第16讲 2.4用一元二次方程解决问题（第2课时） 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第16讲　2.4　用一元二次方程解决问题（第2课时） 【学习目标】 1. 掌握市场营销问题中的基本数量关系：总利润 = 单件利润 × 销售数量。 1. 能通过列表分析，找出价格变化对单件利润和销售数量的影响。 1. 能根据销售问题中的等量关系列出一元二次方程并求解。 1. 能检验方程的解是否符合实际意义（如价格范围、销量为正等）。 【知识梳理】 一、市场营销问题的基本模型 核心公式： 其中： 二、价格变化对利润和销量的影响 在市场营销问题中，通常存在以下关系： 降价：单件利润减少，但销售量增加。 提价：单件利润增加，但销售量减少。 关键方法：用列表法分析价格变化前后的单件利润、销售数量和总利润。 列表分析模板： 单件利润 销售数量 总利润 变化前 变化后 三、解市场营销问题的步骤 1. 设未知数（通常设降价或提价 元）； 1. 用含 的代数式表示变化后的单件利润和销售数量； 1. 根据“总利润 = 单件利润 × 销售数量”列方程； 1. 解方程并检验； 1. 作答。 做一做（即时练习）： 1. 某商品进价为每件 元，售价为每件 元，则单件利润为______元。 1. 某商品每天可售出 件，每件盈利 元。若每件降价 元，每天可多售出 件。设每件降价 元，则降价后每件盈利为______元，每天销售量为______件。 1. 某商品进价为 元，售价为 元，每天可售出 件。若每件提价 元，每天少售出 件。设每件提价 元，则提价后每件利润为______元，每天销售量为______件。 1. 销售问题中，总利润 = ______ × ______。 1. 某商店销售一种商品，每件进价 元，售价 元时，每天可售出 件。若每件降价 元，每天可多售出 件。设每件降价 元，则降价后每天的总利润为______（用含 的代数式表示）。 【典例精讲】 【例1】（市场营销问题——降价促销） 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 件，每件盈利 元。为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降 元，商场平均每天可多售出 件。如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利 元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【分析】 设衬衫的单价降了 元，则降价后每件盈利为 元，每天销售量为 件。利用“总利润 = 单件利润 × 销售数量”列方程。 【解答】 设衬衫的单价降了 元。 降价前：单件利润 元，日销量 件。 降价后：单件利润 元，日销量 件。 由题意，得 整理，得 两边同除以 ，得 答：衬衫的单价降了 元。 【反思】 市场营销问题的关键是通过列表分析，用含 的代数式准确表示变化后的单件利润和销售量。 【例2】（市场营销问题——提价销售） 某商店进了一批服装，进货单价为 元。若按每件 元出售，则可销售 件；若每件提价 元出售，则其销售量就减少 件。现在预算要获利润 元，应按每件多少元出售？ 【分析】 设每件提价 元，则售价为 元，单件利润为 元，销售量为 件。 【解答】 设每件提价 元。 则每件售价为 元，单件利润为 元，销售量为 件。 由题意，得 整理，得 两边同除以 ，得 当 时，售价为 元，销售量为 件； 当 时，售价为 元，销售量为 件。 答：应按每件 元或 元出售。 【反思】 市场营销问题中，有时会有两个解都符合实际意义，需要根据题目条件或实际情况选择。 【例3】（市场营销问题——含限制条件） 某商店以每件 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品售价为 元，则可卖出 件。但物价局限定每件商品售价不能超过进价的 ，商店计划要赚 元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？ 【分析】 单件利润为 元，销售量为 件。注意售价不能超过进价的 ，即 。 【解答】 由题意，得 整理，得 两边同除以 ，得 ∵ 物价局限定每件售价不能超过进价的 ，即 ， ∴ 不合题意，舍去。 当 时，销售量为 件。 答：需要卖出 件商品，每件商品的售价为 元。 【跟踪练习1】 1. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 件，每件盈利 元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价 元，商场平均每天可多售出 件。若商场平均每天要盈利 元，则每件衬衫应降价多少元？ 1. 某商店销售一种商品，每件进价为 元。调查发现，当销售价为 元时，每天可售出 件；销售价每提高 元，每天少售出 件。要使每天获利 元，每件售价应为多少元？ 1. 某商场销售一种商品，每件进价为 元，售价为 元时，每天可售出 件。为了尽快减少库存，商场决定降价销售。经调查发现，每件每降价 元，每天可多售出 件。如果每天要盈利 元，每件应降价多少元？ 【举一反三】 1. 某商品进价为每件 元，售价为每件 元，则单件利润为______元。 1. 某商品每天可售出 件，每件盈利 元。若每件降价 元，每天可多售出 件。设每件降价 元，则降价后每天的总利润为______（用含 的代数式表示）。 1. 某商店销售一种商品，每件进价为 元。当售价为 元时，每天可售出 件。若每件降价 元，每天可多售出 件。设每件降价 元，则降价后每件利润为______元，每天销售量为______件。 1. 销售问题中，若设降价 元，则单件利润通常______（填“增大”或“减小”），销售量通常______（填“增大”或“减小”）。 1. 某商品进价为 元，售价为 元时，每天可售出 件。若每件提价 元，每天少售出 件。设每件提价 元，则提价后每天的总利润为______（用含 的代数式表示）。 1. 某商店销售一种商品，每件进价为 元，售价为 元时，每天可售出 件。若每件降价 元，每天可多售出 件。设每件降价 元，则降价后每天可多售出______件，总利润为______（用含 的代数式表示）。 1. 市场营销问题中，解方程后通常需要______，以确定答案是否符合实际。 1. 某商店销售一种商品，每件进价为 元。当售价为 元时，每天可售出 件。若每件降价 元，每天可多售出 件。要使每天获利 元，每件售价应为多少元？ 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 某商品进价为 元，售价为 元，则单件利润为______元。 1. 某商品每天可售出 件，每件盈利 元。若每件降价 元，每天可多售出 件。设每件降价 元，则降价后每件盈利为______元，每天销售量为______件。 1. 销售问题中，若每件降价 元，单件利润减少 元，则总利润 = ______ × ______。 1. 某商店销售一种商品，每件进价为 元。当售价为 元时，每天可售出 件。若每件降价 元，每天可多售出 件。设每件降价 元，则降价后每天的总利润为______（用含 的代数式表示）。 1. 某商品进价为 元，售价为 元时，每天可售出 件。若每件提价 元，每天少售出 件。设每件提价 元，则提价后每天的总利润为______（用含 的代数式表示）。 二、选择题。 1. 某商店销售一种商品，每件进价为 元。当售价为 元时，每天可售出 件。若每件降价 元，每天可多售出 件。设每件降价 元，则降价后每天的总利润为（　　） · A. 　　B. · C. 1. 某商场销售一种商品，平均每天可售出 件，每件盈利 元。为了扩大销售，商场决定降价促销。经调查发现，每件每降价 元，商场平均每天可多售出 件。若商场每天要盈利 元，设每件降价 元，则列出的方程为（　　） · A. · C. 1. 某商店销售一种商品，每件进价为 元，售价为 元时，每天可售出 件。若每件提价 元，每天少售出 件。要使每天获利 元，每件售价应为（　　） · A. 元　　B. 元　　C. 元　　D. 元或 元 ◆ B组·能力提升 1. 某商场销售一种商品，平均每天可售出 件，每件盈利 元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件商品每降价 元，商场平均每天可多售出 件。设每件商品降价 元。 （1）用含 的代数式表示降价后每件商品的盈利和每天的销售量； （2）若商场每天要盈利 元，每件商品应降价多少元？ 1. 某商店经营一种小商品，进价为每件 元。据市场调查，在一个月内，售价定为每件 元时，可卖出 件；而售价每上涨 元，就少卖 件。 （1）设每件售价为 元，则每件利润为______元，月销售量为______件；（用含 的代数式表示） （2）若商店想获得 元的月利润，每件售价应定为多少元？ 1. 某商场销售一种商品，每件进价为 元。调查发现，当销售价为 元时，每天可售出 件；销售价每提高 元，每天少售出 件。 （1）若每件售价为 元，则每件利润为______元，日销售量为______件；（用含 的代数式表示） （2）若商场每天要获利 元，每件售价应为多少元？ ◆ C组·思维拓展 12. 某风景区旅游信息如下：如果人数不超过 人，人均旅游费用为 元；如果人数多于 人，那么每增加 人，人均旅游费用降低 元，但人均旅游费用不得低于 元。某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 元。你能确定参加这次旅游的人数吗？ 13.某商店从厂家以每件 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品售价为 元，则可卖出 件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的 。商店计划要赚 元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？ 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案： 1. 答案：； 1. 答案：； 1. 答案：单件利润；销售数量 1. 答案： 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：每件应降价 元或 元 解析：，， 或 。若尽快减少库存，应降价 元。 1. 答案：每件售价为 元或 元 解析：设提价 元，，， 或 ，售价为 或 元。 1. 答案：每件应降价 元或 元 解析：设降价 元（ 为 的倍数），，解得 或 。 举一反三 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：； 1. 答案：减小；增大 1. 答案： 1. 答案：； 1. 答案：检验 1. 答案：售价为 元或 元 解析：设降价 元，则售价为 元，利润为 元，销售量为 件。由题意，，整理得 ，展开得 ，，， 或 。当 时，售价为 元；当 时，售价为 元。答案：10元或15元。 A组·基础过关 1. 答案： 1. 答案：； 1. 答案：单件利润；销售数量 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：A 1. 答案：A 1. 答案：D 解析：设提价 元，， 或 ，售价为 或 元，选项中有 元。 B组·能力提升 1. 答案：（1） 元， 件；（2） 元或 元 解析：，， 或 。 1. 答案：（1） 元， 件；（2） 元或 元 解析：，， 或 。 1. 答案：（1） 元， 件；（2） 元或 元 解析：，， 或 。 C组·思维拓展 1. 答案： 人 解析：设共有 人，。人均费用为 。，， 或 。当 时，人均费用为 ，不合题意舍去。∴ 。 1. 答案： 件， 元 解析：， 或 。加价不能超过进价的 ，即 ，舍去 。∴ 售价 元，销量 件。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（8题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（2题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 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