第8章 第3讲 圆的方程及位置关系 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦圆的方程与位置关系，通过模拟题系统覆盖基础求解、位置判断及综合应用，以题载法强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的方程|3题（如第1题）|方程转化与基本量求解|从一般式到标准式的转化，强化配方法应用| |两圆位置关系|4题（如第2题）|位置关系判断及参数范围|圆心距与半径和差关系的推导，培养推理意识| |直线与圆综合|7题（如第13题）|切线/对称/面积综合应用|几何性质与代数运算结合，发展应用意识|

1.（2026·晋中模拟）已知圆C的一般方程为x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，则圆C的圆心坐标为(　　) A．(3，2) B．(－3，2) C．(3，－2) D．(－3，－2) 解析：选C.由x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，得(x－3)2＋(y＋2)2＝1， 可知圆C的圆心坐标为(3，－2). 2.（2026·温州模拟）已知圆x2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)有公共点，则r的取值范围为(　　) A．[2，＋∞） B．[2，4] C．[3，4] D．[1，4] 解析：选B.由题可得|r－1|≤3≤r＋1，解得2≤r≤4. 3.（2026·三亚模拟）已知圆C与直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋5＝0都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋(y＋3)2＝8 B．x2＋(y＋3)2＝2 C．x2＋(y－3)2＝8 D．x2＋(y－3)2＝2 解析：选D.设所求圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 则＝＝r，解得b＝3，r＝，所以圆C的方程为x2＋(y－3)2＝2. 4.曲线x2＋y2＝4|x|＋4|y|(xy≠0)的周长为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 解析：选B.由题意，曲线x2＋y2＝4|x|＋4|y|， 即 作出曲线如图所示， 曲线是以A，B，C，D四个点为圆心，半径为2的四个半圆， 所以曲线的周长为4×π×2＝8π. 5.若存在实数a使得圆C1：x2＋y2－2ax－1＋a2＝0与圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)内切，则r的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.将圆C1的方程化为标准方程为(x－a)2＋y2＝1，则C1(a，0)，半径为1， 由圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)可得C2(1，－1)，半径为r，因为圆C1与圆C2内切，则有|C1C2|＝|r－1|， 由于|C1C2|＝≥1，则得|r－1|≥1，解得r≥2，即r的最小值为2. 6.（多选）（2026·河池模拟）已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y＋λ＝0，则下列结论正确的是(　　) A.λ的取值范围为（－∞，5] B．若点P(1，0)在圆C内，则λ＜－3 C．若λ＝3，则直线x＋y＋1＝0与圆C相离 D．若λ＝1，圆C关于直线x＋y＋1＝0对称的圆D方程为x2＋y2＋6x＋5＝0 解析：选BD.对于A，圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－λ，所以5－λ＞0，解得λ＜5，故A错误；对于B，因为12＋02＋2×1－4×0＋λ＜0，所以λ＜－3，故B正确；对于C，当λ＝3时，圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，半径r＝，此时圆心C(－1，2)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝＝r，所以直线x＋y＋1＝0与圆C相切，故C错误；对于D，当λ＝1时，可得圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，则圆心C(－1，2)，半径为2，设圆D的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝4，由解得所以圆心D(－3，0)，所以圆D的方程为(x＋3)2＋y2＝4，即x2＋y2＋6x＋5＝0，故D正确． 7.若圆(x－2)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点到点(－1，0)的距离为1，则实数r的值为　　　　Ｗ． 解析：由题意，圆心(2，4)与点(－1，0)的距离为＝5，而圆上有且仅有一个点到点(－1，0)的距离为1，根据圆的性质， 若点(－1，0)在圆内，则r＝6，若点(－1，0)在圆外，则r＝4. 答案：4或6 8.若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋5上运动，当半径最小时，圆C的方程为　　　　　　　　Ｗ． 解析：由题意圆心在直线y＝－2x＋5上运动，设圆心坐标为(a，－2a＋5). 又圆C经过坐标原点，即(0－a)2＋(0＋2a－5)2＝r2，整理得r2＝5a2－20a＋25＝5(a－2)2＋5.当半径r最小时，a＝2，则圆心为(2，1)，r＝. 故圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5 9.（13分）已知圆C1的圆心C1在直线x＋y＝0上，且半径为1，点C1到直线x＋2y＋4＝0的距离为. (1)求圆C1的方程；（5分） (2)若点C1在第二象限，试判断圆C1与圆C2：(x－2)2＋(y＋3)2＝25－m(m＜25)的位置关系．（8分） 解：(1)由题意知，设C1(a，－a)，则圆C1：(x－a)2＋(y＋a)2＝1， 由点C1到直线x＋2y＋4＝0的距离为，得＝，解得a＝－1或a＝9， 所以圆C1的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1或(x－9)2＋(y＋9)2＝1. (2)因为点C1在第二象限，所以圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为C1(－1，1)，半径为r1＝1， 圆C2：(x－2)2＋(y＋3)2＝25－m(m<25)，其圆心为C2(2，－3)，半径为r2＝， |C1C2|＝＝5， 当|－1|＞5，即m＜－11时，圆C1与圆C2内含； 当|－1|＝5，即m＝－11时，圆C1与圆C2内切； 当|－1|＜5＜＋1，即－11＜m＜9时，圆C1与圆C2相交； 当＋1＝5，即m＝9时，圆C1与圆C2外切； 当＋1＜5，即9＜m＜25时，圆C1与圆C2外离． 综上，当m＜－11时，圆C1与圆C2内含； 当m＝－11时，圆C1与圆C2内切； 当－11＜m＜9时，圆C1与圆C2相交； 当m＝9时，圆C1与圆C2外切； 当9＜m＜25时，圆C1与圆C2外离． 10.过点(2，0)引直线l与曲线y＋＝0相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为(　　) A． B． C．± D．± 解析：选A.由y＋＝0， 得y＝－，则y≤0，y2＝2－x2， 即x2＋y2＝2(y≤0)， 所以曲线y＋＝0是以原点为圆心，为半径的半圆，如图．S△AOB＝|OA||OB|sin ∠AOB，则当△AOB的面积取最大值时，sin ∠AOB＝1，即OA⊥OB，又半圆x2＋y2＝2(y≤0)的圆心为O(0，0)，半径r＝， 所以|OA|＝|OB|＝，|AB|＝2，所以圆心O(0，0)到直线l的距离为＝1. 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y＝k(x－2)，k＞0， 圆心(0，0)到直线l的距离d＝＝1，解得k＝±，因为k＞0，所以k＝. 11.（多选）已知圆C：x2－4x＋y2＝0，直线l：(m＋1)x＋2y－3－m＝0(m∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．直线l恒过定点(－1，1) B．直线l与圆C一定有公共点 C．当m＝－3时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D．圆C与圆x2＋y2－2x＋8y＋1＝0只有一条公切线 解析：选BC.对于A，直线l的方程为 (x－1)m＋x＋2y－3＝0， 由得 直线l恒过定点(1，1)，故A错误； 对于B，圆C：(x－2)2＋y2＝4，又(1－2)2＋12＝2＜4，即定点(1，1)在圆C内，则直线l与圆C相交，有两个交点，故B正确； 对于C，当m＝－3时，直线l：x－y＝0，圆心C(2，0)到直线l的距离d＝＝， 而圆C半径为2，且2－＜1，因此圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1，故C正确； 对于D，圆x2＋y2－2x＋8y＋1＝0化为(x－1)2＋(y＋4)2＝16， 圆心为(1，－4)，半径为4， 因为4－2＝2＜＝＜4＋2＝6，所以两圆相交， 因此它们有两条公切线，故D错误． 12.已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为　　　　　Ｗ． 解析：以AB为直径的圆O的方程为x2＋y2＝m2(m>0)，圆心为原点，半径为r1＝m. 圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝1的圆心为(4，3)，半径为r2＝1. 要使圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则圆O与圆C有公共点， 所以|r1－r2|≤|OC|≤r1＋r2，即|m－1|≤≤m＋1，所以 解得4≤m≤6，所以m的最大值为6. 答案：6 13.（15分）已知圆C1：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x－5＝0. (1)试判断圆C1与圆C2是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程；若不相交，请说明理由．（7分） (2)若直线y＝kx＋1与圆C1交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求实数k的值．（8分） 解：(1)圆C1化成标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心C1(－1，2)，半径r1＝2. 圆C2化成标准方程为(x－2)2＋y2＝9，圆心C2(2，0)，半径r2＝3. 由于|r1－r2|＝1＜|C1C2|＝＝＜r1＋r2＝5，故圆C1与圆C2相交． 两圆方程作差得(x2＋y2＋2x－4y＋1)－(x2＋y2－4x－5)＝6x－4y＋6＝0， 即两圆公共弦所在直线的方程为3x－2y＋3＝0. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋1代入x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，得x2＋(kx＋1)2＋2x－4(kx＋1)＋1＝0. 整理得(1＋k2)x2＋(2－2k)x－2＝0，Δ＝(2－2k)2＋8(1＋k2)＞0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝. 由题意得OA⊥OB，即·＝0，可得x1x2＋y1y2＝0，所以＝0，即k2－2k－1＝0， 解得k＝1－或k＝1＋. 14.过点P(2，0)的动直线l与圆C：x2＋y2－6x－2y＋5＝0交于P1，P2两点，过点P1，P2分别作圆C的切线l1，l2，若l1与l2交于点M，则|CM|的最小值为　　　　Ｗ． 解析：设M(x0，y0)，圆C的圆心C(3，1)，如图所示． 则以MC为直径的圆C1的方程为(x－x0)(x－3)＋(y－y0)(y－1)＝0， 即x2＋y2－(x0＋3)x－(y0＋1)y＋3x0＋y0＝0， 由平面几何知识知直线P1P2的方程为圆C与圆C1的公共弦所在直线方程， 由圆C和圆C1的方程相减得直线P1P2的方程为(x0－3)x＋(y0－1)y＋5－3x0－y0＝0，因为P(2，0)在直线P1P2上，代入得x0＋y0＋1＝0， 所以点M在直线x＋y＋1＝0上，则|CM|的最小值为圆心C到直线x＋y＋1＝0的距离， 所以|CM|min＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $