期中复习高效提分讲义（压轴篇）2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 期中复习高效提分讲义（重难点篇） 重难点一、不等式的整数解问题 1. 已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则为____ 2.若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是__________. 3.关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 5.已知，若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围是_______． 6. （25-26同济大学二附中高一上期中）若关于x的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为_______． 7.已知关于的不等式的解集为． （1）若，求； （2）是否存在实数，满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”.若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）若存在实数和实数，使得，求实数的取值范围． 重难点二、基本不等式求最值 8. （25-26上海市实验学校高一上期中）、为正实数，若，，则的最小值为________． 9.（24-25高一上·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 10.（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 11. 已知、均为正实数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 12. 若正数满足， 则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 13. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若正数，满足，则的最大值是 D. 若实数，，满足，则的最小值为 14. 已知，，且，则下列说法错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 15. 已知，且，则的最小值为___________． 16. 若，，，则的最小值为_____. 17. 已知，，，则下列结论错误的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 18. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. 3 B. 9 C. 4 D. 8 重难点三、三角不等式的应用 19.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 20.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ________． 21. 已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是__________. 22.（25-26华东师大二附中高一上期中）已知，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 23.已知，且，则的最小值是______ 24.（25-26上海市控江中学高一上期中） 若存在实数使得成立，则实数的取值范围为______． 25.（25-26上海交通大学附中高一上期中）已知，关于的不等式． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的取值范围． 重难点四、不等式的应用问题 26. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）关于x的不等式． （1）若，求不等式解集； （2）当时，求上述不等式的解集． 27.（25-26上海市南洋模范中学高一上期中）已知不等式的解集为 （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若解关于的不等式：． 29. 已知关于的不等式的解集为； （1）若存在实数，使得，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）是否存在实数，满足：“对于任意，，都有；对于任意，，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 30. 已知函数. （1）当，时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数，的值； （3）若，且，，则当，取何值时，值最小？最小值是多少？ 31.（25-26上海市七宝中学高一上期中）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. （1）证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） （2）请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； （3）证明：. 重难点五、幂指对函数综合题 32.已知函数为幂函数． （1）求的解析式； （2）若在，上单调递增，求实数的取值范围． 33. 已知幂函数在上满足，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为A、B，设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 34. 已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 35. 已知函数是单调递减的指数函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 36. 已知指数函数在区间，上的最大值比最小值大2， （1）求实数的值． （2），求的取值范围． 37.已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 38.已知函数，，，； (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 重难点六、集合新定义问题 39.若集合有个子集，则称集合为“集合”，已知集合是“2集合”，则正实数的取值范围是_______． 40.设集合，，，，其中，，给出下列两个命题：命题：存在实数，使得不是的子集；命题：对任意的实数，不是的子集．下列说法正确的是（ ）． A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题 C. 命题、都是真命题 D. 命题、都是假命题 41.设集合，，用表示集合中所含元素的个数，若，则实数的值组成的集合为__________. 42.对于给定的非空集合，定义集合 ， ，若，则称集合满足性质，则下列命题成立的是（ ） ①集合满足性质； ②集合满足性质； ③若集合满足性质且，，则； ④若集合，且，则． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 43.用表示非空集合中的元素个数.对于集合，，定义若，，设实数的所有可能取值组成的集合是，则下列选项不正确的是（ ） A. 的可能值为1，2，3，4 B. 若，则的取值范围为 C. 若，则 D. 若，则的取值范围为 44.（25-26上海市徐汇中学高一上期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. （1）判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； （2）题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； （3）若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. 45. （25-26上海市浦东新区高一上期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的正整数，定义集合. （1）若，直接写出集合和； （2）若，其中（为正整数集），，直接写出使得集合中元素个数最少的一个（用表示）； （3）若，和都是正整数，集合，求出使得成立的所有和的值，并说明理由. 46.（25-26上海市 育才中学高一上期中）教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： （1）求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； （2）求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； （3）对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 重难点七、函数新定义综合题 47.定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件． (1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由； (2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围． 48.俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 49. （25-26上海市杨浦高级中学高一上期中）若函数的定义域为，且对于任意的，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记，其中，并对任意的，记集合，并规定. （1）若，函数的定义域为，求； （2）若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，求证：函数为上的“单值函数”； （3）设，若函数的定义域为，且表达式为：判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 期中复习高效提分讲义（重难点篇） 重难点一、不等式的整数解问题 1. 已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则为____ 【答案】 可 【分析】 由题意推导出，解原不等式可得，结合已知条件得出，可得出，由此可得出合适的选项. 【详解】由，由于该不等式的解集中的整数恰有个，有，，故. 由不等式解得， 要使该不等式的解集中的整数恰有个，且，那么，得， 又，所以，则. 2.若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合题意求解即可. 【详解】，即， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3.关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出的草图，由解出实数a的取值范围. 【详解】函数的图象如图所示． 若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则 即解得. 故选：A． 4.若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 5.已知，若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分、和三种情况取绝对值求解不等式，再根据不等式的解集中恰有个整数解进行求解即可. 【详解】当时，不等式等价为即， 若，则不等式的解为又，此时不等式的解集中不止个整数解； 若，因为，所以，故不等式无解； 当时，不等式等价为即，解得，又，此时不等式的解集中没有整数解； 当时，不等式等价为即， 若，则不等式的解为又，此时不等式的解集中不止个整数解； 若，则不等式的解为，又，此时不等式的解集中不止个整数解； 若，则不等式的解为又，所以不等式的解为，因为不等式的解集中恰有个整数解， 所以，解得. 6. （25-26同济大学二附中高一上期中）若关于x的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意不等式恰好有4个整数解，且，从而首先得出，进一步化简得不等式的解集为，由此即可列出不等式组求解. 【详解】因为， 所以由题意当且仅当不等式恰好有4个整数解，且， 所以首先，解得， 又方程的根为，即或， 所以不等式的解集为， 因为，所以， 所以不等式的4个整数解只能是2，3，4，5， 所以， 又因为， 所以解得，即实数的范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是首先得出，由此即可顺利得解. 7.已知关于的不等式的解集为． （1）若，求； （2）是否存在实数，满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”.若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）若存在实数和实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）存在，理由如下： 当时，原不等式化为，解得，则原不等式解集为， 满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”； 当时，原不等式化为，则原不等式解集为， 不满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”； 当且时,，对方程有， 所以时，方程有两个不相等实数根分别为、， 时，方程无根， 时，方程有两个相等实数根为， 又时，一元二次函数图象开口向上， 时，一元二次函数函数图象开口向下， 所以当时图象开口向上且，原不等式解集为， 当时图象开口向下且与x轴无交点，原不等式解集为， 当时，图象开口向下且与x轴有一个交点，原不等式解集为， 当时图象开口向下且，原不等式解集为， 所以当且时均不满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”； 综上，存在满足：“对于任意的负整数，都有；对于任意的正整数，都有”. （3）实数的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）化简得到一元二次不等式，利用相应一元二次函数图象即可得解； （2）分类讨论解出不等式解集M即可由题意得解； （3）由题意结合（2）中不等式解集情况即可列出关于k的不等式组计算求解. 【小问1详解】 若，解原不等式等价于解不等式， 对方程有， 所以函数图象与轴无交点，图象开口向上， 所以不等式的解集为R，即原不等式解集为R， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知且、， 所以， 所以实数的取值范围为． 重难点二、基本不等式求最值 8. （25-26上海市实验学校高一上期中）、为正实数，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件得到，再令，得到，，结合基本不等式求得即可求解. 【详解】由，得， 所以， 令，则， 所以， 且，且， 解得：，即，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最小值为2， 故答案为：2 9.（24-25高一上·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 10.（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 【答案】 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 11. 已知、均为正实数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可判断B选项；由已知条件得出，化简得出，结合二次函数的基本性质可判断C选项；由重要不等式推导得出，可判断D选项. 【详解】因为、均为正实数， 对于A选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，A对； 对于B选项，因为， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，B对； 对于C选项，由可得，且， 则 ， 因为，故，故， 所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C错； 对于D选项，由重要不等式得， 所以，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D对. 故选：C. 12. 若正数满足， 则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意确定的正负，利用基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得正数满足， 当时，则， 当且仅当时取等号， 当时，，不合题意； 故的最小值为9， 故选：B 13. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若正数，满足，则的最大值是 D. 若实数，，满足，则的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，举反例即可排除； 对于B，利用基本不等式即可判断； 对于C，利用完全平方公式推导得，从而求得，由此即可判断； 对于D，利用换元法及对指数互换推得，再利用换元法解二次不等式得到，从而得到的最小值为. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，则，故B正确； 对于C，因为，，所以，即， 故，注意，该不等式对于任意的皆成立， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，即的最大值是，故C正确； 对于D，因为，，， 令，则，，故，所以， 由于，故不等式两边同时除以，得，即， 令，则，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，故D正确. 故选：A. 14. 已知，，且，则下列说法错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对ABC进行逐一分析即可判断，利用二次函数性质判断D. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 解得，当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取得等号，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 所以当时，取得最小值为，故D正确； 故选：B 15. 已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据用x表示出y，根据可求出，同理可求．将配为，将构造为，利用基本不等式即可求解． 【详解】由可得 显然，故得， ∵，∴，同理． 可化为， 整理得， ∵，，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为， 故答案为：． 16. 若，，，则的最小值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 17. 已知，，，则下列结论错误的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】B 【分析】结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】解：对于A，，，由 ，可得 ，当且仅当，时，取得最大值 ，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，选项B错误； 对于C，由，得，且，所以， 当，时，等号成立，选项C正确； 对于D，，当且仅当，时，等号成立，选项D正确． 故选：B 18. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. 3 B. 9 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】a，b均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 重难点三、三角不等式的应用 19.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】因为不等式，不等式的最大值为， 对任意，不等式恒成立，所以， 则的取值范围为，即得的取值范围为. 20.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ________． 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，即取等号， 又，不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 21. 已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为不等式在上恒成立， 所以当时，恒成立，即恒成立； 此时，的最小值为，所以要使不等式成立，则. 当时，恒成立，即恒成立； 此时，的最小值为，所以要使不等式成立，则. 当时，，即. 综上，. 故答案为：. 22.（25-26华东师大二附中高一上期中）已知，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】B 【分析】通过举例子得到充分性不成立，对进行化简得到从而证明必要性成立，再利用必要非充分条件的判定方法即可得到答案. 【详解】充分性：当时，此时，，等式不成立， 故不能保证成立，充分性不成立. 必要性：当时，两边同时平方得：， 即，即，故能推出，故必要性成立. 综上，是的必要非充分条件. 故选：B. 23.已知，且，则的最小值是______ 【答案】1 【详解】由. 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为3； 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为1； 综上：的最小值是1. 故答案为：1 24.（25-26上海市控江中学高一上期中） 若存在实数使得成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分，，，，五类情况进行讨论即可得出结论. 【详解】当时，不等式可化为，符合题意； 当时，不等式可化为， 当时 ，不等式即为，此时，所以； 当时 ，不等式即为，此时，所以； 当时，不等式可化为，不存在满足题意的； 当时，不等式可化为，符合题意. 综上所述的取值范围为. 故答案为： 25.（25-26上海交通大学附中高一上期中）已知，关于的不等式． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）分段讨论求解不等式； （2）分段讨论求出函数的值域，由求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，无解； 当 时，不等式可化为，解得； 综上，不等式解集为，或. 【小问2详解】 令， 则当时，；当时，；当时，， 所以. 因为不等式的解集为，则，解得， 所以的取值范围为. 重难点四、不等式的应用问题 26. （25-26上海市南洋模范中学高一上期中）关于x的不等式． （1）若，求不等式解集； （2）当时，求上述不等式的解集． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：． 【解析】 【分析】（1）当时，利用不等式的解法求解即可，注意分母不为； （2）分别讨论，，，和的情况下，不等式的解集. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以且， 解得或， 所以，不等式的解集为； 【小问2详解】 ①当时，， 因为恒成立， 所以， 即不等式的解集为：； ②当时，且， 解得或，且， 即不等式的解集为：； ③当时，且， 解得或，且， 即不等式的解集为：； ④当时，， 所以，且， 解得或， 即不等式的解集为：； ⑤当时，且， 解得或， 即不等式的解集为：． 27.（25-26上海市南洋模范中学高一上期中）已知不等式的解集为 （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若解关于的不等式：． 【答案】（1）15； （2）； （3） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可得不等式的解集为，且不等式的解集为，然后利用根与系数的关系可得，，从而可求得的值； （2）结合（1）可得恒成立，可得，再由不等式有且仅有9个整数解，得，从而可求得的取值范围； （3）当时，结合（1）得，然后分，和三种情况求解，当时，由（1）的方法可得，再由恒成立，可得，从而可求得不等式的解集，再分和求解即可 【小问1详解】 因为，不等式的解集为， 所以不等式的解集为，且不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3， 所以，得，， 所以， 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以不等式，可化为， 由（1）知等式的解集为， 所以恒成立， 所以，解得， 不等式等价于， 所以，得， 因为不等式有且仅有9个整数解， 所以，解得， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 若，则由（1）可知可化为， 即， 当时，，即不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，即不等式的解集为， 若，则不等式的解集为，的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3， 所以，得， 所以不等式的解集为， 所以恒成立， 所以，解得， 所以所求不等式为， 解得或，即不等式的解集为， 当时，，得， 所以所求不等式无解， 当时，，得， 所以所求不等式为，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法，考查由不等式的解集确定参数，解题的关键是合理分类讨论，根据一元二次不等式的解法求解，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 29. 已知关于的不等式的解集为； （1）若存在实数，使得，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）是否存在实数，满足：“对于任意，，都有；对于任意，，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或； （3）存在，，理由如下， 根据题意，得出解集，； 当时，解得或， 时，不等式的解集为，满足条件； 时，1＞0恒成立，不满足条件； 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 综上，满足条件的值为3. 【解析】 【分析】（1），即不等式解集仅去掉点，对应二次项系数大于0且判别式Δ=0； （2）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围； （3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可． 【小问1详解】 记. 表示对一切成立，且，故需二次项系数大于0且. 由得或. 当时，二次项系数，，符合； 当时二次项系数为0，，，不符合.故. 【小问2详解】 即对一切恒成立. ①当（即或）时，需，即，得或，故或； ②当时，得不恒正，不符合题意，舍去， 当得恒成立，符合题意； ③当时，抛物线开口向下，不能恒正. 综上，或. 【小问3详解】 略 30. 已知函数. （1）当，时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数，的值； （3）若，且，，则当，取何值时，值最小？最小值是多少？ 【答案】（1）或； （2）； （3）；最小值为 【解析】 【分析】（1），解一元二次不等式，求出解集； （2）转化为，是两根，且，，由韦达定理得到方程组，求出答案； （3）由得到，利用基本不等式“1”的代换求出最小值. 【小问1详解】 将，代入可得，即， 解得或；所以解集为或； 【小问2详解】 由题意可知，是两根，且， 同时的开口向上可得， 根据韦达定理可得，解得； 【小问3详解】 由1是的零点，所以，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以取的最小值，且最小值为 31.（25-26上海市七宝中学高一上期中）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. （1）证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） （2）请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； （3）证明：. 【答案】（1）证明：由题意可知要证明， 只需证明， 左边， 右边， 所以左边右边，当且仅当，即时等号成立； （2） （3）证明：由柯西分式不等式可知， 当且仅当时，即时取等号； 由可得， 即， 可得， 当且仅当时，即时取等号. 令， 则等价于，， 即证，即证， 因为恒成立，且时取等号，故原命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，以及题干所给条件，证明不等式即可. （2）根据题干条件，写出不等式，再利用不等式求出最小值即可. （3）对不等式进行换元，再根据题目定义，证明结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立； 由3维柯西分式型不等式可知， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 略 重难点五、幂指对函数综合题 32.已知函数为幂函数． （1）求的解析式； （2）若在，上单调递增，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数为幂函数，则，，． （2），由复合函数的单调性，得，解得． 故实数的取值范围为，． 33. 已知幂函数在上满足，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为A、B，设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 由幂函数在上满足，得在上单调递增， 则，而时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 所以. （2）由（1）知，，当时，，则， 函数在上单调递增，，则， 由p是q成立的必要不充分条件，得，则或， 解得或，因此， 所以实数k的取值范围是. 34. 已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 【解析】（1）由是幂函数，得，解得或． 当时，，当时，，不符合题意； 当时，，当时，，符合题意． ∴． （2），即， ∵函数在R上单调递增， ∴，解得． ∴a的取值范围为． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为2． 35. 已知函数是单调递减的指数函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义和指数函数单调性可构造方程求得的值； （2）将所求不等式化为，令，解关于的一元二次不等式可求得，进而根据指数函数单调性解得的范围. 【详解】（1）为指数函数，，解得：或， 或，又单调递减，，即. （2）由得：； 令，则，解得：，即，解得：， 的解集为. 36. 已知指数函数在区间，上的最大值比最小值大2， （1）求实数的值． （2），求的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值． （2）根据函数的单调性以及一元二次不等式的解法求得的取值范围． 【解答】解：（1）由于，所以在，上单调递增， 所以（2）（1），解得或（舍去）． （2）由（1）得，则由， 得，，解得或． 的取值范围为，，． 【点评】本题考查指数函数的性质，考查指数不等式，属于基础题． 37.已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【解析】（1）因为的图象过坐标原点， 所以，解得. （2）若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 38.已知函数，，，； (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出的取值范围，再对勾函数的单调性求出函数的值域； （2）令，依题意可得在上恒成立，结合函数的单调性求出，即可得解； （3）依题意可得对任意，恒成立，即，令，，分、、、四种情况讨论，分别求出的最值，从而得到不等式，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，且在上单调递增， 又在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以 （2）令，因为，所以， 依题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 又函数在上单调递增， 所以当时， 所以. （3）由（1）知，在上的最大值为， 所以对任意，恒成立，即， 令，， ①，即时，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ③，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ④，即时，在上单调递减， 所以， 所以，所以 综上可得，的取值范围为. 重难点六、集合新定义问题 39.若集合有个子集，则称集合为“集合”，已知集合是“2集合”，则正实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，设出二次函数与一次函数，再作出两函数图象；由集合是“2集合”，故集合中只有一个元素，再结合图象计算即可得解. 【详解】由，可得， 设二次函数与一次函数， 由，过定点，两函数图象如下图： 由集合是“2集合”，故集合中只有一个元素， 结合图象可得，解得， 故正实数的取值范围是. 40.设集合，，，，其中，，给出下列两个命题：命题：存在实数，使得不是的子集；命题：对任意的实数，不是的子集．下列说法正确的是（ ）． A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题 C. 命题、都是真命题 D. 命题、都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题． 【详解】由于，即时，一定成立， 故是的子集，因此命题是假命题； 令，； 令，， 从而可知，当时，，此时，是的子集，故命题是假命题． 41.设集合，，用表示集合中所含元素的个数，若，则实数的值组成的集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】因为，又，所以或，因为，分情况讨论方程的实数解的个数，即可求出的值. 【详解】因为，所以， 又，所以或， ， 故， 若，则方程无解或者有唯一解， 若，则方程为，该方程无实数解，符合题意， 若，则方程有唯一解，则，解得， 此时方程即为，， 故此时方程有唯一解，此时； 若，则方程有除外的两个解， 若无解，则，此时无解，不符合条件； 若的解为，则，此时有唯一解，不符合条件； 若有解且实数解，即，则且有唯一实数解， 即，解得或. 时，，符合条件； 时，，不符合条件. 综上，或或，故实数的取值集合为. 42.对于给定的非空集合，定义集合 ， ，若，则称集合满足性质，则下列命题成立的是（ ） ①集合满足性质； ②集合满足性质； ③若集合满足性质且，，则； ④若集合，且，则． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【详解】①计算得： ， ， ，满足性质， ①正确. ②计算得： ， ， ，不满足性质， ②错误. ③由互异性得且，结合，得. ，，计算得： ， 由逐一验证： ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，，而中均小于，均大于， 无公共元素，满足性质，因此满足性质的的取值为， 由于时不满足性质，所以命题③不成立. ④由，所有两元素差的绝对值都必须是中的元素， 求： ，该值属于.又，不可能等于， 故只能，解得. 求： 代入，，，则属于. 假设，即，此时，但不在中， 即会多出元素，与矛盾，因此不能等于，因此只能，解得. 验证：，，符合条件，此时， ④正确. 43.用表示非空集合中的元素个数.对于集合，，定义若，，设实数的所有可能取值组成的集合是，则下列选项不正确的是（ ） A. 的可能值为1，2，3，4 B. 若，则的取值范围为 C. 若，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得，对集合中的实数分和两种情况分类讨论，并结合判别式即可判断出方程根的情况，最后结合新定义即可判断每个选项的正误． 【详解】，解方程： 当时，； 当且时，； 当时；当时． A：的可能值为1、2、3、4，正确； B：等价于，即， 所以，正确； C：等价于或3，即或， 此时的取值集合，，正确； D：等价于，即且， 所以，而选项给出的范围多含了（此时），错误． 44.（25-26上海市徐汇中学高一上期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. （1）判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； （2）题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； （3）若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据集合是“好集”的定义对集合和中的元素一一验证数或中至少有一个属于是否成立，即可得解； （2）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为，则，，由，，得到，，则有限集合是“坏集”； （3）由且时，，则为“超级好集”；由（2）的结论证明集合中不可能存在其它元素，从而得到满足题意的“超级好集”且. 【小问1详解】 ，当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. 【小问2详解】 假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，，， ，，有限集合是“坏集”. 【小问3详解】 当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 由（2）知：集合不可能同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. 45. （25-26上海市浦东新区高一上期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的正整数，定义集合. （1）若，直接写出集合和； （2）若，其中（为正整数集），，直接写出使得集合中元素个数最少的一个（用表示）； （3）若，和都是正整数，集合，求出使得成立的所有和的值，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，即可求出； （2）由，得到，得到时，此时中的元素个数最少，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，分和两种情况分类讨论，结合题设条件，即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，又， 所以， ； 【小问2详解】 由，， 对于， 所以当时，中的元素个数最少， 所以，中的元素个数最少； 【小问3详解】 若时，得，要使得且，则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 所以. 46.（25-26上海市 育才中学高一上期中）教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： （1）求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； （2）求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； （3）对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 【答案】（1）最小值2， （2） 1，4，2，3的波动距离为； 实数，，，满足， 则 ， 因为， 所以， 即. （3）32，理由如下： ， 其中，，，， 因为当或时，， 由（2）知交换，的顺序可使得波动距离变大，所以；同理， 所以或， 可知的最大值是. 【解析】 【分析】（1）根绝绝对值三角不等式的知识求得最小值以及此时对应的的取值范围. （2）先求得波动距离，然后利用差比较法以及绝对值三角不等式证得. （3）先求得，然后结合（2）求得的最大值. 【小问1详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当时，取最小值2. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 重难点七、函数新定义综合题 47.定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件． (1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由； (2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围． 【解析】（1）满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件． 理由如下：对于， ，只需， 所以存在正数，使对任意恒成立， 所以满足1阶李普希兹条件． 对于， ，不妨设，则， ，即不存在正数，使不等式对任意恒成立， 所以不满足1阶李普希兹条件． （2）不妨设，则时，， 所以 ， 故时，对任意，均有 故函数在区间上满足阶李普希兹条件， 的取值范围为． 48.俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【答案】（1）3 （2） （3）时，函数与的“偏差”取最小值. 【解析】 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为3； （2），利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值得到的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【小问1详解】 （1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. 【小问2详解】 令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以 【小问3详解】 ， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 【点睛】函数新定义问题，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 49. （25-26上海市杨浦高级中学高一上期中）若函数的定义域为，且对于任意的，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记，其中，并对任意的，记集合，并规定. （1）若，函数的定义域为，求； （2）若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，求证：函数为上的“单值函数”； （3）设，若函数的定义域为，且表达式为：判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得. 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）是单值函数，证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接计算； （2）根据新定义用反证法证明； （3）根据新定义证明是否为上的＂单值函数＂，由函数定义说明的长度不变，然后得出在，（存在正整数，它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，利用单值函数的定义得出，从而证明结论成立． 【小问1详解】 时，，所以， 时，，所以， 时，，所以； 【小问2详解】 由已知单值函数的定义可以改写为：若函数的定义域为， 且对于任意的、，＂＂的充要条件是＂＂， 则称函数为上的＂单值函数． 假设不是上的单值函数，则存在成立， 即，于是，即， 依此类推，得， 但由题意，因此，而，因此， 这样得出了矛盾的结论，所以假设不成立，即是上的单值函数； 【小问3详解】 由新定义知是单值函数，也是单值函数， ，则， 又时，， 时，， 又， 因此对任意的， 所以是上的＂单值函数＂， 对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合是若干个区间的并集， 则等于组成它的所有区间的长度之和， 对于任意的区间，， 不妨设，， 若，则，， 若，则，, 若，则， 所以， 对于任意的区间，显然存在正整数，使得， 因此在（它们的长度和大于1）中， 必然存在正整数，使得， 因此必存在，使得，又是上的单值函数， 所以，， 这表示，取，所以对任意区间，存在正整数，使得． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $