重难点专训02 二项式定理系数最值与赋值法应用六大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训02 二项式定理系数最值与赋值法应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 通项求特定项（常数项/指定次数项） 3 题型2 赋值法求各项系数和 3 题型3 奇偶次项系数和 4 题型4 二项式系数最值 5 题型5 系数最大项 5 题型6 整除与余数 6 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 一、二项式定理与通项公式： 其中 n 为正整数。展开式共有 n+1 项；第 k+1 项（k 从 0 起）称为通项： 使用通项公式时务必注意：k 取 0 到 n 的整数，“第 k+1 项”对应 ，项序号比指数 k 大 1。 二、二项式系数与项的系数 二项式系数：指通项中的组合数 ，只与 n、k 有关，不含展开式中字母或数字因数；项的系数：指该项完整的数字因数（含符号与常数因子）。例如 中第 4 项的项为 ，其中二项式系数是 ，项的系数是 160。组合数计算公式：（其中 n! 表示 n 的阶乘）。计算与化简常配合两条性质：； 三、二项式系数的性质（与最值问题直接相关） 1. 对称性：与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即上面的 ； 2. 增减性与最大值：二项式系数先增后减。n 为偶数时，中间一项（第 +1项）的二项式系数最大；n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大且相等； 3. 各二项式系数之和： 4. 奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和： 四、赋值法及其应用 二项展开式是一个恒等式： 它对任意实数 x 都成立，因此可以代入特殊值 x，得到关于系数 的代数关系，从而不必逐一展开即可求出各类系数和。这就是赋值法的本质——恒等式代值。 赋值 所得关系 主要用途 x = 0 常数项（含展开式首项） x = 1 各项系数之和 x = −1 奇偶次项系数之差 x = 1 与 −1 联立 ； 偶次项、奇次项系数和 二项式系数和 与“各项系数之和”严格区分 五、易错点警示 易错点 典型错误 防范策略 项序错位 把展开式第 1 项当作第 1 个二项式系数项，通项下标乱用 牢记 中 k 从 0 起，第 m 项对应 k = m − 1 系数混淆 把 的“系数和”误用为 系数和令 x = 1； 是二项式系数和 两类最值混淆 用“中间项”直接回答项的系数最大项 含数字因数或负号时必须用比值法重新定位 赋值不联立 求奇次项系数和只代 x = −1 奇、偶次项系数和必须 x = 1 与 x = −1 联立 忽略 k 的取值域 解出的 k 超出 {0, 1, …, n} 仍采用 回代检验 k 是否为 0 到 n 的整数 乘积展开漏项 两个展开式相乘时漏配某些指数组合 逐项配对并列表对齐，防止遗漏 题型通法及变式提升 题型1 通项求特定项（常数项/指定次数项） 写出通项T(k+1)=C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ，合并x的指数，令指数等于目标值（常数项令指数为0），解出整数k，再代回计算。注意负号项要把(-1)ᵏ一并算出。 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）在的展开式中，项的系数为______． 3．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）的展开式中的系数为______．（结果用数值表示） 4．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）二项式的展开式中的常数项为______． 5．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）设，则________． 6．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）若，则_________. 题型2 赋值法求各项系数和 求“所有项系数和”令x=1；求“常数项”令x=0。切勿把系数和误当成二项式系数和2ⁿ。 7．二项式的展开式中所有项的系数和为______． 8．，二项式系数和为128，则________（结果用数字表示）． 9．若二项式的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则________. 10．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，则________. 11．（2026·上海闵行·二模）若，则______. 12．已知，则________． 13．若的二项展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64，则二项展开式中项的系数是__________ . 题型3 奇偶次项系数和 分别算出f(1)与f(-1)，相加除以2得偶次项系数和，相减除以2得奇次项系数和。f(-1)为负时先带符号运算，最后结果可正可负。 14．设，且． (1)求与的值； (2)求的值． 15．若，其中. (1)求的值； (2)求. 16．设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； 17．已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11． (1)求n的值； (2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差； (3)设，求的值． 题型4 二项式系数最值（简单） 18．（24-25高三下·上海·阶段检测）在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数________． 19．若组合数，则的最大值为：__________． 20．已知，该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，所有二项式系数之和为______．（结果用数值表示） 21．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为________________． 22．设，求下列各式的值； (1)求，并求出第几项二项式系数最大? (2). 题型5 系数最大项 23．的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 24．已知的二项展开式中系数最大的项为______． 25．（24-25高三上·上海·阶段检测）在的展开式中系数最大的项是第________项． 26．的二项展开式中系数最大的项是__________. 27．已知在的展开式中， (1)求常数项； (2)求二项式系数最大的项． 28．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； (1)记，则的值是多少； (2)求展开式中系数最大的项； 29．（1）若，且的二项展开式中前三项的系数成等差数列，求的值，并求其二项展开式中所有的有理项； （2）若，求的值，并求系数最大的项． 题型6 整除与余数 把底数拆成“除数的倍数+余数”，如9=(7+2)，展开后除余数项外均被7整除，对余数项继续降幂求余。 30．今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 31．（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 32．被7除所得的余数为__________. 33．若是正整数，则除以8的余数是___________． 34．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是______． 35．已知（为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67. (1)求的值，从集合中任取一个元素，求该元素满足不等式的概率； (2)若，求除以7所得的余数； (3)求展开式中系数最大的项. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（上海市新川中学2025-2026学年高三上学期期中数学试卷）已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则展开式中的系数为________. 2．在的二项展开式中，系数最大的项是______． 3．若，则________． 4．已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 5．若，，则被7除所得的余数为________． 6．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） (1)求的值，并求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 7．在的二项展开式中，求： (1)常数项； (2)系数最大项． 8．在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 9．设． (1)求值； (2)求值； (3)求值． 10．设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求，，…，中的最大值． 创新提升 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，函数定义域为，对任意都有，若，则的值为_______. 2．设是正整数，展开式的通项中的组合数称为该项的二项式系数．对于，考虑以下问题： (1)若展开式各二项式系数的和为512，求展开式中二项式系数最大的项； (2)当时，若从展开式的二项式系数中任取两项，求和为偶数的概率； (3)当时，若从展开式的二项式系数中任取一项，要使这个二项式系数小于的概率大于0.7，求的取值范围． 3．已知函数，为正整数. (1)当，且时，求的值； (2)当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率； (3)当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值. 4．我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 5.莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求； (2)记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为， ①若，求； ②若且，求． 6．仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”为的展开式中的系数，即其中． (1)求的值： (2)对于给定的，计算以下两式的值：与 (3)对于，记中偶数的个数为，奇数的个数为．是否存在使得？若存在，请给出一个满足要求的并说明理由；若不存在，请给出证明． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 二项式定理系数最值与赋值法应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 通项求特定项（常数项/指定次数项） 3 题型2 赋值法求各项系数和 4 题型3 奇偶次项系数和 6 题型4 二项式系数最值 8 题型5 系数最大项 9 题型6 整除与余数 11 重难专题分层过关练 13 巩固过关 13 创新提升 17 解题方法及技巧提炼 一、二项式定理与通项公式： 其中 n 为正整数。展开式共有 n+1 项；第 k+1 项（k 从 0 起）称为通项： 使用通项公式时务必注意：k 取 0 到 n 的整数，“第 k+1 项”对应 ，项序号比指数 k 大 1。 二、二项式系数与项的系数 二项式系数：指通项中的组合数 ，只与 n、k 有关，不含展开式中字母或数字因数；项的系数：指该项完整的数字因数（含符号与常数因子）。例如 中第 4 项的项为 ，其中二项式系数是 ，项的系数是 160。组合数计算公式：（其中 n! 表示 n 的阶乘）。计算与化简常配合两条性质：； 三、二项式系数的性质（与最值问题直接相关） 1. 对称性：与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即上面的 ； 2. 增减性与最大值：二项式系数先增后减。n 为偶数时，中间一项（第 +1项）的二项式系数最大；n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大且相等； 3. 各二项式系数之和： 4. 奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和： 四、赋值法及其应用 二项展开式是一个恒等式： 它对任意实数 x 都成立，因此可以代入特殊值 x，得到关于系数 的代数关系，从而不必逐一展开即可求出各类系数和。这就是赋值法的本质——恒等式代值。 赋值 所得关系 主要用途 x = 0 常数项（含展开式首项） x = 1 各项系数之和 x = −1 奇偶次项系数之差 x = 1 与 −1 联立 ； 偶次项、奇次项系数和 二项式系数和 与“各项系数之和”严格区分 五、易错点警示 易错点 典型错误 防范策略 项序错位 把展开式第 1 项当作第 1 个二项式系数项，通项下标乱用 牢记 中 k 从 0 起，第 m 项对应 k = m − 1 系数混淆 把 的“系数和”误用为 系数和令 x = 1； 是二项式系数和 两类最值混淆 用“中间项”直接回答项的系数最大项 含数字因数或负号时必须用比值法重新定位 赋值不联立 求奇次项系数和只代 x = −1 奇、偶次项系数和必须 x = 1 与 x = −1 联立 忽略 k 的取值域 解出的 k 超出 {0, 1, …, n} 仍采用 回代检验 k 是否为 0 到 n 的整数 乘积展开漏项 两个展开式相乘时漏配某些指数组合 逐项配对并列表对齐，防止遗漏 题型通法及变式提升 题型1 通项求特定项（常数项/指定次数项） 写出通项T(k+1)=C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ，合并x的指数，令指数等于目标值（常数项令指数为0），解出整数k，再代回计算。注意负号项要把(-1)ᵏ一并算出。 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题意得的展开式为， 的展开式为， 要使的展开式中存在常数项， 则或， 即是2或3的整数倍， 所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5. 若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为5. 2．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）在的展开式中，项的系数为______． 【答案】 【详解】由二项式定理，项的系数为. 3．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）的展开式中的系数为______．（结果用数值表示） 【答案】8 【详解】二项式的通项公式：其中， 当时，与中的相乘得到， 当时，与中的常数项相乘得到， 所以的展开式中的系数为. 4．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】252 【详解】二项式的展开式通项为， 令得，所以所求的常数项为. 5．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）设，则________． 【答案】 【详解】由二项式定理可得，，故. 6．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）若，则_________. 【答案】 【详解】对，有， 其中且， 则有， 故. 题型2 赋值法求各项系数和 求“所有项系数和”令x=1；求“常数项”令x=0。切勿把系数和误当成二项式系数和2ⁿ。 7．二项式的展开式中所有项的系数和为______． 【答案】 【详解】因为，所有项的系数和即为. 令，则. 故答案为：. 8．，二项式系数和为128，则________（结果用数字表示）． 【答案】0 【详解】二项式的所有二项式系数之和为，由题意得，解得， 对展开式， 令代入，左边为 ，右边为， 因此. 9．若二项式的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则________. 【答案】 【详解】解：二项式的展开式中的二项式系数和， 令得，各项系数和， ． 10．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，则________. 【答案】80 【详解】由， 当时，，当时，， 所以 11．（2026·上海闵行·二模）若，则______. 【答案】 【详解】由题意得， 令，得， 令，得， 则. 12．已知，则________． 【答案】2059 【详解】令，得； 令，得； . 13．若的二项展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64，则二项展开式中项的系数是__________ . 【答案】 【详解】令，可得二项式的展开式的所有项的系数之和为， 又由二项式的展开式的二项式系数之和为， 可得，即，解得，即二项式为， 则二项式的展开式中项的系数为. 故答案为：. 题型3 奇偶次项系数和 分别算出f(1)与f(-1)，相加除以2得偶次项系数和，相减除以2得奇次项系数和。f(-1)为负时先带符号运算，最后结果可正可负。 14．设，且． (1)求与的值； (2)求的值． 【详解】（1）由，得， 取，得， 所以. （2）由（1）知，， 当时，， 当时，， 因此， 所以. 15．若，其中. (1)求的值； (2)求. 【详解】（1）因为展开式的通项为， 所以，解得. （2）因为，令，得， 令，得， 所以 . 16．设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； 【详解】（1）令， 得，解得， 所以 （2）当时， 令，得， 令，得， 即， 所以 17．已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11． (1)求n的值； (2)求其二项式系数之和与各项系数之和的差； (3)设，求的值． 【详解】（1）因为，所以，解得： （2）二项式系数之和为， 令，可得各项系数之和为， 所以二项式系数之和与各项系数之和的差为 （3）设，则 所以 题型4 二项式系数最值（简单） 18．（24-25高三下·上海·阶段检测）在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数________． 【答案】 【详解】因为二项式系数最大的有且仅有第4项， 由二项式系数的性质可知：展开式有7项， 所以， 故答案为：6 19．若组合数，则的最大值为：__________． 【答案】11 【详解】由及二项式系数的增减性，得，解得，而， 所以的最大值为11. 故答案为：11 20．已知，该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，所有二项式系数之和为______．（结果用数值表示） 【答案】 【详解】因为二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则为奇数，且,解得：，所以所有二项式系数之和为 21．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为________________． 【答案】 【详解】由已知可得的展开式中二项式系数最大的项为第五项， 第五项的系数为. 故答案为： 22．设，求下列各式的值； (1)求，并求出第几项二项式系数最大? (2). 【详解】（1）令，则，最大，即第51项二项式系数最大. （2）令，则， 令，则， 原式 . 题型5 系数最大项 23．的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 【答案】B 【详解】的二项展开式中共有项， 中间第n＋1项为系数最大项. 故选：B 24．已知的二项展开式中系数最大的项为______． 【答案】 【详解】展开式某项的系数即为该项的二项式系数，所以所求系数最大的项为. 故答案为： 25．（24-25高三上·上海·阶段检测）在的展开式中系数最大的项是第________项． 【答案】 【详解】的展开式的通项为， 则展开式的系数为，故为偶数时系数为正数， 由组合数，可知当，即时，取到最大值，也符合为偶数， 故展开式中系数最大的项是第项. 故答案为：. 26．的二项展开式中系数最大的项是__________. 【答案】或 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 设展开式第项的系数最大， 则，即，解得， 又，或，展开式中系数最大的项为或. 故答案为：或. 27．已知在的展开式中， (1)求常数项； (2)求二项式系数最大的项． 【详解】（1）， 令，∴常数项 （2）， ∴二项式系数最大的项和 28．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； (1)记，则的值是多少； (2)求展开式中系数最大的项； 【详解】（1）展开式末三项的二项式系数分别为 则，即； 整理可得， 解得：（舍）或， 令， 故， 故 （2）由（1）知，则展开式通项为 设第项即为系数最大的项， 所以，整理可得， 解得； 因此系数最大的项为或． 29．（1）若，且的二项展开式中前三项的系数成等差数列，求的值，并求其二项展开式中所有的有理项； （2）若，求的值，并求系数最大的项． 【详解】（1）展开式的通项公式为， 由展开式中前3项的系数成等差数列，得，即，则， ，当且仅当时，是有理数， 所以展开式中所有的有理项为. （2）取，得； ，当时，，解得， 当时，；当时，，当时，， 即， 所以展开式第6项、第7项系数相等并且最大，为. 题型6 整除与余数 把底数拆成“除数的倍数+余数”，如9=(7+2)，展开后除余数项外均被7整除，对余数项继续降幂求余。 30．今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 【答案】D 【详解】因为， 所以可以写成，的形式； 所以除以7所得的余数为2，故天后为星期日. 31．（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 【答案】7 【详解】 . 所以被8除所得的余数为7. 32．被7除所得的余数为__________. 【答案】2 【详解】因为 所以被7除所得的余数与被7除所得的余数相同， 因为， 所以被7除所得的余数与被7除所得的余数相同，均为， 故被7除所得的余数为2. 33．若是正整数，则除以8的余数是___________． 【答案】7 【详解】根据二项式定理可知，， 又 所以除以8的余数为7. 故答案为： 7 34．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是______． 【答案】5 【详解】由于， 所以， 所以, 所以. 由于 ， 所以 ， 因为. 所以被除后余数为，由，则正整数的最小值为. 故答案为：. 35．已知（为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67. (1)求的值，从集合中任取一个元素，求该元素满足不等式的概率； (2)若，求除以7所得的余数； (3)求展开式中系数最大的项. 【详解】（1）展开式末三项的二项式系数分别为， 则，即，整理得， 而为正整数，因此，集合， 从集合中任取一个元素的试验有11个样本点， 满足不等式的事件有一个样本点5，所以所求概率为. （2）当时， ， 所以除以7所得的余数等于13除以7所得的余数6. （3）由（1）知，展开式通项为， 设第项即为系数最大的项，则，整理得，解得， 所以展开式系数最大的项为或. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（上海市新川中学2025-2026学年高三上学期期中数学试卷）已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则展开式中的系数为________. 【答案】 【详解】因为所有项的二项式系数的和为64， 所以，解得， 所以展开式的通项公式为， 令，可得， 故答案为： 2．在的二项展开式中，系数最大的项是______． 【答案】 【详解】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 3．若，则________． 【答案】3124 【详解】由题设，含的项中，当为奇数，系数为负，而当为偶数，系数为正， 所以， 令，则； 令，得， 所以． 4．已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【详解】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 5．若，，则被7除所得的余数为________． 【答案】 【详解】若， 令，， 只有不是7的倍数，则被7除所得的余数为6. 故答案为：6. 6．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） (1)求的值，并求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【详解】（1）由题意得:，解得. 二项式第项展开式的通项公式为 ， 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以，时，， 时，， 时，. 所以，展开式中所有的有理项为. （2）设展开式中系数最大的项是第项， 则有，解得，即， 因为，所以，即展开式中最大的项是第5项， . 7．在的二项展开式中，求： (1)常数项； (2)系数最大项． 【详解】（1）的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. （2）令， 假设在、、、中最大，则，即， 即，解得， 因为，则，所以展开式中系数最大的项为. 8．在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 【详解】（1）当时，， 取，得，取，得， 所以. （2）由所有项的二项式系数和等于4096，得，解得， 二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 9．设． (1)求值； (2)求值； (3)求值． 【详解】（1）令，则． （2）令，得， ， ． （3）已知， 两边求导得， 令，则， 即． 10．设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求，，…，中的最大值． 【详解】（1）取，得，因此， 所以. （2）当时，由（1）知， 取，得，所以 . （3）当时，，， 当时，，解得， 于是， 所以，，…，中的最大值为. 创新提升 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，函数定义域为，对任意都有，若，则的值为_______. 【答案】 【详解】对数列：当时，， 当时，，所以， 两式相减得：. 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. 所以.所以. 对函数： 令得：；令得：； 令得：；令得：… 所以函数为周期函数，且周期为4. 又因为：.（） 所以. 故答案为： 2．设是正整数，展开式的通项中的组合数称为该项的二项式系数．对于，考虑以下问题： (1)若展开式各二项式系数的和为512，求展开式中二项式系数最大的项； (2)当时，若从展开式的二项式系数中任取两项，求和为偶数的概率； (3)当时，若从展开式的二项式系数中任取一项，要使这个二项式系数小于的概率大于0.7，求的取值范围． 【详解】（1）已知展开式各二项式系数的和为512， 所以，解得． 此时展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项， 第五项为， 第六项为， 所以展开式中二项式系数最大的项是和． （2）、、、、． 总的取法有种； 符合题意的取法为在、、…、中任取两个，或者同时取、， 共有种． 因此所求的概率为． （3）为展开式第9项的二项式系数． 当时，此时小于的有、…、，共个数． 所求概率为，其值随的增大而增大； 由， 解得． 当时，此时小于的项有、…、，共个数． 所求概率为，其值随的增大而减小； 由，解得． 因此整数的取值范围为． 3．已知函数，为正整数. (1)当，且时，求的值； (2)当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率； (3)当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值. 【详解】（1）当，， 又，， 所以，所以； （2）当，时，， 又， 所以，， ，， ，， ，，， 所以，，，，为有理数， 所以从，，，，中任取一个数，取到有理数的概率为， （3）当，且时，， 又二项式的展开式的通项公式为，， 所以，，， 当时，， 令，可得，即，所以（舍去）， 令，可得，即，所以， 令，可得，即，所以， 所以， 因为对任意的，，都有， 所以. 4．我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 【详解】（1）由题意可知，当，范数为奇数时，的个数为偶数， 即中0的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得，. （2）由题意可知，当为奇数时，在中要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 根据乘法原理和加法原理可得， 因为①， ②， 所以得， 所以. （3）当为偶数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为奇数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， ， 解法一：因为， 所以 . 解法二：因为③， ④， 得， 又因为， 所以 . 5.莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求； (2)记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为， ①若，求； ②若且，求． 【详解】（1），则，，，，，，， ， 又，则，，，，，，， 所以； （2）①，，，，，，， ，，，，，，，， 则，，，，， ，，，， ，，，，， ． ②由于且，所以可设，为偶数， 的所有因数，除了1之外都是中的若干个数的乘积， 从个质数中任选个数的乘积一共有种结果， 所以 ， 所以． 6．仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”为的展开式中的系数，即其中． (1)求的值： (2)对于给定的，计算以下两式的值：与 (3)对于，记中偶数的个数为，奇数的个数为．是否存在使得？若存在，请给出一个满足要求的并说明理由；若不存在，请给出证明． 【详解】（1）因为， 所以,，. （2），取得： . 两边同时求导于是有 取得：. （3）引理：. 当时，成立. 若时命题成立，则当时， . 引理得证. 则取有 于是当时，有，，是奇数，其余时是偶数. 所以，，所以. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $