 这招太妙了！ 5÷60.8889 余数2重复，循环节就是3。 则分数化为有限小数。 他的计算步骤来一探究竞。 分母3 解题思路 ①确定计算方式：用分子16除以 分母3，整数部分商为5余数为1。 ②观察余数变化：第一次除得余数 1,补0后再除，余数仍为1， 说明余数开始重复。 第五周盘丝洞循环秘阵 ③确定循环节：余数1重复，对应 易错点：漏标循环，点。 商的数字“3”也重复，因此循 规范解答 环节为3，结果为纯循环小数。 3 =16÷3=5.3 用分子5除以分母6 例2 读题审题 将 6 化成循环小数。 图示解析 .833 350 48 第一次余数2，补 解题思路 20 0后除，商为3。 18 ①计算整数部分：5÷6商0，补0算小 20→ 余数2重复，商3 数部分，得第一位商“8”，余数为2。 18 开始循环。 ②观察余数：补0后继续除，余数仍为2， 2 说明从第二位商开始循环。 ③确定循环节：不循环部分为“8”， 易错点：误将0.83写成0.83。 循环部分为“3”，结果为混循环小数。 规范解答 6 =5÷6=0.83 通关模型鱼)3变分数化循环小数 通用解法：用分子除以分母，观察余数，余数重复则商对应数字循环（为循环节)，余 数为0则得有限小数。 三步解题： 1.计算除法：用分数的分子除以分母，记录每一步的商和余数。 2.找循环规律：若余数重复，停止计算，重复余数对应的商即为循环节；若余数为0， 直接得有限小数。 3.写出最后的结果：写循环小数时，只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位 数字上面各标一个圆点。 43 小学奥数72变五年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.用分数化循环小数的方法，将子化成循环小数。 画图思考： 规范解答： 2.用分数化循环小数的方法，将子化成循环小数。 画图思考： 规范解答： 3.用分数化循环小数的方法，将子化成循环小数。 画图思考 规范解答： 44 第五周 盘丝洞循环秘阵 14变0 悟空巧转循环小数 循环小数化分数 考点人门 2分钟 入门须知： 循环小数可通过固定规律转化为分数，核心 这转化逻辑，实在高！ 是区分纯循环小数（循环节从十分位开始，如0.12） 和混循环小数（循环节不从十分位开始，如0.34）， 0.12 0.34 两类小数的转化方法不同。 124 定海神针： 纯循环小数化分数：循环节有几位，分母就 最简分数 由几个9组成；循环节作分子，能约分的要约分。 混循环小数化分数：循环节有几位，分母就 由几个9组成，非循环节部分有几位，就在分母 纯循环用9，混循环再添0！ 中的9后面写几个0作分母；用第二个循环节前面的部分减去非循环节的部分作分子， 所得结果能约分的要约分。 问路取经： 怎样将循环小数化为分数呢？让我们跟着悟空的推导过程深入探究。 图解母题 3分钟 例1 读题审题 将0.i26化成最简分数。 纯循环小数 解题思路 图示解析 ①判断循环小数类型：0.126是纯循环 分子是一个循环节所表示的数 小数。 ②用循环节作分子，n个9作分母（n 0.i26 126 14 999 111 为循环节位数)：0.i26=126 9990 循环节是3位，分母是3个9 45 小学奥数2变五年级 浅奥版 规范解答 0.i26=126=14 999 111 ③将得到的分数粉 化简为最简分 易错点：少写或多写分母 126 数：9991 14 111° 中的“9”的个数。 例2 。。 读题审题 将0.296化成最简分数。 混循环小数 图示解析 分子是第二个循环节前面的小数部分 解题思路 296减去非循环节的部分2，得294 ①判断循环小数类型：0.296是混循 294 环小数。 0.296 49 990 165 ②用第二个循环节前面的小数部分减 去非循环节的部分作分子；n个9 循环节是2位，分母有2个9，非循环 后面添m个0作分母（n为循环 节部分是1位，9后面添1个0 节位数，m为非循环节部分位数)： 规范解答 0.296= 294 0.296= 294 49 990° 990 165 ③将得到的分数 294 990 化简为最简分 易错点：计算分子时，漏减不循 数： 294 49 990 165。 环部分。 通关模型鱼4变循环小数化分数 通用解法：纯循环小数化分数，用循环节作分子，n个9作分母(n为循环节位数)； 混循环小数化分数，用第二个循环节前面的小数部分减去非循环节的部分作分子，个 9后面添m个0作分母（n为循环节位数，m为非循环节部分的位数)。得到的结果， 能约分的要约分。 三步解题： 1.判断循环小数是纯循环小数还是混循环小数。 2.按纯循环小数和混循环小数化分数的方法确定分子、分母，写出分数。 3.将得到的分数化简为最简分数。 46 变式巧练 10分钟 1.将纯循环小数0.2化成最简分数。 画图思考： 2.将混循环小数0.346化成最简分数。 画图思考： 3.将混循环小数0.0i7化成最简分数。 画图思考： 第五周 盘丝洞循环秘阵 规范解答： 1 规范解答： 、 规范解答： 47 小学奥数72变五年级 浅奥版 第15变0 八戒破解循环周期 循环小数中的周期问题 考点人门 2分钟 入门须知 连周期规律都能找 循环小数的小数部分会按“循环节”重复出 服了1 周期钟 现，这种重复规律称为周期。 定海神针 找周期：确定循环小数的循环节位数（即周 期长度，用T表示)。 200-1=199 算位置：若为纯循环，直接用“要求的位数÷ 0992-9991 T”；若为混循环，先减不循环位数（用m表示）， 再用“（要求的位数一m)÷T”。 判结果：余数为r（r≠0)，则该位数字是 循环节第r位；余数为0，是循环节最后一位。 先减不循环部分，再算余数！ 问路取经： 盘丝洞第三关“周期迷阵”中，八戒是如何通过余数快速定位数字的？循环小数中 的周期问题有哪些规律？我们继续探究。 图解母题 3分钟 →求一个数位上的数字 例1 读题审题 与化成循环小数后，小数点后第100位上的数字是多少？ 图示解析 循环节714285有6位数，所以一个循环周期就是6 =57 0.714285 100÷6=16(组)…4（个〉 余数4对应循环节714285的第4位数字“2” 第五周盘丝洞循环秘阵 规范解答 号=5÷7=0i14285 解题思路 100÷6=16（组）…4（个) ①分数化循环小教：先将马化成循环小 答：小数点后第100位上的数字是2。 数0.714285，确定循环节和循环周期。 ②计算100包含几组完整周期：100÷6= 易错点：误将余数4直接当作 16(组)…4（个）。 小数点后第100位上的数。 ③定位数字：余数4对应循环节第4位“2”。 →求一个数位上的数字 例2读题审题 混循环小数0.2i的：小数点后第200位上的数字是多少？前200位数 字之和是多少？ 求多个数位上的数字之和← 图示解析 不循环部分1位 循环节2位，T=2 200-1=199 减不循环位数，剩199位循环部分 解题思路 ①拆分小数：不循环部分1位（数字“2”），循环部分周期T=2（数字“1”和“5”)。 ②定位循环部分：第200位需先减不循环的1位，得199位循环部分。 ③算余数：199÷2=99（组）…1（个），余数1对应循环节第1位数字“1”。 ④算数字和：先加不循环部分的“2”，再加99个周期的和（1十5)×99，最后加余下 的“1”。 规范解答 200-1=199 199÷2=99（组)…1（个) 2+(1+5)×99+1=597 答：第200位数字是1，前200位数字之和是597。 小学奥数2变五年级 浅奥版 通关模型鱼5变循环小数中的周期问题 通用解法：通过“找周期→算余数”确定某一位数字，或计算前n位数字之和。 三步解题： 1.区分不循环部分（位数m)和循环节（周期T,数字和S)。 2.混循环用“（n一m)÷T”，纯循环用“n÷T”，通过余数r定位数字。 3.前位和=不循环部分和+S×完整周期数十余下数字和。 变式巧练 10分钟 1.将子化成循环小数后，小数点后第2021位上的数字是多少？ 画图思考： 规范解答： 2.混循环小数0.36的小数点后第150位上的数字是多少？前150位数字之和是多少？ 画图思考： 规范解答： 3将吕 化成循环小数后，小数点后第1000位上的数字是多少？前1000位数字之和是 多少？ 画图思考： 规范解答：2.48+1+5=54（张) （54-4)×2.3+24.5=139.5（元) 答：一共要付139.5元 3.（47-9.5)÷1.25+5=35(人) 答：合唱队一共有35人。 第五周盘丝洞循环秘阵 一循环小数 第13变 1.号=1-7=0.i4285i 27-7÷12-0583 3.是=314=0.2i42857 第14变 1.0i2-号-贵 2.0.346=346-3=343 990990 3.0.0i7=17-0=17 990-990 第15变 1.小数，点后第2021位上的数字是7。 2.036的小数点后第150位上的数字是6； 前150位数字之和是897。 3.小数，点后第1000位上的数字是1；前1000 位数字之和是4501。 第六周流沙河猜谜定胜负 一可能性问题 第16变 1.3种：①3和5，②3和A,③5和A 2.4种：空十3个，1红十2个（黄和绿)， 1黄+2个（红和绿)，1绿十2个（红和黄) 3.6个：12,13,21,23,31,32 第17变 1.指针落在红色和黄色区域的可能性相等， 落在白色区域的可能性最小。 2.朝上面的数字是“2的倍数”可能性大。 3.抽出故事书的可能性最大，抽出科技书的 可能性最小。 第18变 1.这个游戏规则公平。 2.增加1个黑球（或减少1个白球)可使游 戏公平。 3.这个游戏不公平；将“8”换成“5”（或 其他非2、3倍数的数)可使游戏公平。 第七周 火焰山植树迷阵 植树问题 第19变 1.1800÷6=300(棵) 300×2=600(棵) 答：湖周围桃树栽了600棵，柳树栽了 300棵。 2.10×2=20(个) 300÷(10+20)=10(米) 答：一共加入了20个女生，加入女生后， 相邻两人之间的距离是10米。 3.20×2+20×18=400(米) 答：这个环形跑道长400米。 第20变 1.（12×100÷4)2=90000（平方米) 90000平方米=9公顷 答：这块正方形地的面积是9公顷。 2.[（9+3+3)÷1+1]×3=48(个) 答：一共需要48个气球。 3.9×2一1=17（棵) (17×3一3)+(9-2)×3=69（棵） 答：大三角形每条边上栽了17棵茉莉花 树，整个街心花园中共栽了69棵茉莉 花树。 第21变 1.3÷(7-1)×（25-1)×2=24(分钟) 答：张伯伯往返跑步需要24分钟。 2.30÷(3一1)×（10一3)=105（秒) 答：他从3层走到10层需要105秒。 3.40×[(21-1)÷(21-3-1-1)] =50(米) 答：甲每分钟走50米。