第二十五章 一元二次方程 03讲 实际问题与一元二次方程预习讲义（1大知识点+10大常考题型+巩固练习）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程实际应用核心知识点，系统梳理从审题、设元、列方程到检验作答的完整步骤，衔接方程解法与10类具体题型（传播、增长率、图形、数字等），构建从理论到实践的学习支架。 资料特色在于立足现实情境（如流感传播、新能源汽车销售），通过例题与变式题分层训练，培养数学眼光（抽象数量关系）和数学思维（推理运算），规范建模步骤提升数学语言表达，课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性巩固，有效弥补应用短板。

第二十五章 一元二次方程 03讲 实际问题与一元二次方程 题型归纳 【知识点1 一元二次方程实际问题步骤 1】 【题型1. 传播问题 2】 【题型2. 增长率问题 4】 【题型3. 与图形有关的问题 8】 【题型4. 数字问题 12】 【题型5. 销售利润问题 15】 【题型6. 动态几何问题 19】 【题型7. 工程问题 27】 【题型8. 行程问题 30】 【题型9. 握手、循环赛问题 34】 【题型10. 规律性探究问题 37】 【巩固练习 43】 知识清单 知识点1 一元二次方程实际问题步骤 （1）审题：找准已知量、未知量，提炼等量关系； （2）设元：直接/间接设未知数，标注单位； （3）列方程：用含未知数的式子替换等量关系，列出一元二次方程； （4）解方程：选用合适方法求出两个根； （5）检验：舍去负数、超出范围、不符合实际意义的根； （6）作答：完整写答案，带上单位。 题型专练 题型1. 传播问题 【例1】秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据流感传染模型，两轮传染后总患病人数为初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数之和，据此列方程． 【详解】∵ 开始有1人患了流感， 第一轮后患病人数为， 第二轮新增患病人数为， ∴ 两轮后总患病人数为， ∴， 故满足的方程为， 故选：A． 【例2】小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【答案】小华邀请了10名同学转发 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传播规则，结合经过两轮转发后共有111个人参与了小华创意作品的转发活动，即可得出关于x的一元二次方程求解． 【详解】解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小华邀请了10名同学转发． 【变式1】在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 【答案】6 【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服务器感染了病毒，建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得： ， 解得，（舍）， ∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器． 【变式2】某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【答案】这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 【变式3】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 【变式4】两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？ 【答案】名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每位同学每节课能教会名同学，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每位同学每节课能教会名同学， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每位同学每节课能教会名同学． 题型2. 增长率问题 【例1】某服装厂生产一批晚礼服，2024年该晚礼服的出厂价是300元/件，2025年、2026年连续两年改进技术降低成本，2026年该晚礼服的出厂价调整为243元/件．若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】解题思路为设出年平均下降率，根据初始价格和两年后的价格列方程，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设年平均下降率为，由题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴年平均下降率为． 【例2】目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计，该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆．求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率． 【答案】该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为 【分析】设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为， 依题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为． 【变式1】某公司文创产品的月收入逐月攀升，今年1月收入20万元，经过两个月后，3月收入达到28.8万元，该公司文创产品收入的月平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设月平均增长率为x，根据增长规律列出方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到答案． 【详解】解：设该公司文创产品收入的月平均增长率为 ∵1月收入为20万元，经过两个月增长后，3月收入为28.8万元 ∴列方程得 两边同除以20，得 ∵增长率为正数， ∴ 开方得 解得 因此选B符合题意． 【变式2】据了解，某展览中心8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数为万人．设8月份至10月份参观人数的月平均增长率为，则可列方程为___________． 【答案】（答案形式不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 利用该展览中心10月份的参观人数=该展览中心8月份的参观人数×月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意，从8月份到10月份，参观人数经过两个月的月平均增长，因此有． 故答案为：． 【变式3】某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1) 进馆人次的日平均增长率为 (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【分析】（1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 【变式4】某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【答案】(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 【变式5】随着电商的发展，网上购物成为主流，催生了快递行业的快速发展．据调查，某市一家快递公司，今年一月份和三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万件．现假定该公司一月至四月每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率 (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.9万件，那么该公司现有的15名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 (2)不能完成，至少还需增加5名业务员． 【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据“今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可，注意合理取舍x的值； （2）首先求出今年四月份的快递投递任务，再求出15名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年四月份的快递投递任务，然后再求出至少需要增加业务员的人数即可． 【详解】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意得 ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为． （2）解：4月：（万件） ， ∴该公司现有的15名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务， 设共需要名业务员才能完成任务，则， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为20， ∴至少还需增加：（名）业务员． 题型3. 与图形有关的问题 【例1】如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 【例2】小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据右边宽与天头长的比为，即可求解； （2）根据“装裱后作品总面积为”，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 【变式1】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈10尺，1尺10寸）如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为尺，根据题意，得__________________________ ，整理、化简，得___________________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．根据勾股定理，矩形门的宽、高与对角线满足关系式：宽的平方 高的平方对角线的平方，设宽为x尺，则高为尺，对角线为10尺，列出方程并化简． 【详解】解：由勾股定理，得， 展开并整理：， 方程两边同乘以12.5，得， 故答案为：；． 【变式2】项目式学习． 项目主题：学校运动会主题草坪设计． 项目情境：学校即将举办运动会，同学们积极参与该主题草坪设计的项目活动，以下是某小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一：(1)需要设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪的两组对边，小组内同学们设计的方案主要有以下三种．三种方案中，标号①的小路的下边线向上平移可得上边线，标号②的小路的左边线向右平移可得右边线．直接写出三种方案中，小路面积，，的大小关系； 活动任务二：(2)已知矩形草坪长，宽，为施工方便，学校选择甲设计方案，并要求除去小路后的面积为，请计算小路的宽． 【答案】(1)；(2)小路的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形面积公式是解题的关键． （1）利用平移的性质解答即可； （2）设小路的宽为，再利用矩形的面积公式列式运算即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：； （2）设小路的宽为，则， 解得或（不合题意，舍去)， ∴小路的宽为， 答：小路的宽为． 【变式3】如图，为宣传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为，卡片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）． (1)通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由； (2)若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可装入的方案． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)保持封皮长、宽和面积不变，将正方形卡片面积调整为即可装入 【分析】（1）先求出正方形卡片和长方形封皮的边长，再将正方形卡片的边长与长方形封皮的宽进行比较即可； （2）根据题意可知，可容纳的最大正方形边长等于封皮宽，据此调整即可． 【详解】（1）解：不能，理由如下： 设长方形的长为、宽为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 长方形的长为、宽为， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片不能装入封皮； （2）解：由（1）知，封皮的宽为，可容纳的最大正方形边长等于封皮宽， 此时正方形面积为， 因此方案为：保持封皮长、宽和面积不变，将正方形卡片面积调整为即可装入． 题型4. 数字问题 【例1】若两个相邻偶数的积为528，设较小的一个偶数为，则可以列方程：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设较小的一个偶数为x，则相邻的较大偶数为，再根据两数积为528直接列出方程即可求解． 【详解】解：设较小的一个偶数为x，则另一个偶数为， 因此方程为． 故答案为：． 【例2】2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【答案】这个最小数为5 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意， 得． 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【变式1】如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 【变式2】如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数．若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 根据日历的特点列出方程即可． 【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为16， 这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：． 故答案为：． 【变式3】第十四届国际数学教育大会（1CME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME－14的举办年份． (1)八进制数3747换算成十进制数是__________； (2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是80，求n的值． 【答案】(1) (2)7． 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）根据题意有：， 整理得：， 解得，（负值舍去）， 故的值为． 【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． 题型5. 销售利润问题 【例1】由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该店冬装原本打x折，根据折上折的优惠规则，结合原价和最终实际售价，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：设该店冬装原本打x折． ∵打折时，打x折表示现价为原价的． 又∵本题为两次折扣相同的“折上折”，需要连续两次按计算价格． ∴原价1000元经过两次打折后价格为． ∵优惠后实际价格为490元， ∴可得方程． 【例2】某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价5元或11元 【分析】设每件应降价元，则每件盈利元，平均每天销售件，根据每天盈利1350元，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设每件应降价元， 由题意得：， 整理得：， 解得或（均符合题意）， 答：每件应降价5元或11元． 【变式1】某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意可知，销售量为个，每个商品的利润为元，再根据总利润等于每个商品的利润乘以销售量可列出方程． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【变式2】某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 【答案】(1)平均每天可销售180件 (2)单价应降低5元 (3)不能做到，理由如下： 由（2）可得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， 即不能每天盈利2000元 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）设单价应降低元，由题意得，然后进行求解即可； （3）由（2）可得：，然后根据根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（件）； 答：以158元/件销售，平均每天可销售180件． （2）解：设单价应降低元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让消费者得到优惠， ∴； 答：单价应降低5元． （3）略 【变式3】某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【答案】(1)四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； (2)． 【分析】（1）根据票价比例设未知数，结合总销售额列一元一次方程求解； （2）据票价和人数的变化表示出五月份总销售额，结合总额变化条件列方程求解，舍去不符合的根得到结果． 【详解】（1）解：设四月份游船票价为元，观光车票价为元. 将单位统一为元，0.8万人人，1万人人，60万元元． 根据题意列方程得：， 解得， 因此，． 答：四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； （2）解：根据题意，五月份游船票价为元，乘坐游船人数为0.8万人，观光车票价为元，乘坐观光车人数为万人，总销售额为 万元，单位统一为万元， 列方程得：， 化简得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：a的值为50． 【变式4】某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． (1)如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ (2)如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【答案】(1) 这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元； (2) 这种面包的单价是9元或11元. 【分析】（1）根据单价变化与销量变化的关系列一元一次方程求出单价，再利用总利润=单个利润×销售量计算总利润； （2）根据总利润的等量关系列一元二次方程，求解得到面包单价． 【详解】（1）解：设这种面包的单价定为元， 根据题意得， 解得 ， 则总利润为（元）， 答：这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元． （2）解：设这种面包的单价定为元， 根据题意得 ， 解得， ， 答：这种面包的单价是9元或11元． 【变式5】根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘．在此期间，咔搭CaDA联名推出遥控积木赛车，开售即火热． 数据信息 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆，4月份销售28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同． 素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆． 问题解决 (1)根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率； (2)从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆． 【答案】(1) 月增长率为 (2) 应将实际售价定为元/辆 【分析】（1）利用4月份的销售量=2月份的销售量，解方程取符合题意的解即可得出结论； （2）售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆，则涨价金额为元，对应销量减少辆，实际销量为：辆，然后构造等量关系即可求解． 【详解】（1）解：设遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为， ， 解得：，（舍去）， 答：遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为， （2）解：设遥控积木赛车的实际售价定为元/辆， 解得： 则遥控积木赛车的实际售价定为元/辆． 题型6. 动态几何问题 【例1】如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 【答案】 或或6 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求出的长，设运动时间为秒，用含的代数式表示和的长，在和中利用勾股定理表示出和，分，，三种情况列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 设，两点同时出发秒时，是等腰三角形， 由题意得：，，且， ∴在 中，， 点在上，为中点， ， ∴在中，， 分三种情况讨论：①当时，，即 ， 解得或， ， ； ②当时，，即， 解得， ， ∴； ③当时，，即， 解得或， ， ； 综上所述，的值为或或． 【例2】如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 【答案】()秒 【分析】本题考查等腰三角形的定义、勾股定理及一元二次方程的应用，关键是设运动时间为秒，用含的代数式表示各边长度，尤其注意，所以只有这种情况，同时需检验解是否符合点的运动范围()． 【详解】解：设运动时间为秒()，则，，． ∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴， ， 在中，由勾股定理得． 当时，， 两边平方得，整理得， 由一元二次方程求根公式得， ， ∴舍去，保留； 答：()秒时，是等腰三角形． 【变式1】如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，分两种情况：当点M在点D左侧时，当点M在点D右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点M在点D左侧时，， 解得：或（舍去）； 当点M在点D右侧时，， 解得：； 综上，t的值为2或． 【变式2】如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，以的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以的速度沿线段向点C运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P，Q停止运动，设运动时间为． （1）的长_____． （2）若点P在折线上运动时，当t为___________时的面积为． 【答案】 、、 【分析】（1）过作于点，证明四边形是矩形， 得出，， 在中，，由勾股定理得： ， 结合即可求解； （2）点在折线上运动时，的范围为（到达的总时间为），分两种情况讨论：①在上时（，到的时间为），，，② 在上（）时，，， 根据的面积为列出方程求解即可； 【详解】解：（1）过作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得： ， ∴； （2）点在折线上运动时，的范围为（到达的总时间为）， 分两种情况讨论： ①在上时（，到的时间为）， ，， ∴， ∴，整理得， 解得或，均符合范围； ② 在上（）时， ，， 的高为，， ∴ ，化简得， 解得（舍去，不在此区间）或，符合范围； 综上，的值为、、． 【变式3】综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 【变式4】 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 题型7. 工程问题 【例1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【变式1】列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 【变式2】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 题型8. 行程问题 【例1】新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 【例2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 【变式1】如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，， 则， 解得（负值舍去）． 【变式2】如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 【变式3】如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键. 题型9. 握手、循环赛问题 【例1】某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是掌握单循环比赛的场次计算方法，找出等量关系列方程． 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场次为(场)， 设邀请个队参赛，每个队要与其余个队各赛1场， 又∵每两个队之间只比赛1场，原计算会重复计数，因此实际总比赛场次为， ∴可列方程为． 【例2】三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 【答案】40 【分析】设三（六）班有人，根据全班共送了1560张，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设三（六）班有人，由题意，， 解得或（舍去）； 答：三（六）班有人. 【变式1】某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比赛的球队有（   ） A．5支 B．6支 C．7支 D．8支 【答案】B 【分析】设参加比赛的球队数量为，根据双循环赛制的场次规则列出一元二次方程，求解后舍去负根即可得到结果 【详解】解：设参加比赛的球队有支， ∵双循环赛制中，每两队之间进行场比赛， ∴总比赛场次可表示为 根据题意列方程得， 整理得， 解得 ，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去负根， 得，即参加比赛的球队有支 【变式2】在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；设该小组共有x个人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡56张，可列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小组有x人，则每人送出张贺卡， 总贺卡数为， 故选A． 【变式3】参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手21次，参加聚会的有__________人． 【答案】7 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设有人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次，设出未知数列方程解答即可． 【详解】解：设有人参加聚会，根据题意列方程得，， 解得，（不合题意，舍去）； 答：有7人参加聚会． 故答案为：7． 【变式4】作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 【变式5】目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 【答案】这条线路共有8个站点． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票， 根据题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：这条线路共有8个站点． 题型10. 规律性探究问题 【例1】某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是________． 【答案】8 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键． 根据给定的图找出其中的规律，列出一元二次方程求解． 【详解】解：第1个图中棋子的个数为：， 第2个图中棋子的个数为：， 第3个图中棋子的个数为：， 第4个图中棋子的个数为：， 则第个图中棋子的个数为：， ， 解得：，（不合题意，舍去） 第个图中共有个棋子． 故答案为：． 【例2】我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥． 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放． （1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样． 【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）． 【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，是第个和第个图形 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据前三个图形中纹样的个数即可得解； （2）根据（1）即可得出规律； （3）根据（2）中的规律，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：（1）由图形可得： 第一个图形有个纹样， 第二个图形有个纹样， 第三个图形有个纹样， 故第四个图形有个纹样， 第五个图形有个纹样； （2）由（1）可得：第n个图形有个纹样； （3）由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴存在相邻的两个图形的纹样个数和为，是第个和第个图形． 【变式1】图形“□”，“●”按如图所示的规律拼图案，图①中有4个“□”，4个“●”，图②中有9个“□”，12个“●”，图3中有16个“□”，24个“●”，……，按此规律排列下去，则同一幅图中“□”和“●”的个数不符合规律的是（    ） A．25，40 B．36，60 C．100，160 D．121，220 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律即可解决问题．据此可以求得答案． 【详解】解：第1个图形中有个“□”，个“●”； 第2个图形中有个“□”，个“●”； 第3个图形中有个“□”，个“●”； ； 第n个图形中有个“□”， 个“●”（n为正整数）； 当时，； 当时，； 当时，不是正整数； 当时，； 故选：C． 【变式2】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 【变式3】【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为 ； （2）第n个图案中红梅花的盆数可表示为 ； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察图案中黄梅花的盆数，得出规律即可； （2）观察图案中红梅花的盆数，得出规律即可； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第2个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第3个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第4个图案中黄梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中黄梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为， 第2个图案中红梅花的盆数可表示为， 第3个图案中红梅花的盆数可表示为， 第4个图案中红梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中红梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （3）根据题意得， 整理得，即， 解得（舍去）或． 【变式4】【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口表示）组成似菱形的图案． 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第6个图案中盆景的盆数为______； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为______； 【规律应用】解决下列问题： （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】（1）；（2）；（3）盆景的盆数为盆，花卉的盆数为盆 【分析】本题考查了用代数式表示图形变化的规律和一元二次方程的应用（其它问题），能根据所给图形发现盆景和花卉盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图案，发现盆景数量的变化规律即可解决问题． （2）根据所给花卉盆数的表示方法，用表示出第个图案中花卉的盆数即可． （3）根据（1）（2）发现的规律，列出一元二次方程，即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给图案可知， 第1个图案中盆景的盆数为：； 第2个图案中盆景的盆数为：； 第3个图案中盆景的盆数为：；…， ∴第个图案中盆景的盆数为盆． ∴第6个图案中盆景的盆数为盆 故答案为：7； （2）∵第1个图案中花卉的盆数可表示为， 第2个图案中花卉的盆数可表示为， 第3个图案中花卉的盆数可表示为， 第4个图案中花卉的盆数可表示为，…， 所以第个图案中花卉的盆数可表示为盆． 故答案为：； （3）由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为盆，盆； 【变式5】【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 【答案】（1） （2）17 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中有“”个，“△”个； 第2个图案中有“”个，“△”个； 第3个图案中有“”个，“△”个； 第4个图案中有“”个，“△”个； ∴第n个图案中有“”个，“△”个； 故答案为：． （2）解：依题意设第x个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍， ∴， 解得：（舍去）或． 故第17个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 巩固练习 1．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是分析球队比赛的场次关系，结合每两队赛两场的条件推导方程． 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数 ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 2．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如下是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是______． 新对话： 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同． 【答案】1 【分析】设这个数为，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个数为，根据题意列方程得： ， ∴ ∴ 解得：． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为．求道路的宽度． 【答案】道路的宽度为2米 【分析】设道路的宽度为，根据种花的面积列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为， 则， 即 ， ，（不符合，舍去） 答：道路的宽度为2米． 6．（25-26九年级上·湖南永州·期末）在2025年湘超联赛中，永州队从被戏称为“告花子球队”的草根之师，逆袭成为湘超冠军，其夺冠之路不仅书写了体育竞技的热血传奇，更蕴含着超越赛场的深刻启示．湘超联赛显著带动了经济发展，形成“赛事引流—消费转化—就业扩容—文旅升级”的良性闭环，成为区域经济发展新引擎．某商家销售的一款蓝色“永冲锋”冲锋服，深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款蓝色“永冲锋”冲锋服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年10月份的销售量为256件，2025年12月份的销售量为400件． (1)求该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率． (2)从2026年的元月份起，商家决定采用降价促销的方式庆祝永州队夺冠，经试验，发现该款蓝色“永冲锋”冲锋服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)降价8元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程． （1）设该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为，然后根据增长率计算公式建立方程求解； （2）设该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价元，则每件的利润为元，月销售量为件，再根据利润公式建立方程求解． 【详解】（1）解：设该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价8元时，月销售利润达8400元． 7．（2026·湖北荆门·三模）数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给智算组和数形组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 智算组的同学按照图①所示的方式摆放，数形组的同学按照图②所示的方式摆放． (1)先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚； (2)再探究一般情况，若摆放层，智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚（用含有的式子表示）； (3)若智算组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，数形组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比智算组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据题干的图形，分别计算5层总数即可； （2）由题意可设智算组共用去棋子的数量为，再令，两式相加即可求出，同理可求出数形组的棋子数量； （3）设智算组共摆了层，根据题意列出一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意可知，若两组都摆放5层， 智算组共用去棋子的数量为枚， 数形组共用去棋子的数量为枚． （2）解：由题意可知，若摆放层， 可设智算组共用去棋子的数量为， 令， 两式相加可得，， 智算组共用去棋子的数量为枚； 可设数形组共用去棋子的数量为， 令， 两式相加， 数形组共用去棋子的数量为枚． （3）解：设智算组共摆了层， 由题意可得，， 整理化简可得，， 因式分解可得，，解得或（舍）， 一盒棋子的数量为枚 8．（2026·湖北荆州·三模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1)，； (2)证明如下： ∵ ， ∴的差恒为常数； (3)7． 【分析】（1）直接根据日历表作答即可； （2）直接计算的值即可； （3）由（1）知最小的数，最大的数，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据日历表可知，，； （2）略； （3）解：由题意得：， 变形整理得：， 解得：，（舍去）， 即这个最小的数是7． 9．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 10．（25-26九年级上·新疆博尔塔拉·期末）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． 素材 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆，售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 (1)任务1：根据素材，求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)任务2：根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1)从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 (2)下调后每辆汽车的售价为万元 【分析】（1）设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为,根据某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，月份的销售量达到万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，根据使平均每周的销售利润为万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为, 根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意得： ， 解得：，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 11．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为； （2）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 12．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 13．（2026·河北唐山·二模）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【答案】10 【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为场，再设邀请个 队参赛，根据题意总共的比赛场数为，列一元二次方程进行求解即可， 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排5场比赛， 总比赛场数为 场， 设比赛组织者应邀请个队参赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场， 比赛总场数为， 由此可得方程：， 解得 （不符合题意，舍去）， 比赛组织者应邀请10个队参赛． 14．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $第二十五章一元二次方程 03讲实际问题与一元二次方程 >型归纳 【知识点1一元二次方程实际问题步骤 …1】 【题型1.传播问题… 2】 【题型2.增长率问题 4】 【题型3.与图形有关的问题 8】 【题型4.数字问题… …12】 【题型5.销售利润问题 15】 【题型6.动态几何问题… 19】 【题型7.工程问题… 27】 【题型8.行程问题… 30】 【题型9.握手、循环赛问题 34】 【题型10.规律性探究问题， 37】 【巩固练习 43】 知识清单 知识点1一元二次方程实际问题步骤 (1)审题：找准已知量、未知量，提炼等量关系： (2)设元：直接/间接设未知数，标注单位： (3)列方程：用含未知数的式子替换等量关系，列出一元二次方程： (4)解方程：选用合适方法求出两个根； (5)检验：舍去负数、超出范围、不符合实际意义的根： (6)作答：完整写答案，带上单位。 1/55 >题型专练 题型1。传播问题 【例1】秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防 范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染 后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为() A.(1+x)2=100B.x2=100 C.x(1+x)=100D.1+x+x2=100 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据流感传染模型，两轮传染后总患病人数为初 始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数之和，据此列方程， 【详解】开始有1人患了流感， 第一轮后患病人数为1+x, 第二轮新增患病人数为x(1+x), ∴.两轮后总患病人数为1+x+x(1+x)=(1+)2, ∴(1+x)2=100, 故x满足的方程为(1+x)2=100, 故选：A. 【例2】小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再 邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此 类推.已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己）， 则小华邀请了多少名同学转发？ 【答案】小华邀请了10名同学转发 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解 题的关键， 根据传播规则，结合经过两轮转发后共有111个人参与了小华创意作品的转发活动，即可得 出关于x的一元二次方程求解 【详解】解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：1+x+x2=111, 整理得：x2+x-110=0, 2/55 解得：x1=10,x2=-11(不符合题意，舍去) 答：小华邀请了10名同学转发， 【变式1】在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒.经过两轮感 染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染 台服 务器。 【答案】6 【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服 务器感染了病毒，建立方程求出其解即可. 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x,根据题意可得： 5+5x+x(5+5x)=245, 解得x1=6,x2=-8(舍)， ∴.每轮感染中平均每台服务器感染台服务器.」 【变式2】某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组.在一 次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样 数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【答案】这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支. 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一 元二次方程 设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出 关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案. 【详解】解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 根据题意，得1+x+x2=21, 整理，得x2+x-20=0, 解得x1=4,x2=-5(不符合题意，舍去)· 答：这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支. 【变式3】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一 条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转 发，从小王开始计算，转发两轮后共有111人有此短信. (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 3/55 【答案】(1)10人 (2)1111人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： (1)设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被 转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可： (2)根据(1)所求列式求解即可 【详解】(1)设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得：1+x+x2=111 解得x=10或-11（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给10人： (2)第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：1+1×10+10×10+10×100=1111 (人). 答：从小王开始计算，三轮后会有1111人有此短信， 【变式4】两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到 班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又 手把手教会了同样多的同学，这样全班50人恰好都会做这个实验了，求每位同学每节课能 教会多少名同学？ 【答案】4名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每位同学每节课能教会x名同学，根据题意列 出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键。 【详解】解：设每位同学每节课能教会x名同学， 根据题意得，2+2x+(2+2x)x=50, 整理得，x2+2x-24=0, 解得x1=4,x2=-6(不符合题意，舍去)， 答：每位同学每节课能教会4名同学。 题型2。增长率问题 【例1】某服装厂生产一批晚礼服，2024年该晚礼服的出厂价是300元/件，2025年、2026 年连续两年改进技术降低成本，2026年该晚礼服的出厂价调整为243元/件.若这两年此类 晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是() 4/55 A.10% B.190% C.10%或190%D.19% 【答案】A 【分析】解题思路为设出年平均下降率，根据初始价格和两年后的价格列方程，舍去不符合 实际意义的根即可得到结果， 【详解】解：设年平均下降率为x,由题意得： 300(1-x)2=243, 解得x1=0.1=10%,x2=1.9=190%(不符合题意，舍去)， ∴.年平均下降率为10%. 【例2】目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商4至6月 份统计，该品牌新能源汽车4月份销售100辆，6月份销售144辆.求该品牌新能源汽车 销售量的月均增长率， 【答案】该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为20% 【分析】设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x,根据该品牌新能源汽车4月份销售 100辆，6月份销售144辆，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论. 【详解】解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x, 依题意得：100(1+x)2=144, 解得：x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去) 答：该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为20% 【变式1】某公司文创产品的月收入逐月攀升，今年1月收入20万元，经过两个月后，3 月收入达到28.8万元，该公司文创产品收入的月平均增长率为() A.8.8% B.20% C.25% D.44% 【答案】B 【分析】设月平均增长率为x,根据增长规律列出方程求解，舍去不符合实际意义的负根即 可得到答案。 【详解】解：设该公司文创产品收入的月平均增长率为x ,1月收入为20万元，经过两个月增长后，3月收入为28.8万元 ∴.列方程得20(1+x)2=28.8 两边同除以20，得(1+x)2=1.44 ,增长率为正数， ,1+x>0 5/55 开方得1+x=1.2 解得x=0.2=20% 因此选B符合题意 【变式2】据了解，某展览中心8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数为16.9万 人.设8月份至10月份参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为 【答案】10(1+x)2=16.9(答案形式不唯一) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键. 利用该展览中心10月份的参观人数=该展览中心8月份的参观人数×(1+月平均增长率)2， 可列出关于x的一元二次方程 【详解】解：根据题意，从8月份到10月份，参观人数经过两个月的月平均增长，因此有 10(1+x)2=16.9. 故答案为：10(1+x)2=16.9 【变式3】某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计， 第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长 率相同， (1)求进馆人次的日平均增长率： (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不 变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由 【答案】(1) 进馆人次的日平均增长率为25% (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【分析】(1)设进馆人次的日平均增长率为x,根据第一天进馆64人次，第三天进馆100 人次，列出方程进行求解即可： (2)根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可 【详解】(1)解：设进馆人次的日平均增长率为x, 由题意，64(1+x)2=100, 解得x=0.25=25%或x=-2.25(舍去)： 答：进馆人次的日平均增长率为25%： (2)解：不能，理由如下： 6/55 100×(1+25%)=125>120, 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次。 【变式4】某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、 连续栽培试验.十二月初水稻采收产量为200吨，二月初水稻采收产量增至242吨.假设 技术稳定，每月产量的增长率相同. (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率。 (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【答案】(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为10% (2)预计三月初水稻采收的产量将达到266.2吨 【分析】(1)设每月产量的平均增长率为x,根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至 200(1+x)2,列出方程求解即可： (2)根据每月产量的增长率相同，列式计算即可. 【详解】(1)解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为x. 由题意，得200(1+x)2=242, 解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意，舍去). 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为10%. (2)解：242×(1+10%)=242×1.1=266.2（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到266.2吨 【变式5】随着电商的发展，网上购物成为主流，催生了快递行业的快速发展.据调查，某 市一家快递公司，今年一月份和三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万 件.现假定该公司一月至四月每月投递的快递总件数的增长率相同. (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率 (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.9万件，那么该公司现有的15名快递投递业务员能 否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10% (2)不能完成，至少还需增加5名业务员。 7/55 【分析】(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x,根据“今年一月份与三月 份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万件，现假定该公司每月投递的快递总件 数的增长率相同"建立方程13(1+x)=15.73,解方程即可，注意合理取舍x的值： (2)首先求出今年四月份的快递投递任务，再求出15名快递投递业务员能完成的快递投递 任务，比较得出该公司不能完成今年四月份的快递投递任务，然后再求出至少需要增加业务 员的人数即可 【详解】(1)解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x,由题意得 13(1+x)2=15.73, 解得：x1=10%,x2=-210%(不合题意，舍去)， 答：该快递公司投递快递，总件数的月平均增长率为10%. (2)解：4月：15.73×1.1=17.303（万件） 15×0.9=13.5<17.303, ∴.该公司现有的15名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务， 设共需要n名业务员才能完成任务，则0.9n≥17.303， 解得n≥1303≈19226. 0.9 ,n为整数， .n的最小值为20， ∴.至少还需增加：20-15=5（名）业务员. 题型3.与图形有关的问题 【例1】如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）， 余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540m2.设道路的宽为xm,则下列方程正确的是() 32m 20m A.20(32-x)=540 B.(32-x)(20-x)=540 C.32(20-x)=540 D.(32-2x)(20-2x)=540 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为(32-x)m,宽为(20一x)m, 8/55 据此列出方程即可. 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为(32-x)m,宽为(20-x)m, 则可列方程为(32-x)(20-x)=540 【例2】小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和 地头，左、右空白处统称为边，己知原作品的长为60cm,宽为24cm,在装裱后左右两边 的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为1：5，设右边宽为xcm, 天头长 雄 才 左边宽 大 右边宽 略 地头长 (1)天头长为 cm; (用含x的代数式表示) (2)若装裱后作品总面积为2240cm2,则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1)5x (2)2cm 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键 (1)根据右边宽与天头长的比为1：5，即可求解： (2)根据“装裱后作品总面积为2240cm2”,列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可. 【详解】(1)解：，装裱后左右两边的边宽分别是xcm,右边宽与天头长的比为1：5， ∴.天头长和地头长分别是5xcm; 故答案为：5x (2)解：由题意得：(60+2×5x)(24+2x)=2240, 整理得：x2+18x-40=0, 解得：x1=2,x2=-20(不符合题意，舍去)， 答：装裱后右边宽是2cm 【变式1】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问 9/55 户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么 门的高和宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)如果设门的宽为x尺，那么这个门的高 为(x+6.8)尺，根据题意，得 ,整理、化简，得 【答案】 x2+(x+6.8)2=102 25x2+170x-672=0 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键.根据勾股定理，矩形门 的宽、高与对角线满足关系式：宽的平方+高的平方=对角线的平方，设宽为x尺，则高为 (x+6.8)尺，对角线为10尺，列出方程并化简. 【详解】解：由勾股定理，得x2+(x+6.8)2=102, 展开并整理：2x2+13.6x-53.76=0, 方程两边同乘以12.5，得25x2+170x-672=0, 故答案为：x2+(x+6.8)2=102:25x2+170x-672=0. 【变式2】项目式学习 项目主题：学校运动会主题草坪设计： 项目情境：学校即将举办运动会，同学们积极参与该主题草坪设计的项目活动，以下是某小 组对草坪设计的研究过程 活动任务一：(1)需要设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪的两组对边，小组内同学们设 计的方案主要有以下三种.三种方案中，标号①的小路的下边线向上平移am可得上边线， 标号②的小路的左边线向右平移am可得右边线.直接写出三种方案中，小路面积S甲，S乙， S丙的大小关系： ① 甲：直径简洁型 乙：斜径笔直型 丙：弧径优美型 活动任务二：(2)已知矩形草坪长40m,宽30m,为施工方便，学校选择甲设计方案，并要 求除去小路后的面积为1064m2,请计算小路的宽. 【答案】(1)S甲=S乙=S丙：(2)小路的宽为2m 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形面积公式是解题的关键， (1)利用平移的性质解答即可： 10/55 (2)设小路的宽为xm,再利用矩形的面积公式列式运算即可. 【详解】(1)解：由平移的性质可得：S甲=S乙=S丙： (2)设小路的宽为xm,则(40-x)(30-x)=1064, 解得x1=2或x2=68(不合题意，舍去)， ∴.小路的宽为2m, 答：小路的宽为2m. 【变式3】如图，为宜传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为 每一张卡片制作了一个特色封皮，A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮， 课 景点卡片及封皮制作 题 图 相 关 数 正方形卡片的面积为90cm2,长方形封皮的长与宽的比为3：2，面积为132cm2,卡 据 片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）. 及 说 乡 (1)通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由； (2)若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装 入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可 装入的方案. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)保持封皮长、宽和面积不变，将正方形卡片面积调整为88cm2即可装入 【分析】(1)先求出正方形卡片和长方形封皮的边长，再将正方形卡片的边长与长方形封 皮的宽进行比较即可： 11/55 (2)根据题意可知，可容纳的最大正方形边长等于封皮宽，据此调整即可 【详解】(1)解：不能，理由如下： 设长方形的长为3xcm、宽为2xcm, 根据题意得：3x·2x=132, 解得：x=V22或x=-V22(舍去)， 长方形的长为3W22cm、宽为2W22cm, 正方形卡片的面积为90cm2, 正方形卡片的边长为v90=3V10cm, 2V22<3V10<3V22, 正方形卡片不能装入封皮： (2)解：由(1)知，封皮的宽为2V22cm,可容纳的最大正方形边长等于封皮宽， 此时正方形面积为(2V222=88cm2, 因此方案为：保持封皮长、宽和面积不变，将正方形卡片面积调整为88cm即可装入. 题型4.数字问题 【例1】若两个相邻偶数的积为528，设较小的一个偶数为x,则可以列方程： 【答案】x(x+2)=528 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设较小的一个偶数为x,则相邻的较大偶数 为x+2,再根据两数积为528直接列出方程即可求解。 【详解】解：设较小的一个偶数为x,则另一个偶数为x+2, 因此方程为x(x+2)=528. 故答案为：x(x+2)=528. 【例2】2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12 月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始 的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈 出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）， 12/55 2023/12 日 一二 三四 五六 1 2 3 4 6 > 8 9 大雪 1011 1213 14 1516 公祭日 17 18 1920 21 22 23 2425262728 29 畅 31 【答案】这个最小数为5 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据日历上数字规律得出，圈出 的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x,则最大数为x+8,结合已知，利用最 大数与最小数的乘积为65，列出方程求解即可， 【详解】解：设这个最小数为x,则最大数为x+8,根据题意， 得x(x+8)=65. 解得x=5或x=-13(不符合题意，舍去). 答：这个最小数为5 【变式l】如表是小明与DeepSeekt的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是() 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个 数相同. 深度思考中… 开启新对话 A.-1 1 B.2 C.1 D.-1或1 【答案】C 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案 【详解】解：设这个数为x, 根据题意得x2-x+1=x, 移项整理得x2-2x+1=0, 因式分解得(x-1)2=0, 解得x=1. 【变式2】如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数.若 13/55 圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为x,则可列方程为 2024 October 三 四五 六日 1 2 3 4 5 7 8 9 10 2 14 151617 18 19 20 21 22 2324 26 27 2829 3031 【答案】x(x+16)=297 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的 差为16是解题的关键。 根据日历的特点列出方程即可， 【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为16， 这个最小数为x,则圈出的9个数中最大数为x+16, 根据题意得：x(x+16)=297 故答案为：x(x+16)=297. 【变式3】第十四届国际数学教育大会(1CME一14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素， 展现了我国古代数学的文化魅力其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数 3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有07共8个基本数字，八进制数3745换 算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示1CME一14的举办年份. ICME-14 三主云 (1)八进制数3747换算成十进制数是 (2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是80，求n的值. 【答案】(1)2023 (2)7. 【分析】(1)根据八进制换算成十进制的方法即可作答： (2)根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解。 【详解】(1)解：3×8+7×82+4×81+7×8°=2023， 故答案为：2023； (2)根据题意有：1×n3-1+4×n3-2+3×n3-3=80, 14/55 整理得：n2+4n+3=80, 解得n=7,(负值舍去)， 故n的值为7. 【点晴】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于 的一元二次方程是解答本题的关键. 题型5.销售利润问题 【例1】由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同） 优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折， 则有() A.490(1-2x)=1000 B.1000(1-x2)=490 C.1000· =490 D.1000(1-9) =490 【答案】C 【分析】设该店冬装原本打x折，根据折上折的优惠规则，结合原价和最终实际售价，找出 等量关系列出方程即可 【详解】解：设该店冬装原本打x折. :打折时，打x折表示现价为原价的品 又：本题为两次折扣相同的“折上折”，需要连续两次按益计算价格。 ∴.原价1000元经过两次打折后价格为1000 () :优惠后实际价格为490元， ∴.可得方程1000·( ）=490 【例2】某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销 售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价5元或11元 【分析】设每件应降价x元，则每件盈利(20-x)元，平均每天销售(40+10x)件，根据每天 盈利1350元，建立方程，解方程即可得 【详解】解：设每件应降价x元， 由题意得：（20-x)(40+10x)=1350, 整理得：x2-16x+55=0, 15/55 解得x=5或x=11(均符合题意)， 答：每件应降价5元或11元. 【变式1】某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个，已知该商 品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为 1200元，请根据题意列出方程 【答案】(36-20+x)(200-5x)=1200 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意可知，销售量为(200-5x)个，每 个商品的利润为(36一20+x)元，再根据总利润等于每个商品的利润乘以销售量可列出方程. 【详解】解：由题意得(36-20+x)(200-5x)=1200, 故答案为：(36-20+x)(200-5x)=1200. 【变式2】某商场销售一批服装，己知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天 可销售100件.为了减少库存，商场决定降价销售.经调查发现，单价每降低1元，每天可 多售出20件。 (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由， 【答案】(1)平均每天可销售180件 (2)单价应降低5元 3)不能做到，理由如下： 由(2)可得：(162-x-150)(100+20x)=2000, 整理得：x2-7x+40=0, .△=49-4×1×40=-111<0， .方程无解， 即不能每天盈利2000元 【分析】(1)根据题意可直接列式进行求解： (2)设单价应降低x元，由题意得(162-x-150)(100+20x)=1400,然后进行求解即可： (3)由(2)可得：(162-x-150)(100+20x)=2000,然后根据根的判别式可进行求解. 【详解】(1)解：由题意得：100+20×(162-158)=100+80=180（件）： 答：以158元/件销售，平均每天可销售180件. (2)解：设单价应降低x元，由题意得： 16/55 (162-x-150)(100+20x)=1400, 整理得：x2-7x+10=0, 解得：x1=2,x2=5, :尽可能让消费者得到优惠， .x=5: 答：单价应降低5元 (3)略 【变式3】某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游 船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩.据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为 5:2,其中乘坐游船的人数为0.8万人，乘坐观光车人数为1万人，游船票与观光车票销售 总额为60万元. (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价.游船票价 在四月份的基础上降低0.2a%(a>0),观光车票价比四月份降低a元，这样乘坐游船登岛 的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了α%，游船票和观光车票的销售总 额比四月份销售总额减少了0.255a万元，求a的值， 【答案】(1)四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元： (2)a=50. 【分析】(1)根据票价比例设未知数，结合总销售额列一元一次方程求解： (2)据票价和人数的变化表示出五月份总销售额，结合总额变化条件列方程求解，舍去不 符合a>0的根得到结果. 【详解】(1)解：设四月份游船票价为5x元，观光车票价为2x元.将单位统一为元，0.8 万人=8000人，1万人=10000人，60万元=600000元. 根据题意列方程得：8000×5x+10000×2x=600000, 解得x=10, 因此5x=50,2x=20. 答：四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元： (2)解：根据题意，五月份游船票价为50(1-0.2a%)元，乘坐游船人数为0.8万人，观光 车票价为(20-0)元，乘坐观光车人数为(1+a%)万人，总销售额为(60-0.255a)万元， 17/55 单位统一为万元， 列方程得：0.8×50(1-0.2a%)+(1+a%)(20-a)=60-0.255a, 化简得：40-0.08a+20-0.05a-0.0025a2=60-0.255a, 整理得：0.0025a2-0.125a=0, 解得a1=50,a2=0(舍去). 答：a的值为50. 【变式4】某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情 况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高 1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元. (1)如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ (2)如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【答案】(1) 这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元： (2) 这种面包的单价是9元或11元. 【分析】(1)根据单价变化与销量变化的关系列一元一次方程求出单价，再利用总利润= 单个利润×销售量计算总利润： (2)根据总利润的等量关系列一元二次方程，求解得到面包单价， 【详解】(1)解：设这种面包的单价定为x元， 根据题意得160-20(x-7)=100, 解得x=10, 则总利润为100×(10-5)=500（元）， 答：这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元. (2)解：设这种面包的单价定为y元， 根据题意得[160-200y-7)]y-5)=480, 解得y1=9,y2=11， 答：这种面包的单价是9元或11元. 【变式5】根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘.在此期间，咔搭CaDA联名 18/55 推出遥控积木赛车，开售即火热。 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆，4月份销售 28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同. 数据信息 素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量 为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆， 问题解决 (1)根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率： (2)从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000 元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆. 【答案】(1) 月增长率为20% (2) 应将实际售价定为280元/辆 【分析】(1)利用4月份的销售量=2月份的销售量×(1+x),解方程取符合题意的解即 可得出结论： (2)售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减 少100辆，则涨价金额为(m-200)元，对应销量减少100(m-200)辆，实际销量为： [20000-100(m-200)]辆，然后构造等量关系即可求解. 【详解】(1)解：设遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为x, 20000×(1+x)2=28800, 解得：x1=02=20%,x2=-22(舍去)， 答：遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为20%， (2)解：设遥控积木赛车的实际售价定为元/辆， (m-160)[20000-100(m-200)]=1440000 解得：m=280 则遥控积木赛车的实际售价定为280元/辆. 题型6.动态几何间题 【例1】如图，在等腰△ABC中，AC=BC,过点C作CD1AB交AB于点D,AB=12,CD=8, 19/55 点P从点A开始沿线段AB向点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线 段DC向点C以1cm/s的速度移动，连接PQ,AQ.则P,Q两点同时出发秒时，△APQ 是等腰三角形， A B 【答案】 2V5或12-6V3或6 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求出AD的长，设运动时间为t秒，用含t的代数式 表示AP和DQ的长，在Rt△ADQ和Rt△PDQ中利用勾股定理表示出AQ和PQ,分AP=AQ, AP=PQ,AQ=PQ三种情况列方程求解即可。 【详解】解：AC=BC,CD1AB,AB=12, .AD BD =3AB=6. 设P,Q两点同时出发t秒时，△APQ是等腰三角形， 由题意得：AP=2t,DQ=t,且0<t≤6， .在Rt△ADQ中，AQ2=AD2+DQ2=62+t2=36+t2, 点P在AB上，D为AB中点， .PD IAD-API=16-2tl, ∴.在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2=(6-2t)2+t2, 分三种情况讨论：①当AP=AQ时，AP2=AQ2,即(2t)2=36+t2, 解得t=2W3或t=-2V3, 0<t≤6， t=23; ②当AP=PQ时，AP2=PQ2,即(2t)2=(6-2t)2+t2, 解得t=12±6V5, .0<t≤6， .t=12-6W5: ③当AQ=PQ时，AQ2=PQ,即36+t2=(6-2t)2+t2, 20/55 解得t=0或t=6, 0<t≤6， t=6: 综上所述，t的值为23或12-6V3或6. 【例2】如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=3cm,点P从点A开始沿边AB 向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以1cm/s的速度移动，连 接PQ,AQ.如果P,Q两点同时出发，几秒时，△APQ是等腰三角形？ 【答案】(12-6V3)秒 【分析】本题考查等腰三角形的定义、勾股定理及一元二次方程的应用，关键是设运动时间 为t秒，用含t的代数式表示各边长度，尤其注意∠APQ>90°，所以只有AP=PQ这种情况， 同时需检验解是否符合点的运动范围(0<t≤3). 【详解】解：设运动时间为t秒0<t≤3)，则AP=2tcm,BP=(6-2t)m,BQ=tcm. LB=90°， ∴.LAPQ>90° ,△APQ是等腰三角形， ..AP PQ, .∠B=90°， ∴在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ=VBP2+BQ2=√(6-2t)2+t2=V5t2-24t+36. 当AP=PQ时，2t=V5t2-24t+36 两边平方得4t2=5t2-24t+36,整理得t2-24t+36=0, 由一元二次方程求根公式得t=2442-x1x36_24±125 =12±6W3, 2 2 t≤3， .12+6V5舍去，12-6V5保留： 答：(12-6V3)秒时，△APQ是等腰三角形. 【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,AD=12cm,AD1BC于点 D,动点P从点A出发以每秒1cm的速度在线段AD上向终点D运动.设动点运动的时间为 21/55 t秒，动点M从点C出发以每秒2cm的速度在射线CB上运动.若点M与点P同时出发，且 当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t,使得S△PMD=立S△ABc,则t的值为 () A.2或29+v281 4 B.2或29-28题 4 C.2或29±v281 D.2或12.5 4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出BD=CD=VAB2-AD2=5cm,根据三角 形面积公式求出SAPMD=SAABC=5cm2,分两种情况：当点M在点D左侧时，当点M在 点D右侧时，分别列出方程，解方程即可， 【详解】解：，AB=AC=13cm,AD=12cm,AD1BC, .'BD CD =VAB2 -AD2 =5cm, ∴.BC=2×5=10(cm), ∴S△A8c=号×10×12=60(cm2), SAPMD=吉ARG=5cm2, 当点M在点D左侧时，(5-2t)(12-t)=5, 解得：t=2或t=12.5(舍去)； 当点M在点D右侧时，(2t-5)(12-t)=5, 解得：t=29t28 4 综上，1的值为2或29±v2 4 【变式2】如图，在四边形ABCD中，ABIICD,∠BCD=90°，AB=AD=10cm,BC=8Cm.点 P从点A出发，以3cm/s的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以2cm/s的速 度沿线段DC向点C运动.己知P,Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P,Q停止运动， 22/55 设运动时间为t(s). A B D (1)CD的长 (2)若点P在折线BCD上运动时，当t为 时△BPQ的面积为16cm2. 【答案】 16cm 普s6s、碧s 【分析】(1)过A作AE1CD于点E,证明四边形AECB是矩形，得出AE=BC=8Cm,EC= AB=10cm,在Rt△ADE中，AD=10cm,由勾股定理得：DE=6cm,结合CD=DE+EC 即可求解； (2)点P在折线BCD上运动时，t的范围为号≤t≤8(Q到达C的总时间为5=8s),分两 种情况讨论：①P在BC上时号≤t≤6，P到C的时间为0=6s),BP=3t-10,CQ=16 2t,②P在CD上(6<t≤8)时，PC=3t-18,PQ=I34-5t,根据△BPQ的面积为 16cm2列出方程求解即可： 【详解】解：(1)过A作AE⊥CD于点E, B ,ABI‖CD,∠BCD=90°， .四边形AECB是矩形， .'.AE=BC=8cm,EC=AB=10cm, 在Rt△ADE中，AD=10cm, 由勾股定理得：DE=√AD2-AE=V102-82=6cm, ∴，CD=DE+EC=6+10=16cm: (2)点P在折线BCD上运动时，t的范围为号≤≤8(Q到达C的总时间为号=8)， 分两种情况讨论： ①P在BC上时（号≤t≤6，P到C的时间为9，=6s), 23/55 D BP =3t-AB=3t-10,CQ=CD-DQ=16-2t, .SAP BP.CQ=16. (3t-10)(16-2t)=16,整理得3t-34t+96=0, 解得t=或t=6,均符合范围； ②P在CD上(6<t≤8)时， A D O P PC=3t-(AB+BC)=3t-18,PQ=ICQ-PC1=I16-2t)-(3t-181=34-5t, △BPQ的高为BC=8cm,S△BPQ=PQ,BC=16, ·.34-5t18=16,化简得134-5t1=4, 解得t=6(舍去，不在此区间)或t=8=7.6,符合范围： 5 综上，t的值为号、6s、碧s 【变式3】综合与探究 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点MN是两个动点， D B (1)如果AC、BD(AC>BD)的长（单位：cm)是关于x的一元二次方程x2-20x+96=0 的两个实数根，求AB的长 (2)若动点M从A出发，沿AC方向以2cm/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B出发，沿BD 24/55 方向以1cm/s的速度匀速直线运动到点D.(当点M运动到C点时，点N也随之停止运动).若 M、W同时出发，设运动时间为t秒，求t为何值时，△MON的面积为2cm2? 【答案】(1)2V13cm (2M、N出发2秒或5秒后，△M0N的面积为2cm2. 【分析】(1)解一元二次方程得到AC,BD,利用菱形的性质结合勾股定理即可求解： (2)分三种情况，列出S△MON的表达式，解方程即可. 【详解】(1)解方程x2-20x+96=0, 得x1=8,x2=12, .AC=12cm,BD 8cm, 在菱形ABCD中，OA=OC,OB=OD,AC1BD, 0A=AC=6,0B=BD=4, 在Rt△A0B中，∠A0B=90°， .AB=V0A2+0B7=V6+平=V52=2V13(cm): (2)①当点M在0A上且点N在0B上时，0<t<3,则S△Mov=(6-2)(4-)=2, 解得t1=2,t2=5(大于3，舍去)： ②当点M在0C上且点N在0B上时，3<t<4,则Swov=(4-)(2t-句)=2， 此方程无解： ③当点M在0C上且点N在0D上时，4<t≤6，则S△Mov=(2t-6t-)=2, 解得t1=5,t2=2(小于4，舍去)， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，△MON的面积为2cm2. 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）· 【变式4】 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm,BC=24Cm,动点P从点A开始沿边AB向点 B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P, Q两点分别从A,B两点同时出发，设运动时间为灯 25/55 (1)用含x的式子表示：BP=—_cm,S△P8Q=一cm2,S四边形APQc=—cm2: (2)当△PBQ的面积为32cm2时，求运动时间： (3)四边形APQC的面积能否等于172cm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由. (4)①阅读材料：求代数式y2+4y+6的最小值.解：y2+4y+6=y2+4y+4+6一4= y+2)2+2.因为0y+2)2≥0，所以0y+2)2+2≥2，所以y2+4y+6的最小值是2. ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)(12-2x):-4x2+24x:4x2-24x+144 (2)x=2s或x=4s 3)四边形APQC的面积不能等于172cm2,理由见解析 (4)运动时间x=3时，四边形APQC的面积最小 【分析】(1)根据P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，则AP=2xcm,根据AB= 12cm,则BP=(12-2x)cm:根据动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，则 BQ=4xcm;再根据∠B=90°，得S△PBQ=×PB×BQ,S四边形APQc=SAABC-S△PaQ,即 可： (2)根据S△PQ=×PB×BQ=32,求出x,即可： (3)根据S四边形AQc=172,求出x;再根据0≤x≤6，即可； (4)将四边形面积变形得S四边形AP0c=4r2-24x+144=4(x-3)'+108,根据4(x 3)2≥0即可求解. 【详解】(1)解：，P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动， ∴.AP=2xcm, .'AB 12cm, .BP=(12-2x)cm, ,动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动， ∴.BQ=4xcm, ,LB=90°， S△P8Q=×PB×BQ=×(12-2x)×4x=-4x2+24x. :SI边形APgc=SAABC-SAPBQ' 26/55 S四边形AP0c=号×12×24-（-4x2+24)=4x2-24x+144 (2)解：由(1)得，S△P80=-4x2+24x ∴.当△PBQ的面积为32cm2时， ∴S△PBQ=-4x2+24x=32, .x1=2,x2=4, .当△PBQ的面积为32cm2时，求运动时间为：x=2s或x=4s. (3)解：由(1)得，S四边形AP0c=4x2-24+144, 当四边形APQC的面积等于172cm2,4x2-24x+144=172, .x1=7,x2=-1（舍)， 12÷2=6,24÷4=6 .0≤x≤6 ∴.四边形APQC的面积不能等于172cm2: (4)解：②S四边形AP0c=4x2-24+144=4(x-3)2+108, 4(x-3)2≥0， ∴.4(x-3)2+108≥108， ∴.运动时间x=3时，四边形APQC的面积最小. 题型7.工程问题 【例1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240 个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同.请解决下列问题. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率： (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是 900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要 保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)增加4条或25条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程 求解即可. (1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据题意列出一元二次方程进行求解： 27/55 (2)设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下， 确定解 【详解】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x. 依题意，得：2250(1+x)2=3240, 解得：x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去). 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%， (2)解：设增加x条生产线， (900-30x)(x+1)=3900, 解得x1=4,x2=25, 答：增加4条或25条生产线 【变式1】列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件.甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间 与乙生产100个该种零件的时间相同， (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备.更换设备后，甲每小时生产的零件数 量比原来增长了5m%,乙每小时比原来多生产m个零件，甲、乙两人同时工作m小时共可 以生产1500个零件，求m的值. 【答案】(1)甲每小时生产60个零件，则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到 等量关系是解题的关键， (1)设甲每小时生产x个零件，则乙每小时生产(x-10)个零件，根据“甲生产120个该种 零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同."列出方程，即可求解： (2)先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60+60×5m%=(60+3m),乙每 小时生产(50+m)个零件，根据“甲、乙两人同时工作m小时共可以生产1500个零件，”列 出方程，即可求解. 【详解】(1)解：设甲每小时生产x个零件，则乙每小时生产x-10)个零件，根据题意 得： 120=100 x-10 28/55 解得：x=60, 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，此时x-10=50, 答：甲每小时生产60个零件，则乙每小时生产50个零件： (2)解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60+60×5%=(60+3m),乙每小 时生产(50+m)个零件，根据题意得： (60+3m+50+m)m=1500, 整理得：2m2+55m-750=0, 解得：m1=10,m,=-空（舍去）， 即m的值为10. 【变式2】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋.”临近中秋节，某月饼厂接到一笔3200盒 月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组加 工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多300 盒、 (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼： (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3天起提高 了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单.经调研发现，若甲组平均每 天每多加工100盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工 的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工200盒月饼，乙组平均每天能加工150盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键， (1)设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个 等量关系列方程再求解即可： (2)设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前α天完成了这笔订单，根据题意列出方程 求解并保留符合题意的整数解即可 【详解】(1)解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根期题意，十360 都得形=080。 答：甲组平均每天能加工200盒月饼，乙组平均每天能加工150盒月饼： 29/55 (2)解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前α天完成了这笔订单，根据题意，得 2×(200+150)+(200+100a)(10-2-a)+150(8-2-a)=3200+500, 整理得2a2-9a+10=0, 解得a1=2,2=(不符合题意，舍去)， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单. 题型8.行程问题 【例1】新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪.已知滑行 距离S(单位：m)与滑行时间t（单位：s)之间的关系是S=2.5t2+2t.若某滑雪者在山 坡上的出发点和终点的距离是176m,他需要s能到达终点. 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入 方程，解一元二次方程求时间. 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为S=2.5t2+2t. 当S=176时，有2.5t2+2t=176. 整理得2.5t2+2t-176=0 为方便计算，方程两边同乘2，得5t2+4t-352=0. △=b2-4ac=42-4×5×(-352)=7056. 因为V7056=84, 所以t=二牡84=二4牡84 2×5 10 解得-铝=8，女=晋=一8B。 由于时间不能为负数，故t=8. 故答案为8. 【例2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动.在 此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段 内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为7=20+30=25米/ 秒.运动路程等于时间与平均速度的乘积（即s=).若一个小球以10米/秒的初速度沿 平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动： 30/55 (1)小球的滚动速度平均每秒减少 米/秒，从开始到滚动了t秒后小球的速度为 米/秒： (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2，(10-2t) (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公 式，解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过 列方程求解：解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均 数)以及路程公式即s=7的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制 (5秒)，导致误选不符合实际的解。 (1)根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少 量：再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式， (2)先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即s=建立关于时 间的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时 间。 【详解】(1)根据题意，小球平均每秒速度减少量为：=2（米/秒）。 从开始滚动t秒后，速度减少了2t米/秒，所以此时速度为：10-2t(米/秒). 故答案为：2，(10-2t). (2)根据题意，平均速度7=初速度+末速度=10+10-2型=10-t。 2 2 因为运动路程即s=t,且s=24米， (10-t)·t=24 t2-10t+24=0 (t-4)(t-6)=0 解得t1=4,t2=6. 因为小球5秒后停止运动，t=6不符合实际情况，舍去. 答：小球滚动24米用了4秒 【变式1】如图，一钢球从长4m的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态， 速度每秒增加2m/s.(提示：本题中，距离S-平均速度v×时间t,v=o些，其中vo是开 始时的速度，是t秒的速度)则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是() 31/55 A.1s B.V2s C.2s D.4s 【答案】C 【详解】解：由题可知vo=0(m/S),v:=2t(m/S), 则S=+2.t=t2=4, 2 解得t=2(负值舍去)， 【变式2】如图，小岛D在码头A正东方向的80海里处.已知当轮船甲从码头A出发以40海 里/小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛D出发以50海里/小时的速度向码头A 行驶. 东 一乙 B (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛B运送物质，当轮船甲到达小岛B后，发现运送物质不足，此 时行驶到C处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿CB方向前往小岛B进行物质补 充.若两艘轮船在上午7时出发，轮船乙在上午9时到达小岛B,试通过计算说明轮船甲何 时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(11或小时： 2)上午8时. 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关 键。 (1)设轮船出发t小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与码头A的距离 为40t海里，轮船乙与码头A的距离为(80-50t)海里，根据题意得可(80-50t)2+(40t)2= 502,然后解方程即可： (2)设轮船甲出发x小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则CD=50x海里，AC= AD-CD=(80-50x)海里，AB=40x海里，BC=50×(9-7-x)海里，根据勾股定理得 32/55 得AB2+AC2=BC2,则有(40x)2+(80-50x)=[50×(9-7-x)],然后解方程并检验 即可 【详解】(1)解：设轮船出发t小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与 码头A的距离为40t海里，轮船乙与码头A的距离为(80-50t)海里， 根据题意得可(80-50t)2+(40t)2=502, 解得：t4=1,2=碧 答：两艘轮船出发1或2小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里； 41 (2)解：设轮船甲出发x小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则CD=50x海里，AC= AD-CD=(80-50x)海里，AB=40x海里，BC=50×(9-7-x)海里， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2, 即(40x)2+(80-50x)2=[50×(9-7-x)]2, 整理，得4x2+5x-9=0, 解得，x1=1,2=-?(不符合题意.舍去)， ∴.7+1=8， 答：轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物质的指令. 【变式3】如图，甲、乙从直径的两端点A、B分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动， 甲运动的路程l(cm)与时间t(s)之间满足关系式l=t2+t(t≥0)，乙以4cm/s的速度匀速 运动，半圆的长度为21cm。 甲 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3$ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm,列方程计算即 可： 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可， 33/55 【详解】解：(1)由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. +t+4t=21, 解得t1=3,t2=-14(不合题意，舍去)， 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3$。 (2)由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度， t2+t+4t=3×21, 解得t1=7,t2=-18(不合题意，舍去). 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关 键， 题型9。握手、循环赛问题 【例1】某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间 等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列 方程为() A.x(x+1)=36 B.x(x-1)=36 C.x(x+1)=18 D.2x(x-1)=36 【答案】D 【分析】解题关键是掌握单循环比赛的场次计算方法，找出等量关系列方程， 【详解】解：，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛， ∴.总比赛场次为9×4=36（场）， 设邀请x个队参赛，每个队要与其余(x-1)个队各赛1场， 又每两个队之间只比赛1场，原计算会重复计数，因此实际总比赛场次为x(x-1), ∴可列方程为x(x-1)=36 【例2】三（六)班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张， 则三（六）班的人数是 【答案】40 【分析】设三（六）班有x人，根据全班共送了1560张，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设三（六）班有x人，由题意，x(x-1)=1560 34/55 解得x=40或x=-39(舍去)； 答：三（六）班有40人. 【变式1】某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了 双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比 赛的球队有() A.5支 B.6支 C.7支 D.8支 【答案】B 【分析】设参加比赛的球队数量为x,根据双循环赛制的场次规则列出一元二次方程，求解 后舍去负根即可得到结果 【详解】解：设参加比赛的球队有x支， ,双循环赛制中，每两队之间进行2场比赛， .总比赛场次可表示为x(x-1) 根据题意列方程得x(x-1)=30, 整理得x2-x-30=0, 解得x1=6,x2=-5, 球队数量为正整数， .舍去负根x2=-5, 得x=6,即参加比赛的球队有6支 【变式2】在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该 小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为() A.x(x-1)=56 B.x(x+1)=56 C.2x(x+1)=56 D.2x(x-1)=56 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解题的关键；设该小组共有x个人，则每人需送出(x一1)张贺卡，根据共送贺卡56张， 可列出关于x的一元二次方程即可. 【详解】解：设小组有x人，则每人送出(x-1)张贺卡， 总贺卡数为x(x-1)=56, 故选A. 35/55 【变式3】参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手21次，参加聚会的有 人 【答案】7 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手 次，则每个人握手(x-1)次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有x(x一1)次， 设出未知数列方程解答即可. 【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意列方程得，巴=21， 2 解得x1=7,x2=-6(不合题意，舍去)： 答：有7人参加聚会. 故答案为：7. 【变式4】作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了 众多爱好者关注.联赛采用循环赛制.每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队 实力.已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有x支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120 场激烈对决列方程求解即可： 【详解】解：设有x支参赛队伍 x(x-1) 2 =120 x2-x-240=0 解得x1=16,x2=-15（舍去) 答：有16支参赛队伍 【变式5】目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也 成为中国人引以为傲的国家名片，某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东 站一鹤壁东站一安阳东站一…一北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车 票，这条线路共有多少个站点？ 【答案】这条线路共有8个站点 【分析】本题考查了一元二次方程的应用.设这条线路有x个站点，每个站点出售去往其他 各站的一张车票，共有(x-1)张票，根据题意列出方程即可求解。 【详解】解：设这条线路有x个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有(x一1) 36/55 张票， 根据题意得，x(x-1)=56, 解得x1=8,x2=-7(不合，舍去)， 答：这条线路共有8个站点。 题型10.规律性探究问题 【例1】某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律.将一些棋子按如图所示的规 律摆放，若第n个图中共有77个棋子，则n的值是 ●●● ●●● ●●●● ●●● ●●●● ●●● ●●●● ●●● ●●●● ●●●● ●●● ● ● 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 【答案】8 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键。 根据给定的图找出其中的规律，列出一元二次方程求解 【详解】解：第1个图中棋子的个数为：7=5+2=5+1×2， 第2个图中棋子的个数为：11=5+6=5+2×3， 第3个图中棋子的个数为：17=5+12=5+3×4， 第4个图中棋子的个数为：25=5+20=5+4×5， 则第n个图中棋子的个数为：5+n(n+1), 5+n(m+1)=77, 解得：x1=8,x2=-9(不合题意，舍去) 第8个图中共有77个棋子 故答案为：8 【例2】我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂 纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象 征富贵、美丽和吉祥. 37/55 c%o 第一个图形第二个图形第三个图形 第四个图形 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律 摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，…按此 规律依次摆放， (1)第四个图形有 个纹样，第五个图形有个纹样。 【总结规律】(2)第n个图形有个纹样（用含n的代数式表示）· 【应用规律】(3)是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个 图形？若不存在，请说明理由. 【答案】(1)23,33：(2)n2+n+3:(3)存在，是第10个和第11个图形 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键。 (1)根据前三个图形中纹样的个数即可得解； (2)根据(1)即可得出规律： (3)根据(2)中的规律，列出方程，解方程即可得解. 【详解】解：(1)由图形可得： 第一个图形有1×(1+1)+3=5个纹样， 第二个图形有2×(2+1)+3=9个纹样， 第三个图形有3×(3+1)+3=15个纹样， 故第四个图形有4×(4+1)+3=23个纹样， 第五个图形有5×(5+1)+3=33个纹样： (2)由(1)可得：第n个图形有n(n+1)+3=n2+n+3个纹样： (3)由题意可得：n2+n+3+(n+1)2+(n+1)+3=248 解得：n=10或n=-12(不符合题意，舍去)， .存在相邻的两个图形的纹样个数和为248，是第10个和第11个图形. 【变式1】图形“口”，"●"按如图所示的规律拼图案，图①中有4个“o”,4个“●”，图②中有 9个“o”,12个“●”，图3中有16个“口”，24个“●”，，按此规律排列下去，则同一幅图中 “口”和“。”的个数不符合规律的是() 38/55 ① ② ③ A.25,40 B.36,60 C.100,160 D.121,220 【答案】c 【分析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字 之间的规律即可解决问题.据此可以求得答案， 【详解】解：第1个图形中有(1+1)2=4个“d”,(1+2)-(1+1)2-12=4个“。”： 第2个图形中有(2+1)2=9个“d”,(2+3)-(2+1)2-22=12个“●”： 第3个图形中有(3+1)2=16个o”,(3+4)2-(3+1)2-32=16个“。”； … 第n个图形中有(n+1)2个“a",[n+(n+1)]-(n+1)2-n2=2n(n+1)个"。"(n为正 整数)： 当2n(n+1)=40时，n=4: 当2n(n+1)=60时，n=5: 当2n(m+1)=160时，n不是正整数： 当2n(n+1)=220时，n=10: 故选：C 【变式2】如图所示，是用图形“o”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续摆下 去，第 个“小屋子”中图形“。”个数是图形“●”个数的3倍 O oo O o O O 0 O00 oOO oo O 000O 0000O 00 000 0000 00000 00 oO O○ ○○ ○ oO o0O o0oO 00000 (1) (2) (3) (4) (5)… 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形 发现“O”和“。”的个数变化规律是解题的关键， 39/55 根据所给图形，依次求出“O”和“。”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解 即可 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子"中图形“O的个数为：1=1，“。"的个数为：4=1×2+2： 第2个“小屋子"中图形“O”的个数为：3=1+2，“●"的个数为：6=2×2+2： 第3个“小屋子"中图形“O”的个数为：6=1+2+3，“●"的个数为：8=3×2+2： 第4个“小屋子"中图形“O”的个数为：10=1+2+3+4，“。"的个数为：10=4×2+2： 所以第n个小屋子"中图形0的个数为：1+2+3+…+n=巴，。的个数为：2m+2: 由题知2=3(2n+2),解得n1=-1,2=12, 2 又n为正整数，则n=12,即第12个“小屋子"中图形“O"个数是图形"●”个数的3倍， 故答案为：12. 【变式3】【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案. 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律总结】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中黄梅花的盆数为_： (2)第个图案中红梅花的盆数可表示为_： 【问题解决】 (3)已知按照上述规律摆放的第个“中国结"图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中 红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求的值. 【答案】(1)2m+4:(2)n(m+1):(3)n=9 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运 用，正确得出规律是解此题的关键 (1)观察图案中黄梅花的盆数，得出规律即可： (2)观察图案中红梅花的盆数，得出规律即可 40/55 (3)根据题意列出方程，求解即可 【详解】(1)第1个图案中黄梅花的盆数可表示为6+2×0， 第2个图案中黄梅花的盆数可表示为6+2×1， 第3个图案中黄梅花的盆数可表示为6+2×2， 第4个图案中黄梅花的盆数可表示为6+2×3， 第n个图案中黄梅花的盆数可表示为6+2×(n-1)=4+2m: 故答案为：2n+4: (2)第1个图案中红梅花的盆数可表示为1×2， 第2个图案中红梅花的盆数可表示为2×3， 第3个图案中红梅花的盆数可表示为3×4， 第4个图案中红梅花的盆数可表示为4×5， 第n个图案中红梅花的盆数可表示为n(n+1): 故答案为：n(n+1): (3)根据题意得n(n+1)=2n+4+68, 整理得n2-n-72=0,即(n+8)(n-9)=0, 解得n=-8(舍去)或n=9. 【变式4】【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口 表示)组成似菱形的图案。 ■■ 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】请用含n的式子填空： (1)第6个图案中盆景的盆数为 (2)第n个图案中花卉的盆数可表示为 【规律应用】解决下列问题： 41/55 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆. 【答案】(1)7：(2)n(n+1):(3)盆景的盆数为10盆，花卉的盆数为90盆 【分析】本题考查了用代数式表示图形变化的规律和一元二次方程的应用（其它问题），能 根据所给图形发现盆景和花卉盆数变化的规律是解题的关键。 (1)根据所给图案，发现盆景数量的变化规律即可解决问题。 (2)根据所给花卉盆数的表示方法，用n表示出第n个图案中花卉的盆数即可. (3)根据(1)(2)发现的规律，列出一元二次方程，即可解决问题. 【详解】解：(1)由所给图案可知， 第1个图案中盆景的盆数为：2=1+1： 第2个图案中盆景的盆数为：3=2+1： 第3个图案中盆景的盆数为：4=3+1：…， ∴.第n个图案中盆景的盆数为(n+1)盆. ∴.第6个图案中盆景的盆数为n+1=6+1=7盆 故答案为：7： (2),'第1个图案中花卉的盆数可表示为1×2， 第2个图案中花卉的盆数可表示为2×3， 第3个图案中花卉的盆数可表示为3×4， 第4个图案中花卉的盆数可表示为4×5，… 所以第n个图案中花卉的盆数可表示为n(n+1)盆. 故答案为：n(n+1): (3)由题意得，n(m+1)+(m+1)=100, 解得n=9或n=-11(不合题意，舍去)， 则n+1=10,n(n+1)=90, 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为10盆，90盆： 【变式5】【观察思考】 n=1 n=2 n=3 n=4 第1个图案第2个图案 第3个图案 第4个图案 42/55 【规律发现】请用含n的式子填空： （1)第n个图案中，，"的个数为，“△”的个数可表示为 【规律应用】 (2)按上述规律，问第几个图案中，“△"的个数是"的个数的3倍. 【答案】(1)3m,n(n+1) (2)17 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键. (1)根据前几个图案的规律，即可求解： (2)根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解， 【详解】解：(1)第1个图案中有"3×1=3个，“△×1×2=1个： 第2个图案中有“，”3×2=6个，“△×2×3=3个： 第3个图案中有“，"3×3=9个，“△"×3×4=6个： 第4个图案中有“3×4=12个，“△2×4×5=10个： .第n个图案中有"."3n个，"△"n(n+1)个： 故答案为：3m,n(n+1), (2)解：依题意设第x个图案中，“△"的个数是“，"的个数的3倍， 5x(x+1)=3×3x, 解得：x=0（舍去)或x=17. 故第17个图案中，“△"的个数是，"的个数的3倍. 巩同练习 1.（2026四川凉山中考真题)四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛， 有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为() A.xx-1)=72 B.x(x-1)=72 C.x(x+1)=72 D.xx+1)=72 【答案】B 43/55 【分析】解题思路是分析球队比赛的场次关系，结合每两队赛两场的条件推导方程. 【详解】解：共有x支球队，每支球队需要和除自身外的(x-1)支球队比赛， 又每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数 .总比赛场数为x(x-1),已知总比赛场数为72场， .可列方程x(x-1)=72 2.(2025·山东滨州中考真题)某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展.截 至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个.设全市公共 充电桩数量的年平均增长率为x,则可列方程为() A.10(1+2x)=16.9 B.10(1+x)2=16.9 C.10(1+x2)=16.9 D.10(1+x)=16.9 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算.从2023年初到2025 年初是两年时间，设年平均增长率为x,则两年后的数量为初始数量乘以(1+x)的平方. 【详解】解：，初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x, .一年后数量为10(1+x),两年后数量为10(1+x)(1+x)=10(1+x)2, ∴.可列方程：10(1+x)2=16.9, 故选：B. 3.(25-26八年级下.安徽合肥.期中)如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思 考后，给出的正确答案是 新对话： 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同. 【答案】1 【分析】设这个数为x,根据题意列出一元二次方程求解即可. 【详解】解：设这个数为x,根据题意列方程得： x2+1=2x, .x2-2x+1=0 .(x-1)2=0 解得：x=1. 44/55 4.(2025山东威海.中考真题)如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园.为了方 便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分），小路把种植园 分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度. 20m 4m 【答案】m 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为xm,根据题意可知种 植园的面积等于一个长为(20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形面积，据此建立方程求解即 可 【详解】解：设小路的宽度为xm, 由题意得，(20-4x)(14-4x)=24×9, 整理得2x2-17x+8=0, 解得x=或x=8（舍去)， 答：小路的宽度为m 5.(25-26九年级上·福建泉州·期末)某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互 垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为30m,宽为20m,种花的总面积 为504m2.求道路的宽度. 【答案】道路的宽度为2米 【分析】设道路的宽度为xm,根据种花的面积列出一元二次方程并求解即可. 【详解】解：设道路的宽度为xm, 则(30-x)(20-x)=504, 即x2-50x+96=0 (x-2)(x-48)=0, 45/55 ·x1=2,x2=48(不符合，舍去) 答：道路的宽度为2米。 6.（25-26九年级上湖南永州·期末)在2025年湘超联赛中，永州队从被戏称为“告花子球 队”的草根之师，逆袭成为湘超冠军，其夺冠之路不仅书写了体育竞技的热血传奇，更蕴含 着超越赛场的深刻启示.湘超联赛显著带动了经济发展，形成“赛事引流一消费转化一就业 扩容一文旅升级”的良性闭环，成为区域经济发展新引擎.某商家销售的一款蓝色“永冲锋” 冲锋服，深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款蓝色“永冲锋”冲锋服，以每件 68元的价格出售，经统计，2025年10月份的销售量为256件，2025年12月份的销售量为 400件. (1)求该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率， (2)从2026年的元月份起，商家决定采用降价促销的方式庆祝永州队夺冠，经试验，发现该 款蓝色“永冲锋”冲锋服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款蓝色“永冲锋”冲锋服 降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)25% (2)降价8元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系 建立方程， (1)设该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为x,然 后根据增长率计算公式建立方程求解： (2)设该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价m元，则每件的利润为(68-45-m)元，月销售量为 (400+20m)件，再根据利润公式建立方程求解 【详解】(1)解：设该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增 长率为x, 根据题意得：256(1+x)2=400, 解得：x1=0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意，舍去)， 答：该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为25%： (2)解：设该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价元，则每件的利润为(68-45-m)元，月销售 量为(400+20m)件， 根据题意得：(68-45-m)(400+20m)=8400, 整理得：m2-3m-40=0, 46/55 解得：m1=8,m2=-5(不符合题意，舍去)， 答：当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价8元时，月销售利润达8400元. 7.(2026湖北荆门三模)数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给智算组和数 形组各一盒，开展有关“形数”的探究活动.最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 智算组的同学按照图①所示的方式摆放，数形组的同学按照图②所示的方式摆放. 第1层000 第1层 O 第2层00O 第2层 00 第3层00O 第3层 000 第n层OO…OO 第n层00…Q0 图① 图② (1)先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则智算组共用去棋子的数量为 枚，数 形组共用去棋子的数量为 枚： (2)再探究一般情况，若摆放层，智算组共用去棋子的数量为 枚，数形组共用 去棋子的数量为 枚（用含有n的式子表示）： (3)若智算组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完， 数形组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋 子，且比智算组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 【答案】(1)25,15 2m2,nm+1) 3)144 【分析】(1)根据题干的图形，分别计算5层总数即可： (2)由题意可设智算组共用去棋子的数量为S=1+3+5+…+2n-1,再令S=2m-1+ 2n-3+…+5+3+1,两式相加即可求出S,同理可求出数形组的棋子数量： (3)设智算组共摆了x层，根据题意列出一元二次方程求解即可. 【详解】(1)解：由题意可知，若两组都摆放5层， 智算组共用去棋子的数量为1+3+5+7+9=25枚， 数形组共用去棋子的数量为1+2+3+4+5=15枚. (2)解：由题意可知，若摆放n层， 可设智算组共用去棋子的数量为S=1+3+5+…+2-1, 令S=2n-1+2m-3+.+5+3+1, 47/55 两式相加可得，2S=2n+2n+…+2n=2n2, :智算组共用去棋子的数量为S=n枚： 可设数形组共用去棋子的数量为T=1+2+3+…+n, 令T=n+n-1+…+3+2+1, 两式相加2T=n+1+n+1+…+n+1=n(n+1), 数形组共用去棋子的数量为T=n(m+1)枚. (3)解：设智算组共摆了x层， 由题意可得，x2=x+4)(x+5)+8, 整理化简可得，x2-9x-36=0, 因式分解可得，(x-12)(x+3)=0,解得x=12或x=-3(舍)， .一盒棋子的数量为122=144枚 8.(2026湖北荆州三模)如图，这是一张2026年1月的月历表.在此月历表上可以用一 个正方形框任意圈出4个数（如2,3,9,10）· a b 2026年1月 c d 二三四五六日 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 (1)如图，若圈出的4个数a、b、c、d中，最小的数a=x,则b=x+1,c= d= ·(用含x的代数式表示) (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现ad-bc的差恒为常数，请你证明. (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数. 【答案】(1)x+7,x+8: (2)证明如下： .'ad-bc =x(x+8)-(x+1)(x+7) =x2+8x-x2-8x-7 =-7, ∴ad-bc的差恒为常数； 48/55 (3)7. 【分析】(1)直接根据日历表作答即可： (2)直接计算ad-bc的值即可： (3)由(1)知最小的数a=x,最大的数d=x+8,根据“最大的数与最小的数的乘积为 105”求出x的值即可. 【详解】(1)解：根据日历表可知，c=a+7=x+7,d=b+7=x+8: (2)略； (3)解：由题意得：x(x+8)=105, 变形整理得：x2+8x-105=0, 解得：x1=7,x2=-15(舍去)， 即这个最小的数是7 9.(2026山东烟台中考真题)为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文 创产品.己知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y(件)与每件售价x(元)的 函数关系如图所示。 y(件)A 3040 x(元) (1)求y与x的函数表达式： (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款 文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1y=-x+70 (2)该款文创产品每件的售价为35元. 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)根据题意列一元二次方程，取较小解即可. 【详解】(1)解：设y与x的函数表达式为y=kx+b, 将点(040)和(030的代入得：8+8却 解得：化-1 (b=70 ·.y与x的函数表达式为y=-x+70; 49/55 (2)解：根据题意得：(x-20)(-x+70)=525, 整理得：x2-90x+1925=0, 解得：x1=35,x2=55, 尽可能的让利于顾客， x=35, 即该款文创产品每件的售价为35元 10. (25-26九年级上新疆博尔塔拉期末)根据以下素材，完成下列任务. 背景素材 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交 通工具.新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减 背景 少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下， 新能源汽车的市场需求逐年上升· 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌 素材1 新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆. 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进 价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25 素材2 万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆， 若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元. 问题解决 (1)任务1：根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率. (2)任务2：根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽 车的售价. 【答案】(1)从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30% (2)下调后每辆汽车的售价为21万元 【分析】(1)设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,根据某品 牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，3月份的销售量达到5.07万辆，列出一元二次方程， 解之取符合题意的值即可： (2)设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为0y-15)万元，平均每周 50/55 可售出(58-2y)辆，根据使平均每周的销售利润为96万元，列出一元二次方程，解之取符 合题意的值即可. 【详解】(1)解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x, 根据题意得：3(1+x)2=5.07, 解得：x1=0.3=30%,x2=-2.3(舍去)， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%： (2)解：设下调后每辆汽车的售价为y万元.则每辆汽车的销售利润为(y-15)万元，平均 每周可售出8+52×1=(58-2y)辆， 0.5 根据题意得：y-15)(58-2y)=96, 解得：y1=21,y2=23, 此次销售尽量让利于顾客， ·y=21, 答：下调后每辆汽车的售价为21万元. 11.（25-26八年级下.安徽滁州.期中)如图1，有一张长为30cm、宽为16cm的长方形硬 纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒，（硬纸片厚 度忽略不计)· 图1 图2 图3 (1)若剪去的正方形的边长为2cm,则纸盒底面长方形的长为 cm; (2)若纸盒的底面积为240cm2,请计算剪去的正方形的边长： (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经 过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的 有盖长方体纸盒的表面积为412cm2,请计算剪去的正方形的边长. 【答案】(1)26 (2)剪去正方形的边长为3cm (3)剪去的正方形的边长为2cm 【分析】(1)根据题意列式计算即可得出答案： 51/55 (2)设剪去的正方形的边长为xcm,则纸盒底面长方形的长为(30-2x)cm,宽为(16 2x)cm,根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案： (3)设剪去的正方形的边长为Qcm,根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案。 【详解】(1)解：由题意得：30-2×2=26(cm),16-2×2=12(cm), 纸盒底面长方形的长为26cm: (2)解：设剪去的正方形的边长为xcm,则纸盒底面长方形的长为(30-2x)cm,宽为(16一 2x)cm, 由题意得：(30-2x)(16-2x)=240, 解得：x=3或x=20(舍去)， .剪去正方形的边长为3cm: (3)解：设剪去的正方形的边长为acm, 由题意得：a(16-2a)×2+a(0,9)×2+(16-2a)×(）×2=412, 解得：a=2或a=-17(不符合题意，舍去)， ∴.剪去的正方形的边长为2cm, 12.（25-26八年级下·安徽滁州期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40Cm, BC=30cm.点P在边AC上，以4cm/s的速度由点A向点C运动，同时，点Q在边CB上，以 2cm/s的速度由点C向点B运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动.设运动时间 为ts. A (1)当t=5时，求△PQC的面积. (2)当△PQC的面积为64cm2时，求t的值. (3)△PQC的面积能否达到120cm2?若能，求出t的值；若不能，说明理由. 【答案】(1)100cm2 (2)t的值为2或8秒 (3)△PQC的面积不能达到120cm2,理由见解析 【分析】(1)根据t=5,可得PC,CQ的长，即可求解： 52/55 (2)由题意得，PC=AC-AP=40-4t,CQ=2t,则S△PQc=PC·CQ=;×(40-4)× 2t=64,即可求解： (3)由(2)可得S△P0c=PC·CQ=×(40-4)×2t,令×(40-4)×2t=120,进 行判断即可. 【详解】(1)解：当t=5时，AP=4×5=20(cm),CQ=2×5=10(cm), .PC=AC-AP=40-20=20(cm), SAPQC=PC,CQ=×20×10=100(cm2). (2)解：由题意得，PC=AC-AP=40-4t,CQ=2t, ∴.S△Pgc=PC·CQ=×(40-4)×2t=64, 整理，得t2-10t+16=0, 解得t1=2,t2=8. 当t=2时，40-4t=40-4×2=32>0,CQ=2×2=4<30,符合题意： 当t=8时，40-4t=40-4×8=8>0,CQ=2×8=16<30,符合题意；. ∴.t的值为2或8秒. (3)解：不能.理由如下： 由(2)可知，S△poc=PC·CQ=×(40-4)×2t, 令×(40-4)×2t=120, 整理，得t2-10t+30=0, :4=(-10)2-4×1×30=-20<0, ∴.t2-10t+30=0无实数根， .△PQC的面积不能达到120cm2. 13.（2026河北唐山.二模)我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一 场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛.比赛组织者应邀请多 少个队参赛. 【答案】10 【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为9×5=45场，再设邀请x个队参赛，根据题 意总共的比赛场数为，D,列一元二次方程进行求解即可， 2 53/55 【详解】解：，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛， 总比赛场数为9×5=45场， 设比赛组织者应邀请x个队参赛， ~参赛的每两个队之间都要比赛一场， ∴比赛总场数为卫，由此可得方程：-卫=45， 解得x1=10,x2=-9(不符合题意，舍去)， 比赛组织者应邀请10个队参赛. 14.（25-26八年级下.浙江湖州·期中)如图，在长方形ABCD中，AB=10cm,BC=12cm, 点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终 点C以4cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，当其中一个点到达终点时，另 一个点也随之停止运动.设运动时间为t秒. Bh →9 (1)填空：BQ=cm,PB=_cm.(用含t的代数式表示) (2)当五边形APQCD的面积等于104cm2时，求此时t的值 (3)是否存在t的值，使线段PQ的长度最小，若存在，请求出此时t的值和最小值，若不存在， 请说明理由， 【答案】(1)4t,(10-2t) (2)当五边形APQCD的面积等于104cm2时，此时t的值为1 (3)存在，当t=1时，线段PQ的长度最小，最小值为4W5 【分析】(1)根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度： (2)根据五边形APQCD的面积等于104cm2,代入相应数据解方程即可： (3)根据勾股定理求得PQ,再根据配方法，求得最小值，即可求解. 【详解】(1)解：，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动， ∴.BQ=4tcm: ,P从点A开始沿边AB向终点B以2cms的速度移动， .'.AP 2tcm, 54/55 .'AB =10cm, .PB=(10-2t)cm, (2)解：S长方形ABcD=10×12=120(cm2), :S五边形APQCD=104(cm2), :S五边形APOCD=S长方形ABcD-S△PBQ?S△PBQ=BQ-PB, 104=120-2×4t×(10-20, 整理得：t2-5t+4=0, 解得：t1=4,t2=1, 当t=4时，BQ=16cm>12cm,不合题意，舍去： 当t=1时，BQ=4cm<12cm,符合题意： ∴.当五边形APQCD的面积等于104cm2时，此时t的值为1. (3)解：P0=√PB2+B0=(10-2)2+(4)2=√20(t-1)2+80, ,20(t-1)2≥0， 20(t-1)2+80≥80， ∴.当t=1时，线段PQ的长度最小，此时PQ=V80=4V5. 55/55第二十五章一元二次方程 03讲实际问题与一元二次方程 >型归纳 【知识点1一元二次方程实际问题步骤 …1】 【题型1.传播问题… 2】 【题型2.增长率问题 3】 【题型3.与图形有关的问题 4】 【题型4.数字问题… 7】 【题型5.销售利润问题 8】 【题型6.动态几何问题… 10】 【题型7.工程问题… 13】 【题型8.行程问题… …14】 【题型9.握手、循环赛问题 15】 【题型10.规律性探究问题， 17】 【巩固练习 20】 知识清单 知识点1一元二次方程实际问题步骤 (1)审题：找准已知量、未知量，提炼等量关系： (2)设元：直接/间接设未知数，标注单位： (3)列方程：用含未知数的式子替换等量关系，列出一元二次方程： (4)解方程：选用合适方法求出两个根； (5)检验：舍去负数、超出范围、不符合实际意义的根： (6)作答：完整写答案，带上单位。 1/25 >题型专练 题型1。传播间题 【例1】秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防 范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染 后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为() A.(1+x)2=100B.x2=100 C.x(1+x)=100D.1+x+x2=100 【例2】小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再 邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此 类推.已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己)， 则小华邀请了多少名同学转发？ 【变式1】在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒.经过两轮感 染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染 台服 务器 【变式2】某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组.在一 次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样 数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【变式3】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一 条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转 发，从小王开始计算，转发两轮后共有111人有此短信. (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 2/25 【变式4】两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到 班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又 手把手教会了同样多的同学，这样全班50人恰好都会做这个实验了，求每位同学每节课能 教会多少名同学？ 题型2.增长率问题 【例1】某服装厂生产一批晚礼服，2024年该晚礼服的出厂价是300元/件，2025年、2026 年连续两年改进技术降低成本，2026年该晚礼服的出厂价调整为243元/件.若这两年此类 晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是() A.10% B.190% C.10%或190%D.19% 【例2】目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商4至6月 份统计，该品牌新能源汽车4月份销售100辆，6月份销售144辆.求该品牌新能源汽车 销售量的月均增长率， 【变式1】某公司文创产品的月收入逐月攀升，今年1月收入20万元，经过两个月后，3 月收入达到288万元，该公司文创产品收入的月平均增长率为() A.8.8% B.20% C.25% D.44% 【变式2】据了解，某展览中心8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数为16.9万 人.设8月份至10月份参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为 【变式3】某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计， 第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长 率相同， (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不 变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由， 3/25 【变式4】某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、 连续栽培试验.十二月初水稻采收产量为200吨，二月初水稻采收产量增至242吨.假设 技术稳定，每月产量的增长率相同. (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率。 (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【变式5】随着电商的发展，网上购物成为主流，催生了快递行业的快速发展.据调查，某 市一家快递公司，今年一月份和三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万 件.现假定该公司一月至四月每月投递的快递总件数的增长率相同. (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率 (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.9万件，那么该公司现有的15名快递投递业务员能 否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 题型3.与图形有关的问题 【例1】如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）， 余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540m2.设道路的宽为xm,则下列方程正确的是() 32m 20m A.20(32-x)=540 B.(32-x)(20-x)=540 C.32(20-x)=540 D.(32-2x)(20-2x)=540 4/25 【例2】小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和 地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为60cm,宽为24cm,在装裱后左右两边 的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为1：5，设右边宽为xcm, 天头长 雄 才 左边宽 大 右边宽 略 地头长 (1)天头长为 cm:(用含x的代数式表示) (2)若装裱后作品总面积为2240cm2,则右边宽为多少厘米？ 【变式1】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问 户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么 门的高和宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)如果设门的宽为x尺，那么这个门的高 为(x+6.8)尺，根据题意，得 ,整理、化简，得 【变式2】项目式学习. 项目主题：学校运动会主题草坪设计 项目情境：学校即将举办运动会，同学们积极参与该主题草坪设计的项目活动，以下是某小 组对草坪设计的研究过程， 活动任务一：(1)需要设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪的两组对边，小组内同学们设 计的方案主要有以下三种.三种方案中，标号①的小路的下边线向上平移m可得上边线， 标号②的小路的左边线向右平移Qm可得右边线.直接写出三种方案中，小路面积S甲，S乙， S丙的大小关系： 5/25 ① ① 10 2 甲：直径简洁型 乙：斜径笔直型 丙：弧径优美型 活动任务二：(2)已知矩形草坪长40m,宽30m,为施工方便，学校选择甲设计方案，并要 求除去小路后的面积为1064m2,请计算小路的宽。 【变式3】如图，为宣传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为 每一张卡片制作了一个特色封皮.A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮 课 景点卡片及封皮制作 题 图 示 相 关 数 正方形卡片的面积为90cm2,长方形封皮的长与宽的比为3：2，面积为132cm2,卡 据 片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）· 及 说 命 (1)通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由： (2)若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装 入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可 装入的方案 6/25 题型4.数字问题 【例1】若两个相邻偶数的积为528，设较小的一个偶数为x,则可以列方程： 【例2】2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12 月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始 的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈 出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）· 2023/12 日一二 三四五六 12 34 5 6 7 89 10 11 213 1516 公祭日 1718 1920 21 2223 24 25 26 27 28 2930 31 【变式l】如表是小明与DeepSeekt的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是() 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个 数相同. 深度思考中… 开启新对话 A.-1 B C.1 D.-1或1 【变式2】如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数.若 圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为x,则可列方程为 2024 October 四五 六日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 14151617 19 20 21 222324 25 26 27 2829 30 31 【变式3】第十四届国际数学教育大会(1CME一14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素， 展现了我国古代数学的文化魅力其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数 7/25 3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.八进制数3745换 算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示1CME一14的举办年份. ICME-14 三王王 (1)八进制数3747换算成十进制数是 (2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是80，求n的值. 题型5.销售利润问题 【例1】由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同） 优惠活动，己知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折， 则有() A.490(1-2x)=1000 B.1000(1-x2)=490 c.100()}°=490 0.1000(1-92 =490 【例2】某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销 售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 【变式1】某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个.己知该商 品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为 1200元，请根据题意列出方程 【变式2】某商场销售一批服装，己知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天 可销售100件.为了减少库存，商场决定降价销售.经调查发现，单价每降低1元，每天可 多售出20件， (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元：若不能，说明理由。 8/25 【变式3】某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游 船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩.据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为 5:2,其中乘坐游船的人数为0.8万人，乘坐观光车人数为1万人，游船票与观光车票销售 总额为60万元. (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价.游船票价 在四月份的基础上降低0.2a%(a>0),观光车票价比四月份降低a元，这样乘坐游船登岛 的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了α%，游船票和观光车票的销售总 额比四月份销售总额减少了0.255a万元，求a的值. 【变式4】某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情 况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高 1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元. (1)如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ (2)如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【变式5】根据以下素材，探索完成以下任务： 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘.在此期间，咔搭CaDA联名 任务背景 推出遥控积木赛车，开售即火热. 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆，4月份销售 28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同. 数据信息 素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量 为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆. 9/25 问题解决 (1)根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率； (2)从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000 元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆. 题型6.动态几何问题 【例1】如图，在等腰△ABC中，AC=BC,过点C作CD1AB交AB于点D,AB=12,CD=8, 点P从点A开始沿线段AB向点B以2cms的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线 段DC向点C以1cm/s的速度移动，连接PQ,AQ.则P,Q两点同时出发秒时，△APQ 是等腰三角形. C P-D 【例2】如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=3cm,点P从点A开始沿边AB 向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以1cm/s的速度移动，连 接PQ,AQ.如果P,Q两点同时出发，几秒时，△APQ是等腰三角形？ 10/25 【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,AD=12cm,AD1BC于点 D,动点P从点A出发以每秒1cm的速度在线段AD上向终点D运动.设动点运动的时间为 t秒，动点M从点C出发以每秒2cm的速度在射线CB上运动.若点M与点P同时出发，且 当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t,使得S△PwD=SAARG,则t的值为 () A D M A.2或29+V28 4 B.2或29-28 4 C.2或29±281 D.2或12.5 4 【变式2】如图，在四边形ABCD中，ABIICD,∠BCD=90°，AB=AD=10Cm,BC=8cm.点 P从点A出发，以3cm/s的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以2cm/s的速 度沿线段DC向点C运动.己知P,Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P,Q停止运动， 设运动时间为t(s). A D (1)CD的长 (2)若点P在折线BCD上运动时，当t为 时△BPQ的面积为16cm2. 【变式3】综合与探究 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点MN是两个动点. D M A B (1)如果AC、BD(AC>BD)的长（单位：cm)是关于x的一元二次方程x2-20x+96=0 11/25 的两个实数根，求AB的长. (2)若动点M从A出发，沿AC方向以2cm/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B出发，沿BD 方向以1cm/s的速度匀速直线运动到点D.(当点M运动到C点时，点N也随之停止运动).若 M、N同时出发，设运动时间为t秒，求t为何值时，△MoN的面积为2cm2? 【变式4】 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿边AB向点 B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P, Q两点分别从A,B两点同时出发，设运动时间为灯. A (1)用含x的式子表示：BP=cm,S△PBQ=一一一cm2,S四边形APQc=cm2: (2)当△PBQ的面积为32cm时，求运动时间： (3)四边形APQC的面积能否等于172cm2？若能，求出运动的时间：若不能，说明理由. (4)①阅读材料：求代数式y2+4y+6的最小值.解：y2+4y+6=y2+4y+4+6-4= y+2)2+2.因为0+2)2≥0，所以y+2)2+2≥2，所以y2+4y+6的最小值是2. ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 12/25 题型7。工程问题 【例1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240 个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同.请解决下列问题. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率： (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是 900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要 保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【变式1】列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件.甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间 与乙生产100个该种零件的时间相同， (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备.更换设备后，甲每小时生产的零件数 量比原来增长了5m%,乙每小时比原来多生产m个零件，甲、乙两人同时工作m小时共可 以生产1500个零件，求m的值. 【变式2】"万里无云镜九州，最团圆夜是中秋.”临近中秋节，某月饼厂接到一笔3200盒 月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组加 工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多300 盒 (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼： (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3天起提高 了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单.经调研发现，若甲组平均每 天每多加工100盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，己知甲、乙两组加工 的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 13/25 题型8.行程间题 【例1】新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪.已知滑行 距离S(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的关系是S=2.5t2+2t.若某滑雪者在山 坡上的出发点和终点的距离是176m,他需要s能到达终点. 【例2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动.在 此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段 内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为7=20+30=25米/ 秒.运动路程等于时间与平均速度的乘积（即s=).若一个小球以10米/秒的初速度沿 平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动， (1)小球的滚动速度平均每秒减少 米/秒，从开始到滚动了t秒后小球的速度为 米/秒： (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【变式1】如图，一钢球从长4m的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态， 速度每秒增加2m/s.(提示：本题中，距离S=平均速度vX时间t,v=o十些，其中v0是开 2 始时的速度，y是t秒的速度)则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是() A.1s B.V2s C.2s D.4s 【变式2】如图，小岛D在码头A正东方向的80海里处.己知当轮船甲从码头A出发以40海 里/小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛D出发以50海里/小时的速度向码头A 行驶. ◆东 14/25 (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛B运送物质，当轮船甲到达小岛B后，发现运送物质不足，此 时行驶到C处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿CB方向前往小岛B进行物质补 充.若两艘轮船在上午7时出发，轮船乙在上午9时到达小岛B,试通过计算说明轮船甲何 时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【变式3】如图，甲、乙从直径的两端点A、B分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动， 甲运动的路程l(cm)与时间t(s之间满足关系式l=t+t(t≥0)，乙以4cm/s的速度匀速 运动，半圆的长度为21cm。 甲A (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 题型9.握手、循环赛问题 【例1】某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间 等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列 方程为() A.x(x+1)=36 B.x(x-1)=36 C.x(x+1)=18 D.2x(x-1)=36 【例2】三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张， 则三（六）班的人数是 15/25 【变式1】某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了 双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比 赛的球队有() A.5支 B.6支 C.7支 D.8支 【变式2】在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该 小组共有多少人？设该小组共有x个人，则侧可列方程为() A.x(x-1)=56 B.x(x+1)=56 C.2x(x+1)=56 D.2x(x-1)=56 【变式3】参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手21次，参加聚会的有 人. 【变式4】作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了 众多爱好者关注.联赛采用循环赛制.每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队 实力.已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【变式5】目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也 成为中国人引以为傲的国家名片.某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东 站-鹤壁东站-安阳东站一…一北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车 票，这条线路共有多少个站点？ 16/25 题型10.规律性探究问题 【例1】某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律，将一些棋子按如图所示的规 律摆放，若第n个图中共有77个棋子，则n的值是 ● ● ● ●●● ●●●● ●●● ●●● ●●●● ●●● ●● ●●● ●●●● ●● ●●● ●●●● ●●●● ●● ●●● ● ● ● ● ● 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 0。。·0● 【例2】我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂 纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象 征富贵、美丽和吉祥 0 第一个图形第二个图形第三个图形 第四个图形 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律 摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，按此 规律依次摆放， (1)第四个图形有 个纹样，第五个图形有个纹样。 【总结规律】(2)第n个图形有 个纹样（用含n的代数式表示）. 【应用规律】(3)是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个 图形？若不存在，请说明理由、 17/25 【变式1】图形“o”,“●”按如图所示的规律拼图案，图①中有4个“o”,4个“。”，图②中有 9个“口”，12个“●”，图3中有16个“口”，24个“●”，，按此规律排列下去，则同一幅图中 “口”和“。”的个数不符合规律的是() ●●0 ① ② ③ A.25,40 B.36,60 C.100,160 D.121,220 【变式2】如图所示，是用图形“o”和“。”按一定规律摆成的“小屋子”，按照此规律继续摆下 去，第 个“小屋子”中图形“o”个数是图形“●”个数的3倍. 0 O 00 O oo ooO O oo ○00 oo. oo o0O ooo ○O○○○ 8 oO o0O o00o 00000 00 O○ O 0o o0OO 000O (1) (2) (3) (4) (5)… 【变式3】【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点)组成“中国结”图案 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律总结】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中黄梅花的盆数为_： (2)第n个图案中红梅花的盆数可表示为_： 【问题解决】 (3)已知按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中 红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值 18/25 【变式4】【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口 表示)组成似菱形的图案， 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】请用含n的式子填空： (1)第6个图案中盆景的盆数为 (2)第n个图案中花卉的盆数可表示为 【规律应用】解决下列问题： (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆. 【变式5】【观察思考】 △ n=1 n=2 11=3 n=4 第1个图案第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】请用含n的式子填空： (1)第n个图案中，“，”的个数为，“△”的个数可表示为 【规律应用】 (2)按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“，"的个数的3倍. 19/25 >巩固练习 1.(2026四川凉山.中考真题)四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛， 有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为() A.x(x-1)=72 B.x(x-1)=72 C.x(x+1)=72 D.x(x+1)=72 2.(2025山东滨州中考真题)某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展.截 至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个，设全市公共 充电桩数量的年平均增长率为x,则可列方程为() A.10(1+2x)=16.9 B.10(1+x)2=16.9 C.10(1+x2)=16.9 D.10(1+x)=16.9 3.(25-26八年级下，安徽合肥，期中)如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思 考后，给出的正确答案是 新对话： 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同。 4.（2025山东威海.中考真题)如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园.为了方 便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）·小路把种植园 分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度. 20m 14m 20/25 5.（25-26九年级上.福建泉州期末)某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互 垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为30m,宽为20m,种花的总面积 为504m2.求道路的宽度.， 6.(25-26九年级上湖南永州·期末)在2025年湘超联赛中，永州队从被戏称为“告花子球 队”的草根之师，逆袭成为湘超冠军，其夺冠之路不仅书写了体育竞技的热血传奇，更蕴含 着超越赛场的深刻启示.湘超联赛显著带动了经济发展，形成“赛事引流一消费转化一就业 扩容一文旅升级"”的良性闭环，成为区域经济发展新引擎.某商家销售的一款蓝色“永冲锋” 冲锋服，深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款蓝色“永冲锋”冲锋服，以每件 68元的价格出售，经统计，2025年10月份的销售量为256件，2025年12月份的销售量为 400件. (1)求该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率。 (2)从2026年的元月份起，商家决定采用降价促销的方式庆祝永州队夺冠，经试验，发现该 款蓝色“永冲锋”冲锋服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款蓝色“永冲锋”冲锋服 降价多少元时，月销售利润达8400元？ 21/25 7.(2026湖北荆门三模)数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给智算组和数 形组各一盒，开展有关“形数”的探究活动.最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 智算组的同学按照图①所示的方式摆放，数形组的同学按照图②所示的方式摆放， 第1层O0O 第1层 O 第2层000 第2层 00 第3层0O0 第3层 000 … 第n层OO…OO 第n层OO…O0 图① 图② (1)先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则智算组共用去棋子的数量为 枚，数 形组共用去棋子的数量为 枚： (2)再探究一般情况，若摆放n层，智算组共用去棋子的数量为 枚，数形组共用 去棋子的数量为 枚（用含有n的式子表示）： (3)若智算组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完， 数形组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋 子，且比智算组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 8.(2026湖北荆州三模)如图，这是一张2026年1月的月历表.在此月历表上可以用一 个正方形框任意圈出4个数（如2,3,9,10）· a b 2026年1月 二三四五六日 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 (1)如图，若圈出的4个数a、b、c、d中，最小的数a=x,则b=x+1,c= d= ·(用含x的代数式表示) (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现ad-bc的差恒为常数，请你证明. (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数. 22/25 9.(2026山东烟台中考真题)为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文 创产品.已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y(件)与每件售价x(元)的 函数关系如图所示 y(件)A 0 3040 x(元) (1)求y与x的函数表达式： (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款 文创产品每件的售价为多少元？ 10.（25-26九年级上·新疆博尔塔拉期末)根据以下素材，完成下列任务. 背景素材 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交 通工具.新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减 背景 少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下， 新能源汽车的市场需求逐年上升， 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌 素材1 新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆. 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进 价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25 素材2 万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆， 若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元. 问题解决 (1)任务1：根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率 (2)任务2：根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽 车的售价. 23/25 11.(25-26八年级下.安徽滁州期中)如图1，有一张长为30cm、宽为16cm的长方形硬 纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒.（硬纸片厚 度忽略不计)· 图1 图2 图3 (1)若剪去的正方形的边长为2cm,则纸盒底面长方形的长为 cm; (2)若纸盒的底面积为240cm2,请计算剪去的正方形的边长： (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经 过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的 有盖长方体纸盒的表面积为412cm2,请计算剪去的正方形的边长， 12.(25-26八年级下·安徽滁州期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40cm, BC=30cm.点P在边AC上，以4cm/s的速度由点A向点C运动，同时，点Q在边CB上，以 2cm/s的速度由点C向点B运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间 为ts. (1)当t=5时，求△PQC的面积. (2)当△PQC的面积为64cm2时，求t的值. (3)△PQC的面积能否达到120cm2？若能，求出t的值；若不能，说明理由. 24/25 13.(2026河北唐山二模)我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一 场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛.比赛组织者应邀请多 少个队参赛 14.(25-26八年级下.浙江湖州·期中)如图，在长方形ABCD中，AB=10cm,BC=12cm, 点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终 点C以4Cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，当其中一个点到达终点时，另 一个点也随之停止运动.设运动时间为t秒. A B →Q (1)填空：BQ=cm,PB=cm.(用含t的代数式表示) (2)当五边形APQCD的面积等于104cm2时，求此时t的值， (3)是否存在t的值，使线段PQ的长度最小，若存在，请求出此时t的值和最小值，若不存在， 请说明理由. 25/25 第二十五章 一元二次方程 03讲 实际问题与一元二次方程 题型归纳 【知识点1 一元二次方程实际问题步骤 1】 【题型1. 传播问题 2】 【题型2. 增长率问题 3】 【题型3. 与图形有关的问题 4】 【题型4. 数字问题 7】 【题型5. 销售利润问题 8】 【题型6. 动态几何问题 10】 【题型7. 工程问题 13】 【题型8. 行程问题 14】 【题型9. 握手、循环赛问题 15】 【题型10. 规律性探究问题 17】 【巩固练习 20】 知识清单 知识点1 一元二次方程实际问题步骤 （1）审题：找准已知量、未知量，提炼等量关系； （2）设元：直接/间接设未知数，标注单位； （3）列方程：用含未知数的式子替换等量关系，列出一元二次方程； （4）解方程：选用合适方法求出两个根； （5）检验：舍去负数、超出范围、不符合实际意义的根； （6）作答：完整写答案，带上单位。 题型专练 题型1. 传播问题 【例1】秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【变式1】在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 【变式2】某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【变式3】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式4】两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？ 题型2. 增长率问题 【例1】某服装厂生产一批晚礼服，2024年该晚礼服的出厂价是300元/件，2025年、2026年连续两年改进技术降低成本，2026年该晚礼服的出厂价调整为243元/件．若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（     ） A． B． C．或 D． 【例2】目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计，该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆．求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率． 【变式1】某公司文创产品的月收入逐月攀升，今年1月收入20万元，经过两个月后，3月收入达到28.8万元，该公司文创产品收入的月平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】据了解，某展览中心8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数为万人．设8月份至10月份参观人数的月平均增长率为，则可列方程为___________． 【变式3】某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【变式4】某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【变式5】随着电商的发展，网上购物成为主流，催生了快递行业的快速发展．据调查，某市一家快递公司，今年一月份和三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万件．现假定该公司一月至四月每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率 (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.9万件，那么该公司现有的15名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 题型3. 与图形有关的问题 【例1】如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【变式1】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈10尺，1尺10寸）如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为尺，根据题意，得__________________________ ，整理、化简，得_____________． 【变式2】项目式学习． 项目主题：学校运动会主题草坪设计． 项目情境：学校即将举办运动会，同学们积极参与该主题草坪设计的项目活动，以下是某小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一：(1)需要设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪的两组对边，小组内同学们设计的方案主要有以下三种．三种方案中，标号①的小路的下边线向上平移可得上边线，标号②的小路的左边线向右平移可得右边线．直接写出三种方案中，小路面积，，的大小关系； 活动任务二：(2)已知矩形草坪长，宽，为施工方便，学校选择甲设计方案，并要求除去小路后的面积为，请计算小路的宽． 【变式3】如图，为宣传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为，卡片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）． (1)通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由； (2)若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可装入的方案． 题型4. 数字问题 【例1】若两个相邻偶数的积为528，设较小的一个偶数为，则可以列方程：________． 【例2】2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【变式1】如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 【变式2】如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数．若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为，则可列方程为__________． 【变式3】第十四届国际数学教育大会（1CME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME－14的举办年份． (1)八进制数3747换算成十进制数是__________； (2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是80，求n的值． 题型5. 销售利润问题 【例1】由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 【例2】某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 【变式1】某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程________． 【变式2】某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 【变式3】某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【变式4】某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． (1)如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ (2)如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【变式5】根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘．在此期间，咔搭CaDA联名推出遥控积木赛车，开售即火热． 数据信息 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆，4月份销售28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同． 素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆． 问题解决 (1)根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率； (2)从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆． 题型6. 动态几何问题 【例1】如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 【例2】如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 【变式1】如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 【变式2】如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，以的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以的速度沿线段向点C运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P，Q停止运动，设运动时间为． （1）的长_____． （2）若点P在折线上运动时，当t为___________时的面积为． 【变式3】综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【变式4】 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 题型7. 工程问题 【例1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【变式1】列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【变式2】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 题型8. 行程问题 【例1】新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【例2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【变式1】如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【变式3】如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 题型9. 握手、循环赛问题 【例1】某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【例2】三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 【变式1】某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比赛的球队有（   ） A．5支 B．6支 C．7支 D．8支 【变式2】在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手21次，参加聚会的有__________人． 【变式4】作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【变式5】目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 题型10. 规律性探究问题 【例1】某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是________． 【例2】我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥． 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放． （1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样． 【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）． 【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由． 【变式1】图形“□”，“●”按如图所示的规律拼图案，图①中有4个“□”，4个“●”，图②中有9个“□”，12个“●”，图3中有16个“□”，24个“●”，……，按此规律排列下去，则同一幅图中“□”和“●”的个数不符合规律的是（    ） A．25，40 B．36，60 C．100，160 D．121，220 【变式2】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【变式3】【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为 ； （2）第n个图案中红梅花的盆数可表示为 ； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值． 【变式4】【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口表示）组成似菱形的图案． 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第6个图案中盆景的盆数为______； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为______； 【规律应用】解决下列问题： （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【变式5】【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 巩固练习 1．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如下是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是______． 新对话： 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为．求道路的宽度． 6．（25-26九年级上·湖南永州·期末）在2025年湘超联赛中，永州队从被戏称为“告花子球队”的草根之师，逆袭成为湘超冠军，其夺冠之路不仅书写了体育竞技的热血传奇，更蕴含着超越赛场的深刻启示．湘超联赛显著带动了经济发展，形成“赛事引流—消费转化—就业扩容—文旅升级”的良性闭环，成为区域经济发展新引擎．某商家销售的一款蓝色“永冲锋”冲锋服，深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款蓝色“永冲锋”冲锋服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年10月份的销售量为256件，2025年12月份的销售量为400件． (1)求该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率． (2)从2026年的元月份起，商家决定采用降价促销的方式庆祝永州队夺冠，经试验，发现该款蓝色“永冲锋”冲锋服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 7．（2026·湖北荆门·三模）数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给智算组和数形组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 智算组的同学按照图①所示的方式摆放，数形组的同学按照图②所示的方式摆放． (1)先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚； (2)再探究一般情况，若摆放层，智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚（用含有的式子表示）； (3)若智算组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，数形组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比智算组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 8．（2026·湖北荆州·三模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 9．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 10．（25-26九年级上·新疆博尔塔拉·期末）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． 素材 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆，售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 (1)任务1：根据素材，求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)任务2：根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 11．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 12．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 13．（2026·河北唐山·二模）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 14．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $