幂函数与二次函数 专项练-2027届高三数学一轮复习

幂函数与二次函数 专项练 2027届高中数学一轮复习备考 一、单选题 1．幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．中，是的中点，在上，且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．若对于任何实数，关于的方程都有实数根，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知函数的图象在x轴上方，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若对，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 7．设．若，则（    ） A． B． C． D． 8．若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 10．已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 11．已知函数，则（   ） A．当时， B．当时，是的极大值点 C．当时，的最小值大于 D．当时， 三、填空题 12．已知函数在区间内的最大值为，则_____． 13．已知函数在处的切线方程为，则的最小值为_______. 14．设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15．已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为． (1)证明：是偶函数． (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 16．如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线C称为“羽毛球曲线”，曲线C与x轴有A，B两个交点，且经过点. (1)求a，r的值； (2)设，M为曲线C上的动点，求的最小值. 17．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 19．，对任意恒成立，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B B A D A BC BC 题号 11 答案 CD 1．C 根据幂函数的单调性可排除A；根据幂函数过点，可排除B和 D. 因为幂函数在上是严格增函数，所以，故A错误. 对于B，若，则，当时，，不经过，故B错误. 对于C ，若，则，当时，，经过，故C正确. 对于D，若，则，定义域为，不符合题意，故D错误. 故答案为：C. 2．A 由是的中点得，所以，三点共线得，，利用二次函数即可得解. 由是的中点得，所以，因为三点共线，所以， 所以，故的最小值为， 故选：A. 3．A 根据题意，恒成立，分离参数求解. 根据题意，对于任何实数，关于的方程都有实数根， 即恒成立， 所以，由于， 所以. 故选：A 4．B 当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5．B 二次函数的图象得出二次项系数的正负和根的判别式的符号，可得选项. 当时，成立， 当，解得．综上可得 故选：B 6．A 根据已知及单调性定义知在上单调递减，根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围. 由题设，，且，都有， 所以在上单调递减，易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 故选：A 7．D 因为， 而在上单调递增，所以． 8．A 先求出直线约束 ；对配方，消去，转化为关于的二次函数；利用二次函数求出最大值，代回算出最大值. 过的直线的斜率是 直线方程是，整理得 点在直线上，故 ，又 ， 所以，，所以, 因为, 所以, 由，得 ，因此 , 令 ，则 ，这是开口向上的二次函数，且在上单调递增， 因此只需求的最大值， 二次函数 ，开口向下，对称轴 最大值 即 ， 所以=. 9．BC 根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 10．BC 根据幂函数的性质逐项分析即可. 若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 11．CD 通过换元将原指数函数转化为关于的二次函数，再结合二次函数性质、复合函数单调性、导数法逐一验证每个选项. 令，则转化为二次函数，逐个分析选项： 对于A：当时，，代入得，A错误； 对于B：当时，开口向上，对称轴， 因此在单调递减，在单调递增， 由于是增函数，复合后在处取极小值，不是极大值，B错误； 对于C：当时，的最小值为， 因为 ，所以最小值大于，C正确； 对于D：当时，要证， 即，整理得，即证， 令，， 当，时，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，故恒成立， 原不等式成立，D正确. 12．/ 分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 因为二次函数图象的对称轴为直线， 当时，函数在上为减函数，则，解得，合乎题意； 当时，函数在上为增函数，在上为减函数， 所以，，无解； 当时，函数在上为增函数， 所以，，解得（舍）. 综上所述，. 故答案为：. 13．/ 先由切线斜率和导函数求出参数b，进而得切点，再将切点代入函数式即可求出参数c即可进一步计算得解. 已知在处的切线斜率为5，而， 所以，解得，所以， 所以切点为，代入可得， 所以，故其最小值为. 故答案为：. 14． 根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 15．(1) 由二次函数的单调递增区间为， 可得，解得． 又因为有一个零点为，则，解得或（舍去）， 所以， 因为，所以是偶函数． (2) （1）根据题意，利用二次函数的性质，求得，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可得证； （2）由（1）得到，根据在上有两个零点，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. （1）略 （2）解：由（1）可知， 因为在上有两个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为． 16．(1) (2). （1）根据点的坐标求出抛物线方程，进而得到点A，B的坐标，最后求出圆的半径. （2）设，根据的取值范围，分类讨论取值，再求出最小值. （1）∵将点的坐标代入，可得a=1，∴抛物线. 又∵的图象与x轴交于点，∴， 把点A，B的坐标代入半圆，可得r=1. （2）设，∵，∴. ∵当时，，∴， ∴当时，； ∵当时，，∴， ∴当时，.∵<，∴的最小值为. 17． 根据题意，构造关于的函数，，通过函数两端点的函数值都小于即可求解. 根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 18．(1) (2) (3) （1）利用一元二次不等式恒成立列出不等式求解. （2）求出方程的两个根，再建立不等式组求解. （3）按图象对称轴与区间的关系分段求出最小值，并建立不等式求解即可. （1）函数为开口向上的二次函数，当恒成立时，， 即，所以. （2）由（1）知，由，得，解得，， 由函数在区间上有两个零点，得，解得， 所以实数的取值范围. （3）依题意，，即，则，而，又， 则，即，又，因此， （ⅰ）当时，在区间上单调递增，则， 于是，解得，且或，因此； （ⅱ），则，于是， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 19． 先换元 令得到关于的二次不等式，再变换主元写成关于的一次不等式，对任意恒成立，所以代入端点满足即可 令 反客为主，以为主元整理一次函数 是关于的一次函数（含常数一次函数），闭区间恒正⟺， 即，解得 由解得， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $