专题06 拓展：直击三大”网红“不等式：柯西不等式、糖水不等式、权方和不等式（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦三大拓展不等式，以“定理-典例-变式”构建系统性方法体系，强化逻辑推理与应用迁移，培养数学思维与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二元柯西不等式应用|1典例+3变式|二元柯西不等式及变式公式，“结构配凑”求最值|从基本形式到条件变式，构建柯西不等式应用逻辑链| |多维柯西不等式应用|1典例+3变式|多维柯西不等式公式，“维度拓展”解多元问题|从二维到n维推广，形成不等式维度迁移路径| |糖水不等式应用|1典例+3变式|糖水不等式及倒数形式，“生活模型”证不等关系|以生活情境为切入点，建立不等式直观理解与推理| |权方和不等式应用|1典例+3变式|二维及一般形式权方和不等式，“分式结构”求最值|从特殊到一般形式推导，强化分式最值问题解法|

专题06 拓展：直击三大“网红”不等式：柯西不等式、糖水不等式、权方和不等式 （题型突破·举一反三） 题型01 二元柯西不等式的应用 1 题型02 多维柯西不等式的应用 4 题型03 糖水不等式的应用 6 题型04 权方和不等式的应用 8 ▌题型01 二元柯西不等式的应用 1.二元柯西不等式 对于任意的，都有，当且仅当时取等号 2．二维形式的柯西不等式的变式 【典例1】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【变式1-1】（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：因为，所以，且， 又因为，所以， 所以， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，且， 所以 ， 所以的最小值为．故选：D． 【变式1-3】(多选)（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 【答案】ACD 【详解】，，又，，故A正确， 令，，故B错误， ，即，，又，，， ，当且仅当时，即等号成立，故C正确，， 又，，则， 又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. ▌题型02 多维柯西不等式的应用 多维柯西不等式： 对于任意的），都有， 取等号的条件：或（）． 【典例2】（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】/0.4 【分析】根据柯西不等式的性质计算即可. 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 【变式2-1】（25-26高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 【变式2-2】（2025高三·全国·竞赛）设，且，则的最大值为_____． 【答案】/ 【详解】解法1：令，则. 所以已知条件可变形为． 于是， 当，即，即， 即时，取得等号． 解法2：由对称性，不妨设，则题设条件变形为． 又， 当且仅当时，取得等号． 所以． 【变式2-3】设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【分析】（1）由柯西不等式即可求解； （2）由柯西不等式即可得证. 【详解】（1）由柯西不等式知：． ，， 当，，时，取到最小值为． （2）由柯西不等式和（1）得 ， ，所以． ▌题型03 糖水不等式的应用 1.糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是克的不饱和糖水里含有克糖, 往糖水里面加入克糖,则糖水更甜; 2．糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 【典例3】(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】法一：，故B正确； 因为，所以有，故A错误； ，故C正确； ，故D正确． 法二：由糖水不等式的倒数形式， , 则有 ,故B正确； 以下同解法一. 【变式3-1】(多选)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( ) A.若，则 B.若，则 C. D.当时， 【答案】ABC 【详解】 由,则.若 , . 若,则，故. 若,则，故. 由题设, 结合不等式性质显然有.故选: ABC. 【变式3-2】(多选)（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）(多选题)生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由糖水不等式得，时，，故A错误； 对于B，由糖水不等式的倒数形式可知，B正确; 对于C，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD 【变式3-3】已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （2）利用（1）的结论比较的大小. 【答案】 (i)，证明见详解；(ii） 【详解】因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i）， 证明：， 因为，，所以，， 所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得， 即 ▌题型04 权方和不等式的应用 1．二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． 2．一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 【典例4】（2025·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】根据权方和不等式，直接计算即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 故选：D 【变式4-1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 【变式4-3】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 【答案】8 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 拓展：直击三大“网红”不等式：柯西不等式、糖水不等式、权方和不等式 （题型突破·举一反三） 题型01 二元柯西不等式的应用 1 题型02 多维柯西不等式的应用 2 题型03 糖水不等式的应用 3 题型04 权方和不等式的应用 5 ▌题型01 二元柯西不等式的应用 1.二元柯西不等式 对于任意的，都有，当且仅当时取等号 2．二维形式的柯西不等式的变式 【典例1】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【变式1-1】（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】(多选)（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 ▌题型02 多维柯西不等式的应用 多维柯西不等式： 对于任意的），都有， 取等号的条件：或（）． 【典例2】（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】/0.4 【分析】根据柯西不等式的性质计算即可. 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 【变式2-1】（25-26高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式2-2】（2025高三·全国·竞赛）设，且，则的最大值为_____． 【变式2-3】设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． ▌题型03 糖水不等式的应用 1.糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是克的不饱和糖水里含有克糖, 往糖水里面加入克糖,则糖水更甜; 2．糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 【典例3】(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】法一：，故B正确； 因为，所以有，故A错误； ，故C正确； ，故D正确． 法二：由糖水不等式的倒数形式， , 则有 ,故B正确； 以下同解法一. 【变式3-1】(多选)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( ) A.若，则 B.若，则 C. D.当时， 【变式3-2】(25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）(多选题)生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【变式3-3】已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （2）利用（1）的结论比较的大小. ▌题型04 权方和不等式的应用 1．二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． 2．一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 【典例4】（2025·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】根据权方和不等式，直接计算即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 故选：D 【变式4-1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【变式4-2】（24-25高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【变式4-3】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 拓展：直击三大“网红”不等式：柯西不等式、糖水不等式、权方和不等式 （题型突破·举一反三） ▌题型01 二元柯西不等式的应用 【典例1】C 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【变式1-1】（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【变式1-2】D 【详解】解法一：因为，所以，且， 又因为，所以， 所以， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，且， 所以 ， 所以的最小值为．故选：D． 【变式1-3】ACD 【详解】，，又，，故A正确， 令，，故B错误， ，即，，又，，， ，当且仅当时，即等号成立，故C正确，， 又，，则， 又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. ▌题型02 多维柯西不等式的应用 【典例2】/0.4 【分析】根据柯西不等式的性质计算即可. 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 【变式2-1】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 【变式2-2】/ 【详解】解法1：令，则. 所以已知条件可变形为． 于是， 当，即，即， 即时，取得等号． 解法2：由对称性，不妨设，则题设条件变形为． 又， 当且仅当时，取得等号． 所以． 【变式2-3】 【分析】（1）由柯西不等式即可求解； （2）由柯西不等式即可得证. 【详解】（1）由柯西不等式知：． ，， 当，，时，取到最小值为． （2）由柯西不等式和（1）得 ， ，所以． ▌题型03 糖水不等式的应用 【典例3】BCD 【详解】法一：，故B正确； 因为，所以有，故A错误； ，故C正确； ，故D正确． 法二：由糖水不等式的倒数形式， , 则有 ,故B正确； 以下同解法一. 【变式3-1】ABC 【详解】 由,则.若 , . 若,则，故. 若,则，故. 由题设, 结合不等式性质显然有.故选: ABC. 【变式3-2】BCD 【详解】对于A，由糖水不等式得，时，，故A错误； 对于B，由糖水不等式的倒数形式可知，B正确; 对于C，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD 【变式3-3】 【详解】因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i）， 证明：， 因为，，所以，， 所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得， 即 ▌题型04 权方和不等式的应用 【典例4】D 【分析】根据权方和不等式，直接计算即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 故选：D 【变式4-1】B 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 【变式4-2】B 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 【变式4-3】8 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $