拓展17 将军饮马问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何中的“将军饮马问题”，整合教材例题、模型总结与真题训练，以对称变换为核心，构建“原理梳理-模型应用-真题突破”的复习体系，通过考点精讲、方法归纳、分层练习帮助学生掌握最值问题的转化策略。 讲义创新采用“问题情境-对称转化-逻辑证明”教学模式，如通过作对称点将折线路径转化为直线段，培养学生的几何直观与推理能力。设置基础巩固与综合应用分层练习，配合典例解析强化模型意识，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供系统指导。

　将军饮马问题 人教A版选择性必修第一册P103 T12： 已知直线l：x－2y－8＝0和A(－2，0)，B(2，4)两点，若直线l上存在点P使得|PA|＋|PB|最小，求点P的坐标． 解：显然A，B两点在直线l的同侧，设A(－2，0)关于直线l的对称点为A1(m，n)，则AA1的中点为，且该点在直线l上，AA1⊥l. 因此有 解得 所以A1(2，－8). 连接A1B，A1B与l的交点即为所求点P. 而且此时|PA|＋|PB|的最小值为|A1B|＝12. 直线A1B的方程为x＝2， 易得点P的坐标为(2，－3). [注意]　此题是典型的将军饮马问题．将军饮马问题：如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上求作一点P，使|PA|＋|PB|最小． 作法：作点A关于l的对称点A1，连接A1B，A1B与l交于点P0，则点P0即为所求．(如图，也可作点B关于l的对称点B1，连接AB1，AB1与l交于点P0) 证明：在l上任取一点P，则|PA|＋|PB|＝|PA1|＋|PB|≥|A1B|，当且仅当点P与点P0重合时取等号，即所求的P点即为点P0，此时|PA|＋|PB|的最小值为|A1B|. 【典例】 (1)设点A(1，2)，点B是y轴上的动点，点C是直线x－y－1＝0上的动点，则△ABC周长的最小值是(　　) A．2 B．5 C．2 D．2 (2)已知点P在直线y＝x－2上运动，点E是圆x2＋y2＝1上的动点，F(6，－2)，则－的最大值为__________． 【解析】　(1) 如图，作点A(1，2)关于y轴的对称点A1，关于直线x－y－1＝0的对称点A2，连接A1B，A2C，易得A1的坐标为(－1，2)， 设点A2的坐标为(a，b)， 则解得 所以A2(3，0)，因为|AB|＝|A1B|，|AC|＝|A2C|，所以△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝|A1B|＋|A2C|＋|BC|，所以当A1，B，C，A2四点共线时，△ABC的周长最小，最小值为|A1A2|＝＝2. (2)设点F(6，－2)关于直线y＝x－2的对称点为F′(x0，y0)， 则 解得即F′(0，4)，如图，因为|PF|＝|PF′|，所以|PF|－|PE|＝|PF′|－|PE|，由图可知，|PF′|－|PE|≤|F′E|≤|F′O|＋1＝4＋1＝5，当且仅当F′，E，P三点共线，点E位于圆与y轴负半轴的交点E′时取得最大值． 【答案】　(1)A　(2)5 将军饮马问题的解题思路及模型 将军饮马问题的核心解题思路是通过轴对称变换将折线路径转化为直线段，利用“两点之间线段最短”的原理求解最值．常见以下两种模型： (1)两定一动模型：若两定点在直线异侧，直接连接两点，交点即为使折线段和最小的点；若两定点在直线同侧，作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，交点即为所求点，此时折线段和等于线段长度，取得最小值． (2)两动一定模型：对定点分别作关于两条动点所在直线的对称点，连接对称点，交点即为使三角形周长最小的点，此时周长等于线段长度． 1．函数y＝＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B.由y＝＋ ＝＋ ， 设A(1，1)，B(4，3)，P(x，0)，得y的几何意义为|AP|＋|BP|的值．作点A(1，1)关于x轴的对称点C(1，－1)，连接CP，BC，所以|AP|＋|BP|＝|CP|＋|BP|≥|BC|，当且仅当P为BC与x轴交点时，等号成立． 即ymin＝|BC|＝＝5. 2．已知椭圆C：＋＝1与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)且过点P(2，)，直线l：y＝kx＋4与椭圆C交于不同的两点M，N.设直线AN与直线BM相交于点G，则＋的最小值为________． 解析：设点N(x1，y1)，M(x2，y2)(y1≠±2，y2≠±2)，直线l与椭圆C的方程联立消去y整理得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0，由Δ＝(16k)2－4×24(1＋2k2)>0⇒k2>，且x1＋x2＝－，x1x2＝，所以x1＋x2＝－kx1x2，易知A(0，2)， B(0，－2)，则直线AN的方程为y－2＝x，直线BM的方程为y＋2＝x，两式作商得＝＝＝＝－，解得y＝1， 故G在定直线y＝1上． 由图可知，点A，P都在直线y＝1的上方，点A关于直线y＝1的对称点为原点O，连接GO，OP，由对称性知|GA|＝|GO|，所以|GA|＋|GP|＝|GO|＋|GP|≥|OP|＝＝，当且仅当G为线段OP与直线y＝1的交点，即点G的坐标为(，1)时等号成立，故|GA|＋|GP|的最小值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $