第一章 三角形（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学三角形单元培优冲刺卷，通过分层设计与动态问题，综合考查三角形性质、全等及作图应用，适配单元复习巩固与能力拔高。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、角平分线性质|结合图形辨析，考查几何直观| |填空题|6/18|全等判定、垂直平分线|含动点速度计算，体现推理意识| |解答题|9/72|作图、动态问题、综合实践|含格点作图（17题）、双动点全等探究（20题），突出模型意识与创新应用|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章三角形培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 5 6 8 10 B D 0 D C D C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.40° 12,SAS 13.3cm/s或2.4cm/s 14.11 15.4 16.0, 5 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题6分) 【详解】(1)解：如图，BD即为所求； …2分 图① (2)解：如图，CE即为所求； .4分 图② 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F F (3)解：如图，点或即为所求 6分 B F 图③ 18.(本题8分) 【详解】(1)解：AB=6,AE=3, .'BE=AB-AE=3. .△ABC≌△DEB .BC=BE=34分 (2)解：.△ABC≌△DEB. .∠C=∠EBD=55°， ,∠AED为△BDE的外角， .∠AED=∠D+∠EBD, 即∠D=∠AED-∠EBD=80°-55°=25°..8分 19.(本题6分) 【详解】()解：所求图形，如图所示： P 3分 B B (2)解：直线I是AC的垂直平分线，所求三角形如图所示. …6分 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(本题8分) 【详解】(I)证明：：AD、BE是△ABC的高， .∠AEB=∠BEC=∠BDA=90° ∠AOE=∠BOD, ∠EAO=∠EBC, ∠AEO=∠BEC AE=BE 在 和 中， AEO BEC ∠EAO=∠EBC' :.△AEO≌ABEC(ASA) :.AO=BC, 0A=8, BC=8.…3分 (2)解：存在。 理由：由题意得，OP=t,BQ=3t, ,△AEO≌ABEC ∠AOE=∠BCE, ∴.∠BOP=∠FCQ .OB=CF, 如图，当△BOP≌△FCO时，OP=CQ, t=8-3t」 解得，t=2;5分 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E AI B D 如图，当△BOP≌AFCQ时，OP=CQ, t=3t-8, 解得，t=4;8分 综上所述，当t=2秒或4秒时，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等 D AI B D 21.(本题8分) 【详解】（①）如图，取∠ABC=40°，在BC上截取BD=lcm,在BA上截取BE=2cm,连接ED,△EBD 即为所求。 A E 2cm 1分 40°个 D 1cm B (2)根据题意作∠QPK=∠ABC=40°，在PG上截取PN=lcm,以N为圆心以2cm长为半径画弧交PK于 点M,连接MN,如图，△MPN即为所求. 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 K M 2cm …2分 40°> N 1cm B (3)以已知角为两线段的夹角，可画出一个三角形， 3cm …4分 40 4cm 以3cm长的边作40°角的对边，可画出两个满足条件的三角形， B 3cm B …6分 3cm 40° 4cm C 以4cm长的边作为40°角的对边，可画出一个满足条件的三角形， B 4cm …8分 40° 3cm .满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有4个. 22.(本题8分) 【详解】(1)DF+CF=AC. 证明：如图，连接BF, 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图① ,Rt△ABC≌Rt△DBE, ∴.BC=BE,AC=DE :在Rt△BCF和RtABEF中， BF=BF BC=BE, RtaBCF≌Rt△BEF(HL) ..CF=EF .AC=DE,DF+EF=DE, DF+CF=AC;2分 (2)DF+CF=AC: 证明：如图，连接BF, D B 图② 与(I)同理，可得BC=BE,AC=DE, :∠ACB=∠DEB=90°，BC=BE,BF=BF, RtABCF≌RtaBEF(HL) .CF=EF, ·AC=DE,DF+EF=DE, .DF+CF=AC:5分 (3);解：如图，连接BF, 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F D B E 图③ 与(I)同理，则有CF=EF,AC=DE, :DF+AC=DF+DE=EF=CF DF=2,CF=8, 则AC=6 故答案为：6.8分 23.(本题8分) 【详解】(1)解：∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∠DAE=90°，即∠CAE+∠CAD=90°， .∠CAE=∠BAD 在△CAE和△BAD中， AB=AC ∠CAE=∠BAD AD=AE .△CAE≌△BAD(SAS) .BD=CE,∠B=∠ACE=45° :∠ACB=45° .∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°. BC⊥CE,即BD1CE.2分 (2)解：成立，理由如下： ∠BAC=90°，∠DAE=90° .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD .∠BAD=∠CAE 在△DAB和△EAC中， 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE :.△DAB≌△EAC(SAS) :.BD=CE.∠ACE=∠B=45°、 ∠ACB=45° .∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， CE⊥BC,即CE⊥BD.5分 (3)解：当点D在BC上时， 由(1)可知△CAE≌△BAD. BC=6,CD=4. .BD=BC-CD=6-4=2, :.CE=BD=2; 当点D在BC延长线上时， 由(2)可知△DAB≌AEAC. BC=6,CD=4, .BD=BC+CD=6+4=10」 ∴.CE=BD=10 综上，CE=2或10.8分 24.(本题10分) 【详解】(I)证明：，AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD. :AD⊥BC, ∴.∠BDA=∠CDA=90°， ∴.∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°. .∠B=∠C, .AB=AC;.4分 (2)证明：如图，延长BD交AC于E点， 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D ● :AD平分∠BAC,AD⊥BD, 由(I)可得∠ABE=∠AEB,AB=AE, .BE=2BD, AC-AB=2BD」 .'AC-AE=BE, .BE=CE. ∴.∠C=∠EBC, .·∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC=2∠C ∠ABC=∠ABE+∠EBC=2LC+LC=3∠C;8分 (3)解：延长BH,AC交于点G,如图所示： E B D --G ,AD平分∠BAC, .∠BAH=∠GAH, BH⊥AD, ∴.∠AHB=∠AHG. AH=AH, △ABH≌△AGH(ASA) .BH=GH AB=AG, 1 .S.-S.o. E为AC的中点， 9112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.4BE=S.BCE= .S-S, =S.BFH-S.AEF =(S.BFH +S.4BF)-(S.4EF+S.4BF) =S.ABH-S.ABE 1 1 1 (S.4DG-S.A0C) 2 1 当△BCG 的面积最大时， S1-S2 最大， .AB-AC=4,AB=AG. ∴.AG-AC=4, 即CG=4, BC=12, ∴.当BC⊥CG时，△BCG的面积最大， 六△BCG的最大面积为：2×12x4=24, ∴S-S,的最大值为： 1x24=12 …10分 25.(本题10分) 【详解】()证明：：△ABC和△DBC是美好等腰三角形， .AB=AC,DB=DC. ∴.∠DBC=∠DCB.∠ABC=∠ACB」 ∴·∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB,即∠ACD=∠ABD AB=AC, 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·点A在线段BC的垂直平分线上. .DB=DC, ∴点D在线段BC的垂直平分线上， ∠ABD=∠ACD,AD所在直线是线段BC的垂直平分线；…2分 (2)证明：如图，作射线AG交BC于点H. D/E G C:AE⊥CD .∴∠AEG=∠CEF=90° ∴.∠GAE+∠AGE=90°. .∠ACE=45° .∠CAE=90°-∠ACE=45° ∴∠CAE=∠ACE ..AE=CE EF =EG ∴.△AEG≌△CEF(SAS) ∴.∠FCE=∠GAE :∠CGH=∠AGE ∴.∠FCE+∠CGH=90° .∠GHC=180°-∠CGH-∠FCE=90° .AH⊥BC AB=AC, ∴BH=CH ∴.GB=GC 点G在线段DC上，且EG=EF,则△ABC和△GBC是美好等腰三角形6分 (3)解：如图3， 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G H 图3 AE⊥CD .FE⊥DG, .EG=EF, .∠EGF=LEFG=45° DF=FG,FE⊥DG. .AF垂直平分DG, .'AD=AG .∠DAE=∠GAE 设∠DAE=∠GAE=a. ·AB=AC,AH⊥BC, .∠CAH=∠BAH=2a. .∠CAE=45° ∴.a+2a=45°. .a=15o .∠BAC=4×15°=60°..10分 12/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A．B．C． D． 2．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 第2题 第3题 3．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 4．如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 第4题 第5题 5．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 6．活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第6题 第8题 7．等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 8．如图，等腰 的顶角，若将其绕点顺时针旋转，得到，点在边上，交于，连接则下列结论错误的是（     ） A． B． C．平分 D． 9．如图，是等边三角形，点D、E、F分别在边、、上，且，，连接、、、、、，和交于点．以下结论错误的是（    ） A．是等边三角形 B． C． D． 第9题 第10题 10．如图，锐角三角形中，，点为边上一点（不含端点），点关于，所在直线的对称点分别为点，，连接．若，，到直线的距离为，则的长度可以为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，，，点D恰好落在线段上，则= ___°． 第11题 第12题 12．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 13．如图，在四边形中，，，E是中点．点P在线段上以的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段上匀速由C向D单向运动．为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为________________ ． 第13题 第14题 14．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上任一点，则周长的最小值是___________． 15．如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 第15题 16．某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到_______朵，最多能收到________朵． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中线． (3)在图③中边上找一点，连接，使将分成面积比为的两部分． 18．（本题8分）如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 19．（本题6分）在的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，画一个格点，使与全等，并且使点P在内部； (2)在图2中，画一个格点，使与全等，并且使的一个顶点在一边的垂直平分线上． 20．（本题8分）如图，在中，高线，，相交于点，，. (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 21．（本题8分）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．（友情提醒：请在你画的图中标出已知角和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹） (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图2中用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由； (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为 ”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个，请分别在图3中把图作出来．（一种情况分别画一个图） 22．（本题8分）已知，． (1)将和按图①方式摆放，使经过点C，延长交线段于点F．试判断线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将和按图②方式摆放，延交线段于点F．请直接写出之间的数量关系______． (3)将和按图③方式摆放，延长交的延长线于点F．若，，则______． 23．（本题8分）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，． 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 24．（本题10分）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 25．（本题10分）【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 试题 第7页（共6页） 试题 第8页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 2．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】解： 的周长为， 点为延长线上一点 ． 3．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 4．如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过O点分别作、、的垂线、、， ∵是的角平分线， ∴， 同理， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】D 【详解】解：设点E运动时间为，则， ①如图，当点从点B出发，向点左侧移动时， 为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，解得：； ②如图，当点从点B出发，向点右侧移动时， 同理可证，， ， ， ，解得：, 综上可知，当点E运动或时，． 6．活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为，，分三种情况讨论： 1．若，则，此时，三边为，满足，符合三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除D． 2．若，则，此时，三边为，满足三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除A． 3．若，则，三边为，满足，符合要求，因此可能，排除B． 当时，，三边为，不存在相等的两边，无法构成等腰三角形，因此不可能． 8．如图，等腰 的顶角，若将其绕点顺时针旋转，得到，点在边上，交于，连接则下列结论错误的是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【详解】解：∵等腰的顶角， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到，点在边上， ∴，，， ∴，， ∵， ∴平分， 又∵， ∴， ∴． 9．如图，是等边三角形，点D、E、F分别在边、、上，且，，连接、、、、、，和交于点．以下结论错误的是（    ） A．是等边三角形 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 在中， ， ∴， 同理可证，， ， 是等边三角形，故A正确； ， ， ，故B正确； ∵与同顶点，底边都在上，高相等，根据三角形面积公式，面积比等于底长之比， ， ， 同理可知，故C错误； ，故D正确． 10．如图，锐角三角形中，，点为边上一点（不含端点），点关于，所在直线的对称点分别为点，，连接．若，，到直线的距离为，则的长度可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， 由对称的性质，可知，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由题意，可知，即，只有B选项满足这个取值范围． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，，，点D恰好落在线段上，则=________°． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 【答案】 【详解】解：由作图痕迹可知，，，， 在和中， ， ， 因此作图的依据为． 13．如图，在四边形中，，，E是中点．点P在线段上以的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段上匀速由C向D单向运动．为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为________________ ． 【答案】或 【详解】解：设运动时间为，点Q的速度为， ∵E是中点， ∴， 由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：，； 综上所述：为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为或． 14．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上任一点，则周长的最小值是___________． 【答案】11 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长的最小值是11． 15．如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 【答案】 【详解】解：作于点G，作于点H， ∵点关于的对称点恰好是中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为4． 16．某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到_______朵，最多能收到________朵． 【答案】 0 5 【详解】解：先推导最多收到的小红花数量： 若某位同学收到位同学送的花，对这位同学中任意两点，都满足，， 在中，是最长边，根据三角形大边对大角的性质，可得， 这位同学与点O的连线形成的个相邻夹角之和为， 因此， 解得，为正整数， 故的最大值为； 再推导最少收到的小红花数量： 可构造出符合题意的情况，即存在同学没有被其他任何同学选为最近距离点，例如多个点都将最近点选为同一个中心，除中心回送的一个点外，其余外围点都不会收到其他同学送的花，因此最少可以为． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中线． (3)在图③中边上找一点，连接，使将分成面积比为的两部分． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点或即为所求． 18．（本题8分）如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 即. 19．（本题6分）在的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，画一个格点，使与全等，并且使点P在内部； (2)在图2中，画一个格点，使与全等，并且使的一个顶点在一边的垂直平分线上． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：直线l是的垂直平分线，所求三角形如图所示． 20．（本题8分）如图，在中，高线，，相交于点，，. (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 【详解】（1）证明：、是的高， ， ， ， 在和中，， ， ， ， . （2）解：存在. 理由：由题意得，，， ， ， ， 如图，当时，， ， 解得，； AI 如图，当时，， ， 解得，； 综上所述，当秒或4秒时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等. AI 21．（本题8分）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．（友情提醒：请在你画的图中标出已知角和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹） (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图2中用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由； (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为 ”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个，请分别在图3中把图作出来．（一种情况分别画一个图） 【详解】(1)如图，取，在上截取，在上截取，连接，即为所求． (2)根据题意作，在上截取，以为圆心以长为半径画弧交于点，连接，如图，即为所求． (3)以已知角为两线段的夹角，可画出一个三角形， 以长的边作角的对边，可画出两个满足条件的三角形， 以长的边作为角的对边，可画出一个满足条件的三角形， ∴满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个． 22．（本题8分）已知，． (1)将和按图①方式摆放，使经过点C，延长交线段于点F．试判断线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将和按图②方式摆放，延交线段于点F．请直接写出之间的数量关系______． (3)将和按图③方式摆放，延长交的延长线于点F．若，，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)6 【详解】（1）． 证明：如图，连接， ∵， ∴，． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴； （2）； 证明：如图，连接， 与（1）同理，可得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）；解：如图，连接， 与（1）同理，则有， ∴； ，， 则． 故答案为：6． 23．（本题8分）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，． 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)成立，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：，即，，即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （2）解：成立，理由如下： ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （3）解：当点在上时， 由（1）可知， ，， ， ； 当点在延长线上时， 由（2）可知， ，， ， ， 综上，或． 24．（本题10分）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【详解】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． 25．（本题10分）【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 【详解】(1)证明：和是美好等腰三角形， ，， ，， ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， ，所在直线是线段的垂直平分线； (2)证明：如图，作射线交于点． ， ． . ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 点在线段上，且，则和是美好等腰三角形 （3）解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴. 26 / 26 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是() A. B.支C.文D.支 2.如图，△ABD≌△ACD,点E为CA延长线上一点，连接BE,若△ABE的周长为I2,BE=4,则线段CE 的长为() A.4 B.8 C.12 D.16 第2题 第3题 3.如图，已知AB=AC,BE=CE,D是线段AE上一点（不与A,D重合），下列结论不一定正确的是() A.AE平分∠BAC和∠BEC B.AE垂直平分BC C.∠DBE=∠DCE D.BD=DE 4.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形， 则SBo:SBco:Sc4o等于() A.8:7:6 B.1:2:3 C.3:7:4 D.6:7:8 EB 第4题 第5题 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm,BC=3cm,CD为AB边上的高，点E从点B出发，在 直线BC上以2Cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动()s时，CF=AB. A.2 B.6 C.2或6 D.2或5 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中BD是半圆形量角器 的直径，C是BD的中点，AB=BC,BE⊥AD.将这个工具按图2所示放置在∠PMN内部，使点A落在∠PMN 的一条边上，∠PMN的顶点M落在角尺边缘BE上，量角器上一点F落在∠PMN的另一条边上，且CF⊥MN 于点F,连接CM,作射线MB.若用量角器测得∠DCF=40°，则∠PN的度数为() A.50° B.55° C.60° D.70° 图1 图2 第6题 第8题 7.等腰△ABC的周长为18，若AB的长为8，则BC的不可能是() A.2 B.5 C.6 D.8 8.如图，等腰△ABC的顶角∠BAC=36°，若将其绕点C顺时针旋转36°，得到△AB'C,点B'在AB边上， AB'交AC于E,连接AA'则下列结论错误的是() A.BC=B'C B.BC∥AA' C.CB'平分∠BCAD.BC⊥CA' 9.如图，△ABC是等边三角形，点D、B、F分别在边AC、AB、BC上，且CD=AC,AB=AB,BP=BC, 3 连接DE、EF、DF、AF、BD、CE,AF和BD交于点G.以下结论错误的是() A.△DEF是等边三角形 B.∠AGB=120° 1 C.5.m5. D. 第9题 第10题 10.如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=30°，点D为AC边上一点（不含端点），点D关于BA,BC所在 直线的对称点分别为点A,,连接AA.若AB=5.4cm,BC=5cm,B到直线AC的距离为4.9cm, 则AA的长度可以为() A.4.8cm B.5cm C.5.4cm D.5.5 cm 2/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，△ABC≌△DEC,∠DCE=60°，∠ACE=100°，点D恰好落在线段AB上，则∠ECB=°， 第11题 第12题 12.已知△ABC,求作△AB'C',使得△AB'C'≌△ABC.如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是 13.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C,AB=&C,BC=10cL,CD=14C,E是AB中点.点P在线段BC 上以3cm/s的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段CD上匀速由C向D单向运动.为使△BPE与△CPQ 在两点运动过程中全等，点Q的速度应为 第13题 第14题 14.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,CB=7,EF垂直平分AC,点P为直线EF上任一点，则△ABP 周长的最小值是 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB上的点，连接CE,点B关于CE的对称点D恰好是AC中 点，连接BD,ED,若BC=6,则点E到BC的距离为 D 第15题 16.某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位 同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到朵，最多 能收到 朵 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（共9小题，共72分） 17.（本题6分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的 顶点叫格点.图①、图②、图③的△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别 按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的项点均在格点上. B 图① 图② 图③ (I)在图①中画△ABC的高BD. (2)在图②中画△ABC的中线CE. (3)在图③中△ABC边BC上找一点F,连接AF,使AF将△ABC分成面积比为1：2的两部分. 18.(本题8分)如图，已知△ABC≌△DEB,点E在AB上，AC与BD交于点F,AB=6,AE=3, ∠C=55°，∠AED=80°. (1)求BC的长度： (2)求∠D的度数. 19.（本题6分)在6×6的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），△ABC的三个顶点都在格点上. B B 图1 图2 (I)在图1中，画一个格点△DEF,使△DEF与△ABC全等，并且使点P在△DEF内部； (2)在图2中，画一个格点△MNQ,使△NO与△ABC全等，并且使△MNQ的一个顶点在△ABC一边的垂 直平分线上 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(本题8分)如图，在△ABC中，高线AD,BE,相交于点O,AE=BE,OA=8. 备用图 (1)求BC的长： (2)F是直线AC上的一点，且CF=BO,动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点 A运动，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位长度的速度运动，P,Q两点同时出发，当点P到 达A点时，P,Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值使得以点B,O,P为顶 点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理 由. 21.(本题8分)已知一个三角形的两条边长分别是1c和2c,一个内角为40°.（友情提醒：请在你画的 图中标出己知角和已知边的长度，“尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹) 40° 40° 40° 图1 图2 图3 (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形： (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图2中用“尺 规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由： (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3c和4C,一个内角为40°”，那么满足这一条件，且 彼此不全等的三角形共有个，请分别在图3中把图作出来.（一种情况分别画一个图） 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(本题8分)已知RtAACB≌RUADEB,∠ACB=∠DEB=90°. F D B 图① 图② 图③ (I)将Rt△ACB和Rt△DEB按图①方式摆放，使BD经过点C,延长AC交线段DE于点F.试判断线段 DF+CF=AC之间的数量关系，并证明你的结论： (2)将Rt△ACB和Rt△DEB按图②方式摆放，延AC交线段DE于点F.请直接写出DF,CF,AC之间的数 量关系 (3)将Rt△ACB和Rt△DEB按图③方式摆放，延长AC交ED的延长线于点F.若DF=2,CF=8,则AC= 23.(本题8分)综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系 问题情境：已知，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，点D是直线BC上的一个动点， 连接AD,在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD,∠ADE=∠AED=45°，连接DE,CE. 图1 图2 备用图 实践探究： (I)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段BD与CE的数 量关系与位置关系：① ,② (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1)中的结论 是否成立，并说明理由： (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点D在射线BC上运动的过程中，如果BC=6, CD=4,请直接写出线段CE的长. 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.（本题10分)【情境建模】 D B D D H 图1 图2 图3 (I)已知：如图1，点D在△ABC的边BC上，若AD平分∠BAC,且AD⊥BC,求证：AB=AC.请你帮助 小蕊完成证明. 【理解内化】 (2)请尝试直接应用情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，己知在△ABC中，AD平分∠BAC, AD⊥BD,AC-AB=2BD,求证：∠ABC=3∠C. 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BC=12,AD平分∠BAC,点E为AC中点，AD与BE相交于点F,过点B作BH⊥AD 交AD延长线于点H,设△BFH、△AEF的面积分别为S,S,若AB-AC=4,则S-S的最大值是一 7/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(本题10分)【理解问题】 如图1，在△ABC和△DBC中，AB=AC,DB=DC,点A,D在底边BC的同侧.我们把具有这种位置关 系的两个等腰三角形.叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连 接顶角顶点的线段叫做轴线.如图1中∠ABD和∠ACD是腰角，线段AD是轴线， 图1 图2 (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在 的直线垂直平分底边.小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明。 己知：如图1，△ABC和△DBC是美好等腰三角形，连接AD.求证：∠ABD=∠ACD,AD所在直线是线段BC 的垂直平分线， (2)【实施计划】 如图2，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，∠ACD=45°，AE⊥CD,垂足为E,AE的延长线与BC 交于点F,点G在线段DC上，且EG=EF,连接BG.求证：△ABC和△GBC是美好等腰三角形， (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接DF,FG,若DF=FG,请直 接写出∠BAC的度数， 8/8: : 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章三角形·培优冲刺 ·: 建议用时：120分钟，满分：120分 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 斯 1.把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是() A. B.支C.支 D. 2.如图，△ABD≌△ACD,点E为CA延长线上一点，连接BE,若△ABE的周长为12，BE=4,则线段CE 的长为() O A.4 B.8 C.12 D.16 : : 尽 : 第2题 第3题 O 3.如图，已知AB=AC,BE=CE,D是线段AE上一点（不与A,D重合），下列结论不一定正确的是() A.AE平分∠BAC和∠BEC B.AE垂直平分BC C.∠DBE=∠DCE D.BD=DE 4.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形， : 则SABo:SBCo:Sc40等于() : A.8:7:6 B.1:2:3 C.3:7:4 D.6:7:8 : 第4题 第5题 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm,BC=3cm,CD为AB边上的高，点E从点B出发，在 直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动()s时，CF=AB. A.2 B.6 C.2或6 D.2或5 O 6.活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中BD是半圆形量角器 试题第1页（共6页） 学科网·上好课 的直径，C是BD的中点，AB=BC,BE⊥AD.将这个工具按图2所示放置在∠PMN内部，使点A落在 ∠PMN的一条边上，∠PMN的顶点M落在角尺边缘BE上，量角器上一点F落在∠PMN的另一条边上， 且CF⊥MN于点F,连接CM,作射线MB.若用量角器测得∠DCF=40°，则∠PMN的度数为() A.50° B.55 C.60° D.70 图1 图2 第6题 第8题 7.等腰△ABC的周长为18，若AB的长为8，则BC的不可能是() A.2 B.5 C.6 D.8 8.如图，等腰△ABC的顶角∠BAC=36°，若将其绕点C顺时针旋转36°，得到△AB'C,点B'在AB边上， AB交AC于E,连接AA则下列结论错误的是() A.BC=B'C B.BC∥AA' C.CB'平分∠BCAD.BC⊥CA' 9.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且CD=AC,AE=AB,BF=BC, 3 3 连接DE、EF、DF、AF、BD、CE,AF和BD交于点G.以下结论错误的是() A.△DEF是等边三角形 B.∠AGB=120 C.5..e 4 D.S 第9题 第10题 10.如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=30°，点D为AC边上一点（不含端点），点D关于BA,BC所在 直线的对称点分别为点A,A,连接AA,,若AB=5.4cm,BC=5cm,B到直线AC的距离为4.9cm, 则AA的长度可以为() A.4.8cm B.5cm C.5.4cm D.5.5 cm 试题第2页（共6页） ⊙学科网·上好课 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，△ABC2△DEC,∠DCE=60°，∠ACE=100°，点D恰好落在线段AB上，则∠ECB=_ 第11题 第12题 12.已知△ABC,求作△A'B'C',使得△AB'C'≌△ABC.如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是 13.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C,AB=&c,BC=10cm,CD=14c,E是AB中点.点P在线段BC 上以3cm/s的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段CD上匀速由C向D单向运动.为使aBPE与△CPQ 在两点运动过程中全等，点Q的速度应为 A 第13题 第14题 14.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,CB=7,EF垂直平分AC,点P为直线EF上任一点，则△ABP 周长的最小值是 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB上的点，连接CE,点B关于CE的对称点D恰好是AC 中点，连接BD,ED,若BC=6,则点E到BC的距离为 B 第15题 16.某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每 位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到朵，最 多能收到 朵 试题第3页（共6页） 三、解答题（共9小题，共72分） : 17.(本题6分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的 顶点叫格点.图①、图②、图③的△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分 别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上. : : : : 图① 图② 图③ (1)在图①中画△ABC的高BD. (2)在图②中画△ABC的中线CE, (3)在图③中△ABC边BC上找一点F,连接AF,使AF将△ABC分成面积比为1：2的两部分. : 擗 18.(本题8分)如图，己知△ABC≌△DEB,点E在AB上，AC与BD交于点F,AB=6,AE=3, 游 .: ∠C=55,∠AED=80°. (1)求BC的长度： : (2)求∠D的度数. 19.(本题6分)在6×6的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），△ABC的三个顶点都在格点上. : .: 图1 图2 : (1)在图1中，画一个格点△DEF,使△DEF与△ABC全等，并且使点P在△DEF内部： : (2)在图2中，画一个格点△MNQ,使△MNQ与△ABC全等，并且使△NQ的一个顶点在AABC一边的垂 直平分线上. 试题第4页（共6页） 20.(本题8分)如图，在△ABC中，高线AD,BE,相交于点O,AE=BE,OA=8. O ·: D 备用图 斯 (1)求BC的长： (2)F是直线AC上的一点，且CF=BO,动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终 点A运动，动点O从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位长度的速度运动，P,Q两点同时出发，当点P 到达A点时，P,Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值.使得以点B,O,P为 顶点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说 : 明理由、 O O 21.(本题8分)已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2c,一个内角为40°.（友情提醒：请在你画 的图中标出已知角和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹) : : 40° 40° 40° O 图1 图2 图3 (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形： (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图2中用“尺 : : 规作图”作出所有这样的三角形：若不能，请说明理由： (3)如果将题设条件改为"三角形的两条边长分别是3C和4Cm,一个内角为40°”，那么满足这一条件，且 : 彼此不全等的三角形共有个，请分别在图3中把图作出来.（一种情况分别画一个图） : : : 试题第5页（共6页） 命学科网·上好课 22.(本题8分)己知Rt△ACB≌Rt△DEB,∠ACB=∠DEB=90°. D 9 E B B E 图① 图② 图③ (1)将Rt△ACB和Rt△DEB按图①方式摆放，使BD经过点C,延长AC交线段DE于点F.试判断线段 DF+CF=AC之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将Rt△ACB和Rt△DEB按图②方式摆放，延AC交线段DE于点F.请直接写出DF,CF,AC之间的数 量关系一· (3)将Rt△ACB和Rt△DEB按图③方式摆放，延长AC交ED的延长线于点F.若DF=2,CF=8,则AC= 23.(本题8分)综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关 系 问题情境：已知，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，点D是直线BC上的一个动 点，连接AD,在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD,∠ADE=∠AED=45°，连接DE,CE. 图1 图2 备用图 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段BD与CE的数 量关系与位置关系：①，②： (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1)中的结论 是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点D在射线BC上运动的过程中，如果BC=6, CD=4,请直接写出线段CE的长. 试题第6页（共6页） 学科网·上好课 24.(本题10分)【情境建模】 D H 图1 图2 图3 (1)已知：如图1，点D在△ABC的边BC上，若AD平分∠BAC,且AD⊥BC,求证：AB=AC.请你帮 助小蕊完成证明. 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC, AD⊥BD,AC-AB=2BD,求证：∠ABC=3∠C. 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BC=12,AD平分∠BAC,点E为AC中点，AD与BE相交于点F,过点B作BH⊥AD 交AD延长线于点H,设△BFH、△AEF的面积分别为S,S2,若AB-AC=4,则S-S的最大值是 试题第7页（共6页） 25.(本题10分)【理解问题】 : O 如图1，在△ABC和△DBC中，AB=AC,DB=DC,点A,D在底边BC的同侧.我们把具有这种位置 : 关系的两个等腰三角形.叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角， 连接顶角顶点的线段叫做轴线.如图1中∠ABD和∠ACD是腰角，线段AD是轴线. : D D O 图1 图2 (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在 的直线垂直平分底边.小颖利用图1给出如下己知、求证，请帮助小颖完成证明. 游 游 已知：如图1，△ABC和△DBC是美好等腰三角形，连接AD,求证：∠ABD=∠ACD,AD所在直线是线段 BC的垂直平分线. (2)【实施计划】 S 如图2，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，∠ACD=45°，AE⊥CD,垂足为E,AE的延长线与BC 交于点F,点G在线段DC上，且EG=EF,连接BG,求证：△ABC和△GBC是美好等腰三角形 (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接DF,FG,若DF=FG,请直 接写出∠BAC的度数. 世 ..0 : 试题第8页（共6页） 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第一章 三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A．B．C． D． 2．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 第2题 第3题 3．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 4．如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 第4题 第5题 5．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 6．活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第6题 第8题 7．等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 8．如图，等腰 的顶角，若将其绕点顺时针旋转，得到，点在边上，交于，连接则下列结论错误的是（     ） A． B． C．平分 D． 9．如图，是等边三角形，点D、E、F分别在边、、上，且，，连接、、、、、，和交于点．以下结论错误的是（    ） A．是等边三角形 B． C． D． 第9题 第10题 10．如图，锐角三角形中，，点为边上一点（不含端点），点关于，所在直线的对称点分别为点，，连接．若，，到直线的距离为，则的长度可以为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，，，点D恰好落在线段上，则= ___°． 第11题 第12题 12．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 13．如图，在四边形中，，，E是中点．点P在线段上以的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段上匀速由C向D单向运动．为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为________________ ． 第13题 第14题 14．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上任一点，则周长的最小值是___________． 15．如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 第15题 16．某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到_______朵，最多能收到________朵． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中线． (3)在图③中边上找一点，连接，使将分成面积比为的两部分． 18．（本题8分）如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 19．（本题6分）在的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，画一个格点，使与全等，并且使点P在内部； (2)在图2中，画一个格点，使与全等，并且使的一个顶点在一边的垂直平分线上． 20．（本题8分）如图，在中，高线，，相交于点，，. (1)求的长； (2)是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值.使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 21．（本题8分）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．（友情提醒：请在你画的图中标出已知角和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹） (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图2中用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由； (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为 ”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个，请分别在图3中把图作出来．（一种情况分别画一个图） 22．（本题8分）已知，． (1)将和按图①方式摆放，使经过点C，延长交线段于点F．试判断线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将和按图②方式摆放，延交线段于点F．请直接写出之间的数量关系______． (3)将和按图③方式摆放，延长交的延长线于点F．若，，则______． 23．（本题8分）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，． 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 24．（本题10分）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 25．（本题10分）【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $