第8章 第4讲 直线、圆的几何性质 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦圆的方程与直线位置关系，以“概念-方法-应用”逻辑链整合切线、弦长、轨迹等核心问题，提炼垂径定理、距离公式等通性通法，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|1-4题|圆心距公式、勾股定理求半径|从圆的标准方程（圆心、半径）到弦长计算，构建“半径-弦心距-半弦长”关系| |位置关系|5-8题|切线斜率与半径垂直、直线过定点判定|通过距离公式判断直线与圆位置，结合几何性质（如切线长、最小弦长）| |综合应用|9-14题|轨迹方程（垂径定理）、斜率定值问题|从方程联立到参数计算，实现代数法与几何法融合，培养数学模型意识|

　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知圆A的圆心为(4，4)，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选A.由圆心坐标可知，圆心到弦的距离为d＝4，又弦长为6，所以圆的半径r＝＝5. 2.已知圆x2＋y2＝25，则过圆上一点A(3，4)的切线方程为(　　) A．3x＋4y－25＝0 B．4x＋3y－24＝0 C．3x－4y＋7＝0 D．4x－3y＝0 解析：选A.因为圆x2＋y2＝25的圆心为O(0，0)，所以kOA＝＝，所以切线的斜率k＝－，所以所求切线的方程为y－4＝－(x－3)，即3x＋4y－25＝0. 3.直线kx－y－k＋1＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，当|AB|取最小值时，k的值为(　　) A．－1 B．1 C．4 D． 解析：选A.直线方程变形为k(x－1)－y＋1＝0，即直线恒过点(1，1)，设为点C，当AB⊥OC时，|AB|取最小值，此时k×kOC＝k×1＝－1，解得k＝－1. 4.点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　　) A．[，＋∞） B．（－∞，－） C．[－，] D．（－∞，－]∪[，＋∞） 解析：选D.设k＝，则y＝kx，因为点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，且在直线y＝kx上，则直线y＝kx与圆x2＋(y－2)2＝1有交点，则圆心(0，2)到直线y＝kx的距离d＝≤1，得k≤－或k≥，故的取值范围是（－∞，－]∪[，＋∞）. 5.（2026·苏州模拟）已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r＞0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，当∠MPN的最大值为时，r的值为(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选A.如图MC＝r，sin ∠MPC＝， 当∠MPN的最大值为时，∠MPC＝， 当PC⊥l时，|PC|最小，∠MPC最大． 由题得|PC|min＝＝2， 所以sin ＝＝，则r＝1. 6.（多选）已知直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴交于A，B两点，点P为圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上的动点，则(　　) A．直线AB与圆C相离 B．△ABC 的面积为12 C．当∠PBA最小时，|PB|＝ D．点P到直线AB距离的最大值为 解析：选AC.由圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，可得圆心为C(3，4)，半径为r＝2. 对于A，圆心C到直线4x＋3y－12＝0的距离为d＝＝＞r＝2， 所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B，易知A(3，0)，B(0，4)，所以|AB|＝5，点C到直线AB的距离为，则S△ABC＝×5×＝6，所以B错误； 对于C，如图所示，当∠PBA最小时，直线PB与圆C相切，此时|PB|＝＝，所以C正确； 对于D，点P到直线AB距离的最大值为d＋r＝＋2＝，所以D错误． 7.（2026·南京模拟）若圆心在x轴上的圆C与直线l：x－y＋1＝0相切于点A(1，2)，则圆心C的坐标为　　　　Ｗ． 解析：设过点A(1，2)且与直线l：x－y＋1＝0垂直的直线为x＋y＋m＝0， 则1＋2＋m＝0，解得m＝－3， 所以x＋y－3＝0，即圆心C在直线x＋y－3＝0上，又圆心C在x轴上，令y＝0，可得x＝3，所以圆心C的坐标为(3，0). 答案：(3，0) 8.（2026·南充模拟）已知曲线f(x)＝x cos x，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝9，若直线l与曲线f(x)在点(0，0)处的切线平行，且直线l被圆C截得的弦长为6，则直线l的方程为　　　　　Ｗ． 解析：对f(x)＝x cos x求导可得f′(x)＝cos x－x sin x，所以f′(0)＝1， 故直线l的斜率为1，又C：(x－1)2＋(y＋1)2＝9的半径为r＝3，圆心为C(1，－1)， 直线l被圆C截得的弦长为6，故直线l刚好经过圆C的圆心(1，－1)，故直线l的方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0. 答案：x－y－2＝0 9.（13分）已知圆C：(x－4)2＋y2＝25，点P(1，4)，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程；（7分） (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长．（6分） 解：(1)圆C：(x－4)2＋y2＝25的圆心为(4，0)，半径为5，当过点P(1，4)的直线斜率不存在时，直线为x＝1， 此时点(4，0)到直线x＝1的距离为3＜5，故直线x＝1与圆C相交，不合题意． 当过点P(1，4)的直线斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－1)，即kx－y＋4－k＝0， 由题意得＝5，解得k＝， 此时直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－4y＋13＝0. 综上，直线l的方程为3x－4y＋13＝0. (2)l的倾斜角为，故斜率为tan ＝1， 故直线l的方程为y－4＝x－1，即x－y＋3＝0，圆心(4，0)到直线x－y＋3＝0的距离为＝，故l被圆C截得的弦长为2＝. 10.已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，P为y轴上的一个动点（异于原点），过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且线段AB的中点为M，点N(5，3)，则|MN|的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C. 如图，圆C的圆心为(2，0)，半径为2，则圆C与y轴相切，切点为原点O，记为A，又M为AB的中点，则CM⊥AB，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆（去掉A，C两点），其中圆心为(1，0)，半径为1，又N(5，3)，所以|MN|max＝＋1＝6. 11.（多选）（2026·邢台模拟）已知a≠0，a∈R，圆C：x2＋y2－2ax－4y＋a2＝0与直线x＝ty交于A，B两点，O为坐标原点，则(　　) A．当a＝1，t＝0时，|AB|＝2 B．过点O向圆C所引的切线长为|a| C．当a＝2时，弦AB中点的轨迹长度为π D．|OA|·|OB|＝a2 解析：选BCD.圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4的圆心C(a，2)，半径r＝2，对于A，当a＝1，t＝0时，点C(1，2)到直线x＝0的距离d＝1，则|AB|＝2＝2，A错误； 对于B，切线长为＝|a|，B正确； 对于C，当a＝2时，点C(2，2)，令弦AB的中点为M，则CM⊥AB，点M的轨迹是以OC为直径的半圆（不含端点），轨迹长度为|OC|π＝π，C正确； 对于D，由 消去x得(t2＋1)y2－(2at＋4)y＋a2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝， |OA|·|OB|＝|·|＝|x1x2＋y1y2|＝|(t2＋1)y1y2|＝a2，D正确． 12.已知O为坐标原点，圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝4与x轴相切于点A，直线x－y＋2＝0交圆M于B，C两点，其中点B在第二象限，则·＝　　　　Ｗ． 解析：由题意，圆M的圆心为M(1，2)，半径为2，因为圆M与x轴相切于点A，所以A(1，0)， 故||＝1，而M到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝，所以|BC|＝2＝，而直线x－y＋2＝0的斜率为，故直线x－y＋2＝0的倾斜角为，故〈，〉＝，则·＝||×||cos ＝1××＝. 答案： 13.（15分）（2026·襄阳模拟）在平面直角坐标系中，Q(2，0)，过点P(2，4)作直线l与圆O：x2＋y2＝4交于不同的两点M，N. (1)若直线l的斜率为1，求|MN|；（5分） (2)设直线QM，QN的斜率分别是k1，k2，探索k1＋k2是不是定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．（10分） 解：(1)依题意，得直线l：y－4＝x－2，即y＝x＋2，则圆心(0，0)到直线l的距离d＝＝，所以|MN|＝2＝2. (2)依题意，直线l的斜率存在且不为零，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，l：y－4＝k(x－2)， 联立得(1＋k2)x2－4k(k－2)x＋4k2－16k＋12＝0，Δ＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以k1＋k2＝＋＝＋＝2k＋＋＝2k＋＝2k＋ ＝2k－(2k＋1)＝－1， 所以k1＋k2是定值，且定值为－1. 14.（15分）已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－16x＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． (1)求M的轨迹方程；（7分） (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．（8分） 解：(1)设点M(x，y)，当点M不与点P重合时，即当x≠2且y≠2时， 由垂径定理可知CM⊥AB，即CM⊥PM. 又圆C的圆心为C(8，0)，P(2，2)， 则＝(x－8，y)，＝(x－2，y－2)， 所以·＝(x－8)(x－2)＋y(y－2)＝0，即(x－5)2＋(y－1)2＝10. 当点M与点P重合时，点P的坐标也满足方程(x－5)2＋(y－1)2＝10， 故点M的轨迹方程为圆N：(x－5)2＋(y－1)2＝10. (2)方法一：当|OM|＝|OP|＝2时，点M与点P满足圆O的方程x2＋y2＝8， 又点M与点P在圆N：(x－5)2＋(y－1)2＝10上，所以直线MP为圆O和圆N的交线， 直线MP的方程为(x2＋y2)－[(x－5)2＋(y－1)2]＝8－10，即5x＋y－12＝0， 所以l的方程为5x＋y－12＝0. 点O到直线MP的距离d＝＝，又圆O的半径r＝2，所以弦长|MP|＝2＝2＝， 所以△POM的面积S＝|MP|d＝××＝. 方法二：设 M(m，n)， 由题意可得解得即点M.又kPM＝＝－5，所以直线l的方程为y－2＝－5(x－2)，即5x＋y－12＝0. 又因为kOP＝1，则直线OP的方程为x－y＝0，且|OP|＝2，点M到直线OP的距离为d1＝＝，故△POM的面积S＝|OP|·d1＝×2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $