第五章  一元一次方程-2026-2027学年七年级数学上册基本功（人教版）

第5章一元一次方程 5.1从算式到方程 知识点1方程的概念 1、已知下列各式：(1)x=0;(2)2x>3;(3)x2+x-2=0;(④+2=0；5)3x-2: (6)x=x-1;(7)x-y=0;(8)xy=4。其中是方程的有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2、请你写出一个方程： (答案不唯一) 知识点2方程的解 3、下列方程中，解为x=2的是() A.3x=3+x B.x(x-7)=-10 C.(x-3)(x-1)=0 D.2x=10-4x 4、整式x+2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式值，则 关于x的方程mx+n=2的解为() X -2 -1 0 1 2 mx+2n 0 -4 -8 -12 A.x=-2 B.x=-1 C.x=0 D.x=2 5、已知关于x的方程2025+5=2025x+m的解是x=19,那么关于y的方程 02520256-)二m的解是( A.y=21 B.y=22 C.y=23 D.y=24 知识点3一元一次方程的概念 6,已知下列方程：（①）x-22:(②0.3x=1:()25x+1:(④2-4=3：同)x=6: (6)x+2y=0。其中一元一次方程的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 57/94 第5章一元一次方程 7、已知方程(m-4)x2-x-4=-2是关于x的一元一次方程，则m的值为 8、已知(a-1)x4+2024=0是关于x的一元一次方程，则a= 知识点4列方程 9、用绳子测水井深度，若将绳子折成三等份，则井外余绳4尺；若将绳子折成四等份，则井 外余绳1尺。问绳长和井深各多少尺？设井深为x尺，则可列方程为 。(1尺 ≈0.3米) 易错点列方程时因单位未统一而致错 10、甲、乙两人分别从相距30千米的A,B两地骑车相向而行，甲骑车的速度是10千米/ 时，乙骑车的速度是8千米/时，甲先出发25分钟后，乙骑车出发，问乙出发后多少小 时两人相遇？（只列方程) 莉莉：设乙出发后x小时两人相遇。 列出的方程为25×10+8x+10x=30。 请问莉莉列出的方程正确吗？如果不正确，请说明理由并列出正确的方程。 58/94 第5章一元一次方程 5.2等式的性质 知识点1等式的性质 1、下列等式变形，错误的是() A.若m=n,则m-3=n-3 B.若m=n,则2m=2n C.若m+1=n+1,则m=n D.若m2=m,则m=1 知识点2利用等式的性质解一元一次方程 2、要使关于x的一元一次方程mx=m的解为x=1,则() A.m≠0 B.m可为任何有理数 C.m>0 D.m<0 2 等式的性质解方程一3x,时，应在方程的 A同乘号 B.同除以一之 c同乘一 3 八同残去舍 4、x-3=-2x一6，等式两边同时加 得x+2x=一6+3。这步变形的依据是 5、运用等式的性质解下列方程： 四x+1号 (2)3x=2x+12 (3) 3x+1=-5 (4) 5m-2=3 易错点：应用等式的性质2时，忽视等式两边不能同除以0而致错 、阅读理解题：下面是小明将等式x一4=3x一4进行变形的过程： x-4+4=3x-4+4,(1) x=3x,(2) 1=3。(3) (1)①的依据是 (2)小明出错的步骤是， 错误的原因是 (3)给出正确的解法。 59/94 第5章一元一次方程 5.3合并同类项 知识点1利用合并同类项解一元一次方程 1、方程3x-x=4的解是() A.x=-2 B.X=2 C.x=-1 D.x=1 2、下面解方程的结果正确的是() A.方程4=3x-4x的解为x=4 B.方程-9=5x-2x的解为x=3 3 2 C方程2x-x=3的解为x=3 D.方程1-4=3x的解为x=-9 3、若代数式4x-5与3x-9的值互为相反数，则x2-2x+3的值为 X 、4、一元一次方程一4x5干5×6干6x7子…+ 9x10=6的解为 5、解方程： (1)13x-6x=-15-27 、7 2x+6x=3 (3)-0.5m+7.5m-4m-1.5m=2×(-3)-2×1.5 知识点2利用合并同类项解一元一次方程的应用 6、有一列数，按一定规律排列成1，-2,4，-8,16，-32，…。其中某三个相邻数的和是 -384,则这三个数中，中间的一个数为() A.128 B.256C.-256 D.-128 60/94 第5章一元一次方程 7、现有A、B两块试验田各30亩，A块试验田种植普通水稻，B块试验田种植杂交水稻， 杂交水稻的亩产量是普通水稻的1.2倍，两块试验田单次共收获水稻56100千克，求杂交水 稻的亩产量是多少千克。（注：1亩≈666.67平方米） 8、甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位爱心人士捐赠图书 的册数之比是5：8：9，如果他们共捐了748册图书，那么这三位爱心人士各捐赠多少册图书？ 61/94 第5章一元一次方程 5.4移项 知识点1利用移项解一元一次方程 1、小胖、小丽、小明、小帅在解方程“2x=2x时都得到“-2x+x=2,小胖依据的 是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等 号两边同时乘或除以同一个数（除数不为0）”，小帅依据的是“移项法则”，错误的是() A.小胖 B.小丽 C.小明 D.小帅 2、解方程1+x=2x-5移项后正确的是() A.-2x-x=1+5 B.x-2x=1+5 C.2x+x=1+5 D.X-2x=-5-1 3、小明发现关于x的方程★x一6=2中的x的系数被污染了，他找到答案一看，此方程的解为 x=一2，则★等于() A.4 B.2 C.-4 D.-2 4、若某数除以4再减去2，等于这个数的加上8，则这个数是 5、已知关于x的方程9x一3=kx+6有正整数解，则满足条件的所有整数k的值为 6、解方程： 1 (1)5-2x=3x-6 (2)0.07x20=0.13x+0.37 知识点2利用移项解一元一次方程的应用 7、爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，则今年爸爸岁，儿子 岁。 6294 第5章一元一次方程 8、某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物。如果每人制作9 个，那么就比计划少做17个；如果每人制作12个，那么就比计划多做4个。问这个手工 兴趣小组共有多少人？计划要做的这批中国结有多少个？ 易错点解方程时，移项不变号致错 9、解方程：吕+5-手1 4 佳佳的解题过程如下： 114 解：移项，得亏x+亏x=5-1① 合并同类项，得3x=4② 4 系数化为1，得x=3③ 请问佳佳的解题步骤有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并且将正确答案写出来。 63/94 第5章一元一次方程 5.5去括号 知识点1利用去括号解一元一次方程 1、下面解一元一次方程3(x+1)=x的步骤中，依据去括号和合并同类项变形的分别是() 第(1)步 第(2)步 第(3)步 第(4)步3 3x+1)=x3x+3=x93x-x=-32x=-3→x=2 A.第①步和第②步 B.第①步和第③步 C.第②步和第④步 D.第③步和第④步 2、若方程3(x-1)=2(x+1)的解与关于x的方程6-2k=2(x-1)的解相同，则k的 值为() 5 B 5 C.-1 D.一3 3、小明在解方程3x-(x-2α)=4去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解 为x=-2,那么方程正确的解为() A.x=2 B.X=4 C.x=6 D.x=8 4、已知关于x的方程3x-(ax-2)=6有正整数解，则整数α的所有可能的取值之和为 5、解方程： (1)3(2x+6)=-x-17 (2)4(x-2)-1=3(x-1) (3)3(x-2)-2(x+1)=-5(3-2x) 64/94 第5章一元一次方程 (4)2x-3[x-2(x-1)]=19 知识点2利用去括号解一元一次方程的应用 6、甲、乙两站相距275千米，一辆慢车以50千米/时的速度从甲站出发开往乙站。若1 小时后，一辆快车以75千米/时的速度从乙站出发开往甲站，则快车开出后与慢车相遇所 需要的时间是() A.1.8小时 B.1.7小时 C.1.6小时 D.1.5小时 7、在长方形ABCD中，将三个完全相同的小长方形，沿“横·竖·横”的顺序排列，若 AB=6cm,BC=8cm,则一个小长方形的周长等于cm。 8、嘉琪同学在解方程2(3一x)=9时，步骤如下： 解：去括号，得6一x=9。第①步 移项，得-x=9-6。第②步 合并同类项，得一x=3。第③步 系数化为1，得x=一3。第④步 嘉琪解方程的步骤从第几步开始出错？错误的原因是什么？请给出正确的解答过程。 65/94 第5章一元一次方程 5.6去分母 知识点1利用去分母解一元一次方程 1、方程2 =1去分母后，可化为() A.5(x-1)-3x=1 B.5(x-1)-3x=10 C.15(x-1)-10x=1 D.15(x-1)-10x=3 2、数学老师在黑板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则α的值 为() x+a xta (1)21 (2)6a-2x=x+6 3 3 A.2 R C.2 D.-2 3、如果5a2b2m+0与-a2 ab2m+3)是同类项，那么m= 2 4、代数式3mx-2m（m,n为常数，m≠0)的值随x的取值变化而变化，下表是当x取不同值 1 二2的解是 时对应的代数式的值，则关于x的方程- X 0 1 2 3mx-2n -2 3 8 5、解方程： 2x-15x-1 (1)一3 2 =1 (2) 3x+1-2-3x22x+3 2 10 5 66/94 第5章一元一次方程 知识点2利用去分母解一元一次方程的应用 6、一列火车通过600米长的大桥要30秒（从车头上桥到车尾离桥），以相同的速度通过400 米长的隧道要25秒（从车头进隧道到车尾离开隧道），那么该列火车的速度是() A.16米/秒 B.20米/秒 C.30米/秒 D.40米/秒 7、《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著.《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百 九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意： 用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜 果九个，问苦果和甜果各有几个？设苦果有x个，则的值为 8、以下是乐乐解方程*+1_x-3 2 3 =1的过程。 解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1..① 去括号，得3x十3-2x-3=1.② 移项、合并同类项，得x=1…③ (1)乐乐解方程的过程从第步开始出现错误； (2)请正确解方程。 67/94 第5章一元一次方程 5.7产品配套问题与工程问题 知识点1产品配套问题 1、小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，每张白板纸可以裁成3个盒身 或者5个盒盖，且1个盒身和2个盒盖恰好能做成一个包装盒。回答下列问题。 (1)若有11张白板纸，设裁成盒身的白板纸有x张。 ①请完成下表： x张白板纸裁成盒身 张白板纸裁成盒盖 盒身的个数 0 盒盖的个数 0 ②求最多可做几个包装盒。 (2)若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁 成盒身，一部分裁成盒盖。当盒身与盒盖全部配套用完时，可以做多少个包装盒？ 知识点2工程问题 2、某项工作由甲、乙两人单独做分别需要7.5h和5h。如果让甲、乙两人一起工作1h,再由 乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间完工？下列选项中所列方程正确的是() A设总工作量为1，一共需要x完工，根据相等关系前1h工作量+后一段时间工作量一1”得示十 月-1 B,设总工作量为1，一共需要完工，根据相等关系甲的工作量+乙的工作量=1”得5+区一 1)=1 C设总工作量为1，乙单独工作xh,根据相等关系“前1h工作量+后一段时间工作量-=1”得（店十 1 3+后1 11 D.设总工作量为1，乙单独工作h,根据相等关系“甲的工作量+乙的工作量=1”得5+亏x=1 68/94 第5章一元一次方程 3、甲、乙两队共同承建某工程，甲单独建需要8个月完工，乙单独建需要5个月完工，现 由两队合建并开展劳动竞赛，甲队提高劳动工效60%，乙队提高劳动工效50%，则两队合建 个月完工。 4、某市开展城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲队单独完成这项工程 需要60天，若由甲、乙两队合作1天，可完成总工作量的6 (1)甲队1天可完成总工作量的 (2)乙队单独完成这项工程需要多少天？ (3)已知每天需付甲队工程款数与每天需付乙队工程款数之比为3：2。若该工程由甲队先做 20天，再由甲、乙两队合作若干天全部完成，且完成此项工程需付甲、乙两队的工程款共计 360万元，求每天需付甲、乙两队的工程款各多少万元。 69/94 第5章一元一次方程 5.8销售盈亏问题 知识点销售盈亏问题 1、某种商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔25元，若按定价的九折出售 将赚20元，则这种商品的定价为() A.280元 B.300元 C.320元 D.200元 2、某服装店同时出售两套衣服，每套均卖168元，以成本计算，其中一套盈利20%，另一 套亏损20%，则该服装店的盈亏情况是() A.亏损14元 B.盈利14元 C.不盈不亏 D.无法确定 3、为了回馈广大消费者一直以来的支持与厚爱，某会展中心举行“迎元旦，大促销”活动， 活动从12月18日持续至1月1日。某种商品每件的进价为120元，标价为180元， 为了扩大营销，现准备打折销售，若使利润率为32%，则应打折。 4、某书店在世界读书日期间推出了“全民阅读”促销活动。嘉嘉通过图示的框图，清晰直观 地呈现了书店从进货、标价到销售获利的完整流程及其相关数量信息，据此，x的值为 20 成本价x元 涨价60% 标价 打七五折 售价 利润8元 5、某商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品 每件进价50元，售价80元。 (1)甲种商品每件售价为 元；乙种商品每件的利润为 元，利润率为 %。 (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，则购进甲、乙两 种商品各多少件？ 70/94 第5章一元一次方程 6、福桔是福州市市果，汁多味甜，风味浓郁。某销售商为了扩大福桔销售量，开设实体店和 线上两种销售渠道，包装方式、成本及售价如下表所示。假设用这两种包装方式恰好包装完所 有的福桔。 福桔质量kg 成本（元/盒) 售价（元/盒） 实体店礼盒装 3 15 40 线上礼盒装 5 25 50 (1)此销售商第一批购进1000kg福桔全部售卖完毕，已知实体店比线上少卖40盒，则实 体店和线上各售出多少盒？ (2)已知实体店需要支付人工、房租等额外成本，每售卖一盒礼盒装有10元的利润；而线上 销售需按销售额的20%向平台支付管理费（其他额外成本忽略不计)。 ①若此销售商第二批购进1500kg福桔，为了使全部售出后的总利润达到4700元，则实 体店和线上应各售出多少盒？ ②此销售商之后开始多批次购进福桔，每批次均购进2000kg福桔，为回馈社会，实体店决 定每卖出一盒，捐出α元进行助农活动。在线上和实体店全部售出的情况下，从第三批起，每 批次的销售利润始终不变，求α的值。 71/94 第5章一元一次方程 5.9积分问题与行程问题 知识点1积分问题 1、《九章算术》中，注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相 反，则分别叫作正数和负数。小圳完成一套共10题的小测卷，满分100分，答对1题记 作+10分，答错1题或不答记作-5分。若小圳最后得40分，则小圳最后答对() A.4题 B.6题 C.5题 D.7题 2、为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如 表： 胜一场 平一场 负一场 积分（分） 3 1 0 人均奖金（元） 1500 700 0 当比赛进行到每队比赛完12场时，A队共积分20分，并且没有负一场。 (1)试判断A队胜、平各几场。 (2)每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后，A队每名队员所得 奖金与出场费累计为多少元？ 知识点2行程问题 3、小明计划骑车以每小时10千米的速度由A地到B地，这样便可在规定时间到达B地， 但他因事将原计划的出发时间推迟了10分钟，便只好以每小时12千米的速度前进，结果 比规定时间早5分钟到达B地，设A,B两地相距x千米，则可列方程为() x10x5 A- B.x10x 5 1060-1260 B1060=12+60 品8益 5 哈+品品 7294 第5章一元一次方程 4、如图，一个直径为6c的圆中阴影部分面积为S,现在这个圆与正方形在同一平面内， 沿同一条直线同时相向无滚动滑动。圆每秒滑动3cm,正方形每秒滑动2cm,第 秒时， 圆与正方形重叠部分面积是S。 不 2 cm 6 cm 22 cm 5、某人乘船在顺次有A、C、B三地的河流上行驶，先由A地顺流而下到B地，然后又逆 流而上到C地，共乘船6h。已知船在静水中的速度是16km/h,水流速度是4km/h,若A、 C两地间的距离为4km,设A、B两地间的距离为xm。 (1)B、C两地间的距离为km（用含有x的式子表示)。 (2)A、B两地间的距离是 km。 6、甲、乙两地相距600km,一辆客车从甲地开往乙地，速度为60m/h,一辆出租车从乙 地开往甲地，速度为100kmh,两车同时出发，到达各自目的地后停止行驶。设客车行驶时 间为th。 (1)出发多长时间两车相遇（中途不停留）？ (2)分别写出t=2,t=5和t=8时两车的距离（中途不停留)。 (3)甲、乙两地之间有A、B两个加油站，相距200m,若客车进入A站加油时，出租车 恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。 73/94 第5章一元一次方程 5.10分段计费问题与方案问题 知识点1分段计费问题 1、某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯。阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/千瓦时） 第一阶梯 2760千瓦时及以下部分 0.538 第二阶梯 超过2760千瓦时但不超过4800千瓦时部分 0.588 第三阶梯 4800千瓦时以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500千瓦时，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为() A.5250千瓦时 B.5100千瓦时 C.4900千瓦时 D.4850千瓦时 2、某市水费收费标准为月用水量若不超过8m3,则按5.5元/m3收费；若超过8m3,则超过 部分按n元/m3收费，该市某户今年7、8月份用水情况如下表： 则m=一，n=—。 月份 用水量m3 水费（元） 7 6 m 8 10 60 3、某市有两家出租车公司，收费标准不同。甲公司收费标准：起步价9元，超过3千米后， 超过的部分按照每千米1.6元收费，不足1千米的路程按1千米计费。乙公司收费标准： 起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米1.3元收费，不足1千米的路程按1 千米计费。已知车辆行驶x千米，本题中x取整数。 (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 甲公司收费（元) 9 12.2 17 36.2 乙公司收费（元) 20 20 20 29.1 (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结 果用化简后的含x的式子表示) (3)当行驶路程为 千米时，两家公司的费用相同。 74/94 第5章一元一次方程 知识点2方案问题 4、英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参 会地，现租赁公司有25座和45座（不包括司机的座位）两种型号的大巴车可供选择。已 知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车便宜400元，学校第一天租用2辆45座 和5辆25座大巴车，共付租金5000元。 (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新 确定租车方案。现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆。 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱。 75/94第5章一元一次方程 5.1从算式到方程 知识点1方程的概念 1、已知下列各式：(1)x=0:(2)2x>3:(3)x2+x-2=0:(4￥+2=0；（⑤）3x-2: Y (6)x=x-1;(7)x-y=0;(8)xy=4。其中是方程的有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案：C 解析：根据方程的定义可得(1)(3)(4)(7)(8)是方程；(2)2x>3不是等式，故不是方程；(5) 3x-2不是等式，故不是方程；(6)x=x-1化简后不含未知数，故不是方程，故有5个 方程。 2、请你写出一个方程： (答案不唯一) 答案：x+1=0 知识点2方程的解 3、下列方程中，解为x=2的是() A.3x=3+x B.x(x-7)=-10 C.(x-3)(x-1)=0 D.2x=10-4x 答案：B 解析：把x=2代入x(x-7)=-10,方程左边=2×(2-7)=-10=方程右边，将x=2 代入其他选项均不能满足方程的左边等于右边。 4、整式mx+2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式值，则 关于x的方程2mx+n=2的解为() 2 0 1 2 mx+2n 4 0 -4 -8 -12 A.x=-2 B.X=-1 C.x=0 D.X=2 答案：A 1 解析：因为当x=-2时，mx+2n=4,所以当x=-2时，2x+n=2。 81/140 第5章一元一次方程 5、已知关于x的方程025+5=2025x+m的解是x=19,那么关于y的方程 5-y -5=2025(5-y)-m的解是() 2025 A.y=21 B.y=22 C.y=23 D.y=24 答案：D 5-y 解析：因为关于x的方程 2025+5=2025x+m的解是x=19,关于y的方程 2025 5=2025(5-y)-m可以变形为 y-5 2025+5=20250-5)+m,所以y-5=19, 所以y=24。 知识点3一元一次方程的概念 6已知下列方程：（①）x-2=2:(20.3x=1;(3)之=5x+1;(④)2-4x=3;(⑤)x=6; 2 (6)x+2y=0。其中一元一次方程的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案：B 解析：（①x-2-子中等号右边不是整式，不符合一元一次方程的定义： (2)0.3x=1符合一元一次方程的定义； (3倒)2=5x+1符合一元-次方程的定义： (4)x2一4x=3的未知数的最高次数是2，不符合一元一次方程的定义； (5)x=6符合一元一次方程的定义； (6)x+2y=0中含有2个未知数，不符合一元一次方程的定义。 综上所述，一元一次方程的个数是3。 7、已知方程(m-4)x2-x-4=-2是关于x的一元一次方程，则m的值为 答案：4 解析：因为方程(m-4)x2-x-4=-2是关于x的一元一次方程，所以m-4=0,所以 m=4。 82/140 第5章一元一次方程 8、已知(a-1)x4+2024=0是关于x的一元一次方程，则a= 答案：-1 解析：由题意得|a=1且a-1≠0，所以a=-1。 知识点4列方程 9、用绳子测水井深度，若将绳子折成三等份，则井外余绳4尺；若将绳子折成四等份，则井 外余绳1尺。问绳长和井深各多少尺？设井深为x尺，则可列方程为 _。（1尺 ≈0.3米) 答案：3(x+4)=4(x+1) 解析：由题意得3(x+4)=4(x+1)。 易错点列方程时因单位未统一而致错 10、甲、乙两人分别从相距30千米的A,B两地骑车相向而行，甲骑车的速度是10千米/ 时，乙骑车的速度是8千米/时，甲先出发25分钟后，乙骑车出发，问乙出发后多少小 时两人相遇？（只列方程) 莉莉：设乙出发后x小时两人相遇。 列出的方程为25×10+8x+10x=30。 请问莉莉列出的方程正确吗？如果不正确，请说明理由并列出正确的方程。 答案：不正确 解析：理由：列方程时未统一单位。 正确方程：设乙出发后x小时两人相遇。 2 依题意得 60×10+10x+8x=30。 83/140 第5章一元一次方程 5.2等式的性质 知识点1等式的性质 1、下列等式变形，错误的是() A.若m=n,则m-3=n-3 B.若m=n,则2m=2n C.若m+1=n+1,则m=n D.若m2=m,则m=1 答案：D 解析：A选项，根据等式的性质1，等式两边都减去3，可得m-3=n-3,不符合题意； B选项，根据等式的性质2，等式两边都乘2，可得2m=2,不符合题意； C选项，根据等式的性质1，等式两边都减去1，可得m=n,不符合题意； D选项，由m2=m得m=0或m=1,仅说m=1错误，符合题意。 知识点2利用等式的性质解一元一次方程 2、要使关于x的一元一次方程mx=m的解为x=1,则() A.m≠0 B.m可为任何有理数 C.m>0 D.m<0 答案：A 解析：根据等式的性质2，等式两边同除以m时需满足m≠0，此时可得x=1。 等式的性质解方程了x二)时，应在方程的 A.同乘一3 3 B.同除以一2 C.同乘-2 D.同减去一3 答案：C 解析：解方程 23 3 3x=2 需在方程两边同乘 消去系数。 4、x-3=-2x-6,等式两边同时加 得x+2x=一6+3。这步变形的依据是 答案：2x+3,等式的性质1 解析：等式两边同时加同一个整式，等式仍然成立，即等式的性质1。 84/140 第5章一元一次方程 5、运用等式的性质解下列方程： 41=日 (2)3x=2x+12 2 (3)3x+1=-5 2 3 (4m-2=7m 答案： (①方程两边同时减1，得x=- 2 (2)方程两边同时减2x,得x=12 2 2 (③)方程两边同时减1，得x=-6;方程两边同时除以了得x=一9 (④方程两边同时加2一号m,得一35m=2,方程两边同时除以 3 1 3行得m-70 易错点：应用等式的性质2时，忽视等式两边不能同除以0而致错 6、阅读理解题：下面是小明将等式x一4=3x-4进行变形的过程： x-4+4=3x-4+4,(1) x=3x,(2) 1=3。(3) (1)①的依据是 (2)小明出错的步骤是」 一，错误的原因是 (3)给出正确的解法。 答案： (1)等式两边加（或减)同一个数（或式子)，结果仍相等 (2)③；等式两边都除以可能为0的字母 (3)解：x-4=3x-4 等式两边同时加4，得x=3x 等式两边同时减3x,得一2x=0 等式两边同时除以-2，得x=0 85/140 第5章一元一次方程 5.3合并同类项 知识点1利用合并同类项解一元一次方程 1、方程3x-x=4的解是() A.X=-2 B.x=2C.x=-1 D.X=1 答案：B 解析：合并同类项，得2x=4,系数化为1，得x=2。故选B。 2、下面解方程的结果正确的是() A.方程4=3x-4x的解为x=4 B.方程-9=5x-2x的解为x=3 c方程x-x-日的解为x 1 2 D.方程1-4=3x的解为x=-9 答案：C 解析：A选项，合并同类项，得4=一X,所以x=一4，解答错误； B选项，合并同类项，得-9=3x,两边同除以3，得x=-3,解答错误； 1 1 2 C选项，合并同类项，得2x=3两边同乘2，得x=了解答正确； D选项，合并同类项，得一3=3x,两边同除以3，得X=一1，解答错误。故选C。 3、若代数式4x-5与3x-9的值互为相反数，则x2-2x+3的值为 答案：3 解析：根据题意得4x-5+3x-9=0。合并同类项，得7x-14=0。两边同加14，得7x= 14。系数化为1，得x=2,所以x2-2x+3=22-2×2+3=4-4+3=3。 X 4、一元一次方程二4×3干5x66x7+…士g×106的解为 答案：x=-40 解析：一写=首+营文。一言后，9×而方+而所以原方程可化为 xxxxxxxx 言言计后名+11(-首+音=6，化简得-+品-6，合并同类项，得品=6， xxxxx X 系数化为1，得x=-40。 86/140 第5章一元一次方程 5、解方程： (1)13x-6x=-15-27 (2)-2x+6x=3 (3)-0.5m+7.5m-4m-1.5m=2×(-3)-2×1.5 答案： (1)x=-6 解析：合并同类项，得7x=一42，系数化为1，得x=-6。 (2)x=3 7 .7 解析：合并同类项，得x三系数化为1，得x二号 (3)m=-6 解析：整理，得-0.5m+7.5m-4m-1.5m=-6-3,合并同类项，得1.5m=-9,系数 化为1，得m=-6。 知识点2利用合并同类项解一元一次方程的应用 6、有一列数，按一定规律排列成1，-2,4，一8,16，-32，…。其中某三个相邻数的和是 一384，则这三个数中，中间的一个数为() A.128 B.256 C.-256 D.-128 答案：B 解析：由题意可知，相邻两数中后一个数与前一个数的商为-2。设相邻三个数的中间的数为x, 则第-个数和第三个数分别为京2x,由题意，得艺x-2x-384,解得x-256。故 选B。 7、现有A、B两块试验田各30亩，A块试验田种植普通水稻，B块试验田种植杂交水稻， 杂交水稻的亩产量是普通水稻的1.2倍，两块试验田单次共收获水稻56100千克，求杂交水 稻的亩产量是多少千克。（注：1亩≈666.67平方米) 答案：1020千克 解析：设普通水稻的亩产量是a千克。根据题意得30a+30×1.2a=56100,解得a=850, 所以1.2a=850×1.2=1020。 答：杂交水稻的亩产量是1020千克。 87/140 第5章一元一次方程 8、甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位爱心人士捐赠图书 的册数之比是58：9，如果他们共捐了748册图书，那么这三位爱心人士各捐赠多少册图书？ 答案：甲捐赠170册，乙捐赠272册，丙捐赠306册 解析：设甲捐赠图书5x册，则乙捐赠图书8x册，丙捐赠图书9x册。依题意得5x+8x+9x=748, 解得x=34,所以5x=5×34=170,8x=8×34=272,9x=9×34=306。 答：甲捐赠170册图书，乙捐赠272册图书，丙捐赠306册图书。 88/140 第5章一元一次方程 5.4移项 知识点1利用移项解一元一次方程 1、小胖、小丽、小明、小帅在解方程“2x=2x”时都得到“2x+x=之小胖依据的 是“被减数等于差加上减数”，小丽依据的是“等号两边同时加上同一个数”，小明依据的是“等 号两边同时乘或除以同一个数（除数不为0）”，小帅依据的是“移项法则测”，错误的是() A.小胖 B.小丽 C.小明 D.小帅 答案：C 解析：根据题意可知，依据错误的同学是小明。 2、解方程1+x=2x-5移项后正确的是() A.-2x-x=1+5 B.x-2x=1+5 C.2x+x=1+5 D.x-2x=-5-1 答案：D 解析：1+x=2x-5,移项得x-2x=-5-1。 3、小明发现关于x的方程★x一6=2中的x的系数被污染了，他找到答案一看，此方程的解为 x=一2，则★等于() A.4 B.2 C.-4 D.-2 答案：C 解析：把x=-2代入方程★x-6=2,得-2×★-6=2，移项得-2×★=2+6，解得★= -4。 4、若某数除以4再减去2，等于这个数的加上8，则这个数是 答案：-120 11 解析：设这个数是x。依题意得2二+8，移项，得x=8+2。合并同类项，得 1 12x=10。系数化为1，得x=-120。 89/140 第5章一元一次方程 5、已知关于x的方程9x一3=kx+6有正整数解，测满足条件的所有整数k的值为 答案：0或6或8 解析：解方程9x-3-kx十6得x=,”。因为原方程有正整数解，所以，为正整数：又 9 9 因为k为整数，所以9-k=1或9-k=3或9-k=9,解得k=8或k=6或k=0。 6、解方程： (1)5-2x=3x-6 答案：x= 解析：移项，得-2x-3x=-6-5;合并同类项，得-5x=-11;系数化为1，得x= 11 1 (2)0.07x- =0.13x+0.37 20 答案：x=-7 解析：移项，得0.07x-0.13x=0.37+0.05;合并同类项，得-0.06x=0.42;系数化为1， 得x=-7。 知识点2利用移项解一元一次方程的应用 7、爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，则今年爸爸岁，儿子 岁。 答案：36；9 解析：设今年儿子x岁，则爸爸(x+27)岁。根据题意得x+27=4x,解得x=9,所以x+27=36, 所以今年儿子9岁，爸爸36岁。 8、某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物。如果每人制作9 个，那么就比计划少做17个；如果每人制作12个，那么就比计划多做4个。问这个手工 兴趣小组共有多少人？计划要做的这批中国结有多少个？ 答案：小组共有7人，计划做80个中国结 解析：设这个手工兴趣小组共有x人。由题意可得9x+17=12x-4,解得x=7,所以9x+ 17=80。 答：这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个。 90/140 第5章一元一次方程 易错点解方程时，移项不变号致错 9、解方程：号x+5- 4 5x-1 佳佳的解题过程如下： 解：移项，得x十x=5一1① 合并同类项，得3x=4② 系数化为1，得：青包 请问佳佳的解题步骤有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并且将正确答案写出来。 答案：有误，从第①步开始出错，正确解为x=一2 解析：正确的解题过程： 移项，符+-5-1 合并同类项，得3x=-6 系数化为1，得x=-2 91/140 第5章一元一次方程 5.5去括号 知识点1利用去括号解一元一次方程 1、下面解一元一次方程3(x+1)=x的步骤中，依据去括号和合并同类项变形的分别是() 第(1)步 第(2)步 第(3)步 第(4步 3(x+1)=x)3x+3=x)3x-X=-3→2x=-3x=- 2 A.第①步和第②步 B.第①步和第③步 C.第②步和第④步 D.第③步和第④步 答案：B 解析：3(x+1)=x,3x+3=x(去括号)，3x-x=-3（等式的性质1)，2x=-3（合 并同类项)，x=一 2 （等式的性质2)，故选B。 2、若方程3(x-1)=2(x+1)的解与关于x的方程6-2k=2(x-1)的解相同，则k的 值为() 5 A. C.-1 D.-3 答案：C 解析：解方程3(x-1)=2(x+1),去括号得3x-3=2x+2,移项得3x-2x=2+3,合 并同类项得x=5。 将x=5代入6-2k=2(x-1),得6-2k=2×(5-1),即6-2k=8,移项、合并同 类项得-2k=2,系数化为1得k=-1。 3、小明在解方程3x-(x-2)=4去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解 为x=一2，那么方程正确的解为() A.X=2 B.x=4C.x=6 D.x=8 答案：C 解析：将x=-2代入错误方程3x-x-2a=4,得-4-2a=4,解得a=-4。 将a=一4代入原方程得3x-(x+8)=4,去括号得3x-x-8=4,移项、合并同类项得 2x=12,系数化为1得x=6。 92/140 第5章一元一次方程 4、已知关于x的方程3x一(ax-2)=6有正整数解，则整数a的所有可能的取值之和为 答案：2 解析：去括号得3x-ax+2=6,移项、合并同类项得(3-a)x=4。 方程有正整数解且a为整数，则3-a=1,2,4,解得a=2,1,-1,取值之和为2+1+(- 1)=2。 5、解方程： (1)3(2x+6)=-x-17 答案：x=-5 解析：去括号得6x+18=-x-17,移项、合并同类项得7x=-35,系数化为1得x=-5。 (2)4(x-2)-1=3(x-1) 答案：x=6 解析：去括号得4x-8-1=3x-3,移项得4x-3x=-3+8+1,合并同类项得x=6。 (3)3(x-2)-2(x+1)=-5(3-2x) 答案：x-号 解析：去括号得3x-6-2x-2=-15+10x,移项、合并同类项得-9x=-7,系数化为1 7 得x=g (4)2x-3[x-2(x-1)]=19 答案：x=5 解析：去括号得2x-3x+6x-6=19,移项、合并同类项得5x=25,系数化为1得x=5。 知识点2利用去括号解一元一次方程的应用 6、甲、乙两站相距275千米，一辆慢车以50千米/时的速度从甲站出发开往乙站。若1 小时后，一辆快车以75千米/时的速度从乙站出发开往甲站，则快车开出后与慢车相遇所 需要的时间是() A.1.8小时 B.1.7小时 C.1.6小时 D.1.5小时 答案：A 解析：设快车开出后x小时相遇，列方程50(1+x)+75x=275,解得x=1.8。 93/140 第5章一元一次方程 7、在长方形ABCD中，将三个完全相同的小长方形，沿“横·竖·横”的顺序排列，若 AB=6cm,BC=8cm,则一个小长方形的周长等于cm。 8 答案：3 、解析：设小长方形长为x0m,宽为(8-20cm,列方程x+28-2)=6,解得x三0， 10 10、28 周长23+(8-2×3〗=1 3m。 8、嘉琪同学在解方程2(3一x)=9时，步骤如下： 解：去括号，得6-x=9。第①步 移项，得-x=9-6。第②步 合并同类项，得一x=3。第③步 系数化为1，得x=-3。第④步 嘉琪解方程的步骤从第几步开始出错？错误的原因是什么？请给出正确的解答过程。 答案：从第①步开始出错，错误原因：去括号时括号里的第二项漏乘2。 解析：正确解答：去括号得6-2x=9,移项得-2x=9-6,合并同类项得-2x=3,系 数化为1得x=一2 94/140 第5章一元一次方程 5.6去分母 知识点1利用去分母解一元一次方程 1、方程点 1去分母后，可化为() A.5(x-1)-3x=1 B.5(x-1)-3x=10 C.15(x-1)-10x=1 D.15(x-1)-10x=3 答案：D 桥：分子与分母同乘10，得5x-1)-3=1,去分母，得15x-1)-10r 2、数学老师在黑板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值 为() (1)+a=x+a 2 (2)6a-2x=x+6 3 3 3 2 C.2 D.-2 答案：C 解析：方程①去分母，得3(x+a)=2(x+a),解得x=-α。解方程②得x=2a-2。因为方 程①的解比方程②的解小4，所以-a+4=2a-2,解得a=2。 3如果522m+与-2b如+3是同类项，那么m 答案：7 1 解析：由题意得(2m+1)=20m+3),解得m=7。 4、代数式3mx-2（m,n为常数，m≠0)的值随x的取值变化而变化，下表是当x取不同值 1 时对应的代数式的值，则关于x的方程-” 3 的解是 2 0 1 2 3mx-2n -2 3 8 答案：x=1 解析：方程-}=去分得3mx-2m=3,由表格数据可知，当x=1时，3mx-23 则方程的解为x=1。 95/140 第5章一元一次方程 5、解方程： 2x-1 (1) 5x-1=1 3 2 答案：x=-1 解析： 去分母，得2(2x-1)-3(5x-1)=6 去括号，得4x-2-15x+3=6 移项，得4x-15x=6+2-3 合并同类项，得-11x=5 系数化为1，得x=- 5 11 (2) 3x+12-3x22x+3 2 10 5 答案：X=16 解析： 去分母，得5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3) 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6 移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20 合并同类项，得16x=7 系数化为1，得x=16 7 知识点2利用去分母解一元一次方程的应用 6、一列火车通过600米长的大桥要30秒（从车头上桥到车尾离桥），以相同的速度通过400 米长的隧道要25秒（从车头进隧道到车尾离开隧道)，那么该列火车的速度是() A.16米/秒 B.20米/秒 C.30米/秒 D.40米/秒 答案：D 解析：设该列火车长x米。根据题意得600+x-400+x 30 ”2一，解得x=600,所以一=40， 所以该列火车的速度是40米/秒。 96/140 第5章一元一次方程 7、《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著.《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百 九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意： 用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜 果九个，问苦果和甜果各有几个？设苦果有x个，则x的值为 答案：343 4.,11 解析：苦果有x个，则甜果有(1000-)个。依题意得x+)×(1000-)=999,方程整理 得41x=14063,解得x=343。 刷易错 8、以下是乐乐解方程*+1x-3 23—=1的过程 解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1..① 去括号，得3x+3-2x-3=1② 移项、合并同类项，得x=1..③ (1)乐乐解方程的过程从第 步开始出现错误； (2)请正确解方程。 答案：(1)① 解析：(2) 去分母，得3(x+1)-2(x-3)=6 去括号，得3x+3-2x+6=6 移项、合并同类项，得x=一3 97/140 第5章一元一次方程 5.7产品配套问题与工程问题 知识点1产品配套问题 1、小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，每张白板纸可以裁成3个盒身 或者5个盒盖，且1个盒身和2个盒盖恰好能做成一个包装盒。回答下列问题。 (1)若有11张白板纸，设裁成盒身的白板纸有x张。 ①请完成下表： x张白板纸裁成盒身 张白板纸裁成盒盖 盒身的个数 0 盒盖的个数 0 ②求最多可做几个包装盒。 (2)若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁 成盒身，一部分裁成盒盖。当盒身与盒盖全部配套用完时，可以做多少个包装盒？ 答案 (1)①从左到右，从上到下依次填入x;11-x;3x;5(11-x) ②最多可做15个包装盒 解析：由题意得2×3x=5(11-x),解得x=5, 则可做包装盒数量：3×5=15（个）。 (2)可以做34个包装盒 解析：设用y张白板纸裁成盒身，则用(23-y)张白板纸裁成盒盖， 由题意得2(3y+4)=3+5(23-y),解得y=10, 则盒身总数：3y+4=34,即可以做34个包装盒。 98/140 第5章一元一次方程 知识点2工程问题 2、某项工作由甲、乙两人单独做分别需要7.5h和5h。如果让甲、乙两人一起工作1h,再由 乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间完工？下列选项中所列方程正确的是() A.设总工作量为1，一共需要x完工，根据相等关系“前1h工作量+后一段时间工作量= r得亮+1 1 B.设总工作量为1，一共需要x完工，根据相等关系“甲的工作量+乙的工作量=1”得 11 7.5+5x-1)=1 C.设总工作量为1，乙单独工作xh,根据相等关系“前1h工作量+后一段时间工作量=1” 11、x 得(7石++亏=1 +},L=喜工明Z十吾工明由，￥关矣畔部工联南2”1（吾工贸孔0 1 x=1 答案：C 解析：A选项正缩方程应为方+日×1号x)=1,错误： 11 B选项正确方程应为75+行=1，与选项所列不符，错误； C选项方程符合题意，正确； 11 D选项正确方程应为元店+(x+1)=1,错误。 3、甲、乙两队共同承建某工程，甲单独建需要8个月完工，乙单独建需要5个月完工，现 由两队合建并开展劳动竞赛，甲队提高劳动工效60%，乙队提高劳动工效50%，则两队合建 个月完工。 答案：2 解析：设两队合建x个月完工，由题意得，[。(1+60%)+5(1+50%)k=1,解 得x=2故答案为2. 99/140 第5章一元一次方程 4、某市开展城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲队单独完成这项工程 需要60天，若由甲、乙两队合作1天，可完成总工作量的6， (1)甲队1天可完成总工作量的 (2)乙队单独完成这项工程需要多少天？ (3)已知每天需付甲队工程款数与每天需付乙队工程款数之比为3：2。若该工程由甲队先做 20天，再由甲、乙两队合作若干天全部完成，且完成此项工程需付甲、乙两队的工程款共计 360万元，求每天需付甲、乙两队的工程款各多少万元。 蓄案：(0洁 解析：甲队单独完成需60天，故甲队1天完成1÷60= 60° (2)乙队单独完成这项工程需要90天 解析：乙队1天工作量：。-=0，乙队单独完成时间：1÷D=90 =90(天)。 (3)每天需付甲队工程款6万元，每天需付乙队工程款4万元 20.11 解析：设甲、乙合作m天后完成，60+(60+g0)m=1,解得m=24。 设每天需付甲、乙两队工程款分别为3x万元、2x万元， (20+24)×3x+24×2x=360,解得x=2, 则3x=6,2x=4。 100/140 第5章一元一次方程 5.8销售盈亏问题 知识点销售盈亏问题 1、某种商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔25元，若按定价的九折出售 将赚20元，则这种商品的定价为() A.280元 B.300元 C.320元 D.200元 答案：B 解析：设这种商品的定价为x元。由题意，得0.75x+25=0.9x-20,解得x=300。 2、某服装店同时出售两套衣服，每套均卖168元，以成本计算，其中一套盈利20%，另一 套亏损20%，则该服装店的盈亏情况是() A.亏损14元 B.盈利14元 C.不盈不亏 D.无法确定 答案：A 解析：设盈利的这套衣服的成本为x元，亏损的这套衣服的成本为y元。由题意得x(1+20, y(1-20,解得x=140,y=210,140+210=350（元)。因为168×2=336（元)， 所以336-350=-14（元)，所以该服装店亏损14元。 3、为了回馈广大消费者一直以来的支持与厚爱，某会展中心举行“迎元旦，大促销”活动， 活动从12月18日持续至1月1日。某种商品每件的进价为120元，标价为180元， 为了扩大营销，现准备打折销售，若使利润率为32%，则应打折。 答案：8.8 解析：设应打x折。根据题意得180×0120=120×32，解得x=8.8,所以应打8.8折。 4、某书店在世界读书日期间推出了“全民阅读”促销活动。嘉嘉通过图示的框图，清晰直观 地呈现了书店从进货、标价到销售获利的完整流程及其相关数量信息，据此，x的值为 成本价x元 涨价60% 标价 打七五折 售价 利润8元 答案：40 解析：根据题意得75，解得x=40。 101/140 第5章一元一次方程 5、某商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品 每件进价50元，售价80元。 (1)甲种商品每件售价为 元；乙种商品每件的利润为元，利润率为 06。 (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，则购进甲、乙两 种商品各多少件？ 答案： (1)60;30;60 解析：甲种商品每件售价为40×(1+50（元)。乙种商品每件的利润为80-50=30（元)， 30 乙种商品的利润率为0×100。 (2)购进甲种商品40件，购进乙种商品10件。 解析：设购进甲种商品y件，则购进乙种商品(50一y)件。 根据题意得40y+50(50-y)=2100,解得y=40,50-40=10(件)。 答：购进甲种商品40件，购进乙种商品10件。 6、福桔是福州市市果，汁多味甜，风味浓郁。某销售商为了扩大福桔销售量，开设实体店和 线上两种销售渠道，包装方式、成本及售价如下表所示。假设用这两种包装方式恰好包装完所 有的福桔。 福桔质量kg 成本（元/盒) 售价（元/盒） 实体店礼盒装 3 15 40 线上礼盒装 5 25 50 (1)此销售商第一批购进1000kg福桔全部售卖完毕，已知实体店比线上少卖40盒，则实 体店和线上各售出多少盒？ (2)已知实体店需要支付人工、房租等额外成本，每售卖一盒礼盒装有10元的利润；而线上 销售需按销售额的20%向平台支付管理费（其他额外成本忽略不计）。 ①若此销售商第二批购进1500kg福桔，为了使全部售出后的总利润达到4700元，则实 体店和线上应各售出多少盒？ ②此销售商之后开始多批次购进福桔，每批次均购进2000kg福桔，为回馈社会，实体店决 102/140 第5章一元一次方程 定每卖出一盒，捐出α元进行助农活动。在线上和实体店全部售出的情况下，从第三批起，每 批次的销售利润始终不变，求α的值。 答案： (1)实体店售出100盒，线上售出140盒。 解析：设线上售出x盒，则实体店售出(x一40)盒。 根据题意得5x+3(x-40)=1000,解得x=140,所以x-40=100。 答：实体店售出100盒，线上售出140盒。 (2)①实体店应售出200盒，线上应售出180盒。 解析：设线上售出y盒，则实体店售出150,5y盒。 3 由题意得(50-25)y-50y×20,解得y=180, 所以1500-5y-1500-5×18 0=200。 答：实体店应售出200盒，线上应售出180盒。 ②a=1 解析：设从第三批起，每批次实体店售出m盒，则线上售出20003m盒。 盒， 利润为(10-a)m+[(50-25)-50×20。 从第三批起，每批次的销售利润始终不变，所以α=1。 103/140 第5章一元一次方程 5.9积分问题与行程问题 知识点1积分问题 1、《九章算术》中，注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相 反，则分别叫作正数和负数。小圳完成一套共10题的小测卷，满分100分，答对1题记 作+10分，答错1题或不答记作-5分。若小圳最后得40分，则小圳最后答对() A.4题 B.6题 C.5题 D.7题 答案：B 解析：设小圳最后答对题，则答错或不答(10一x)题。 根据题意得10x-5(10-x)=40,解得x=6,所以小圳最后答对6题。 2、为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如 表： 胜一场 平一场 负一场 积分（分） 3 1 0 人均奖金（元） 1500 700 0 当比赛进行到每队比赛完12场时，A队共积分20分，并且没有负一场。 (1)试判断A队胜、平各几场。 答案：A队胜4场，平8场 解析：设A队胜x场，则平(12-x)场。 由题意得3x+(12-x)=20,解得x=4,所以12-x=12-4=8。 (2)每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后，A队每名队员所得 奖金与出场费累计为多少元？ 答案：17600元 解析：12场出场费：500×12=6000（元) 胜场奖金：1500×4=6000（元） 平场奖金：700×8=5600（元) 累计：6000+6000+5600=17600（元） 104/140 第5章一元一次方程 知识点2行程问题 3、小明计划骑车以每小时10千米的速度由A地到B地，这样便可在规定时间到达B地， 但他因事将原计划的出发时间推迟了10分钟，便只好以每小时12千米的速度前进，结果 比规定时间早5分钟到达B地，设A,B两地相距x千米，则可列方程为（) 10x5 B.x 10x5 “1060-1260 1060=12+60 x 10 x 5 ci0+601260 Dx+10 D10+60=12+60 答案：B 解析：根据题意可列-元一次方程为品品立+品 4、如图，一个直径为6c的圆中阴影部分面积为S,现在这个圆与正方形在同一平面内， 沿同一条直线同时相向无滚动滑动。圆每秒滑动3cm,正方形每秒滑动2cm,第 秒时， 圆与正方形重叠部分面积是S。 6 cm 22 cm 答案：4或6 2 cm 2 cm 6cm 解析： 22 cm 22 cm 设第t秒时，圆与正方形重叠部分面积为S。 刚接触重叠：2t+3t+2=22,解得t=4; 将要分开重叠：2t+3t-(6+2)=22,解得t=6。 5、某人乘船在顺次有A、C、B三地的河流上行驶，先由A地顺流而下到B地，然后又逆 流而上到C地，共乘船6h。已知船在静水中的速度是16km/h,水流速度是4km/h,若A、 C两地间的距离为4km,设A、B两地间的距离为xkm。 (1)B、C两地间的距离为km(用含有x的式子表示)。 答案：(x-4) 解析：A、C距离4km,A、B距离xkm,故B、C距离为(x-4)am。 (2)A、B两地间的距离是km。 105/140 第5章一元一次方程 答案：47.5 解析：由题意得10千4十。二年=6，解得-475。 x-4 6、甲、乙两地相距600km,一辆客车从甲地开往乙地，速度为60m/h,一辆出租车从乙 地开往甲地，速度为100k/h,两车同时出发，到达各自目的地后停止行驶。设客车行驶时 间为th。 (1)出发多长时间两车相遇（中途不停留）？ 等案：西力 解析：根据题意得60t+100t=600,解得t=15 49 (2)分别写出t=2,t=5和t=8时两车的距离（中途不停留）。 答案：t=2时相距280m;t=5时相距200km;t=8时相距480km 解析：t=2:600-2×(60+100)=280(km) t=5:5×(60+100)-600=200(km) t=8:出租车已到站，8×60=480(km) (3)甲、乙两地之间有A、B两个加油站，相距200k,若客车进入A站加油时，出租车 恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。 答案：150km或300km 解析：设A到甲地距离为xm。 x600-200-x A更靠近甲地： 解得x=150; 60 100 X 600-x+200 A更靠近乙地： 解得x=300。 60 100 106/140 第5章一元一次方程 5.10分段计费问题与方案问题 知识点1分段计费问题 1、某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯。阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/千瓦时） 第一阶梯 2760千瓦时及以下部分 0.538 第二阶梯 超过2760千瓦时但不超过4800千瓦时部分 0.588 第三阶梯 4800千瓦时以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500千瓦时，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为() A.5250千瓦时 B.5100千瓦时 C.4900千瓦时 D.4850千瓦时 答案：C 解析：因为0.588×500=294（元)，500×0.838=419（元)，294<319<419，所以 小聪家去年前11个月用电量超过2760千瓦时但不超过4800千瓦时。 设小聪家去年全年用电量超过4800千瓦时的部分为x千瓦时。 根据题意得：0.588(500-x)+0.838x=319, 解得：x=100, 所以小聪家去年全年用电量为4800+100=4900（千瓦时）。 2、某市水费收费标准为月用水量若不超过8m3,则按5.5元/m3收费；若超过8m3,则超过 部分按n元/m3收费，该市某户今年7、8月份用水情况如下表： 月份 用水量m3 水费（元） 6 m 10 60 则m= n= 答案：33；8 解析：m=6×5.5=33,8×5.5+(10-8)m=60,解得：n=8。 107/140 第5章一元一次方程 3、某市有两家出租车公司，收费标准不同。甲公司收费标准：起步价9元，超过3千米后， 超过的部分按照每千米1.6元收费，不足1千米的路程按1千米计费。乙公司收费标准： 起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米1.3元收费，不足1千米的路程按1 千米计费。已知车辆行驶x千米，本题中x取整数。 (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 3 5 8 15 20 甲公司收费（元) 12.2 17 36.2 乙公司收费（元) 20 20 20 29.1 (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结 果用化简后的含x的式子表示) (3)当行驶路程为 千米时，两家公司的费用相同。 答案： (1)甲公司：9；28.2；乙公司：20；35.6 (2)甲公司收费：(1.6x+4.2)元；乙公司收费：(1.3x+9.6)元 (3)18 解析： (1)当x=3时，甲公司收费9元； 当x=15时，甲公司收费9+1.6×(15-3)=28.2（元）； 当x=8时，乙公司收费20元； 当x=20时，乙公司收费20+1.3×(20-8)=35.6（元）。 (2)甲公司：9+1.6(x-3)=1.6x+4.2; 乙公司：20+1.3(x-8)=1.3x+9.6。 (3)令1.6x+4.2=1.3x+9.6, 解得：x=18。 108/140 第5章一元一次方程 知识点2方案问题 4、英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参 会地，现租赁公司有25座和45座（不包括司机的座位）两种型号的大巴车可供选择。已 知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车便宜400元，学校第一天租用2辆45座 和5辆25座大巴车，共付租金5000元。 (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新 确定租车方案。现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆。 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱。 答案： (1)25座大巴车每辆每天租金600元，45座大巴车每辆每天租金1000元。 (2)方案一租金3600元，方案二租金3000元；方案二更省钱。 解析： (1)设25座大巴车每辆每天租金为x元，则45座大巴车每辆每天租金为(x+400)元。 2(x+400)+5x=5000, 解得：x=600,x+400=1000。 (2)设全部租用45座大巴车需y辆，则25座需(y+3)辆。 45y=25(y+3)-15, 解得：y=3。 方案一租金：600×(3+3)=3600（元）； 方案二租金：1000×3=3000（元)； 因为3600>3000，所以方案二更省钱。 109/140