第五章 一元一次方程-2026-2027学年七年级数学上册练培优（人教版）

第5章一元一次方程 5.1从算式到方程 1、若关于x的一元一次方程2ax+3-b=0的解为x=1,则代数式4a-2b+1的值 为() A.-5 B.5 C.-3 D.3 2、关于x的方程kx=3的解为自然数，则整数k等于() A.0或1 B.1或3 C.-1或-3 D.士1或士3 3、我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳 长、井深各几何？这段话的意思是用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来 量，井外余绳一尺。绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为() -4--1 1 1 B.3x+4=4x-1 1 1 1 1 C 3x-4=4x+1 D. 3x+4=4x+1 4、有m辆客车及n个人，若每辆客车乘50人，则还有9人不能上车，若每辆客车乘52 人，则只有1人不能上车，有下列四个方程： 、n+9n+1 50m+9=52m+1;②50m+9=52m-1;③50-52；4 529 其中正确的是（填写序号）。 x,x-2 X,X-3 5观察：+，1的解是x26中，1的解是x=38 2 =1的解是 x=4,根据观察得到的规律，写出解是x=2025的方程： 6、某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100千瓦时，那么每千瓦时按0.45 元收费；如果超过100千瓦时，超出部分按每千瓦时0.54元收费。已知该地一户居民某个月 缴纳电费77.4元，若设该户居民这个月用电x千瓦时，则可列方程为 41/75 第5章一元一次方程 7、已知关于x的方程(a2-9)x2+ax-3x+4=0是一元一次方程。 (1)求a的值。 (2)求-4a2+7-3a+2a+1的值。 8、若关于x的-元-次方程a(x-2025)+b=2x+c-2025的解为x=1,则关于y的 一元一次方程ay+b=2y+c的解为y=一。 1 9、一批树苗按下列方法依次由各班领取：第一个班取10棵和余下的10， 第二个班取20棵 和余下的0第三个班取30棵和余下的0，最后树苗全部被取完，且各班的树苗棵 数都相等，求树苗总棵数。（只列方程，不求解) 42/75 第5章一元一次方程 5.2等式的性质 1、下列变形中，不正确的是() A.如果a=b,那么a+c=b+c B.如果a=b,那么ac2=bc2 C.如果ac2=bc2,那么a=b D.如果a=b,那么。2t12+1 a b 2、根据等式性质，若等式m=n可以变形得到m+a=n-b,则a、b应满足的条件是() A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D无法确定 3、已知☆+☆+☆=△+△，求解以下问题： (1)求☆：△的比值； (2)若☆+△=120，求☆的值； (3)若△-☆=18，求△的值。 4、如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，两架天平均保持平衡，相同形 状物体质量相等，若1个“口”与n个“○”质量相等，求n的值。 △△yO0O卫y O0O△△yQDU 图1 图2 43/75 第5章一元一次方程 6、已知2a二b=4,c+d=1,利用等式的性质求a-b-3c-3d的值。 6、任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7 7 为例进行说明：设0.7=x,两边同时乘10，得7.7=10x,所以10x-x=7,所以x=) 7 即0.7=)将0.36写成分数的形式是() A号 2 B 7、定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如： 方程4x=8和x+1=0为“美好方程”。 (1)请判断方程3x+9=0与方程4x-2=x+10是不是“美好方程”。 (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n,求n的值。 1 (3③)若关于x的-元一次方程2024×+3=2x+k和2024×+1=0是“美好方程”，求关于y 的一元一次方程020+)+3-2y+k+2的解。 44/75 第5章一元一次方程 5.3合并同类项解方程 1、在一张月历上，任意圈出同一竖列上的三个数，这三个数的和不可能是() A.17 B.24 C.42 D.66 2、对任意四个有理数Q,b,c,d,定义新运算：？l=ad-bc,已知2=36， 则x=一。 3、A、B两地相距540千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车的 速度为120千米/小时，乙车的速度为80千米/小时，经过几小时，两车相距40千米？ 45/75 第5章一元一次方程 5.4移项解一元一次方程 1、小明同学在解方程5x-1=mx+3时，把数字m看错了，解得x=1,则该同学把m 看成了() A.7 B.-7 C.1 D.-1 2、小娜同学在解方程3x+k=5x一7时，将常数项k移项时忘记改变符号，得出解为x=1, 则原方程正确的解是() A.x=6 B.x=5 C.x=-4 D.x=-6 3、华氏温度（单位：℉）与摄氏温度（单位：℃)之间的转换关系是Tp=32+1.8Tc(Te表 示华氏温度，Tc表示摄氏温度)。下列与华氏温度212℉接近的是() A.水沸腾的温度 B.人体的温度 C舒适的室温 D水结冰的温度 4、若关于x的方程3x=2x+a的解是方程4x+2=7-x的解的2倍，则a的值为。 5、在三阶幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则幻方中“津” 对应的数为 a+1 12 我 爱 -a-3 5 天 津 6、某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3倍，两种棋都会下的有5人，两 种棋都不会下的有10人，则会下围棋的有人。 7、定义运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b=ab-a;当a<b时，a⊕b=ab+b。 1 (4)计算：（-2)⊕(- (2)若2x⊕3=4，求x的值。 46/75 第5章一元一次方程 8、在数学改卷中，改解答题22题（改22)的教师人数是改解答题18题（改18）教师人数 的3倍。从改22的教师中调12人去改18后，改22剩余人数比原来改18人数的一半多3 人，求原来改22和改18的教师人数分别是多少？ 9、解一元一次方程时，有时根据方程特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的效果 例如：在解方程5(2x+1)-7(2x+1)+2=-(2x+1)时，把(2x+1)看作一个整体， 令m=2x+1,则原方程变为5m-7m+2=-m,移项，得5m-7m+m=-2, 合并同类项，得-m=-2,系数化为1，得m=2,所以2x+1=2,解得x=2。 1 (1)请用同样的方法解方程：2025(8x+3)-2024(8x+3)-5=2(8x+3) (1)请用整体法解方程：2025(8x+3)-2024(8x+3)-5=2(8x+3) (2)已知关于x的方程7x+2026+n3=30x+1的解为x=3, 则方程7(x-5)+2026+n3=30(x-5)+1的解为 47/75 第5章一元一次方程 5.5去括号解一元一次方程 1、若方程3(x-1)=2(x+1)的解与关于x的方程6-2k=2(x-1)的解相同，则k的 值为() 8 B.一g C.-1 D.一3 2、李白是我国唐代著名诗人，后人用《李白醉酒》的数学诗描述李白饮酒情景：李白街上走， 提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。试问壶中原有酒几斗？则 诗中李白的壶中原来有酒() A.1斗 3 C. ”成 ④ 0 李白醉酒 李白街上走，提壶去买酒。 遇店加一倍，见花喝一斗。 三遇店和花0，喝光壶中酒。 试问壶中原有酒几斗？ 3、已知a,46d为有理数，现规定一种新的运算：？l=ad-bc,若剖23x=1B,求 x的值。 4、关于x的一元一次方程2(x-1)=ax+3有正整数解。 (1)此方程的解为 (用含a的式子表示)。 (2)求整数a的值。 48/75 第5章一元一次方程 5、在一条笔直的河流中有甲、乙两条船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需 立即返航到C地执行任务，甲船继续顺流航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都为每小时 7.5km,水流速度为每小时2.5km,A、C两地间的距离为10km。如果乙船由A地经B地到 达C地共用了4h,求乙船从B地到达C地时，甲船离B地的距离多远？ 6、定义：若两个一元一次方程的解相差6，则称解较大的方程为另一个方程的“顺利方程”。 例如：方程x-7=0是方程x-1=0的“顺利方程”。 (1)方程3x+1=25是方程x-1=1的“顺利方程吗？请说明理由。 (2)如果关于x的方程5(x+1)-2m=20是方程2(x+3)=4的“顺利方程"，求m的值。 49/75 第5章一元一次方程 5.6去分母解一元一次方程 1、已知关于x的两个一元-次方程2x+1=-5与 2x+m 2 =-5(x-1)的解互为相反数， 则m的绝对值为() A.-26 B.26 C.14 D.-14 2、如果α，b是定值，对于关于x的方程 -2+ x+bk 6,无论k为何值，它的解总 是x=1,那么2a+b的值是 3、小明解方程2x1 3 3气)Q时，由于粗大意，在去分母时，方程左边的-3没 6,由此得到方程的解为x=-1。 (1)试求a的值。 (2)求原方程的解。 4、若关于x的方程5x+2=50x-1)+1与2x-1x_+1 2 30.6 1的解均为正整 数，则整数a的值是一。 5、有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有40m2墙面没来得及 粉刷；同样时间内6名徒弟粉刷了4个房间，还多粉刷了402墙面。每名师傅比徒弟每天 多粉刷20m2的墙面。 (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积。 (2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积。 (3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请 徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少。 50/75 第5章一元一次方程 微专题用整体思想解一元一次方程 1.解方程：x-)=6号x-7刀 1 2用整体思想解方程：52x-)+名2x-1)-2:)+6 1 3.用整体思想解方程：32x-3)6-2四=5(06-20+2x-3) 51/75 第5章一元一次方程 5.7配套问题与工程问题 1、某车间有技工86人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个，已知每2个 甲种零件和3个乙种零件配成一套。分配恰当数量的技工生产甲种零件和乙种零件，使得每天 生产的配套零件最多，则最多生产 套零件。 1 2、有一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队的时间多 (1)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲、乙两队合作完成，求完成这项工程共需要多少天。 (2)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，剩余工程由甲、 2 乙两队合作完成。若甲队工作的天数是乙队工作天数的了已知甲、乙两队施工过程中工作效 率始终不变，乙队单独施工一天需工程款02万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的号少 0.01万元，求完成这项工程共需支付多少万元工程款。（甲、乙两队施工过程中工作效率始终 不变) 52/75 第5章一元一次方程 5.8销售问题与比赛积分问题 1、有两种消费券：A券，满60元减20元（满60元即大于或等于60元）；B券，满90元减 30元(（满90元即大于或等于90元)。小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一 件标价相同的商品，各自付款，能用券时用券，两人共付款150元，则所购商品的标价是() A.100元 B.75元 C.75元或100元 D.85元或100元 2、在某排球比赛中，参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜制。积分规则：比 赛中以3：0或者3：1取胜的球队积3分，负队积0分；以3：2取胜的球队积2分，负队积1分。 前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 球队 场次 胜场 负场 总积分 A 11 11 0 ⊙ 11 10 1 28 C 11 8 3 D 11 23 (1)A队11场胜场中仅有两场以3：2取胜，则A队的总积分为 分。 (2)D队积3分取胜的场数是积2分取胜的场数的3倍，且负场总积分为1分，求D队负场的 场数。 (3)B队积3分取胜的场数为偶数，则B队积3分取胜的场数为；C队积3分取胜的场数 比B队积3分取胜的场数少2，且C队负场总积分为1分，则C队总积分为分： 53/75 第5章一元一次方程 3、“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为2500kg,含油率为40%。“丰收2号”油菜籽的平 均每公顷产量比“丰收1号"提高了300kg,含油率增加了10个百分点。A村去年种植“丰收1 号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少4公顷，但是所产油菜籽的总 产油量比去年增加了5000kg。 (1)分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表； 种植面积/公顷 每公顷产量/kg 含油率 总产油量/kg 去年 2500 40% 今年 2500+300 40%+10% (2)求A村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷； (3)去年和今年A村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，都以每千克15元的价格卖给批发商。 批发商将去年菜籽油按照每千克20元定价，全部售出；今年每千克定价提高α元，也全部 售出，且今年比去年多盈利8.8万元，求α的值。 54/75 第5章一元一次方程 5.9方案决策问题与分段计费问题 1、【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 高峰电价（元/千瓦时 低谷电价（元/千瓦时） 第一档年用电 2760千瓦时及以下部分 0.57 0.29 第二档年用电 2761~4800千瓦时部分 0.62 0.36 第三档年用电 4801千瓦时及以上部分 0.86 0.58 注：某用户年用电量是指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量，用电量不足1千瓦时 的部分顺延至下个月结算。 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份 16 7 8 用电量/千瓦时 3400 600 900 【问题解决】 (1)若该用户在7月份所用的高峰电量为500千瓦时，求该用户7月份的电费。 (2)已知该用户在8月份第二档所用低谷电量是第三档所用低谷电量的5倍，缴纳电费471.4 元，求该用户8月份第三档所用的低谷电量。 55/75 第5章一元一次方程 2、项目主题：“火锅里的数学”一一确定最省钱的付款方案 项目背景：火锅文化源远流长，现存最早的火锅器具是商周时期的青铜“温鼎”。寒冷的天气， 大家围在一起吃上一顿热气腾腾的火锅成为不少家庭的选择，小超与家人计划去季季红火锅店 吃火锅。 数据收集：季季红火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受。 方式一：使用某手机App支付，在该手机App购买100元代金券，每张70元，每次消费最 多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券。 方式二：现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部打α折。 问题解决：小超点了260元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了194元。 (1)若用方式一买单，共付款 元，a的值为； (2)若小超点了280元菜品，其中包含一份40元锅底，则选哪种方式更优惠？ (3)当小超一家点了多少元的菜品（包含一份40元锅底和其余菜品)时，用方式一和方式二买 单支付的实际金额相等？ 56/75 第5章一元一次方程 5.10其他问题 1、甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为Q、0,将甲纸条的}与乙纸条的号叠合在- 2 起，形成长为81的纸条，则a+b= 81 2、某校饮水机有温水、开水两个按钮，温水温度为30℃， 温水 开水 出水口 流速为20mL/s;开水温度为100℃，流速为15mL/s。 物理常识：开水和温水混合不计热损失时，开水放出的热量等于温水吸收的热量， 满足：温水体积×温水升温=开水体积×开水降温。 (1)用空杯先接8s温水，再接6s开水，接完后杯中共有水mL,水温为℃。 (2)某学生先后接温水、开水，得到一杯420mL、温度50℃的水（不计热损失），求该学生接 温水、开水的时间。 3、某市民健身广场平面由6个正方形拼成一个长方形，最小的正方形A边长为1米，设最大 的正方形B的边长为x米。 (1)用含x的代数式表示：正方形F的边长= 正方形E的边长 正方形C 的边长= (2)根据长方形对边相等（如图中的MN=PQ)的等量关系，求得x= (3)沿长方形广场四边铺设下水管道，甲、乙两队单独铺设分别需要10天、15天完成。两队 从同一点反向同时施工2天后，甲队离场，剩余工程由乙队单独完成，求乙队还需施工天数， 以及甲、乙两队各自的铺设长度是多少米？ 57/75 第5章一元一次方程 4、如图1，在数轴上A点所表示的数为α，B点所表示的数为b,点A到点B的距离记 为AB。点A到点B的距离可以用右边的点B表示的数减去左边的点A表示的数来计算， 即AB=b-a ◇ 7-6-5-4-3-2-1012345 图1 图2 请用上面的知识解决下面的问题： 如图2，已知数轴上点A、C表示的数分别为a、c,且满足la+7+|c-2引=0，点B表示 的数为-3。 (1)a= ,C= (2)若在数轴上有两动点P、Q分别从点A、B同时出发向右运动，点P的速度为2个单 位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间，P、Q两点的距离为3。 (3)若数轴上存在一个点M满足点M到点A和点C的距离之和为15，请求出点M表示 的数。 58/75第5章一元一次方程 5.1从算式到方程 1、若关于x的一元一次方程2ax+3-b=0的解为x=1,则代数式4a-2b+1的值 为() A.-5 B.5 C.-3 D.3 解析：将X=1代入方程2ax+3-b=0得2a+3-b=0,则2a-b=-3。 因此4a-2b+1=2(2a-b)+1=2×(-3)+1=-6+1=-5。故选A。 2、关于x的方程kx=3的解为自然数，则整数k等于() A.0或1 B.1或3 C.-1或-3 D.±1或±3 解析：k三0时，方程无意义，除A选项：k≠0时，上号 因为方程的解为自然数，且k为整数，所以k的值为1或3。故选B。 3、我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳 长、井深各几何？这段话的意思是用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来 量，井外余绳一尺。绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为() 1 1 1 1 A3x-4=4x-1 4 B.3x+4=4x-1 1 1 1 1 C3x-4=4x+1 D.亏x+4-4x+1 解析：绳长是x尺，根据“把绳三折来量，井外余绳四尺”可得井深为(x一4)尺；根据把 绳四折来量，井外余一尺”可得井深为（4x一1)尺。 因此列方程为：写x4= 4X-1。故选A。 4、有m辆客车及n个人，若每辆客车乘50人，则还有9人不能上车，若每辆客车乘52 人，则只有1人不能上车，有下列四个方程： ①50m+9=52m+1;②50m+9=52m-1;③”_9--1； n+9n+1 50 52；④ 50 52 其中正确的是（填写序号）。 答案：①③ 解析：根据总人数不变，可列方程①50m+9=52m+1;根据客车的辆数不变，可列方程 68/129 第5章一元一次方程 ③n-9-n-1 50=52。因此正确的方程是①③。 5、观察：+之， x,x-2 、,1的解是x2石十，1的解是x3:名士，中1的解盟 x=4,根据观察得到的规律，写出解是x=2025的方程： .x-2024 答案：4050 三1 2 解析：由题意可得： ,x-(2-1 2×2 2=1的解是x=2, x-(3-1) 2×3 23 =1的解是x=3, 2×4+ x-(4-1)=1的解是x=4。 3 X 根据规律可知，2×2025+ X2025-D1的解是x=2025,即050千2024 =1。 6、某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100千瓦时，那么每千瓦时按0.45 元收费；如果超过100千瓦时，超出部分按每千瓦时0.54元收费。已知该地一户居民某个月 缴纳电费77.4元，若设该户居民这个月用电x千瓦时，则可列方程为 答案：0.45×100+0.54×(x-100)=77.4 解析：100×0.45=45，因为77.4>45，所以该户居民这个月用电超过100千瓦时。根据分 段收费题意列方程得：0.45×100+0.54×(x-100)=77.4。 7、已知关于x的方程(a2-9)x2+ax-3x+4=0是一元一次方程。 (1)求a的值。 (2)求-4a2+7-3a+2a+1的值。 解析： (1)因为方程(a2-9)x2+ax-3x+4=0是关于x的一元一次方程，所以二次项系数为0， 一次项系数不为0，即： a2-9=0且a-3≠0，解得a=-3。 (2)由(1)知a=-3,对代数式化简计算：-4a2+7-3a+2a+1=-4a2-a+8 代入a=-3得：-4×(-3)2-(-3)+8=-36+3+8=-25。 69/129 第5章一元一次方程 2 8、若关于x的-元-次方程a(x-2025)+b=2x+c 2025 的解为x=1,则关于y的 一元一次方程ay+b=2y+c的解为y= 2024 答案： 2025 解析：整理已知方程： 1 a(x一 025)+b=2(x 2025）+c, 1 已知该方程的解为x=1,令y=x- 2025, 则方程转化为ay+b=2y+c。 1 2024 因此y=1- 2025-2025° 9、一批树苗按下列方法依次由各班领取：第一个班取10棵和余下的10， 第二个班取20棵 和余下的0第三个班取30棵和余下的0…，最后树苗全部被取完，且各班的树苗棵 数都相等，求树苗总棵数。（只列方程，不求解) 解析：设树苗总棵数为x。 第一个班领取的树苗棵数：10+ 10x-10), 第二个班领取的树苗棵数：20+ -20-0+c1oj水 由各班例首棵数相等，列方程得：10+品c-10)-20+-2刀0六女-10儿 70/129 第5章一元一次方程 5.2等式的性质 1、下列变形中，不正确的是() A.如果a=b,那么a+c=b+c B.如果a=b,那么ac2=bc2 C.如果ac2=bc2,那么a=b D.如果a=b,那么2+1c2+1 a b 答案：C 解析：根据等式的性质逐一判断：若α=b,两边同时加上c,得a+c=b+c,A变形正确； 若a=b,两边同时乘c2,得ac2=bc2,B变形正确；若ac2=bc2,当c=0时，c2=0, 等式两边同时除以c2无意义，无法推出a=b,C变形错误；若a=b,由于c2+1>0,两 边同时除以2+1，得2”=2D变形正确。综上，选C。 2、根据等式性质，若等式m=n可以变形得到m+a=n-b,则a、b应满足的条件是() A.互为相反数 B.互为倒数 C相等 D.无法确定 答案：A 解析：由m=n变形得到m+a=n-b,可得a=-b,整理得a+b=0。根据相反数的 定义，可知a与b互为相反数。故选A。 3、已知☆+☆+☆=△+△，求解以下问题： (1)求☆：△的比值； （2)若☆+△=120，求☆的值； (3)若△-☆=18，求△的值。 答案：☆：△=2：3；☆=48；☆=36，△=54 解析：由题意化简原式：3攻=2△，变形可得△-多 4。 3 1求比值：☆：△=☆：2☆=2：3 71/129 第5章一元一次方程 3 ☆+2☆=120 2.当☆+△=120时： 5 =120 ☆ =48 3 女一攻 =18 1 3 3.当△-☆=18时： =18，代入得：△=2×36=54 ☆ =36 4、如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，两架天平均保持平衡，相同形 状物体质量相等，若1个“口”与n个“○”质量相等，求n的值。 T△△yOOO卫y O00△△y■O0U 图1 图2 解析：设口质量为x,△质量为y,○质量为z。 根据天平平衡列等式：图1：3x+2y=3z+2x①，图2：3z+2y=x+2z② ①-②得： 3x-3z =z+x 2x-3z =z 2x =4z X =2z 即1个口的质量等于2个○的质量。 答案：n=2 知2a-b=4,c+d=1,利用等武的性质求ab-3c3d 答案：-1 解析：对2a-b=4两边同时除以2：a-二b=2 对c+d=1两边同时乘以-3：-3c-3d=-3 1 整体代入求值：a-2b-3c-3d=2-3 三-1 72/129 第5章一元一次方程 6、任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7 7 为例进行说明：设0.7=x,两边同时乘10，得7.7=10x,所以10x-x=7,所以x=g 即0.7=g°将0.36写成分数的形式是() 1 4 5 B 解析：设x=0.36,两边同时乘100，得100x=36,36,所以100x-x=36,所以x=1元 4 4 即0.36=1五故选C。 7、定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如： 方程4x=8和x+1=0为“美好方程”。 (1)请判断方程3x+9=0与方程4x-2=x+10是不是“美好方程”。 (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n,求n的值。 (3)若关于x的一元一次方程2024×+3=2x+k和2024×+1=0是“美好方程，求关于)y 的一元一次方程20240+1)+3=2y+北+2的解 解析(1)方程3x+9=0两边同时减去9，得3x=-9,两边同时除以3，得x=-3; 方程4x-2=x+10两边同时加上2-x,得3x=12,两边同时除以3，得x=4。 因为-3+4=1，所以方程3x+9=0与方程4x-2=x+10是“美好方程”。 (2)因为“美好方程”的两个解之和为1，其中一个解为n,所以另一个解为1一n。 因为两个解的差为8，所以n-(1-n)=8或1-n-n=8, 9.7 整理得2m-1=8或1-2mn=8,解得n=2或n=2 2 1 (3③）方程2024+1=0两边同时减去1，得2024×=-1，两边同时乘2024，得x=-2024。 因为两个方程是“美好方程”，两解之和为1， 所以方 2024x+3=2x+k的解为x=1-(-2024)=2025。 1 对关于y的方程变形： 20240+10+3=2y+k+2,20240+1)+3=20+1)+k 令t=y+1,则方程变为2024+3=2+k,该方程解为t=2025, 即y+1=2025,解得y=2024。 73/129 第5章一元一次方程 5.3合并同类项解方程 1、在一张月历上，任意圈出同一竖列上的三个数，这三个数的和不可能是() A.17 B.24 C.42 D.66 答案：A 解析：设月历竖列中间的数为x,则上下两个数分别为x一7、x+7。 三个数的和为：(x-7)+x+(x+7)=3x,可知三个数的和一定是3的倍数。 若和为17，则3x=17,解得x三 由于月历上的日期均为正整数，x不是整数，不符合实际意义，因此三个数的和不可能是17。 故选A。 2、对任意四个有理数a,b,c,d,定义新运算：：1=ad-bc,已知2-36， 则x= 答案：6 解析：根据新定义运算公式凸l=ad-bc,代入对应数值可得： 2x.1-(-4)·x=36 化简得：2x+4x=36 合并同类项：6x=36 系数化为1，解得：x=6。 3、A、B两地相距540千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车的 速度为120千米/小时，乙车的速度为80千米/小时，经过几小时，两车相距40千米？ 解析：设经过x小时，两车相距40千米，分两种情况讨论： ①相遇前两车相距40千米 两车行驶的路程和为总路程减去40千米，列方程得： 120x+80x=540-40 合并同类项得：200x=500 解得：x=2.5。 ②相遇后两车相距40千米 74/129 第5章一元一次方程 两车行驶的路程和为总路程加上40千米，列方程得： 120x+80x=540+40 合并同类项得：200x=580 解得：x=2.9。 答：经过2.5小时或2.9小时，两车相距40千米。 75/129 第5章一元一次方程 5.4移项解一元一次方程 1、小明同学在解方程5x-1=mx+3时，把数字m看错了，解得x=1,则该同学把m 看成了() A.7 B.-7 C.1 D.-1 答案：C 解析：将错解x=1代入看错后的方程5x-1=mx+3,得：5-1=m+3 解得m=1,即该同学把m看成了1。故选C。 2、小娜同学在解方程3x+k=5x一7时，将常数项k移项时忘记改变符号，得出解为x=1, 则原方程正确的解是() A.x=6 B.x=5 C.x=-4 D.x=-6 答案：A 解析：小娜移项未变号，列出错误方程：3x=5x一7+k。 将x=1代入错误方程得：3=5-7+k,解得k=5。 将k=5代入原方程得：3x+5=5x-7。 移项得：3x-5x=-7-5,合并同类项得：-2x=-12,系数化为1得：x=6。 故原方程正确的解为x=6。故选A。 3、华氏温度（单位：℉)与摄氏温度（单位：℃)之间的转换关系是TF=32+1.8Tc(TF表 示华氏温度，Tc表示摄氏温度)。下列与华氏温度212℉接近的是() A.水沸腾的温度 B.人体的温度 C舒适的室温 D.水结冰的温度 答案：A 解析：将Tp=212代入转换公式得：212=32+1.8Tc。 解方程得：1.8Tc=180,Tc=100。 100℃为水沸腾的温度，故选A。 4、若关于x的方程3x=2x+a的解是方程4x+2=7-x的解的2倍，则a的值为。 答案：2 76/129 第5章一元一次方程 解析：先解方程4x+2=7-x,移项合并得：5x=5,解得x=1。 由题意可知，方程3x=2x+a的解为x=2。 将x=2代入方程得：6=4+a,解得a=2。 5、在三阶幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则幻方中“津” 对应的数为 a+1 12 我 爱 -a3 5 天 津 答案：14 解析：根据三阶幻方性质，对角线上数字之和与竖列数字之和相等，计算可得“津"对应的数值 为14。 6、某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3倍，两种棋都会下的有5人，两 种棋都不会下的有10人，则会下围棋的有人。 答案：10 解析：设会下围棋的有x人，则会下象棋的有3x人。 根据班级总人数列方程：(x-5)+(3x-5)+5+10=45。 合并化简得：4x+5=45,解得x=10,即会下围棋的有10人。 7、定义运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b=ab-a;当a<b时，a⊕b=ab+b。 (1计算：(-2)0(- (2)若2x⊕3=4，求x的值。 解析： (1)因为-2<-2适用a<b对应的运算公式： 77/129 第5章一元一次方程 (-20(-2=(-20x(-7+(-2》 1 1一2 1 =2 (2)分两种情况讨论： ①当2x≥3，即x≥1.5时： 2x⊕3=2x·3-2x=4,化简得4x=4,解得x=1,与x≥1.5矛盾，舍去。 ②当2x<3,即x<1.5时： 2x⊕3=2x·3+3=4,化简得6x=1,解得x=石符合题意。 1 综上，x=名 8、在数学改卷中，改解答题22题（改22)的教师人数是改解答题18题（改18）教师人数 的3倍。从改22的教师中调12人去改18后，改22剩余人数比原来改18人数的一半多3 人，求原来改22和改18的教师人数分别是多少？ 解析：设原来改18有x位教师，则原来改22有3x位教师。 根据题意列方程：3x-12=2×+3。 移项、合并同类项得：x=15,解得x=6。 5 则3x=18。 答：原来改22有18位教师，原来改18有6位教师。 9、解一元一次方程时，有时根据方程特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的效果. 例如：在解方程5(2x+1)-7(2x+1)+2=-(2x+1)时，把(2x+1)看作一个整体. 令m=2x+1,则原方程变为5m-7m+2=-m,移项，得5m-7m+m=-2, 1 合并同类项，得-m=-2,系数化为1，得m=2,所以2x+1=2,解得x=2· (1)请用同样的方法解方程：2025(8x+3)-2024(8x+3)-5=2(8x+3) (1)请用整体法解方程：2025(8x+3)-2024(8x+3)-5=2(8x+3) (2)已知关于x的方程7x+2026+n3=30x+1的解为x=3, 78/129 第5章一元一次方程 则方程7(x-5)+2026+n3=30(x-5)+1的解为 解析： (1)令a=8x+3,原方程可化为：2025a-2024a-5=2a 移项得：2025a-2024a-2a=5,合并同类项得：-a=5,解得a=-5。 还原整体：8x+3=-5,解得x=-1。 (2)观察方程结构，将已知方程中的x替换为x-5可得新方程。 由已知方程解为x=3,可得x-5=3,解得x=8。 79/129 第5章一元一次方程 5.5去括号解一元一次方程 1、若方程3(x-1)=2(x+1)的解与关于x的方程6-2k=2(x-1)的解相同，则k的 值为() 8 B.一g C.-1 D.-3 答案：C 解析：先解方程3(x-1)=2(x+1),去括号得：3x-3=2x+2,移项合并得：x=5。 由两方程解相同，可知方程6-2k=2(x-1)的解为x=5。 将x=5代入得：6-2k=2×(5-1),化简得6-2k=8,解得k=-1。故选C。 2、李白是我国唐代著名诗人，后人用《李白醉酒》的数学诗描述李白饮酒情景：李白街上走， 提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。试问壶中原有酒几斗？则 诗中李白的壶中原来有酒() A.1斗 李白醉酒 李白街上走，提壶去买酒 遇店加一倍，见花喝一斗. 三遇店和花0，喝光壶中酒。 试问壶中原有酒几斗？ 答案：B 解析：设李白的壶中原来有酒x斗，根据题意列方程：2[2(2x-1)-1]-1=0 逐层去括号化简求解，最终解得x一名即壶中原有酒日斗。故选B。 3、已知a,acd为有理数，现规定一种新的运算：区=ad-bc,若剖23x=18,求 x的值。 26 答案：x=19 解析：根据题目定义的新运算公式，将对应数值代入展开计算： 80/129 第5章一元一次方程 3×5x-4(2-x) =18 15x-8+4x =18 19x-8 =18 19x =18+8 19x =26 26 二9 4、关于x的一元一次方程2(x-1)=ax+3有正整数解。 (1)此方程的解为 (用含a的式子表示)。 (2)求整数a的值。 解析： (1)对方程去括号：2x-2=ax+3。 移项得：2x-ax=3+2,合并同类项得：(2-a)x=5。 5 系数化为1得：x=2-a° 故答案为：x= 2-a (2)因为方程有正整数解，且a为整数，因此2-a为5的正因数。 可得2-a=1或2-a=5,解得a=1或a=-3。 综上，整数a的值为-3或1。 5、在一条笔直的河流中有甲、乙两条船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需 立即返航到C地执行任务，甲船继续顺流航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都为每小时 7.5m,水流速度为每小时2.5km,A、C两地间的距离为10km。如果乙船由A地经B地到 达C地共用了4h,求乙船从B地到达C地时，甲船离B地的距离多远？ 解析：设乙船由B地返航到C地用了xh,甲船顺流速度为7.5+2.5=10km/h,逆流速度 为7.5-2.5=5km/h,此时甲船与B地的距离为10xkm,分两种情况讨论： ①C地在A、B两地之间 由题意列方程：10(4-x)-5x=10,解得x=2。 甲船距离B地：10×2=20km。 ②C地不在A、B两地之间 10 由题意列方程：5x-10(4-)=10,解得x=3 81/129 第5章一元一次方程 10100 甲船距离B地：10×3=3kme 100 答：乙船从B地到达C地时，甲船离B地20km或 3 km。 6、定义：若两个一元一次方程的解相差6，则称解较大的方程为另一个方程的“顺利方程”。 例如：方程x一7=0是方程x-1=0的“顺利方程”。 (1)方程3x+1=25是方程x-1=1的“顺利方程"吗？请说明理由。 (2)如果关于x的方程5(x+1)-2m=20是方程2(x+3)=4的“顺利方程”，求m的值。 解析：(1)是，理由如下： 解方程3x+1=25,得x=8; 解方程x-1=1,得x=2。 因为8-2=6，符合“顺利方程”定义，因此方程3x+1=25是方程x-1=1的“顺利方 程”。 (2)先解方程2(x+3)=4,得x=-1。 根据“顺利方程”定义，另一方程的解为x=-1+6=5。 将x=5代入方程5(x+1)-2m=20得： 5×(5+1)-2m=20,化简得30-2m=20,解得m=5。 82129 第5章一元一次方程 5.6去分母解一元一次方程 1、已知关于x的两个一元一次方程2x+1=-5与 2x+m =-5(x-1)的解互为相反数， 则m的绝对值为() A.-26 B.26 C.14 D.-14 答案：B 解析：解方程2x+1=-5,得x=-3。 因为两个方程的解互为相反数，所以方程2“m。一5(x-1)的解为x-3。 2 2×3+m 将x=3代入方程得： =-10。 =5×3-1),即6m 2 解得m=-26,所以m=|-26=26。故选B。 2、如果a,b是定值，对于关于x的方程 +0-2+ 6, 无论k为何值，它的解总 是x=1,那么2a+b的值是 答案：17 解析：将x=1代入方程 20-21。0-21， 去分母、去括号，得4k+2a=12+1+bk,整理得(4-b)k=13-2a。 因为无论k为何值，方程的解恒为x=1,所以含k项系数与常数项均为0，即4-b= 0,13-2a=0。 解得b=4,2a=13,因此2a+b=13+4=17。 3、小明解方程2,13-“生”时，由于相心大意，在去分母时，方程左边的-3没有乘 3 6,由此得到方程的解为x=一1。 (1)试求a的值。 (2)求原方程的解。 解析：(1)根据小明的错误操作，可得去分母后的错误方程：2(2x-1)-3=3(x+a)。 将错解x=-1代入错误方程得：2×(-2-1)-3=3(-1+a),解得a=-2。 ②)将a==2代入原方程，得3-3=x-2 2。 83/129 第5章一元一次方程 正确去分母得：2(2x-1)-18=3(x-2)。 去括号得：4x-2-18=3x-6。 移项、合并同类项，得x=14。 即原方程的解为x=14。 4若关于x的方程5x心十2上5x-)+1与2x一“=十-1的解均为正整 2 0.6 数，则整数a的值是一。 答案：2 解析：先化简第-个方程5x-心+2 2 =5(x-1)+1。 去分母得：10x-(ax+2)=10(x-1)+2。 去括号、移项合并得：-ax=-6,即ax=6。 由题意可纯a卡0，方程的解为x8 因为解为正整数，所以整数α的取值为1、2、3、6。 1-+11,整理分母得：2x-1-ax=5+1) 再化简第二个方程2x-3=0.6 3 1。 去分母、去括号、移项合并得：(a+1)x=3。 3 由题意可知a+1≠0，方程的解为x= a+1 因为解为正整数，a为整数，所以a+1=1或a+1=3,解得a=0或a=2。 综合两个方程解均为正整数的条件，可得整数α=2。 5、有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有402墙面没来得及 粉刷；同样时间内6名徒弟粉刷了4个房间，还多粉刷了402墙面。每名师傅比徒弟每天 多粉刷20m2的墙面。 (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积。 (2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积。 (3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请 徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少。 解析： 84129 第5章一元一次方程 (1)设每个房间需要粉刷的墙面面积为xm2。 每名师傅每天粉刷墙面面积： 。m2,每名徒弟每天粉刷墙面面积：十m2。 8x-40 6 8x-404x+40 根据题意列方程： 6 6二+20，解得x=50。 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为50m2。 8×50-40 (2)将x=50代入计算：师傅每日粉刷面积：， -=60m, 6 徒弟每日粉刷面积： 4×50+40=40m2。 6 答：每名师傅每天能粉刷墙面60m2,每名徒弟每天能粉刷墙面40m2。 (3)设一名徒弟一天的工钱是y元，则一名师傅一天的工钱是y+40)元。 根据总工钱相等列方程：36×50 36×50 60一y+40)=40y,解得y=80 答：一名徒弟一天的工钱是80元。 微专题用整体思想解一元一次方程 1.解方程：号c-7)=6-号x-7) 1 解析：将化-刀看成-个整体，移项得：青x-刀+目C-刀=6。 1 41 合并同类项得：（写+写）x-7)=6,即x-7=6。 解得x=13。 2用整体思想解方程：(2x-1)+名2x1)= 2(2x-1)+6 1 1 解析：将(2x-1)看成-个整体，移项得：(2x-1)+(2x-1)+2(2x-1)=6。 111 合并同类项得：（写+石+2）(2x-1)=6,整理得2x-1=6。 解得X=2° 3.用整体思想解方程：3(2x-3)-3(3-2)=5(3-2)+2(2x-3) 解析：将(2x一3)看成一个整体，整理方程得： 85/129 第5章一元一次方程 3(2x-3)+3(2x-3)=-5(2x-3)+2(2x-3)。 1 移项得：3(2x-3)+3(2x-3)+5(2x-3)-2(2x-3)=0。 47 合并同类项得：6(2x-3)=0,即2x-3=0。 解得x 3 86/129 第5章一元一次方程 5.7配套问题与工程问题 1、某车间有技工86人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个，已知每2个 甲种零件和3个乙种零件配成一套。分配恰当数量的技工生产甲种零件和乙种零件，使得每天 生产的配套零件最多，则最多生产 套零件。 答案：200 解析：设生产甲种零件的人数为x,则生产乙种零件的人数为86一x。 根据甲乙零件配套比例关系列方程：16r_10(86-) 2 3 430 解方程得：x=17≈25.29。 由于人数为正整数，因此分别讨论x=25和x=26两种情况： 当x=25时，甲零件可配套： 16×25 2 -200,乙零件可配套：10×(86-25)_610 3 ≈203， 此时最多配套200套； 当x=26时，甲零件可配套： 16×26 =208,乙零件可配套： 10×(86-26) 2 =200,此时 3 最多配套200套。 综上，每天最多生产200套配套零件。 2、有一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队的时间多》 (1)现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲、乙两队合作完成，求完成这项工程共需要多少天。 (2)原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，剩余工程由甲、 乙两队合作完成。若甲队工作的天数是乙队工作天数的子·已知甲、乙两队施工过程中工作效 率始终不变，乙队单独施工一天需工程款02万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少 0.01万元，求完成这项工程共需支付多少万元工程款。（甲、乙两队施工过程中工作效率始终 不变) 解析： (1)先计算乙队单独完成工期：12×(1+乞)=18（天）。 设完成这项工程共需要x天，则甲全程工作x天，乙合作工作x一7天。 87/129 第5章一元一次方程 将工程总量活作单位1，甲效率为立乙效率为可列防程立+g1 1 去分母、化简求解得：x=10。 答：完成这项工程共需要10天。 2 (2)设乙队工作的天数为y,则甲队工作的天数为y。 根据工程总量列方昆：品立×号-1 2 解得y-9,则甲队工作天数：×9=6（天）。 1 设甲队每天需工程款m万元，根据题意列方程：2m-0.01=0.2 解得m=0.42。 计算总工程款：0.42×6+0.2×9=4.32（万元)。 答：完成这项工程共需支付4.32万元工程款。 88/129 第5章一元一次方程 5.8销售问题与比赛积分问题 1、有两种消费券：A券，满60元减20元（满60元即大于或等于60元）；B券，满90元减 30元(（满90元即大于或等于90元)。小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一 件标价相同的商品，各自付款，能用券时用券，两人共付款150元，则所购商品的标价是() A.100元 B.75元 C.75元或100元 D.85元或100元 答案：D 解析：设所购商品的标价为x元。 小敏持A券：当x≥60时，付款(x-20)元；当x<60时，付款x元。 小聪持B券：当x≥90时，付款(x-30)元；当x<90时，付款x元。 分三种情况讨论： ①当60≤x<90时，小敏用券、小聪不用券，列方程：x-20+x=150,解得x=85, 符合取值范围，成立。 ②当x≥90时，两人均可使用消费券，列方程：x一20+x-30=150,解得x=100,符 合取值范围，成立。 ③当x<60时，两人均不用券，列方程：x+x=150,解得x=75,与x<60矛盾， 舍去。 综上，所购商品的标价是85元或100元。故选D。 2、在某排球比赛中，参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜制。积分规则：比 赛中以3：0或者3：1取胜的球队积3分，负队积0分；以3：2取胜的球队积2分，负队积1分。 前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 球队 场次 胜场 负场 总积分 A 11 11 0 B 11 10 1 28 C 11 8 3 D 11 23 (1)A队11场胜场中仅有两场以3：2取胜，则A队的总积分为 分。 (2)D队积3分取胜的场数是积2分取胜的场数的3倍，且负场总积分为1分，求D队负场的 场数。 89/129 第5章一元一次方程 (3)B队积3分取胜的场数为偶数，则B队积3分取胜的场数为；C队积3分取胜的场数 比B队积3分取胜的场数少2，且C队负场总积分为1分，则C队总积分为分。 解析： (1)A队2场3：2取胜（每场积2分），剩余11-2=9场3：0或3：1取胜（每场积3分）。 总积分：3×(11-2)+2×2=27+4=31（分)。 故答案为：31。 (2)设D队积2分取胜的场数为x,则积3分取胜的场数为3x。 根据总积分列方程：2x+3×3x+1=23。 解得x=2。 胜场总场数：x+3x=8,负场场数：11一8=3。 答：D队负场的场数为3场。 (3)设B队积3分取胜的场数为m,则积2分取胜的场数为10一m B队总积分28分，分情况讨论负场积分： ①若负场积0分：3m+2(10-m)=28,解得m=8（偶数，符合题意)； ②若负场积1分：3m+2(10-m)+1=28,解得m=7(奇数，舍去)。 故B队积3分取胜的场数为8。 C队积3分取胜场数：8-2=6，积2分取胜场数：8-6=2，负场总积分为1分。 C队总积分：3×6+2×2+1=23（分)。 故答案为：8；23。 90/129 第5章一元一次方程 3、“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为2500kg,含油率为40%。“丰收2号”油菜籽的平 均每公顷产量比“丰收1号"提高了300kg,含油率增加了10个百分点。A村去年种植“丰收1 号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少4公顷，但是所产油菜籽的总 产油量比去年增加了5000kg。 (1)分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表； 种植面积/公顷 每公顷产量/kg 含油率 总产油量/kg 去年 2500 40% 今年 2500+300 40%+10% (2)求A村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷； (3)去年和今年A村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，都以每千克15元的价格卖给批发商。 批发商将去年菜籽油按照每千克20元定价，全部售出；今年每千克定价提高α元，也全部 售出，且今年比去年多盈利8.8万元，求α的值。 解析： (1)设去年种植面积为x公顷，填表如下： 种植面积/公顷 每公顷产量kg 含油率 总产油量/kg 去年 2500 40% 1000x 今年 X-4 2500+300 406+10% 1400(x-4) (2)根据今年总产油量比去年多5000kg列方程： 1400(x-4)-1000x=5000 解得x=26.5,则今年种植面积：26.5-4=22.5（公顷）。 答：A村去年种植油菜26.5公顷，今年种植油菜22.5公顷。 (3)去年产油量：1000×26.5=26500kg,今年产油量：26500+5000=31500kg。 单位利润：去年每千克利润20-15=5元，今年每千克利润(20+)-15元。 统一单位：8.8万元=88000元，列盈利方程： 31500(20+a-15)-26500×5=88000 解得a=2。 91/129 第5章一元一次方程 5.9方案决策问题与分段计费问题 1、【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 高峰电价（元/千瓦时） 低谷电价（元/千瓦时） 第一档年用电 2760千瓦时及以下部分 0.57 0.29 第二档年用电 2761~4800千瓦时部分 0.62 0.36 第三档年用电 4801千瓦时及以上部分 0.86 0.58 注：某用户年用电量是指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量，用电量不足1千瓦时 的部分顺延至下个月结算。 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份 1~6 7 8 用电量/千瓦时 3400 600 900 【问题解决】 (1)若该用户在7月份所用的高峰电量为500千瓦时，求该用户7月份的电费。 (2)已知该用户在8月份第二档所用低谷电量是第三档所用低谷电量的5倍，缴纳电费471.4 元，求该用户8月份第三档所用的低谷电量。 解析： (1)先计算累计用电量：3400+600=4000（千瓦时），可知该用户7月份用电量属于第二档 计费范围。 7月份高峰电量500千瓦时，低谷电量：600-500=100千瓦时。 电费计算：0.62×500+0.36×100=310+36=346（元)。 答：该用户7月份应缴电费346元。 (2)先计算累计用电量：3400+600+900=4900（千瓦时)。 8月份第二档计费电量：4800一4000=800（千瓦时），第三档计费电量：4900-4800=100 （千瓦时)。 设该用户8月份第三档所用低谷电量为x千瓦时，则第三档高峰电量为(100一x)千瓦时， 第二档低谷电量为5x千瓦时，第二档高峰电量为(800-5x)千瓦时。 根据总电费列方程： 0.62(800-5x)+0.36×5x+0.86(100-x)+0.58x=471.4 92129 第5章一元一次方程 化简求解得：x=70。 答：该用户8月份第三档所用的低谷电量为70千瓦时。 2、项目主题：“火锅里的数学”一一确定最省钱的付款方案 项目背景：火锅文化源远流长，现存最早的火锅器具是商周时期的青铜“温鼎”。寒冷的天气， 大家围在一起吃上一顿热气腾腾的火锅成为不少家庭的选择，小超与家人计划去季季红火锅店 吃火锅。 数据收集：季季红火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受。 方式一：使用某手机App支付，在该手机App购买100元代金券，每张70元，每次消费最 多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券。 方式二：现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部打α折。 问题解决：小超点了260元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了194元。 (1)若用方式一买单，共付款 元，a的值为 (2)若小超点了280元菜品，其中包含一份40元锅底，则选哪种方式更优惠？ (3)当小超一家点了多少元的菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用方式一和方式二买 单支付的实际金额相等？ 解析： (1)消费总额260元，方式一可使用2张100元代金券，剩余金额单独支付。 实际付款：2×70+(260-200)=200（元）。 根据方式二计费规则列方程：(260-40)×10 +40=194,解得a=7。 故答案为：200；7。 (2)消费总额280元，含40元锅底。 方式一付款：2×70+(280-200)=220（元)。 7 方式二付款：(280-40)×10+40=208（元）。 因为220>208，所以选择方式二更优惠。 (3)设小超一家点了x元的菜品，分区间分类讨论： ①当40<x<100时，方式一、方式二均无优惠，方程x= 10x+12,解得x=40,不 93/129 第5章一元一次方程 符合区间范围，舍去； 7 ②当100≤x<200时，方式-付款：70+(x-10)=x-30,方式二付款：10x+12。 列方程：x-30= 10x+12,解得x=140,符合区间范围； ③当200≤x<300时，方式一付款：140+(x-200)=x-60。 列方程：x-60=10x+12,解得x=240,符合区间范围： ④当x≥300时，方式-付款：210+(x-300)=x-90。 > 列方程：×-90=10x+12,解得x=340,符合区间范围。 答：当菜品总价为140元、240元、340元时，两种付款方式实际支付金额相等。 94129 第5章一元一次方程 5.10其他问题 1、甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为Q、0,将甲纸条的}与乙纸条的号叠合在- 2 起，形成长为81的纸条，则a+b= P 答案：99 1 解析：由题意得重叠部分长度相等，即3口二力 设重叠部分长度为k,则a=3k,b=2k。 拼接后纸条总长公式：a+b-k=81。 9 代入得：3k+k-k=81,合并同类项得之k=81,解得k=18。 5 则a=3×18=54,b=2×18=45. 因此a+b=54+45=99。 2、某校饮水机有温水、开水两个按钮，温水温度为30℃，流速为20L/s;开水温度为100℃， 流速为15mL/s。 ⑥0o100℃ 温水 0 开水 出水口 物理常识：开水和温水混合不计热损失时，开水放出的热量等于温水吸收的热量， 满足：温水体积×温水升温=开水体积X开水降温。 (1)用空杯先接8s温水，再接6s开水，接完后杯中共有水L,水温为_℃。 (2)某学生先后接温水、开水，得到一杯420mL、温度50℃的水（不计热损失)，求该学生接 温水、开水的时间。 解析：(1)计算水量：温水体积8×20=160mL,开水体积6×15=90mL。 总水量：160+90=250mL 设混合后水温为T℃，根据热平衡公式列方程：160(T-30)=90(100-T) 95/129 第5章一元一次方程 解得T=55.2。 故答案为：250；55.2。 (2)设接温水的体积为xmL,则开水体积为(420-x)mL。 根据温差公式列方程：(50-30)x=(100-50)(420-x)。 解得x=300。 温水时间：300÷20=15s,开水时间：(420-300)÷15=8s。 答：接温水时间为15秒，接开水时间为8秒。 3、某市民健身广场平面由6个正方形拼成一个长方形，最小的正方形A边长为1米，设最大 的正方形B的边长为x米。 (1)用含x的代数式表示：正方形F的边长=」 正方形E的边长= ,正方形C 的边长= (2)根据长方形对边相等（如图中的MN=PQ)的等量关系，求得x=」 (3)沿长方形广场四边铺设下水管道，甲、乙两队单独铺设分别需要10天、15天完成。两队 从同一点反向同时施工2天后，甲队离场，剩余工程由乙队单独完成，求乙队还需施工天数， 以及甲、乙两队各自的铺设长度是多少米？ 解析： (1)根据正方形边长关系可得： 正方形F边长：(c-1)米，正方形E边长：(x-2)米，正方形C边长：(x-3)米（或x十1 米)。 故答类为：收-米：-2米：口-到米（或生米）。 (2)长方形上下对边长度相等，列方程： e)1口2)-x解得x=7. 96/129 第5章一元一次方程 故答案为：7。 (3)由x=7得长方形长13米、宽11米，周长：2×(13+11)=48米。 设乙队还需y天完成，将总工程量看作单位1，列方程： 11 (0+)×2+y=1,解得y=10。 铺设长度：×48=9.6米，乙队铺设长度：48-9.638 答：乙队还需要10天完成；甲队铺设9.6米，乙队铺设38.4米。 4、如图1，在数轴上A点所表示的数为a,B点所表示的数为b,点A到点B的距离记 为AB。点A到点B的距离可以用右边的点B表示的数减去左边的点A表示的数来计算， 即AB=b-a 8 -7-6-5-4-3-2-1012345 图1 图2 请用上面的知识解决下面的问题： 如图2，已知数轴上点A、C表示的数分别为a、c,且满足la+7川+lc-2=0,点B表示 的数为-3。 (1)a= ，C= (2)若在数轴上有两动点P、Q分别从点A、B同时出发向右运动，点P的速度为2个单 位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间，P、Q两点的距离为3。 (3)若数轴上存在一个点M满足点M到点A和点C的距离之和为15，请求出点M表示 的数。 解析(1)-7；2。 (2)点A表示的数为-7，点B表示的数为-3， 设运动时间为ts,则点P表示的数是一7+2t,点Q表示的数是-3+t ①当点P在点Q左侧时：-3+t-(-7+2t)=3,解得t=1; ②当点P在点Q右侧时：-7+2t-(-3+t)=3,解得t=7 所以经过1s或7s,P、Q两点的距离为3。 (3)由(1)可知，点A表示的数是一7，点C表示的数是2，设点M表示的数为m,易知 分两种情况： 97/129 第5章一元一次方程 ①当点M在点A的左侧时：MA=-7-m,MC=2-m, 则-7-m+2-m=15,解得m=-10; ②当点M在点C的右侧时，MA=m-(-7),MC=m-2,则m-(-7)+m-2=15, 解得m=5。综上，点M表示的数是-10或5。 98/129