专题02 直线方程“对称性”七种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以“对称性”为核心，构建“通法-题型-挑战”三级体系，提炼垂直关系、中点公式、光学性质等解题通法，系统覆盖七种考法，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|两条底线原则（垂直平分/光学性质）|从对称本质出发，建立通性通法| |七种题型|7典例+21变式|点/线对称用垂直中点，最值用对称转化|从基础对称到综合应用，形成概念-原理-拓展链条| |压轴挑战|14题|跨章节融合（函数/向量）|深化对称思想迁移，提升数学思维与应用意识|

专题02 直线方程“对称性”七种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点关于直线对称 题型二、直线关于点对称 题型三、直线关于直线对称 题型四、路程以及光学性质 题型五、求距离和的最值问题 题型六、求距离差的最值问题 题型七、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线方程“对称性”问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕点关于直线对称、直线关于点对称 、直线关于直线对称、路程以及光学性质、求距离和的最值问题、求距离差的最值问题、与其他章节融合七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是点关于直线对称、直线关于点对称以及直线关于直线对称常常利用垂直关系以及中点坐标公式求解；二是涉及到最短距离，可以利用“光学性质”：光走的路径最短，借助对称性来求解，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点关于直线对称 典例1 已知的顶点边上的高所在直线平行于直线，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程___________. 题型模版 1.特征：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标． 2.方法：点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 变式1-1已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（　　） A．﹣2 B．3 C．5 D．7 变式1-2将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 变式1-3已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为 . 类型二、直线关于点对称 典例2 不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 2.方法：法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 变式2-1直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（　　） A． B． C． D． 变式2-2已知直线与直线关于点对称，则实数的值为 . 变式2-3直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为_________ 题型三、直线关于直线对称 典例3 直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：直线与直线：相交，则直线关于直线：对称可以转化为取直线上一点，求出关于直线：的对称点以及利用两直线的交点求解。 2.方法：求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 变式3-1已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 变式3-2若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 变式3-3已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 题型四、路程以及光学性质 典例4 已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：核心是利用反射光线反向延长过入射点的对称点：先找入射点关于反射面的对称点，再连接对称点与反射光线的终点或入射光线的起点，该连线与反射面的交点即为反射点，进而确定光路. 2.方法：涉及到最短距离，可以利用“光学性质”：光走的路径最短，借助对称性来求解值 变式4-1如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 变式4-2在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过的重心，则 . 变式4-3在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于__________    题型五、求距离和的最值问题 典例5 已知点，，点在轴上，则的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 题型模版 1.特征：定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2.方法：根据两定点在定直线同侧还是异侧分析，然后决定是否作对称解决问题。 变式5-1在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 变式5-2唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 变式5-3已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 题型六、求距离差的最值问题 典例6 直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型模版 1.特征：定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短. 2.方法：根据两定点在定直线同侧还是异侧分析，然后决定是否作对称解决问题。 变式6-1已知，点为轴上一动点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 变式6-2已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 变式6-3直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为 . 题型七、与其他章节融合 典例7 平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 . 题型模版 1.特征：利用对称性与函数、三角函数向量等章节融合研究最值。 2.方法：利用对称性研究定直线的动点到两定点距离和的最小值，定直线的动点到两定点距离差的最大值，应注意两点在直线同侧，还是异侧的分析。 变式7-1已知点， 直线，关于直线的对称点为点， 则的取值范围是 . 变式7-2已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式7-3在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（　　） A． B． C． D． 2．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（　　） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 3．直线关于对称直线，直线的方程是（　　） A． B． C． D． 4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B．5 C． D． 5．已知直线分别与轴交于点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（　 　 ） A． B． C． D． 6．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（　　） A． B．3 C． D．4 7．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 8．（多选）暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 9．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 10．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 11．直线关于直线对称的直线的方程是 . 12．已知点和点关于直线对称，斜率为的直线过点且与直线相交于点，若的面积为2，则 . 13．若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是________，此时________． 14．如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于___________    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线方程“对称性”七种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点关于直线对称 题型二、直线关于点对称 题型三、直线关于直线对称 题型四、路程以及光学性质 题型五、求距离和的最值问题 题型六、求距离差的最值问题 题型七、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线方程“对称性”问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕点关于直线对称、直线关于点对称 、直线关于直线对称、路程以及光学性质、求距离和的最值问题、求距离差的最值问题、与其他章节融合七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是点关于直线对称、直线关于点对称以及直线关于直线对称常常利用垂直关系以及中点坐标公式求解；二是涉及到最短距离，可以利用“光学性质”：光走的路径最短，借助对称性来求解，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点关于直线对称 典例1 已知的顶点边上的高所在直线平行于直线，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程___________. 【答案】. 【解析】由题意，AB边上的高所在直线的斜率为，则AB的斜率，所以，与直线联立解得，即. 设，则线段AC的中点坐标为，， 所以，即. 所以，所以边所在直线方程为：. 故答案为：. 题型模版 1.特征：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标． 2.方法：点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 变式1-1已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（　　） A．﹣2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0，结合斜率关系列方程组，求得，从而求得m+n的值． 【解析】∵A（1，﹣2）和B（m，n）关于直线x+2y﹣2＝0对称， ∴线段AB的中点C（，）在直线x+2y﹣2＝0上， ∴2+n﹣2＝0．∴m+2n＝7，而（）＝﹣1，得2m﹣n＝4， 解方程组，可得m＝3，n＝2，∴m+n＝5. 故选：C 变式1-2将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 【答案】 【分析】设，，先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，结合斜率关系求解 【解析】设，，则线段AB的中点坐标为， 又，所以折痕所在直线的斜率为1， 故折痕所在直线的方程为，即. 故答案为：. 变式1-3已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为 . 【答案】 【分析】点A在直线上，求点关于直线的对称点，由角平分线的性质，点在直线AB上，可求直线AB的方程，与直线联立方程组，可求点A坐标. 【解析】如图所示，可知点A在直线上，    令点为点关于直线的对称点. 由于直线CD与直线垂直，且线段CD的中点在直线上， 于是就有，解得，因此点D的坐标为. 根据对称性可知点在直线AB上，又点B的坐标为， 于是直线AB的方程为，即. 由，解得，得点A的坐标为. 故答案为： 类型二、直线关于点对称 典例2 不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 题型模版 1.特征：先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 2.方法：法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 变式2-1直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【解析】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 变式2-2已知直线与直线关于点对称，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】由题可得直线与直线平行，求出的值，进而在直线上取特殊点关于点的对称点在上即可求出. 【解析】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 变式2-3直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为_________ 【答案】2x＋3y＋12＝0 【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【解析】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故答案为：2x＋3y＋12＝0 题型三、直线关于直线对称 典例3 直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 题型模版 1.特征：直线与直线：相交，则直线关于直线：对称可以转化为取直线上一点，求出关于直线：的对称点以及利用两直线的交点求解。 2.方法：求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 变式3-1已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得， 即，相互平行，的斜率为， 故. 故选：C. 变式3-2若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. 【解析】因为直线：与：， 所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得。即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得，故所求直线方程为， 故选：A 变式3-3已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【答案】或 【解析】直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为， 则关于直线的对称点在轴上，所以， 则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 题型四、路程以及光学性质 典例4 已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接､交与点，连接､分别交为点､，则，之间即为点的变动范围.再求出直线，的斜率即可. 【解析】∵，，， ∴直线方程为，直线方程为， 如图，作关于的对称点， ∵，∴，再作关于的对称点，则， 连接､交与点，则直线ME方程为，∴， 连接､分别交为点､，则直线方程为，直线方程为， ∴，.连接，，则，之间即为点的变动范围. ∵直线方程为，直线FH的斜率为， ∴斜率的范围为. 故选：D. 题型模版 1.特征：核心是利用反射光线反向延长过入射点的对称点：先找入射点关于反射面的对称点，再连接对称点与反射光线的终点或入射光线的起点，该连线与反射面的交点即为反射点，进而确定光路. 2.方法：涉及到最短距离，可以利用“光学性质”：光走的路径最短，借助对称性来求解值 变式4-1如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设，    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 故选：D. 变式4-2在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过的重心，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，再求出点P关于的对称点坐标，借助三点共线列式求解作答. 【解析】依题意，以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴建立平面直角坐标系，如图，    则，，，的重心G的坐标为， 设点P的坐标为，，则点P关系y轴对称点， 设点P关于直线对称点，显然直线BC的方程为， 于是，解得，即点， 由光的反射定律知，光线过点，也过点，而光线经过的重心，因此点共线， 则有，整理得，解得， 所以. 故答案为： 变式4-3在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于__________    【答案】 【解析】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故答案为： 题型五、求距离和的最值问题 典例5 已知点，，点在轴上，则的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可. 【解析】点，，点在轴上， 点关系轴的对称点为， . 故选：B. 题型模版 1.特征：定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2.方法：根据两定点在定直线同侧还是异侧分析，然后决定是否作对称解决问题。 变式5-1在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B.   2 变式5-2唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【解析】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 变式5-3已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 【答案】，最小值 【分析】求得关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求得的最小值. 【解析】设关于直线的对称点为， 线段的中点为， 所以， 解得，即， 所以的最小值为， 此时直线的方程为， 由解得，所以 题型六、求距离差的最值问题 典例6 直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由关于直线的对称点为，， 即求的最大值， 【解析】依题意可知， 关于直线的对称点为，， 即求的最大值， ， 当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为， 也即的最大值是. 故选：A 题型模版 1.特征：定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短. 2.方法：根据两定点在定直线同侧还是异侧分析，然后决定是否作对称解决问题。 变式6-1已知，点为轴上一动点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知点关于轴的对称点为， ，直线方程为，令得， 所以直线与轴交点为， ，当且仅当是与轴交点时等号成立． 故选：A． 变式6-2已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 【答案】 . 【解析】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 变式6-3直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为 . 【答案】 【解析】设点关于的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. 题型七、与其他章节融合 典例7 平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据光线反射的性质，利用解三角形可得坐标，再由求解即可. 【解析】由题意，，则,， ，，即， ，解得. 故答案为： 题型模版 1.特征：利用对称性与函数、三角函数向量等章节融合研究最值。 2.方法：利用对称性研究定直线的动点到两定点距离和的最小值，定直线的动点到两定点距离差的最大值，应注意两点在直线同侧，还是异侧的分析。 变式7-1已知点， 直线，关于直线的对称点为点， 则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意， 在中，， ∴直线过点 ∵关于直线的对称点为点 ∴直线l为线段的垂直平分线 ∵直线为过点的任意直线， ∴， ∴点和点在以点为圆心4为半径的圆上， 由图可知 当点在时，最小，为： 当点在时，最大，为： ∴的取值范围为 故答案为：. 变式7-2已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 观察图象知点P到直线的距离最短，， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：C 变式7-3在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 【答案】； 【解析】由向量在向量上的投影向量为， 得向量在向量上的投影向量的模为，所以， 又因角为锐角，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则， 在上取，使得，则， 在上取点使得， 则， 直线的方程为，设点关于直线的对称点， 则，解得，所以， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【解析】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 2．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（　　） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【答案】B 【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【解析】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故选：B． 3．直线关于对称直线，直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知直线与直线交于点，求出原点关于直线对称的对称点B，利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果. 【解析】如图，直线与直线交于点，直线过原点， 因为直线与直线l关于直线对称，所以原点关于直线的对称点为，且直线l过点A、B， 则直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 即. 故选：C 4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【解析】设关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A 5．已知直线分别与轴交于点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（　 　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令得，令得，所以， 如图，点在直线的同侧， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以，若最小，即最小， 当三点共线时最小，即最小， 此时，，直线的方程为， 由得，即. 故选：D.    6．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【解析】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 7．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【解析】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 8．（多选）暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】ABD 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【解析】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D正确. 故选：ABD. 9．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】ABC 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【解析】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：ABC. 10．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【解析】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 11．直线关于直线对称的直线的方程是 . 【答案】 【解析】（方法1）联立，得两直线的交点为， 设直线的方程为， 直线上的点到直线与的距离相等，即， 解得或（舍去），故的方程是. 故答案为：. （方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为. 所以关于直线对称的直线为：，即. 故答案为：. 12．已知点和点关于直线对称，斜率为的直线过点且与直线相交于点，若的面积为2，则 . 【答案】0 【解析】设点，则，解得，则， 设直线与联立，解得，则， 因为直线的方程为，且， 点到直线的距离， 所以. 故答案为：0 13．若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是________，此时________． 【答案】     18     7 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设， 则四边形为平行四边形， 而即为： . 而， 当且仅当为平行四边形的对角线的交点时等号成立，此时， 故的最小值为18，此 时即 故答案为：18，7 14．如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于___________    【答案】 【解析】根据题意，以点为原点，以，分别为轴，轴建立直角坐标系， 则，所以直线的方程为，的重心为.    设点，其中，则点关于直线的对称点， 满足，解得，即， 易得点关于轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率，所以直线的方程为， 由于直线经过的重心，代入得， 化简得或（舍去），故点，点，点， 直线的方程为，即， 联立，解得，即点， 联立，解得，即点， 所以， 又点到直线的距离为， 所以. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $