拓展18 动点与两定点斜率关系的轨迹问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦动点与两定点斜率关系的轨迹问题，涵盖椭圆、双曲线、圆及抛物线等核心考点，按“教材例题溯源—一般规律提炼—典例深化应用—分层练习巩固”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建轨迹方程求解的系统思路。 讲义特色在于立足教材抽象轨迹模型，通过代数运算推导方程培养数学思维，设计“斜率关系翻译—方程化简—轨迹验证”教学活动，如宝鸡模拟题中结合椭圆方程求最值，助力学生用数学语言表达几何关系，分层练习适配不同学情，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

　动点与两定点斜率关系的轨迹问题 人教A版选择性必修第一册P108例3： 如图，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－(教材P121探究斜率之积是)，求点M的轨迹方程． 解：设点M的坐标为(x，y)， 因为点A的坐标是(－5，0)， 所以直线AM的斜率kAM＝(x≠－5). 同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠5). 由已知，有×＝－(x≠±5)， 化简，得点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±5). 故点M的轨迹是除去(－5，0)，(5，0)两点的椭圆． 此类问题在教材人教A版选择性必修第一册P109练习T4、P126练习T1、P139 T11、P145 T9中多次呈现，是典型的通过动点与两定点斜率关系来确定动点的轨迹问题． 一般地，A(－a，0)，B(a，0)(a>0)是两定点，直线MA与直线MB交于点M，两直线的斜率分别为k1，k2，若 (1)k1k2＝λ(λ≠0) 当λ<0，且λ≠－1时，点M的轨迹是以A，B为顶点的椭圆(去掉点A，B)， 当λ＝－1时，点M的轨迹是以A，B为直径的圆(去掉点A，B)， 当λ>0时，点M的轨迹是以A，B为顶点的双曲线(去掉点A，B). (2)k1－k2＝λ(λ≠0)，点M的轨迹是抛物线(去掉点A，B). (3)k1＋k2＝λ(λ≠0)，点M的轨迹是双曲线(去掉点A，B). (4)＝λ(λ≠0，且λ≠1)，点M的轨迹是与AB垂直(除去与x轴的交点)的直线(证明略). 【典例】 (2026·宝鸡模拟)设A，B两点的坐标分别为(－，0)，(，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－. (1)求点M的轨迹方程； (2)若P(0，1)，在M的轨迹上任取一点Q(异于点P)，求线段PQ长的最大值． 【解】　 (1)设点M(x，y)，如图所示， 直线AM的斜率kAM＝(x≠－)， 直线BM的斜率kBM＝(x≠). 由已知可得×＝－(x≠±)， 化简可得＋y2＝1(x≠±)， 即点M的轨迹方程为＋y2＝1(x≠±). (2)设Q(x0，y0)，则＋y＝1(x0≠±)， 所以|PQ|2＝x＋(y0－1)2＝5－5y＋(y0－1)2＝－4y－2y0＋6＝－4(y0＋)2＋，根据椭圆范围可得－1≤y0<1，y0≠0， 所以当y0＝－时，|PQ|2取得最大值，最大值为，所以线段PQ长的最大值为. 1．(2026·南宁模拟)已知A(－1，0)，B(1，0)，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为____________________． 解析：设动点M(x，y)(y>0)，由于A(－1，0)， B(1，0)，根据直线AM与BM的斜率之积为2，整理得·＝2，化简得x2－＝1(y>0). 答案：x2－＝1(y>0) 2．(2026·张家口模拟)已知M，N两点坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线KM，KN相交于点K，且它们的斜率之和是3，则点K的轨迹方程为__________________________． 解析：设点K(x，y)，则直线KM的斜率为kKM＝，直线KN的斜率为kKN＝， 由题意可知，kKM＋kKN＝＋＝3，化简得3x2－2xy－12＝0，因为直线KM，KN的斜率存在，所以x≠±2，所以点K的轨迹方程为3x2－2xy－12＝0(x≠±2). 答案：3x2－2xy－12＝0(x≠±2) 学科网（北京）股份有限公司 $