第十三章三角形单元测试卷 2026-2027学年人教版八年级上 册

**基本信息** 人教版八年级上三角形单元卷，立足单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖三角形性质、等腰三角形、模型应用等核心知识，体现几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|三角形三边关系、等腰三角形周长、内角和计算|第5题通过间接测量相交直线夹角，培养应用意识| |填空题|4题|三角形稳定性、角平分线交点角度|第13题结合空调固定实例，体现几何原理生活化| |解答题|9题|作图、“八字”模型探究、方向角应用|第25题模型探究题，通过证明与拓展，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年人教版八年级上单元测试卷 第十三章 三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 2．小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 4．已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C． D．或 5．要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，某同学提供了如下间接的测量方案．    通过分析该同学的步骤和所测量的数据，可得，所夹锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 7．在中，，，则该三角形为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 8．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 10．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 11．如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 14．如图，是的中线，，，，则___________． 15．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则______．    16．如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么___________． 三、解答题 17．如图，的顶点都在方格纸的格点上，其中每个格子的边长为1个单位长度． (1)画出中边上的中线； (2)画出中边上的高； (3)的面积为 个平方单位． 18．一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 19．如图，是A、、三个村庄的平面图，已知村在A村的南偏西方向，村在A村的南偏东方向．村在村的北偏东方向． (1)由已知可得：________°，________°，________°，________（填写位置关系） (2)求从村观测A、两村的视角的度数． 20．如图，已知，分别是，的角平分线，且，垂足为E．求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵______°， ∵，垂足为E， ∴______°，∴______°． 又∵，分别是，的角平分线， ∴______，______， ∴______°，即______°， ∴（______）． 21．如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 22．如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 23．如图示，已知，平分，平分． (1)与有什么数量关系？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 24．如图，是的边上的高，平分交于E，．    (1)若，求的度数； (2)若，则______． 25．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026-2027学年人教版八年级上单元测试卷 第十三章 三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D A C C C B B 题号 11 12 答案 C A 1．B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 3．C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 4．D 【分析】本题考查等腰三角形，根据等腰三角形的两腰相等，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则：周长为：； 当腰长为时，则：周长为：； 故选D． 5．A 【分析】延长相交于点G，根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：延长相交于点G， ∵， ∴， 即直线，所夹锐角的大小为， 故选：A．    【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及绝对值和偶次方的非负性，由题意得：，求出即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形， 故选：C 7．C 【分析】本题考查了三角形内角和． 设，则，利用三角形内角和定理求出各角，再根据角度判断三角形类型即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 8．C 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 9．B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 10．B 【分析】本题考查三角形的面积、中线，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到阴影部分的面积与的面积的数量关系，从而求出的面积． 【详解】解：如图，点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，而高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 11．C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 12．A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13．三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 14． 【分析】本题考查了三角形中线的定义，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．根据三角形中线的定义即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ． 故答案为：． 15．/度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等． 根据三角形的外角的性质证得：，再根据平行线的性质得到即可得到结论． 【详解】解：， 直尺的两对边平行， ， 故答案为：．    16． 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 17．(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求； (3)8 【分析】本题主要考查了求三角形面积，画三角形的高和中线： （1）根据三角形的中线的概念作图即可： （2）根据三角形的高的概念作图即可： （3）根据三角形的面积公式，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，面积为， 故答案为：8． 18．(1) (2)与，或与 【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； 【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； （2）当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 19．(1)65，15，85， (2) 【分析】（1）根据题意，分别得出各个角的度数，即可作答． （2）根据方向角和三角形的内角和定理可求出答案． 本题考查方向角，三角形的内角和，理解方向角的意义以及三角形的内角和为是解决问题的前提． 【详解】（1）解：∵村在A村的南偏西方向，村在A村的南偏东方向．村在村的北偏东方向， ∴，，，， 故答案为：65，15，85，， （2）解：由题意得， ∵，，，， ， ， ， 在中， ． 20．180；90；90；，；180，180；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定的运用，由垂直定义和三角形内角和定理得，由角平分线定义得，，可得，即可得出． 【详解】证明：∵， ∵，垂足为E， ∴， ∴． 又∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴，即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：180；90；90；，；180，180；同旁内角互补，两直线平行． 21．(1)4个 (2)，见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形， 图中有4个直角三角形,； （2）解：由（1） 知是直角三角形， ， ； （3）解：，， ， ， ． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 23．(1)，理由见解 (2)，理由见解 【分析】（1）根据，得到，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）由（1）知，根据角平分线的定义得到，进而得到，依据同旁内角互补，两直线平行即可得出结论． 【详解】（1）， 证明：， ， ， ； （2）， 证明：由（1）知， 平分，平分， ， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的性质，理解相关知识是解答关键． 24．(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再由直角三角形确定，然后结合图形计算即可解答． （2）同（1）方法类似求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 25．（1）三角形内角和等于； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）， 设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， ；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）① 略 ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $