第六章 几何图形初步-2026-2027学年七年级数学上册练培优（人教版）

第6章几何图形初步 6.1立体图形与平面图形 1、下列几何体中属于棱柱的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案：B 2、如图，往一个密封的正方体玻璃容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置， 水面形状不可能是() A.三角形 B.五边形 C.梯形 D.七边形 答案：D 解析：用一个平面去截正方体，所得到的截面不可能是七边形，故选D。 3、下列几何图形：①线段；②三角形；③长方体；④正方形；⑤圆；⑥圆锥；⑦圆柱； ⑧四棱锥；⑨六棱柱。其中立体图形有m个，平面图形有n个，则m-n= 答案：1 解析：③⑥⑦⑧⑨是立体图形，有5个，即m=5,①②④⑤是平面图形，有4个，即 n=4,则m-n=1。 99/129 第6章几何图形初步 6.2从不同方向看物体 1、“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图所示的是水平放置的“阳马”，从前面看得到的平 面图形为() 答案：A 2、某物体从三个不同方向看得到的图形如图所示，与它对应的物体是() 从前面看 从左面看 前面 前面 前面 前面 从上面看 C D 答案：C 解析：A选项，从上面看得到的图形是长方形内含有正方形，故而排除A选项；B选项，从上 面看得到的图形是长方形内含有圆，且圆至少与长方形的一边相接，故而排除B选项；D选项， 从上面看得到的图形是圆环，故而排除D选项。故选C。 3、小莉用几个体积是1立方厘米的小正方体摆成了一个几何体，如图所示的是从不同方向看 得到的图形，则这个几何体的体积是() 从前面看 从上面看 从左面看 A.4立方厘米 B.5立方厘米 C.6立方厘米 D.7立方厘米 答案：B 解析：根据该几何体从不同方向看得到的图形可知，该几何体有两层，底层有4个小正方体， 上层有1个小正方体，所以这个几何体由5个小正方体摆成。 几何体体积：5×1=5（立方厘米)。故选B。 4、如图所示的是用7个大小相同的小长方体搭成的几何体。若拿走一个长方体后，从前面看 该几何体得到的平面图形和从左面看得到的平面图形没改变，则拿走的这个长方体的序号是 100/129 第6章几何图形初步 ③④⑤ 答案：⑤ 解析：拿走一个长方体后，要使从前面看得到的图形不变，可以选择的是③⑤；要使从左面 看得到的图形不变，可以选择的是④⑤。综上，同时满足两个条件的只有⑤，故拿走的长方 体序号为⑤。 5、如图所示的是若干个大小相同的小立方块搭成的几何体。 (1)这个几何体由个小立方块搭成。 (2)从前面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图。 前面 从前面看 从左面看 从上面看 答案：(1)8；(2) 从前面看 从左面看 从上面看 6、一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，从前面看和从上面看得到的形状图如图 所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是 从前面看 从上面看 答案：7 解析：结合主视图和俯视图分析各位置小正方体最少数量，各位置数量相加： 1+1+1+2+2=7 即组成该几何体所需小正方体的个数最少为7个。 7、图①是一个大正方体切去一个小正方体后形成的几何体。 (1)图②的三个图形中，从上面、左面、前面看得到的平面图形的序号分别是。 (2)若大正方体的棱长为20cm,切去的小正方体的棱长为10cm,求这个几何体的表面积和体 101/129 第6章几何图形初步 积。 前面 B 图① 图② 答案：(1)C、B、A;(2)表面积2400cm2,体积7000cm3 解答： (1)根据几何体的结构特征，可直接判断：从上面、左面、前面看得到的平面图形序号依次为 C、B、A。 (2)计算几何体表面积：切去小正方体后，几何体的表面积与原大正方体表面积相等 S=6×202=6×400=2400(cm2) 计算几何体体积：V=203-103=8000-1000=7000(cm3) 答：该几何体的表面积为2400cm2,体积为7000cm3。 102/129 第6章几何图形初步 6.3立体图形的展开图 1、如图所示的是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图 的方法有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 答案：B 2 解析： 选择标有1或2的空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图，所以能与阴影部分组成正 方体展开图的方法有2种。故选B。 2、走马灯，又称仙音烛，走马灯的出现可以追溯到秦汉时期，其成熟于隋唐时期，盛行于宋 代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日。在一次综合实践活动中，一同学用 如图所示的纸片沿折痕折成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了 “祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样，则在A,B,C处依次写上的字可以是() A吉、如、意 B意、吉、如 C吉、意、如 D意、如、吉 答案：A 解析：由题意得该“走马灯”是四棱锥形，所以A,B,C处依次写上的字可以是吉、如、意或如、 吉、意。故选A。 3、如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是() 答案：C 解析：由立体图形可知，三个图案是相邻面，据此可排除A、D选项。B选项中展开图折叠成 103/129 第6章几何图形初步 正方体后，图案的朝向与原立体图形不符，不符合要求。故选C。 4、如图所示的是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数。 2 -3 (1)填空：x= ,y= (2)先化简，再求值：-2y3z+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3z) 答案：(1)x=3,y=-2;Z=-1 (2)化简原式： -2y3z+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3z)=-2y3z+3xy2-x2y-2xy2+2y3z =Xy2-x2y=30 5、一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，其展开图如图①所示， 在一张不透明的桌子上，按如图②所示的方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该 几何体能看得到的面上数字之和最小是() 5 1234 6 图① 图② A.31 B.32 C.33 D.34 答案：B 解析：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”规律可知：1与3相对，2与4相对，5与6 相对。 要使可见面数字之和最小，需让遮挡面数字尽可能大： 右侧小立方块可见数字：1、2、3、5； 上方小立方块可见数字：1、2、3、4、5； 左下角小立方块可见数字：1、2、3。 数字总和：1+2+3+5+1+2+3+4+5+1+2+3=32 故最小数字和为32，故选B。 104W129 第6章几何图形初步 6、小明在学习了“转化表达”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是他在家用剪 刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图1和图2.根据 你所学的知识，回答下列问题： (1)现在小明想将图2重新粘贴到图1中的某个位置，折叠以后，仍然可以折叠成一个长方体纸盒， 共有种粘贴方法 (2)已知这个长方体纸盒的高为5c,底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是 108cm,求这个长方体纸盒的体积. 图1 图2 解析(1)如图，共有4种粘贴方法. 故答案为4. (2)设底面边长为acm,因为长方体纸盒所有棱长的和是108cm,长方体纸盒高为5cm,所以 4×5+8a=108,解得a=11,所以这个长方体纸盒的体积为11×11×5=605(cm3). 105/129 第6章几何图形初步 6.4点、线、面、体 1、如图所示的是乾隆松石绿粉彩朵花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花 瓶形状的是() 答案：C 2、一只蚂蚁从如图所示的正方体的一顶点A沿着棱爬向B,只能经过三条棱，共有多少种 走法() A.8种B.7种C.6种D.5种 答案：C 解析：走法有①A→C→D→B;②A→C→H→B;③A→E→F→B;④A→E→D→B;⑤A→G→F→B; ⑥A→G→H→B,共有6种走法。故选C。 3、如图，长方形ABCD中，AB=4,BC=3,以AB所在直线为轴，将长方形旋转一周后得一 个几何体，从前面看该几何体得到的平面图形的面积是 D 答案：24 解析：由题图可知旋转所得几何体为圆柱，从前面看该几何体所得的平面图形为长方形，且该 长方形的长为2BC=6,宽为AB=4, 所以所求平面图形的面积为24。 4、一个长方形的长和宽分别为5,4，绕它的一边所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积 为 (结果保留π)。 106/129 第6章几何图形初步 答案：80π或100π 解析：①以长为5的边所在直线为轴旋转：底面半径r=4,高h=5 ②以长为4的边所在直线为轴旋转：底面半径r=5,高h=4 综上，几何体的体积为80π或100π。 5、小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了甲、 乙两个立体图形。 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等。 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等。 3 cm 6 cm 3 cm 6 cm 3 cm 3 cm 甲 (1)你同意 的说法。 (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 答案：(1)同意小红的说法。 解题理由： 甲立体图形体积计算：V甲=π×32×6 3T×32×(6-3)=45π(cm) 1 乙立体图形体积计算：V乙=T×32×3+3π×32×(6-3)=36m(cm) 所以甲、乙两个立体图形的体积不相等。 (2)求甲、乙两个立体图形的体积比：V甲：Vz=45m:36m=5:4 107/129 第6章几何图形初步 6、欧拉发现多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在数量关系，即欧拉公式。 (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 三棱锥 三棱柱 正八面体 正方体 名称 顶点数V 4 6 8 棱数E 6 12 面数F 5 (2)写出V、E、F的关系式。 答案(1)： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 顶点数V 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 5 6 8 (2)关系式答案：V+F-E=2 解析： 代入验证：4+4-6=2,6+5-9=2,8+6-12=2,6+8-12=2， 可得关系式：V+F-E=2。 108/129 第6章几何图形初步 6.5直线、射线、线段 1、下列说法错误的是() A.直线AB和直线BA表示同一条直线 B.过一点能作无数条直线 C.射线AB和射线BA表示不同的射线 D.射线比直线短 答案：D 解析：射线、直线都不能度量，不能比较长短，故D选项说法错误。故选D。 2、经过同一平面内任意四点中的两点共可画 直线() A.1条或3条 B.6条 C.1条或4条 D.1条或4条或6条 答案：D 解析：如图①，4点在同一条直线上，则只能画出1条直线。如图②，有3点在同一直线 上，则能画出4条直线。如图③，任意三点都不在同一直线上，则能画出6条直线。综上 所述，同一平面内，经过任意四点中的两点共可以画出1条或4条或6条直线。故选D。 图① 图② 图③ 3、如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有n条，再添一颗黑子，使n增加2，则添加的 黑子的位置在(） ○●●C ①②3● H○● OO④O A.① B.② C.③ D.④ 答案：C 109/129 第6章几何图形初步 ①②③● ●Oe ○④ 解析： 图1 图2 图3 图4 由题意易知n=1。当添加的黑子的位置在①时，同经过棋盘中三颗黑子的直线只有1条， n没有变化；当添加的黑子的位置在②时，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有2条，n增加 1；当添加的黑子的位置在③时，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有3条，n增加2；当添 加的黑子的位置在④时，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有2条，n增加1。故选C。 4、如图，平面上有A,B,C,D四个点。 (1)画直线AC和射线BC (2)连接AD,BC于点E (3)连接AB并将其反向延长。 (4)此时，图中共有条线段， 条射线， 条直线。 ·D B D B 答案：(1)(2)(3)如图所示. (4)图中共有8条线段，9条射线，1条直线 5、已知四条直线1,2，l3,l4,每两条直线都有一个交点，且交点不重合，这种相交方式为 “两两相交”。如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程。 110/129 第6章几何图形初步 解： 2条直线两两相交：交点个数1； 3条直线两两相交：交点个数1+2=3； 4条直线两两相交：交点个数1+2+3=6； … 由此可得：n条直线两两相交，交点总数为：1+2+3+…+(n-1)= n(m-1) 2 将n=101代入公式：101×(101-)_101×100 =5050 2 答：101条直线两两相交共有5050个交点。 技巧归纳：n条直线“两两相交"有n-) 个交点。 2 微专题线段的计数 方法指导：确定平面内（或直线上）m个点形成线段的条数有两种方法：其一，为了做到不 重复不遗漏，可先确定一个端点与其他端点组成的线段，再确定另一个端点与其他端点组成的 线段，依次类推，重复计数的除以2，得到线段的总条数；其二，利用平面内个点能形成 2n(n-1)条线段计算。 6、有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位： c),用这把直尺能直接量出的不同长度有() A.3个 B.6个 C.8个 D.10个 01 7 答案：B 解析：将4个刻度看作4个点，由这4个点可构成3+2+1=6条线段，所以能直接量 出6个长度。故选B。 7、某班45名同学在一次毕业聚会中，如果每两人握一次手问好，那么一共要握次手。 答案：990 解析：因为45名同学在一次毕业聚会中，每两人握一次手问好，所以每一个人要与其他44 1 人握手一次，又每次握手都重复计数1次，所以45人一共要握手2×4×45=990次。 111/129 第6章几何图形初步 8、往返于青岛和济南的某一高铁线路上，共设有6个站点，那么在这条线路上往返行车，要 准备的车票有 种。 答案：30 解：A B C D E 万 6个站点可看作6个点，先计算单向线段数量：2×6×5=15 往返车票种类：15×2=30 112/129 第6章几何图形初步 6.6线段的比较与运算 1、【学科特色·方程思想】如图，点B和点C把线段AD分成2：3：4的三部分 (AB:BC:CD=2:3:4),点M是线段AD的中点，CD=12,那么线段MC的长是 A B MC D 答案：1.5 解：设AB=2x, :AB:BC:CD=2:3:4 .BC=3x,CD =4x ·.AD=(2+3+4)x=9x CD=12 .4x=12,解得x=3 .AD=9x=27 :点M是线段AD的中点 1 1 “MD=2AD=2×27=13.5 .MC=MD-CD=13.5-12=1.5 2、如图所示，点B在线段AC上，且BC=3AB,D是线段AB的中点，E是线段BC上 的一点，且BB:EC=2:1,有下列结论： ①Bc-74:②0E-5B:③BE-ME+50:④AE-gCBc-Anm, 6 其中正确的结论为 (填正确结论的序号)。 A D B E 答案：①②④ 解：设AB=X, .BC=3AB,.BC=3x, 2 BE:EC=2:1,EC=BC=x,BE= C=2x, ·.AE=AB+BE=X+2X=3X。 113/129 第6章几何图形初步 ①EC=x,写AB-×3x=,“BC-写AB,①正确， 1 1 1 :D是AB中点，AD=BD=2AB=2x, 15 1.5 ②DB=AE-AD=3x-2x=5BD=5×x=x,DB=5BD,②正确： 1 ③AE+BC=3x+3x=6x,2AE+BC)=3x,BE=2x,2x≠3x,③错误； ④BCA0-3x号c-A0-合×号数=3x,A-3,A-g0c-A0m. 156 65 ④正确。 综上，正确结论为①②④。 1 3、BC,E都是线段AD上的点，AC=3AD=10,BD=6,E是线段AB的中点，若点F是 线段CD的中点，求线段AE,EF的长。 A CE F B D 答案：AE=12,EF=8 1 解：：AC=3AD=10 ·.AD=3×10=30 :BD=6 ·.AB=AD-BD=30-6=24 :E是线段AB的中点 A5-7A8-司x24-12 :AC=10 ·.CE=AE-AC=12-10=2 :CD=AD-AC=30-10=20,F是CD中点 1 1 ÷CF=2CD=2×20=10 ·.EF=CF-CE=10-2=8 114W129 第6章几何图形初步 4、线段AB=4,点0是线段AB上一点，C,D分别是线段OA,OB的中点。 (1)小明很轻松地求得CD=2,小明是怎样求出来的？ (2)若点0运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论“CD=2”是否仍然 成立？请画出图形并说明理由。 O D B 答案：(1)过程见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析 解：(1)C,D分别是线段OA,OB的中点 1 0C=240,0D=2B0 CD=0C+0D=(0A+0B) .0A+OB=AB,AB=4 1 CD=2AB=2×4=2。 (2)结论仍然成立。 画图：A C B DO 点A,B依次在直线上，O在B右侧延长线上，C为OA中点，D为OB中点。 理由： :C,D分别是线段OA,OB的中点 1 0C=iA0,0D=280 CD OC-OD=7(0A-OB) .0A-OB=AB,AB=4 1 1 CD=2AB=2×4=2。 5、已知点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2025。第一次操作：分别取线段AM和 AN的中点M1,N1;第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2,N2;第三次操作： 分别取线段AM2和AN2的中点M3,N3,,连续这样操作2024次， 则M2024N2024= A NM N,M,N M 115/129 第6章几何图形初步 2025 答案： 22024 解：MN分别是AMAW的中点，M,-AMAN-4AN M4,-w-wdw网-号w202s 1 2 同理，M2,N2为AM,AN1中点：M2N2三MM,=2025 1 2025 22，MNg=2M2N2= 23， 2025 以此类推，可得规律：MnNn= 2n 2025 当n=2024时，M2024W2024=22024° 6、有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线MPN。若该折线MPN上一点Q把这 条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”。已知点D是折线 ACB的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=3,CE=7,则线段BC的长为。 答案：8或20 C D B 解： 图1 图2 :E是AC中点，CE=7AC=2CE=14 分两种情况讨论： 情况1：点D在线段AC上，AD=AC-CD=14-3=11 :D是折线ACB折中点，AD=DC+BC,即11=3+BC,解得BC=8。 情况2：点D在线段CB上 折线A-C-D-B,AD=AC+CD=14+3=17 :D是折中点，·BD=AC+CD=17,BC=BD+CD=17+3=20。 综上，BC=8或20。 116/129 第6章几何图形初步 6.7角的概念 1、下列计算错误的是() A.0.25°=900° B.125.45°=12545 c100-( D.1.5°=90 答案：B 解：A、0.25°=(0.25×3600)'=900°，计算正确； B、125.45°=(125.45×60)=7527≠12545，计算错误； 1000 C、1000'=(3600 5 )”=（8)”,计算正确； D、1.5°=（1.5×60)=90，计算正确。 综上，故选B。 2、利用一副三角尺，可以画出的小于平角的角有() A.9个 B.10个 C.11个 D.12个 答案：C 解：方法一：分类列举 ①单独三角尺可画出的角：30°、45°、60°、90°； ②两角相加可画出的角：30°+45°=75°，30°+90°=120°，45°+60°=105°，45°+90°= 135°，60°+90°=150°，30°+45°+90°=165°； ③两角相减可画出的角：45°-30°=15°。 综上，符合条件的角共11个。 方法二：规律法 一副三角尺能画出的最小角为45°-30°=15°，所有15°的整数倍且小于180的角均可画出。 180÷15=12,去除平角180°，共11个。 117/129 第6章几何图形初步 3、如图所示的是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA=2cm,OB=2.5cm,0P=4cm, C为0P的中点。 (1)图中到小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方向上？ (3)若学校距离小明家400，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 公商乡 北 A学校 60以459 小明家0 30° 公园 停车场P 答案：(1)学校和公园；(2)商场：北偏西30°，学校：北偏东45°，公园、停车场：南偏东60°； (3)商场500m,停车场800m 解：(1)：C为OP的中点，OP=4cm 0c=20P=2cm :0A=2cm,即0A=OC “.到小明家距离相同的是学校和公园。 (2)由图可得： 商场在小明家北偏西30°方向； 学校在小明家北偏东45°方向； 公园、停车场在小明家南偏东60°方向。 (3)由题意可知，0A=2cm对应实际距离400m, 2.5 商场距离：400× =500(m) 停车场距离：400×2=800(m) 答：商场距离小明家500米，停车场距离小明家800米。 解析：本题结合方位角与线段比例求解，先利用中点性质判定等距点，再结合图示判断方位， 最后根据线段比例尺换算实际距离。 118/129 第6章几何图形初步 4、解答下列各题。 (1)如图，在∠A0B中，以0为顶点引射线，完成下表： LAOB内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 (2)若LAOB内射线的条数是n,请用含n的式子表示角的总个数。 (3)若LA0B内射线的条数是2024，则角的总个数为多少？ 0 B 图1 图2 图3 图4 答案：(1)3、6、10、15；(2)7(n+1)(m+2);(3)2051325 解：(1)填表结果：依次为3、6、10、15。 (2)推导规律： 当内部有条射线时，从顶点出发共有(n+2)条射线，任意两条射线可组成一个角， 角的总个数为：(m+1)m+2)。 (3)当n=2024时，原式=7×(2024+1)×(2024+2)=2×2025×2026=2051325 微专题钟面角问题 方法指引：钟面上的圆周被分成了12个大格、60个小格，每一大格的度数为30°，每一小格 的度数为6°；时针一小时走一大格（30)，一分钟走0.5°；分针一分钟走一小格(6)；秒针一 秒钟走一小格(6°)。 5、钟面上4点整时，时针与分针的夹角为() A.120°B.100°C.110°D.90° 答案：A 解：钟面一圈为360°，平均分为12个大格，每个大角度数：360°÷12=30° 4点整，时针与分针间隔4个大格，夹角：4×30°=120°。 解析：整点钟面角直接用大格数乘30°即可求解。 119/129 第6章几何图形初步 6、从9：00到9：30，分针旋转了度，时针旋转了度。 答案：180；15 解：分针转速：6°/分钟，30分钟旋转角度：30×6°=180° 时针转速：0.5°/分钟，30分钟旋转角度：30×0.5°=15° 解析：根据时针、分针固定转速，结合运动时间即可求出旋转角度。 7、钟表上12时15分时，时针与分针的夹角为 -。 答案：82.5° 解：15分钟分针旋转角度：15×6°=90° 15分钟时针旋转角度：15×0.5°=7.5° 此时时针与分针夹角：90°-7.5°=82.5° 解析：非整点钟面角需分别计算时针、分针旋转角度，角度差值即为钟面夹角。 8、学校下午活动课的上课时间是17：50，此时钟表上时针与分针的夹角是度。 答案：125 解：每个大格度数：360°÷12=30 17:50时，分针指向10，时针在5和6之间， 时针偏离数字5的角度：50×0.5°=25 数字5与10间隔5个大格，角度：5×30°=150° 夹角：150°-25°=125° 解析：非整点时刻，时针会随时间偏移固定刻度，需扣除偏移角度后计算最终夹角。 120/129 第6章几何图形初步 6.8角的比较与运算 1、如图，0A表示的方向是北偏东3020，若射线0B与射线0A成90°角，则0B表示的方 向是() A.南偏西59°40 B.北偏东60°40 C.南偏东60°40' D.南偏东59°40' 北 东 B 南 答案：D 解：由题意可知：∠A0B=90°，∠A0C=30°20， .∠B0E=180°-30°20'-90°=59°40'，即0B表示的方向是南偏东59°40'。 综上，故选D。 2、如图，已知∠A0C=70°，∠B0D的度数比∠A0C的度数少10°，若∠B0C=20°，则∠A0D 的度数为() A.130° B.110° C.115° D.150° 答案：B 解：：∠A0C=70°，∠B0D比LA0C小10°，·∠B0D=70°-10°=60°， :∠B0C=20°，·∠C0D=∠B0D-∠B0C=60°-20°=40 ·.∠A0D=∠A0C+∠C0D=70°+40°=110° 综上，故选B。 3、已知LA0B=56°，自LA0B的顶点0引射线0C,若∠A0C:LA0B=1:4,那么∠B0C的度 数是。 答案：42°或70° 121/129 第6章几何图形初步 A -B 0 B 解： 图1 图2 A0C:∠A0B=1:4,∠A0B=56,∠A0C=42A0B=1×56° 分两种情况讨论： ①当射线0C在LA0B内部时：LB0C=∠A0B-∠A0C=56°-14°=42° ②当射线0C在∠A0B外部时：∠B0C=∠A0B+∠A0C=56°+14°=70° 综上，∠B0C=42°或70°。 122/129 第6章几何图形初步 6.9角的平分线 1、如图，OC是∠A0B内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、LAOC。若LA0C=m, ∠B0C=n,则∠D0E的大小为（) B D E m n-m A. c.m+n D 2 2 答案：B 解：：OD平分∠AOB,OE平分LAOC 1 ∠DOA= AOB,ZEOA-AOC .∠DOE =∠DOA-∠EOA 1 1 =2∠A0B-2∠A0C 2(2AOB-ZAOC) = 1 ∠BOC 2 =2 综上，故选B。 2、如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于 点F,再将△DEF沿DF折叠，点E落在点G处，若DG恰好平分∠ADB,则LBDC的 度数为() A.54° B.55° C.56° D.57 E B 答案：A 解：由折叠性质得：LBDC=LBDE,∠EDF=∠GDF 123/129 第6章几何图形初步 :DG平分∠ADB ·.∠BDG=∠GDF ·.∠EDF=∠GDF=∠BDG ·.∠BDC=∠BDE=3LGDF,∠BDA=2LGDF 又长方形中∠ADC=90°，即∠BDC+∠BDA=90 ·3LGDF+2∠GDF=90° 5∠GDF=90° .∠GDF=18 .∠BDC=3×18°=54° 综上，故选A。 3、已知∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠B0D的内部，OE是∠AOB 的三等分线，若∠B0C=30°，则∠E0D的度数为 B、 答案：110°或130° 解：：∠A0C=90°，∠B0C=30° ·.∠A0B=∠A0C-∠B0C=90°-30°=60° :OE是∠A0B的三等分线 ∠B0E=3A0B=20°或∠B0E=3A0B=40 2 3 当∠B0E=20°时： ∠E0D=∠B0E+∠B0D=20°+90°=110° 当∠B0E=40°时： ∠E0D=∠B0E+∠B0D=40°+90°=130° 综上，∠E0D=110°或130°。 解析：本题考查分类讨论思想，角的三等分线有两条、位置不同，对应两种不同结果，需要全 部讨论求解。 124W129 第6章几何图形初步 4、如图，∠A0B=120°，在∠A0B内作射线0C、OM、ON、OD,且0M平分LA0D,ON平 分∠B0C,若∠A0C:∠C0D:∠DOB=3:1:2,则∠MON的度数为。 M D B 答案：50° 解：设∠AOC=3x,∠C0D=x,∠D0B=2x :∠A0B=1209 .3x+X+2x=120° 解得：x=20 .∠A0C=60°，∠C0D=20°，∠D0B=40° ·.∠AOD=∠AOC+∠COD=80° ∠BOC=∠COD+∠D0B=60° :0M平分∠AOD,ON平分∠BOC A∠AOM=1∠A0D=40 2 1 LB0N=2∠B0C=30° ·.LMON=LAOB-LAOM-∠BON =120°-40°-30° =50° 5、如图，将直角三角尺的直角顶点0落在直线AB上，射线OE平分∠B0C。 (1)如果LA0C=60°，那么LE0D=一； (2)如果∠AOC=,将三角尺绕点0旋转一周（旋转过程中LA0C、∠B0C都是大于0°且 小于180的角)，求∠E0D的度数。（用含a的代数式表示） B 答案：（四30；（②24或180°- 1 Sa 125/129 第6章几何图形初步 解：(1)由题意得∠C0D=90°， :∠A0C=60°，∠B0C=180°-∠A0C=120°， 1 :0E平分∠B0C,∠C0E=2B0C=60,4∠B0D=LC0D-∠C0B=90°-60°=30° (2)分两种情况： E D D -B 图1 图2 ①当0C在直线AB上方时：∠B0C=180°-，∠C0E= B0C=90°-1c 1 ∠B0D=∠C0D-∠C0E=90°-(90°-2)=20 1 1 )当0C在直线AB下方时：∠B0C=180-a,∠C0E=)∠B0C=90 2, 2E0D=100D+200B=90°+90°7a=180°- 2 1 综上，∠B0D的度数为20或180°-2a。 6、如图，已知∠A0B=30°，∠C0D=45°（LC0D可绕点0旋转)，∠B0C=,为锐角， 射线0M、ON分别是∠AOB和∠C0D的平分线。 (1)如图1，∠A0B在∠C0D外部，当a=10°时，求LM0N的度数。 (2)如图2，当∠N0A=90°时，求a的度数。 (3)当a为小于15的锐角时，请直接写出LMON的度数（用含a的式子表示，不写探究过 程)。 D B M M A 图1 图2 答案：(1)47.5°；(2)37.5°；(3)37.5°+a或37.5°- 解：（①EOM0N分别平分∠A0B、∠C0D,LB0M三A0B号X30=15 126/129 第6章几何图形初步 1 1 1C0N=2C0D=2×45°=22.5° :∠B0C=a=10°，÷∠M0N=∠B0M+∠B0C+∠C0N=15°+10°+22.5°=47.5° (2)'0N平分∠C0D,.∠C0N=22.5°， :∠N0A=90°，∠A0C=∠N0A-∠C0N=90°-22.5°=67.5° a=∠B0C=∠A0C-∠A0B=67.5°-30°=37.5° (3)当LA0B在LC0D外部时，∠MON=37.5°+a; 当LA0B不在∠COD外部时，∠MON=37.5°-a。 127/129 第6章几何图形初步 6.10余角和补角 1、如果∠a和∠B互补，且La<∠B,那么下列式子中一定表示∠x的余角的有() ①90°-∠&，②β-90°，③180°-LB, ④(uB-∠w A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解：La与β互补，·∠a+LB=180 ①根据余角定义，∠a的余角为90°-∠a,故此式符合； ②LB-90°=(180°-La)-90°=90°-L,故此式符合； ③180°-Lβ=∠，不是La的余角，故此式不符合； ④7(4B-1)=气（(180°-1a-∠)=7（180°-2za)=90°-1a,故此式符合。 综上，①②④符合题意，共3个，故选C。 2、如图，点0是直线AB上一点，OC平分LAOB,∠AOE=2LBOD,OP平分∠COE,∠COQ 与∠C0D互余，则LP0Q=一。 0 B 答案：45 解：0C平分∠A0B,∠A0B=180,∠A0C=∠B0C=2A0B=90 :∠C0Q与∠C0D互余，∠C0Q+∠C0D=90°， 又∠B0D+∠COD=∠BOC=90°，·∠C0Q=∠B0D, 1 :∠A0E=2∠BOD,∠AOE=2LCOQ,即LCOQ=2∠A0E, 1 :0P平分C0E,∠C0P=2C0E, 1 1 1 1 1 ∠P0Q=∠c0Q+∠C0P=A0E+i∠C0E=iA0E+∠C0D)=A0C=2×90~ =45° 128/129 第6章几何图形初步 3、已知0D平分∠A0C,0E平分∠B0C,且0°<∠A0C<180°，0°<∠B0C<180°。如果 LDOE与LAOC互补或∠D0E与∠BOC互补，那么称LAOC和LBOC是一对“多补角"。 (1)如图，当0C在LA0B内部时，若∠A0C=110°，∠B0C=50°，则∠D0E=°，LA0C 和∠B0C一一对“多补角"（填“是”或“不是）。 (2)若∠AOC和∠B0C是一对“多补角”，∠AOC=96°，∠BOC是锐角，求LB0C的度数。 D B 答案：(1)80，不是；(2)72或88° 1 1 解：(1：0D平分∠A0C,0E平分∠B0CLC0D=2A0C=2×110°=55， 2C0E7B0G3X50°=25,2D0E=∠C0D+2C0E=55+25°=80° :∠A0C+∠D0E=110°+80°=190°≠180°，∠B0C+∠D0E=50°+80°=130°≠180° ·LAOC和∠BOC不是一对“多补角”。 (2)设∠B0C=a(0°<a<90),'OD平分∠A0C,OE平分LB0C 1 ∠C0D=2×96°=48，LC0E=20 D E B B 图1 图2 ①当0B在∠A0C外部时：∠D0E=∠C0D+∠C0E=48°+2m 1 1 根据"多补角"定义分两种情况：情况-：∠A0C+∠D0E=180°，96°+48°+2Q=180 解得：《=72°，符合锐角条件； 情况二：∠B0C+∠D0B=180°，x+48°+2=180，解得：《=88，符合锐角条件。 在40C内部时：∠D0E=LC0D∠C0E=48 此时∠D0E+∠AOC<180°，∠D0E+∠B0C<180°，不满足“多补角”定义，无解。 综上，∠B0C的度数为72°或88°。 129/129第6章几何图形初步 6.1立体图形与平面图形 1、下列几何体中属于棱柱的有() 可日AN A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2、如图，往一个密封的正方体玻璃容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置， 水面形状不可能是() A.三角形 B.五边形 C.梯形 D.七边形 3、下列几何图形：①线段；②三角形；③长方体；④正方形；⑤圆；⑥圆锥；⑦圆柱； ⑧四棱锥；⑨六棱柱。其中立体图形有m个，平面图形有n个，则m-n= 59/75 第6章几何图形初步 6.2从不同方向看物体 1、“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图所示的是水平放置的“阳马”，从前面看得到的平 面图形为() 2、某物体从三个不同方向看得到的图形如图所示，与它对应的物体是() 从前面看 从左面看 前面 前面 前面 前面 从上面看 B 3、小莉用几个体积是1立方厘米的小正方体摆成了一个几何体，如图所示的是从不同方向看 得到的图形，则这个几何体的体积是() 从前面看 从上面看 从左面看 A.4立方厘米 B.5立方厘米 C.6立方厘米 D.7立方厘米 4、如图所示的是用7个大小相同的小长方体搭成的几何体。若拿走一个长方体后，从前面看 该几何体得到的平面图形和从左面看得到的平面图形都没改变，则拿走的这个长方体的序号是 0 ① ③④⑤ 5、如图所示的是若干个大小相同的小立方块搭成的几何体。 (1)这个几何体由个小立方块搭成。 (2)从前面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图。 前面 从前面看 从左面看 从上面看 60/75 第6章几何图形初步 6、一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，从前面看和从上面看得到的形状图如图 所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是 从前面看 从上面看 7、图①是一个大正方体切去一个小正方体后形成的几何体。 (1)图②的三个图形中，从上面、左面、前面看得到的平面图形的序号分别是一。 (2)若大正方体的棱长为20cm,切去的小正方体的棱长为10cm,求这个几何体的表面积和体 积。 前面 B 图① 图② 61/75 第6章几何图形初步 6.3立体图形的展开图 1、如图所示的是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图 的方法有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 2、走马灯，又称仙音烛，走马灯的出现可以追溯到秦汉时期，其成熟于隋唐时期，盛行于宋 代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日。在一次综合实践活动中，一同学用 如图所示的纸片沿折痕折成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了 “祥"字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意"的字样，则在A,B,C处依次写上的字可以是() A 祥 A吉、如、意 B意、吉、如 C吉、意、如 D意、如、吉 3、如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是() △O* D 4、如图所示的是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数。 2 -3 1 (1)填空：x= -,y= ,Z= (2)先化简，再求值：-2yz+(3xy2-x2y)-2(xy2-yz) 6275 第6章几何图形初步 5、一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，其展开图如图①所示， 在一张不透明的桌子上，按如图②所示的方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该 几何体能看得到的面上数字之和最小是() 5 2 3 4 6 图① 图② A.31 B.32 C.33 D.34 6、小明在学习了“转化表达"”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是他在家用剪 刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图1和图2根据 你所学的知识，回答下列问题： (1)现在小明想将图2重新粘贴到图1中的某个位置，折叠以后，仍然可以折叠成一个长方体纸盒， 共有种粘贴方法， (2)已知这个长方体纸盒的高为5c,底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是 108cm,求这个长方体纸盒的体积. 图1 图2 63/75 第6章几何图形初步 6.4点、线、面、体 1、如图所示的是乾隆松石绿粉彩朵花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花 瓶形状的是() 2、一只蚂蚁从如图所示的正方体的一顶点A沿着棱爬向B,只能经过三条棱，共有多少种 走法() A.8种 B.7种 C.6种 D.5种 3、如图，长方形ABCD中，AB=4,BC=3,以AB所在直线为轴，将长方形旋转一周后得一 个几何体，从前面看该几何体得到的平面图形的面积是 0 D B 4、一个长方形的长和宽分别为5,4，绕它的一边所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积 为 (结果保留π)。 5、小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了甲、 乙两个立体图形。 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等。 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等。 6 cm 3cm o cm 3 cm (1)你同意 的说法。 (②)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 64/75 第6章几何图形初步 6、欧拉发现多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在数量关系，即欧拉公式。 (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 三棱锥 三棱柱 正八面体 正方体 名称 顶点数V 4 6 8 棱数E 6 12 面数F 5 8 (2)写出V、E、F的关系式。 65/75 第6章几何图形初步 6.5直线、射线、线段 1、下列说法错误的是() A.直线AB和直线BA表示同一条直线 B.过一点能作无数条直线 C.射线AB和射线BA表示不同的射线 D.射线比直线短 2、经过同一平面内任意四点中的两点共可画 直线() A.1条或3条 B.6条 C.1条或4条 D.1条或4条或6条 3、如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有n条，再添一颗黑子，使n增加2，测添加的 黑子的位置在() ○●● ①②③● ④ A.① B.② c.3 D.④ 4、如图，平面上有A,B,C,D四个点。 (1)画直线AC和射线BC (2)连接AD,BC于点E (3)连接AB并将其反向延长。 (4)此时，图中共有条线段， 条射线， 条直线。 ·D c B A 66/75 第6章几何图形初步 5、已知四条直线l1,l2,l3,l4,每两条直线都有一个交点，且交点不重合，这种相交方式为 “两两相交”。如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程。 6、有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位： cm),用这把直尺能直接量出的不同长度有() A.3个 B.6个 C.8个 D.10个 0 1 3 7、某班45名同学在一次毕业聚会中，如果每两人握一次手问好，那么一共要握次手。 8、往返于青岛和济南的某一高铁线路上，共设有6个站点，那么在这条线路上往返行车，要 准备的车票有 种。 67/75 第6章几何图形初步 6.6线段的比较与运算 1、【学科特色·方程思想】如图，点B和点C把线段AD分成2：3：4的三部分 (AB:BC:CD=2:3:4),点M是线段AD的中点，CD=12,那么线段MC的长是 AB MC D 2、如图所示，点B在线段AC上，且BC=3AB,D是线段AB的中点，E是线段BC上 的一点，且BE:EC=2:1,有下列结论： ①BC=3AE,②DE=5BD:③BE=Z(AE+BC):④AE=号(BC-AD), 其中正确的结论为 (填正确结论的序号)。 ADB E C 3、B,G都是线段AD上的点，AC-4D-10,BD=6,g是线段A0的中点，若点F是 线段CD的中点，求线段AE,EF的长 CE FB D 4、线段AB=4,点O是线段AB上一点，C,D分别是线段OA,OB的中点。 (1)小明很轻松地求得CD=2,小明是怎样求出来的？ (2)若点0运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论“CD=2”是否仍然 成立？请画出图形并说明理由。 68/75 第6章几何图形初步 5、已知点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2025。第一次操作：分别取线段AM和 AN的中点M1,N1;第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2,N2;第三次操作： 分别取线段AM2和AN2的中点M3,N3,,连续这样操作2024次， 则M2024N2024= A NM,N2M 。N,M M 6、有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线MPW。若该折线MPN上一点Q把这 条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”。已知点D是折线 ACB的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=3,CE=7,则线段BC的长为一。 69/75 第6章几何图形初步 6.7角的概念 1、下列计算错误的是() A.0.25°=900 B.125.45°=12545' 5 C.1000'=(8)° D.1.5°=90 2、利用一副三角尺，可以画出的小于平角的角有() A.9个 B.10个 C.11个 D.12个 3、如图所示的是小明家和学校所在地的简单地图，已知0A=2cm,OB=2.5cm,OP=4cm, C为OP的中点。 (1)图中到小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方向上？ (3)若学校距离小明家400，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ B,商场 北 A学校 60公人45° 小明家O30° C公园 停车场P 70/75 第6章几何图形初步 4、解答下列各题。 (1)如图，在∠A0B中，以0为顶点引射线，完成下表： LAOB内射线的条数 1234 角的总个数 (2)若LAOB内射线的条数是n,请用含n的式子表示角的总个数。 (3)若∠A0B内射线的条数是2024，则角的总个数为多少？ 00E B B 图1 图2 图3 图4 5、钟面上4点整时，时针与分针的夹角为() A.120°B.100°C.110°D.90° 6、从9：00到9：30，分针旋转了度，时针旋转了度。 7、钟表上12时15分时，时针与分针的夹角为一。 8、学校下午话动课的上课时间是17：50，此时钟表上时针与分针的夹角是度。 71/75 第6章几何图形初步 6.8角的比较与运算 1、如图，0A表示的方向是北偏东3020'，若射线0B与射线0A成90°角，则0B表示的方 向是() A.南偏西59°40 B.北偏东60°40' C.南偏东60°40' D.南偏东59°40 北 东 B 南 2、如图，已知∠A0C=70°，∠B0D的度数比LAOC的度数少10°，若∠B0C=20°，则∠A0D 的度数为() A.130° B.110° C.115° D.150° 3、已知LA0B=56°，自∠A0B的顶点0引射线0C,若∠A0C:∠A0B=1:4,那么∠B0C的度 数是一。 72/75 第6章几何图形初步 6.9角的平分线 1、如图，OC是∠A0B内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、LAOC。若LA0C=m, ∠B0C=n,则∠D0E的大小为（) B D E A. n 2 c.m+n 2 n”2 2、如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于 点F,再将△DEF沿DF折叠，点E落在点G处，若DG恰好平分∠ADB,则∠BDC的 度数为() A.54° B.55° C.56° D.57° D B 3、已知∠AOC=∠B0D=90°，OB在LAOC的内部，OC在LBOD的内部，OE是∠A0B 的三等分线，若∠BOC=30°，则∠EOD的度数为 B 4、如图，∠AOB=120°，在∠AOB内作射线0C、OM、ON、OD,且0M平分∠AOD,ON平 分∠B0C,若LAOC:LC0D:∠DOB=3:1:2,则∠MON的度数为。 M D B 73/75 第6章几何图形初步 5、如图，将直角三角尺的直角顶点O落在直线AB上，射线OE平分∠BOC。 (1)如果∠A0C=60°，那么LE0D=; (2)如果∠AOC=心，将三角尺绕点0旋转一周（旋转过程中∠A0C、∠B0C都是大于0°且 小于180的角)，求∠E0D的度数。（用含a的代数式表示） E B 6、如图，已知∠A0B=30°，∠C0D=45°（∠C0D可绕点0旋转)，∠B0C=a,a为锐角， 射线0M、ON分别是∠AOB和LC0D的平分线。 (1)如图1，∠A0B在∠C0D外部，当a=10°时，求∠M0W的度数。 (2)如图2，当∠N0A=90时，求的度数。 (3)当为小于15的锐角时，请直接写出∠MON的度数（用含的式子表示，不写探究过 程)。 D D B B M M A A 图1 图2 74/75 第6章几何图形初步 6.10余角和补角 1、如果∠a和∠B互补，且La<∠B,那么下列式子中一定表示∠x的余角的有() ①90°-∠，②∠B-90°，③180°-∠B, ④p-0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、如图，点0是直线AB上一点，OC平分∠AOB,∠A0E=2LB0D,OP平分LC0E,∠COQ 与LC0D互余，则LP0Q=—。 B 3、已知0D平分∠A0C,0E平分∠B0C,且0°<∠A0C<180°，0°<LB0C<180°。如果 LD0E与LA0C互补或∠D0E与∠B0C互补，那么称∠AOC和∠BOC是一对“多补角”。 (1)如图，当0C在LA0B内部时，若LA0C=110°，LB0C=50°，则∠D0E=一，LA0C 和LB0C一一对“多补角"（填“是"或“不是）。 (2)若∠A0C和∠B0C是一对“多补角”，∠A0C=96°，∠B0C是锐角，求LB0C的度数。 D B 75/75