专题04 空间向量与立体几何（七大题型）（高效培优期中专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04 空间向量与立体几何（七大题型） 考点归纳 考点01空间直角坐标系 考点02空间向量与向量运算 考点03空间向量基本定理 考点04空间向量运算的坐标表示及其应用 考点05直线的方向向量与平面的法向量 考点06用空间向量方法研究立体几何中的位置关系 考点07用空间向量方法研究立体几何中的度量关系 考点专练 考点01空间直角坐标系 一、单选题 1,已知四面体ABCD中三组相对棱的中点间的距离都相等，下列说法错误的是() A.四面体ABCD一定为正四面体 B.这6个中点的连线构成的多面体一定为八面体 C.这三组相对棱的中点的连线交于一点 D.四面体ABCD三组相对的棱两两垂直 2.在空间直角坐标系Az中，点M(,,),N(x,y,2),定义d(M,N)=,-x+,-y+3-z. 如图。正方体的枝长为5，D正-号DC,平面北内两个动点pG分别满是d(G,)=1, 3 ∠APB=∠DPE,则PG的取值范围为() B G P B 1/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.[2,16] B.[2,15] c.[4,16] D.[4,15] 二、多选题 3.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点M是底面4BCD内的一点（包括边界），且 BM⊥AC,则下列说法正确的是() A D M B -D B C A.点M在线段BD上 B.点M到平面ABD的距离是定值 C.点M到点A的距离的最小值为1 D.直线BM与平面ABCD所成角的正切值的最小值为1 4.如图，正方体OABC-DAB'C'的棱长为a,E,F,G,H,I,J分别是棱CD,DA,NA, AB,BC,CC'的中点，则下列点的坐标正确的是(） D A.E0, B.. c.a.0 。号 5.下列说法正确的是() A.在空间直角坐标系中，点A1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(L,-2,-3) B.在空间直角坐标系中，方=(1,0,0)是坐标平面0y的一个法向量 2/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.已知向量b=(3,4,5),且āb=10,那么向量ā在向量6上的投影模长为V2 D.若a.b<0,则向量a,b的夹角为锐角 三、填空题 6.向量的概念可以按如下方式推广到n维中：对于n维向量a=(a,,…,a、b=(b1,b2, ,bn,规定a+b=(%+b1,+b2,…,an+bn,a=(a,1a,…,1an,ab=a4b1+azb2+ .+abn,1al=V(a2+a2++a.2),且n维空间中Aa,,…,anl、Bb,b2,…,bl,两 点间的距离AB1=a-按上述规定，已知四维空间中点A(x,y1,2)与点B(1,2,21),其中x>0,y> 0且安子，则国的数小放 7.正方体ABCD-ABCD棱长为2，取AB中点为E,E到平面CBB,C内一点距离的取值范围为. 8.已知AB是圆柱00的母线，A在底面圆0上，0(0,00)，A(11,-2),B(3,3,0),则该圆柱的体积为 9.一条光线从点A(1,2,5)射出，经平面O2反射后到达点B(1,4,7)被吸收，则该光线从点A到点B走过的 路程为 10.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图 1,也可由正方体切割而成，如图2.在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB=2,点P、Q在线段BM CH上移动，则P№的最小值为， H 图1 图2 考点02空间向量与向量运算 一、单选题 1.如图，二面角-I-B等于135°，A,B是棱I上两点，BD,AC分别在半平面a,B内，AC⊥1， BD⊥1，且AB=AC=2,BD=V2,则CD=() 3/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.2V3 B.2V2 C.√14 D.4 2.若空间向量日，g,满足日-3=可=2，则6，在日上投影向量的模的最小值是（) A.83 4V2 B. c. 35 3 3 2 p.2 二、多选题 3.现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下袤， 上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形 ADFE为等腰梯形，EFI∥AD.AB⊥平面ADFE,AD=8,AB=EF=4,AE=2V5,点P在线段AD 上，则() B A.AB⊥EF B.存在实数入，使得FP=EB C.向量示在向堡D上的投影向量为)而 D.PE·PF的取值范围为12,24 4.如图，半圆面O⊥平面ABCDEF,AF是圆O的直径，多边形ABCDEF是正六边形，AB=2,M, H分别是弧AF,线段AE上的动点（均不含端点），MH=1,则() B A.平面DMF⊥平面DAM B.不存在点M,H,使得AF⊥MH 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.点H的运动轨迹长度为1 3 D.Hmm的最小值为4 5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，P为△BCD内的任意一点（含边界），则下列结论正 确的是() D A P. B D A,三棱锥P-ABD的体积为定值 B.点P到直线BD的距离的最小值为V2 C.向量0P与肠夹角的取值范围足0引 D.若线段BD的中点为F,当PF⊥BD时，点P的轨迹长度为V6 三、填空题 6.已知E,R,G,H顺次为空间四边形ABCD四边AB,BC,CD,DA的中点，若AC=4,BD=6,则 EG2+HF2= 7.如图，平行六面体ABCD-AB,CD的所有棱长均为2，∠BAD=∠BA4=∠DA4=60,若点P在线段 CD上，则PAPC的取值范围为一 D C A P B D B 8.如图，二面角a一1一B的大小为3元，其棱1上有两个点A,B,线段AC与BD分别在这个二面角的两个 面内，并且都垂直于棱I.若AB=3,AC=2,BD=5,则CD= 5/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 四、解答题 9.如图，在平行六面体ABCD-AB'C'D中，AB=4,AD=3,AA=5,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°， D' A B D B (1)求AC的长 (2)BD与AC所成角的余弦值， 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC=4, ∠ABC=∠BCP=∠DCP=120°，记AB=a,AD=b,Cp=c. (1用基底{a,6,表示向量BD,P: (2)利用空间向量证明PA⊥BD: (3)求AP的长. 考点03空间向量基本定理 一、单选题 1.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳 马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图，在“阳马”A-OBCD中，E为△ACD的 重心，若AB=a,AC=万，AD=c,则BE=(） 6/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,E D 4---- C A.-a+6+ 1 2 B.-a+6+c 33 c.a+6+2c .-a+6-c 3 3 33 2.若{a,6,构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是() A.a+B.c,a+B+c B.a+B,a-c,B C.B.a+B.B-ay D.{a+26,2b-3c,3c+a 3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若PA=a,PB=万，PC=c,则用基 底{a,b,c表示向量BE为() DL- B 1→171→ 121212 A. a--b+c 2 21 B. a-b-。C 2 2 22 1→31→ 1→1,3→ C.20-2b+2 -b+一C D.2a-2b+2C 4.如图，正四面体P-ABC的外接球球心为M,点P在底面ABC上的射影为G,点D,E,F满足 PD=APA:PE=P丽，F-号C,共中A”Q小，若pG与平面DEr的交点正刻是M则2+ 的最小值为() 7/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M E G B 4 c. P A.5 B.1 D. 5 二、多选题 5.关于空间向量，以下说法正确的有() A.向量=(1，-2，)与向量5=(1,2，-)方向相反 B.若对空间中任意一点O:有0p-君0i+号0+号C,则pABC网点共面 6 C.设{a,五，是空间中的一组基底，则{a-b,5+c,ā+也是空间的一组基底 D.若同=4，向量a,6的夹角为3，则向量ā在向量6方向上的投影向量的模为2 6.给出下列命题，其中正确的有() A.空间任意三个向量都可以作为一个基底 B.若两个非零向量ā，万与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则ā，万共线 C.基底{ā，b,}中的基向量与基底{色，了，}中的基向量对应相等 D.已知{a,b,是空间的一个基底，若m=a+,则{a,b,m}也是空间的一个基底 7.在长方体ABCD-AB,CD中，AB=6,AD=2V5,A4=4,空间中的点P满足 AP=xAD+yAB+zAA,x,y,2∈R,则下列说法正确的是（) A.若x=1,则点P在平面DCCD上 21 B.若y=1,且x+z=1则4P与面ADD,4所成角最小值的正切值为2 12 C.若x+y+z=1,则AP的最小值为5 8/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17 D.若AP=4'且P在长方体表面上，则P的轨迹长度为 三、填空题 8.在四面体P-ABC中，为△ABC的重心，E,F,G分别为侧棱PA,PB,PC上的点，若 PE=Pi,F-号PB,PG=P元，P0与平面ErG交于点D则QD PD 9.已知三核锥p-BC份体积为6，y足中一点，丽：A号P师+后P元，则三楼能1-C 15 15 的体积是 10如图，在正四棱台A8CD-A8CD中，MB=2AR,AE=0,DF-号D1,4G-}石，直线 AM AC,与平面EFG交于点M'则AC A B G C D 考点04空间向量运算的坐标表示及其应用 一、单选题 1.下列命题正确的个数是() ①在三棱锥O-ABC中，OA+AB-CB=OC: ②对空间任意一点O和不共线的三点A,B,，C,若OP-2OA-2OB-OC,则P,A,B,C四点共面： ③若{a,b,c为空间的一个基底，则{a+b,五+c,c+d构成空间的另一个基底： 11 ④已知a=(仙，2,3)万=(0,1-1)则a在6上的投影向量坐标为0，-2'2 A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知向量ā=(2，-1,3)，6=(4,2，)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为() A.(x智6+o) 9/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.9.6u(6-) D.(,6u69) 3.在空间直角坐标系Oz中，已知点A(,0,2),B(3,2,2),C(21,0),点P是坐标平面Oy内的动点，则 P+PB+PC的最小值为() A.2W2 B.2√6 C.2W5 D.36 二、多选题 4.已知向量ā=(11,0)，6=(0,1，，c=(1,2,1),则下列结论正确的是() A.向量a与向量方的夹角为6 B.L(a-B) C向量后在向量6上的投影狗量为 D.向量：与向量a:方不共面 5.以下四个命题中正确的是() A.在z轴上的投影向量的模为0的空间向量都共面 B.若ab=ac,且a≠0，则b=c c.若非零向量a,b,c满足a1b,/c,则alc D.若{a,6,c}是空间的一个基底，则{a+6,+c,c+a也是空间的一个基底 6.棱长为1的正方体ABCD-4BCD中，点P满足BP=BC+uBB,元∈[0，，4∈[0，.则下列结论 正确的是() A.平面ABD⊥平面APC B.当元+=1时，DP/I平面ABD C,当2-2，“=时，过点P作正方体外接球的截面，截面面积的授小值为、2 D,若D,P=V2,则AP与平面BCC,B,所成角的最小值为4 7.已知正方体ABCD-ABCD,点P为CC的中点.则下列说法正确的是() A.直线A4P与平面ABCD所成角的正弦值为3 B.经过点P有且只有一条直线与直线AB和AD都相交 C.存在4个平面，过点A且与正方体每个面所成锐二面角都相等 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.几何体绕一条直线旋转一定角度后与自身重合，则称这条直线为该几何体的旋转对称轴。正方体 ABCD-AB,CD共有12条旋转对称轴 8.定义集合「是满足下列性质的所有空间向量构成的集合：若ā，b∈「，32,4，k∈R,且 22+2+k2≠0，ā+b+k花=0，则∈r.在正方体ABCD-AB,CD,中，AB=(1,0,0),AD=(01,0), A4=(0,0,1).若AB∈T,则() A.当AD∈T时，AAET B.当CA∈T时，BCeT C.当BDeT时，AD∈T D.当BC∈『时，CAET 三、填空题 9.向量=(1,12)，五=(-2,2-2,1-6)，若a,6的夹角为钝角，则实数元的取值范围为 四、解答题 10.如图，在三棱锥C-AOB中，OA,OB,OC两两互相垂直，OA=OB=2,OC=4,M为OB的中 点，N为AC的中点. C M B (1)求MN的长： (2)求点O到直线MN的距离： BP (3)若点p在线段BC上（与端点不重合），且B =元，当AP⊥MN时，求实数2的值. 考点05直线的方向向量与平面的法向量 一、单选题 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形，PD=CD=1,E是PA的中 点，F为棱PB上一点，若ACI平面DEF,则() 11/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A师-兮丽 B.PF=1PB 4 C.PF-IPB 3 D.PF=1PB 2 2.某公司欲借助一次镜面反射将激光信号送入建筑背面的通信盲区.在空间直角坐标系中，镜面的一个 法向量为(1，)，入射激光的方向向量为(1,2，-2).己知镜面反射时，方向向量在镜面平面内的分量保持 不变，在法向量上的分量反向，则反射激光的方向向量可以是() A.(1,4,-8) B.(1,-4,8) C.（-1,4,-8) D.(1,-4,-8) 3.己知空间中三点A(01,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的是() A.AB与AC是共线向量 B.与AB共线的单位向量是(1,1,0) C6与BC夹角的余弦值是-质 11 D.平面ABC的一个法向量是(~山，-2,5) 4.己知平面a内两向量a=(1,),6=(0,2,-),若c为平面a的法向量且=ma+nb+(4,4,),则m, n的值分别为() A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 二、多选题 5.在空间直角坐标系0z中，点00,0,0)，4(-2，-1，)，B34,5),下列结论正确的有() A.AB =3V5 日向壶0与0丽的夹角的余孩位为号 C.点A关于z轴的对称点坐标为(-2，-1，-1) D.n=(9,-13,5)是平面OAB的一个法向量 6.已知空间中三点A(0,10),B(2,2,0),C(1,31),则下列说法正确的是() 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AB与AC是共线向量 255 B.与一同向的单位向量的坐标是 AB 55 C.平面ABC的一个法向量的坐标是(1，-2,5) 55 D.B与BC夹角的余弦值是- 11 三、填空题 7.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为AA,CC的中点，O为底面ABCD的中心，点 P在正方体的表面上运动，且满足NP⊥MO 给出下列命题： ①点P可以是棱BB的中点： ②点P轨迹的长度为1+√2： ③点P的轨迹是平行四边形： ④点P轨迹所围成的图形面积为8 其中真命题是 8.棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，M为棱AD的中点，P为正方体表面上的一个动点，且总有 PA⊥CM,则动点P的轨迹所围成图形的面积为 D P M A B B 四、解答题 9.如图，己知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB,CDAB，且PA=CD=2AB=4.将此 平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P-DC-B,连接PA、PB,设点E是棱PC上的一点. (1)若PC=3PE,证明：AP∥平面BDE; 13/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V10 2)是否存在点E使得直线BE与平面PAB所成角的正弦值为10？若存在，求出点E:若不存在，请说明 理由： (3)以DE为直径作球O,若球O被平面PBD截得的截面圆的面积为S,求S的最小值. 10.如图，在三棱锥PABC中，△ABC是边长为2的正三角形，D为BC的中点，E为AD的中点，且平面 PAD⊥底面ABC,PE⊥AD.设PA=t(t0) D B (1)求证：PE⊥底面ABC: (2)设O为ABC的重心，t=√2求证：O是三棱锥PABC外接球的球心： 17 (3)若平面PCB与平面PCA所成夹角的正弦值的平方等于18，求t的值： 考点06用空间向量方法研究立体几何中的位置关系 一、单选题 1.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点则满足MN⊥OP的 是() P D ● 2.如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，P为线段BC上的动点，给出下列四个结论： ①DP长度为定值： ②三棱锥P-ABD的体积为定值； ③任意点P,都有DP⊥AC: ④存在点P,使得AP⊥平面ABD」 其中正确的是() 14/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D By D A.①③ B.②④ C.②③ D.①④ 二、多选题 3.若平面α的法向量为i=（-1,2,4),平面B的法向量为=(m,-山，-2)，直线1的方向向量为 i=(n,-2,-4),则() A.若a‖B,则m=2 B.若1⊥a,则n=1 c.若n=-21,则lla D.若m=-l0,则a⊥B 4.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，A4=2AB,E,F分别是A4,CC的中点，则() D B F B A.CE∥平面AB,F B.DE⊥BF C.DE∥平面DB,F D.BD1平面ABF 5.下列说法正确的是() A.若空间中的非零向量a,b夹角为钝角，则ā，b<0 B.若直线1的方向向量ā=(0,1，-)，平面α的法向量i=(,-l,-),则11a C.若向量a,b,c是空间一组基底，则a-b,a+c,2c-3b也是空间的一组基底 D.已知空间的三个不共面向量OA,OB,0C,若20D+OB=40C-30A,则D、A、B、C四点共 面 6.若点M平面，过点M作垂直于平面的直线，垂足为N,则称点N为点M在平面a上的正投影， 记N=f(M).如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AC⊥BC,BC=CC=2W5,AC=√5，记平面 15/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BB,CC为B,平面ABB,A为，P是棱AC上一动点（与A,C均不重合），Q=[fn(P)】], 0,=f[f,(P],则() C C B A.P2∈ P%,的最小值为 6 5 C.存在点P,使得P2I1平面Y D.存在点P,使得PO⊥PO 7.如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论 正确的是() D B A,三棱锥B-CDP的体积为定值 B.存在点P,使得DP⊥AC C.若DP1BD,则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为V2 D.若点P是AD的中点，点2是BB的中点，过P,Q作平面a⊥平面ACCA,则平面a截正方体 ABCD-AB,CD的截面面积为3V5 V3π 8.已知正方体ABCD-AB,CD外接球的体积为2，点p满足BP=元BC+uBB,其中 e[0,1∈[0，l,则下列命题正确的是() A.若AP=V2,则点p轨迹的长度为2 21 B.若点p在线段BC上（不包括端点），则元+2的最小值为4 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.当4=1时，三棱锥P-DBC的体积为定值 1 D.当2=2时，有且仅有一个点P:使得4P1平面ABP 三、解答题 9.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=4,BC=3,CC=2.(用向量方法解答)· D B (1)求证：平面ACB/平面ACD: (2)已知P为线段B,C的中点，求证：AP∥平面ACD. 10.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF/1AC,AB=V2, CE=EF=1 D (1)求证：AF/1平面BDE: (2)求证：CF⊥平面BDE. 考点07用空间向量方法研究立体几何中的度量关系 一、单选题 1.己知ABC-AB,C,是各条棱长均等于Q的正三棱柱，D是侧棱CC的中点，则点C到平面 AB,D的距离为() 2 2 3v2 A.&a B.4d .4a 2.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线 AM和CN夹角的余弦值()· 17/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A司 2W2 B.3 5 0.3 二、多选题 3.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1,动点M在线段PC上， 则() M A,四棱锥P-ABCD的外接球体积为V6π B.存在点M,使得AC⊥BM C.MB+MD 的录个型为四 2V5 D.点M到直线4B的距离的最小值为 4.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2AB,点P在线段BC上运动，则下列结论正确的是 () D E B A.三棱锥A-PCD的体积为定值 B.若E为DD的中点，则直线BD上平面ACE W5 C.若点p运动到线段BC中点，则异面直线AP与AD所成角的正弦值是 5 5 D.直线CP与平面4CD所成角的正弦的最大值为3 18/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，P为线段B,C上的动点，若二面角B-AP-B的平面 V33 BP 角的正弦值为6，则BC的值为() D 1 A.3 c.7 p.7 三、解答题 6.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PAL底 面ABCD,E是PC的中点. P D A B (1)求证：BE/1平面PAD (2)若BE⊥平面PCD ①求异面直线PD与BC所成的角的余弦值： ②求二面角E-BD-C的余弦值， 7.如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AN,NA=AB=2,BM=4, CN=25 19/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D -M N (1)证明：DNII平面BCM: (2)求直线AC与平面CDM所成角的余弦值： CE (3)在线段CM上是否存在一点E,使得平面BEN与平面BMN的夹角的正切值为√2，若存在求出EM的 值，若不存在，请说明理由. 8.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=V2BC=V2AB=2,E,F分别为线段BB,AC的中点 B C G (1)证明：EF⊥平面A4CC: √5 (2)若二面角C-AE-A的余弦值为3，求A4的长 9.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，平面ACCA1平面ABC,AC⊥AB,AB=2,AC=1,AC⊥BC, 4 四棱锥A-CCBB的体积为3，点p在线段AC(不含端点)上运动. A B B (1)求证：AC⊥平面ABC: V30 2)若平面4PB与平面CCBB的夹角的余弦值为6，求CP的长. 20/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10,如图1.在直角梯形1BCD中，已知B/1CD:B=D-DC=5.将。ABD沿BD折，校平衢 ABD⊥平面BCD,如图2，BD的中点为O, A B B D D 图1 图2 (1)求证：AO⊥CD: (2)若AD的中点为G,线段AC上靠近A点的三等分点为H. (i)求平面GHB与平面BCD夹角的余弦值. (ii)设平面GB内一动点为P,当线段PD与线段PC的长度之和最小时，求直线PC与平面BCD成角的 正弦值 21/21 专题04 空间向量与立体几何（七大题型） 考点01 空间直角坐标系 考点02 空间向量与向量运算 考点03 空间向量基本定理 考点04 空间向量运算的坐标表示及其应用 考点05 直线的方向向量与平面的法向量 考点06 用空间向量方法研究立体几何中的位置关系 考点07 用空间向量方法研究立体几何中的度量关系 考点01 空间直角坐标系 一、单选题 1．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，下列说法错误的是（） A．四面体一定为正四面体 B．这6个中点的连线构成的多面体一定为八面体 C．这三组相对棱的中点的连线交于一点 D．四面体三组相对的棱两两垂直 【答案】A 【分析】构造墙角四面体（坐标法），算出三组对棱中点连线长度相等，验证棱长有和两种，不是正四面体，举反例说明A错误；根据6 条棱中点连线由两个四棱锥组成，判定B正确；中位线证平行四边形，平行四边形对角线互相平分，推出三条线段共用同一个中点，三线共点，判定C正确；由条件EF=GH，平行四边形对角线相等得到矩形，中位线转化平行线，传递垂直，证明三组对棱两两垂直， 判定D正确. 【详解】对于A，取墙角四面体，如图，设， 中点，中点，中点，中点，中点，中点， ，，， 所以，满足题干条件， ，，，， 棱长有和两种，棱长不全相等，不是正四面体，A错误； 对于C，由三角形中位线定理，在中，是中点，是中点，故是中位线，得，且； 在中，是中点，是中点，故是中位线，得，且， 因此且，故四边形是平行四边形； 同理可证：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形； 分别是这三个平行四边形的对角线，平行四边形对角线互相平分， 平行四边形：对角线与互相平分，即、交于二者中点； 平行四边形：对角线与互相平分，即、交于的中点； 所以三条线段拥有同一个中点，三线交于同一点.C正确； 对于B,由C知四边形是平行四边形，这6个中点的连线由两个同底的四棱锥与组成，该几何体为八个面都为三角形的八面体，B正确； 对于D，由C知，四边形是平行四边形， 由题设，即平行四边形的对角线相等，所以平行四边形是矩形，故， 在中，是中点，是中点，得， 结合且，可得； 同理证明：，，所以四面体三组相对的棱两两垂直，D正确. 2．在空间直角坐标系中，点，，定义．如图，正方体的棱长为，，平面内两个动点，分别满足，，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】空间中两点之间的距离，先求出两点的轨迹方程，转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离问题进行求解. 【详解】设 由题意可得， ， 点的轨迹为， 平面，平面， 平面， 与相似， ， ， ， 整理得：点的轨迹方程为，，即， 在平面中作出的轨迹， 设点的轨迹与轴交于两个点分别为， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，与轴交于两个点分别为， 所以， 如图所示，结合图象可得：， ， 二、多选题 3．如图，在棱长为2的正方体中，点M是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（   ） A．点M在线段上 B．点M到平面的距离是定值 C．点M到点的距离的最小值为1 D．直线BM与平面ABCD所成角的正切值的最小值为1 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，根据坐标关系判断即可；对于B，根据点到平面的向量公式判断即可；对于C，根据点到平面的向量公式计算即可；对于D，根据线面角的向量公式计算即可. 【详解】建立空间直角坐标系，以点A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴．则正方体各点坐标为：，，，，，，，． 因为点M在底面内，故可设，其中． 由，向量，， 所以， 解得．因此点M的轨迹是顶面上的线段． A选项：由且，点M的轨迹正是线段，故A正确． B选项法1：平面经过点，，．设其法向量为， 则取，得． 点，则． 由点到平面的距离公式（即向量在法向量方向上的投影的绝对值），． 又由得，所以，为定值．故B正确． B选项法2：平面经过点，，．设其法向量为， 则，取，得，平面方程为． 点到平面的距离，为定值．故B正确． C选项：点到线段（方程，）的距离， 即点到直线的距离，为， 所以点M到点的距离的最小值为，不是1，故C错误． D选项：直线BM的方向向量为，平面ABCD的法向量为． 设直线BM与平面ABCD所成角为，则． 由，得，所以． 因为，所以，于是． 当时，，取得最小值，不是1，故D错误． 4．如图，正方体的棱长为，，，，，，分别是棱，，，，，的中点，则下列点的坐标正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为正方体的棱长为， ，，，，，分别是棱，，，，，的中点， 所以，，，. 5．下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C．已知向量，且，那么向量在向量上的投影模长为 D．若，则向量的夹角为锐角 【答案】AC 【分析】利用空间直角坐标系的性质，平面法向量的概念、向量投影的计算以及向量点积与夹角的关系，需逐项分析判断. 【详解】对于A，点关于轴对称的点的坐标为，故A正确； 对于B，平面的一个法向量为，而与不平行，所以不是平面的一个法向量，故B错误； 对于C，向量在向量上的投影模长为，故C正确； 对于D，由，所以向量的夹角为钝角或平角，故D错误. 三、填空题 6．向量的概念可以按如下方式推广到 n 维中：对于 n 维向量 = (a₁， a₂， …， aₙ)、= (b₁， b₂， …， bₙ)，规定= (a₁ + b₁， a₂ + b₂， …， aₙ + bₙ)，λ= (λa₁， λa₂， …， λaₙ)，= a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ，|| =，且 n 维空间中 A(a₁， a₂， …， aₙ)、B(b₁， b₂， …， bₙ)，两点间的距离 |AB| = .按上述规定，已知四维空间中点 与点 ，其中 x > 0，y > 0，且，则 |AB| 的最小值为 __________. 【答案】 【分析】由维向量的坐标运算表示出,再由条件作代换,结合基本不等式求最小值. 【详解】由题设的坐标运算得. 由得,即. 因为,且,所以.令,则. 于是,当且仅当时取等号,此时,满足条件. 的最小值为. 7．正方体棱长为2，取AB中点为E，E到平面内一点距离的取值范围为______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式进行求解即可. 【详解】建立空间直角坐标系，如下图所示： ，设点是平面内任意一点，坐标设为， ， 显然当时，有最小值，此时点与点重合； 当时，有最大值，此时点与点重合， 所以E到平面内一点距离的取值范围为. 8．已知是圆柱的母线，在底面圆上，，，，则该圆柱的体积为______． 【答案】 【分析】先利用空间两点距离公式求出底面圆半径与母线长，代入圆柱体积公式计算. 【详解】因为点在底面圆上，所以底面圆的半径是点到圆心的距离，因此底面半径. 因为是圆柱的母线，且母线长等于圆柱的高，由，，得向量， 所以母线长（即圆柱的高）. 故圆柱体积为. 9．一条光线从点射出，经平面反射后到达点被吸收，则该光线从点到点走过的路程为__________． 【答案】 【详解】点关于平面Oyz对称的点为， 则所求路程为． 10．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，点、在线段、上移动，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】建立空间坐标系，利用两点距离公式即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ， 当且仅当，时，等号成立． 所以PQ的最小值为. 考点02 空间向量与向量运算 一、单选题 1．如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，，得，， 又因为，所以 ， 所以，即． 2．若空间向量，满足，则在上投影向量的模的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记，根据已知及向量数量积的运算律得到，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】记，且， 所以，得，即 向量在上投影向量的模为， 由，当且仅当时取等号， 因此投影向量的模的最小值为 二、多选题 3．现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．现有一个刍甍如图所示，四边形为矩形，四边形为等腰梯形，//．平面，，，，点在线段上，则（     ） A． B．存在实数，使得 C．向量在向量上的投影向量为 D．的取值范围为 【答案】AC 【详解】以为坐标原点，射线为轴正方向，以射线为轴正方向，过点作垂直于平面向上的射线为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由题意得各点坐标： ，，，； 等腰梯形的高为， 故，； 设，. 选项A：，， ， 故，A正确. 选项B：，. 若，由分量得，即，代入分量得，矛盾， 故不存在实数满足条件， B错误. 选项C：向量在上的投影向量为 ，C正确. 选项D：，， ， 该二次函数开口向上，对称轴为，： 当时，取得最小值12；当或时，取得最大值28， 故的取值范围为，与选项描述不符，D错误. 4．如图，半圆面平面，是圆的直径，多边形是正六边形，，，分别是弧，线段上的动点（均不含端点），，则（   ）    A．平面平面 B．不存在点，，使得 C．点的运动轨迹长度为1 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断A选项；通过建立空间直角坐标系，用三角函数表示点的坐标为，利用向量共线，设，可得点坐标，利用向量垂直关系可判断B选项；根据B选项中得到的与的关系式，求得点运动轨迹，可判断C选项；利用数量积的坐标运算，可判断D选项. 【详解】因为为直径，所以，因为半圆面平面，半圆面平面，，平面， 所以半圆面，又半圆面，所以，因为， 所以平面，又平面，所以平面平面，则A选项正确； 取的中点P，连接，，取半圆弧的中点，连接, 以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，,设， 则，设则， 所以，由，得． 由，得，所以，所以，解得，则B选项错误;    由，得，所以 因为，所以，令，， 则， 所以，，所以，又， 所以点H的运动轨迹长度为2，则C选项正确； 连接，则，当时，取得最小值，最小值为，则D选项正确. 5．如图，在棱长为2的正方体中，为内的任意一点（含边界），则下列结论正确的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到直线的距离的最小值为 C．向量与夹角的取值范围是 D．若线段的中点为，当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】根据面面平行的性质，可知点到平面的距离始终相等，即可判断选项A；根据线面平行的性质，利用等体积法计算即可判断选项B；由可知向量与夹角即为向量与夹角，从而求出夹角的取值范围，即可判断选项C；连接，由可知点在平面内，结合已知条件即可得出为点的轨迹，求出其长度即可判断选项D. 【详解】对于A，在正方体中，且， 则四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理平面，又平面，， 所以平面平面， 所以点到平面的距离始终相等，又面积不变， 所以三棱锥的体积为定值，选项A正确； 对于B，由A知平面，则点到直线的距离的最小值， 等于点到平面的距离， 设点到平面的距离为，由， 则， 易知，，， 代入上式解得，选项B错误； 对于C，由A知，所以向量与夹角即为向量与夹角， 又为等边三角形， 当点在上时，向量与夹角为0； 当点在上时，向量与夹角为， 所以向量与夹角的取值范围为，选项C正确； 对于D，连接，设，连接， 由，则点在平面内，又点在平面内， 所以点在两个平面的交线上，即平面平面， 又为等边三角形，边长为，所以， 即点的轨迹长度为，选项D正确. 三、填空题 6．已知E，F，G，H顺次为空间四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，若，则________． 【答案】 【分析】根据条件，得到四边形为平行四边形，且，，，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】 如图连接， 因为顺次为空间四边形四条边的中点， 所以，，得到， 则四边形为平行四边形，且，， 在中，由余弦定理知①， 在中，由余弦定理知②， 又，由①②得到， 又，，得到. 7．如图，平行六面体的所有棱长均为2，，若点P在线段上，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】选取从出发的三条棱作为空间基底，引入参数t表示P，展开数量积得到关于t的二次函数，结合求值域． 【详解】设，已知， ， 点P在线段上，设， 由平行六面体的性质得， ， ， ， ， 令，二次函数开口向上，对称轴， 故最小值， ， 故． 8．如图，二面角的大小为，其棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则______． 【答案】 【分析】利用向量的线性关系可得，两边平方可求的长度. 【详解】因为二面角的大小为，， ，，即两点间的距离为. 四、解答题 9．如图，在平行六面体中，，，，， (1)求的长； (2)与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 记由题夹角都为， ， ， ，故 （2） , ， ， ， , 与所成角的余弦值为. 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，，记，，． (1)用基底表示向量，； (2)利用空间向量证明； (3)求的长． 【答案】(1) (2)，，， 则夹角为，夹角为， 故 ， 故，即． (3) 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，把目标向量拆解成的线性组合。 （2）把用基底表示，计算数量积，算出结果为0，进而证明垂直； （3）根据向量模长公式，代入各基底模长与两两数量积． 【详解】（1）由菱形的性质得， 故． （2）略 （3）夹角为，夹角为，夹角为， 则 ． 考点03 空间向量基本定理 一、单选题 1．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，为的重心，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点为的重心， 所以连接并延长交于点，则为的中线， 所以，且， 所以 . 2．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，解得，所以向量共面， 所以不能构成空间的一个基底，所以A不符合题意； 对于B，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间的基底，所以B符合题意； 对于C，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，解得，所以共面， 所以不能作为一个空间的基底，所以C不符合题意； 对于D，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，解得，所以共面， 所以不能作为一个空间的基底，所以D不符合题意； 3．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接， 因为为的中点，所以在中， ， 因为底面是正方形，所以， 所以， 又因为，，且， 所以， 因为，，， 所以． 4．如图，正四面体的外接球球心为，点在底面上的射影为，点，，满足，，，其中，，若与平面的交点正好是，则的最小值为（      ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 设正四面体棱长为，则正四面体高，， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 二、多选题 5．关于空间向量，以下说法正确的有（     ） A．向量与向量方向相反 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 【答案】ABD 【分析】A.由直接判定二者为相反向量，方向相反；B.验证线性表达式的系数和为 1，符合空间四点共面的充要条件；C.通过线性表示关系证明三个向量共面，因此不能构成空间基底；D.套用投影向量的模长公式，代入数值直接计算. 【详解】选项A：可得，说明与是相反向量，方向相反，故A正确； 选项B：中，系数和为，满足空间四点共面的充要条件，故四点共面，B正确； 选项C：由，可知三个向量线性相关、共面，不能作为空间的一组基底，故C错误； 选项D：向量在方向上的投影向量的模为，故D正确. 6．给出下列命题，其中正确的有（ ） A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 C．基底中的基向量与基底中的基向量对应相等 D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 【答案】BD 【详解】A：空间中共面的三个向量不能作为基底，A错误； B：向量，即，可平移到一条直线上， 它们与其它任何向量都会共面，故不能作为基底，B正确； C：是空间的一个基底，只需不共面， 是空间的一个基底，也只需不共面，所以不一定对应相等，C错误； D：是空间的一个基底，即它们不共面，由 即共面，故与不共面，则是空间的一个基底，D正确. 7．在长方体中，，，，空间中的点P满足，x，y，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则点P在平面上 B．若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C．若，则的最小值为 D．若，且P在长方体表面上，则P的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A，当时，可得，可判断A；平面，可得的值最大时，与面所成角最小，可判断B；利用等体积法可求得最小值判断C；求得轨迹长可判断D. 【详解】对于A，当时，可得，所以， 所以点在平面上，故A正确； 对于B，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，且时，点在直线上，到平面的距离为定值， 要使与面所成角最小，则的值最大，由题意， 故，直线与所成角无限趋于零，故正切值无限趋于零，故B错误； 当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离， 由勾股定理可得，， ， 由余弦定理可得， 所以，所以， 设到平面的距离为，由， 得，所以， 解得，故C正确； 当，在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆弧， 圆弧交于点，可得，所以， 所以，所以， 当在表面内时，由，所以的轨迹是以为圆心， 2为半径的圆的，所以轨迹长度为， 在平面内的轨迹与在内的相同为， 在平面内轨迹是以为圆心，4为半径的圆的，所以轨迹长度为， 所以若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为，故D正确. 三、填空题 8．在四面体中，为的重心，，，分别为侧棱，，上的点，若，，，与平面交于点，则________ 【答案】 【分析】设中点为，根据线面关系可得与的交点为，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设，，求解即可. 【详解】设的中点为，连接，，设与相交于，连接，则，， 因为，，三点共面，平面，平面，平面，所以与相交， 又因为平面，与平面交于点，所以与相交于点， 设，， 因为，，，所以， 因为，，三点共线，所以，解得， 由重心的性质可得，所以， 所以， 所以， 因为，，三点共线，所以， ，即，所以. 9．已知三棱锥的体积为6，是空间中一点，，则三棱锥的体积是________． 【答案】 【分析】将转换为，设到平面的距离为，到平面的距离为，这两个三棱锥的底面相同，则，算出即可求出三棱锥的体积. 【详解】因为，所以 设，所以，所以，，三点共线， 因为，所以，，，四点共面， 设到平面的距离为，到平面的距离为， 所以， 因为三棱锥和三棱锥有共同的底面， 所以，所以. 10．如图，在正四棱台中，，，，，直线与平面交于点，则_________． 【答案】 【分析】取一组基向量，用基向量表示关键向量，利用四点共面条件比较系数求解。 【详解】设，，，则， 由于，则， 于是① 由题意得，②， ③，④， 设，由①得⑤， 因为，，，四点共面，则存在，使得， 而，，，. 整理得， 将②③④代入得⑥ 比较⑤⑥系数得，，，即，解得. 考点04 空间向量运算的坐标表示及其应用 一、单选题 1．下列命题正确的个数是（     ） ①在三棱锥中，； ②对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ④已知，，则在上的投影向量坐标为． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】对①：根据向量加减法的三角形法则，，又， 因此，即，①正确； 对②：空间中，，，四点共面的充要条件为： 对任意点，存在实数满足，使得， 本题中系数和为，故，，，四点不共面，②错误； 对③：假设，，共面，则存在不全为的实数，，， 使得， 整理得， 由于是空间基底，即，，不共面， 因此，解得，与假设矛盾， 故三个向量不共面，构成空间的另一组基底，③正确； 对④：在上的投影向量计算公式为， ，， 因此投影向量为，④正确. 综上，①③④正确，共3个． 2．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角公式先求出的范围，然后排除两向量共线的情况，即可求得结果. 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以，由于，所以. 所以，即，解得. 若两向量与共线，则存在使得，即， 可得方程组，解得. 当时，两向量共线，此时夹角为，不符合夹角为钝角的条件，所以要排除. 所以实数的取值范围为. 3．在空间直角坐标系 中，已知点 ,点 P 是坐标平面内的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对称求出，根据三点共线求出最小值即可. 【详解】 因为点在平面内，设， 关于平面的对称点为、而，易知线段的中点恰好是， 即、、三点共线， 故，又点在线段上，故， 当在线段上时等号成立； 要使总和最小需取最小值0，即与重合， 此时最小值为. 二、多选题 4．已知向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，不共面 【答案】BC 【分析】对于A选项，根据向量的夹角公式进行求解； 对于B选项，根据向量垂直的判断条件进行求解； 对于C选项，根据投影向量的定义进行求解； 对于D选项，根据向量的共面定理进行求解. 【详解】对于A选项，已知向量，，， 则，，，所以， 又因为两个向量的夹角取值范围为，故向量与向量的夹角为，选项A错误； 对于B选项，已知向量，，，则，，故，选项B正确； 对于C选项，由选项A的计算结果可知，，，则向量在向量上的投影向量为，选项C正确； 对于D选项，已知向量，，，因为，所以，满足共面向量定理，故向量与向量，共面，选项D错误. 5．以下四个命题中正确的是（      ） A．在轴上的投影向量的模为0的空间向量都共面 B．若，且，则 C．若非零向量，，满足，，则 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】根据空间向量在坐标轴上的投影和共面向量的定义可判断A；根据向量数量积的运算律和向量垂直的充要条件可判断B；根据向量垂直及共线的定义可判断C；根据基底的概念可判断D． 【详解】对于A，设空间向量，是轴的单位向量，则在轴上的投影向量的模为0，即，得，因此在轴上的投影向量的模为0的空间向量的坐标形式为，所有这样的向量都在平面内（或平行于平面），因此它们共面，故A对； 对于B，由可得，所以， 但这推不出，故B错； 对于C，若非零向量，，满足，则，又， 所以，即，得，所以，故C正确； 对于D，若共面，设， 即，又是空间的一个基底，所以，方程无解，所以不共面，即也是空间的一个基底，故D正确． 6．棱长为1的正方体中，点P满足，，．则下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．当时，平面 C．当，时，过点P作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 D．若，则与平面所成角的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用法向量证明直线平行于平面法向量，进而由线面垂直直接推导出面面垂直；对于B，通过证明直线的方向向量与平面的法向量数量积为零，判定该直线与平面平行；对于D，根据距离条件解析出动点的圆弧轨迹，通过寻找轨迹上距离最远的点来确定最小线面角；对于C，利用截面与球心连线垂直时面积最小的几何性质，结合勾股定理即可求得截面面积最小值. 【详解】以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 且，则， 对于A，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即， ，即与平面的法向量平行，则平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，若，则，则有，即， 则， 则， 因此，因为平面，所以平面，故B正确； 对于D，由，得， 即，因为，如图， 点的轨迹是平面内，以为圆心，1为半径的一段四分之一圆弧， 而平面， 所以与平面所成的角为， 所以在中，， 要使最小，则使最小，即求的最大值， 显然点与点或重合时，取最大值1， 所以，即，D正确； 对于C，若，则，即面的中心， 易得正方体外接球的球心位于体对角线的中点，坐标为， 外接球半径满足， 球心到点的距离的平方为， 过球内一点作截面，当截面垂直于直线时，截面圆的面积最小， 设最小截面圆的半径为，则有， 则截面面积的最小值，故C错误. 7．已知正方体，点为的中点．则下列说法正确的是（     ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．经过点有且只有一条直线与直线和都相交 C．存在个平面，过点且与正方体每个面所成锐二面角都相等 D．几何体绕一条直线旋转一定角度后与自身重合，则称这条直线为该几何体的旋转对称轴．正方体共有条旋转对称轴 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求线面角判断A；由三点共线的向量平行条件判断与，都相交的直线条数判断B；根据法向量与各面锐二面角相等确定平面个数判断C；将旋转对称轴分三类分别计数判断D. 【详解】设正方体棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，则     为中点， 对于A：平面的法向量是竖直方向，， 线面角：直线与平面所成角，是直线和它在面内射影夹角，范围满足，故A正确； 对于B：直线：， 直线：， 设过点，的直线交于，交于，则三点共线，，， ， 解得：，， 唯一，也就是唯一，因此满足条件的直线只有一条，故B正确； 对于C：设过点的平面法向量为，正方体三组对面的法向量分别为，，，该平面与每个面所成锐二面角相等，等价于.符号组合共种，而与表示同一平面，故共个平面，故C正确； 对于D：正方体旋转对称轴分类： 过对面中心：条，上下、前后、左右面中心连线，旋转重合， 过对顶点：条，体对角线，旋转重合， 过对棱中点：条，对棱中点连线，旋转重合， 合计：条，不是条，故D错误. 8．定义集合是满足下列性质的所有空间向量构成的集合：若，，，，，且，，则．在正方体中，，，．若，则（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】由集合的定义，逐项验证各选项是否符合题意. 【详解】在正方体中，，，， 所以空间直角坐标系如图所示，有， ， A选项：且时，若， 则，解得， 不满足，所以，A选项正确； B选项：，， 且时，若， 则，解得， 不满足，所以，B选项错误； C选项：，且时，若， 则，解得， 满足题意，有，C选项正确； D选项：，且时，若， 则，解得， 不满足，所以，D选项正确. 三、填空题 9．向量，，若，的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由的夹角为钝角，得且与不反向共线： ， 令，即，解得， 又当时，，，共线反向，夹角为，故排除， 综上，实数的取值范围是. 四、解答题 10．如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，为的中点，为的中点． (1)求的长； (2)求点到直线的距离； (3)若点在线段上（与端点不重合），且，当时，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，     则，，，．     因为为的中点，所以．因为为的中点，所以． 所以，所以． （2）连接．由已知得平面，平面，所以．     在中，，，，     所以点到直线的距离为． （3）因为点在线段上，且，所以． 又，， 所以．     又，所以．     因为，所以， 即，即，解得． 考点05 直线的方向向量与平面的法向量 一、单选题 1．如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，E是的中点，F为棱上一点，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建系，设，再结合即可求出. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，则，则， 若平面，则 即， 则，得，故. 2．某公司欲借助一次镜面反射将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．已知镜面反射时，方向向量在镜面平面内的分量保持不变，在法向量上的分量反向，则反射激光的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反射时，方向向量在镜面内的分量不变，在法向量方向的分量反向，得到关系式求解即可。 【详解】设入射方向向量，镜面法向量， 由于方向向量在镜面平面内的分量保持不变，在法向量上的分量反向， 则反射向量为， 方向向量可成比例放缩取. 3．已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与共线的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算即可判断AB；由空间向量夹角坐标公式，计算即可判断C，由平面法向量的计算公式，计算即可判断D. 【详解】对于A，， 因为，则与不共线，故A错误； 对于B，与共线的单位向量为，故B错误； 对于C，，所以， 所以与夹角的余弦值是，故C正确； 对于D，设为平面的法向量， 则，取，则， 所以，平面的一个法向量是，故D错误. 4．已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（      ） A． B． C．1,2 D． 【答案】A 【详解】，， . 为平面的法向量，且，在平面内， ，即，解得. 二、多选题 5．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（    ） A． B．向量与的夹角的余弦值为 C．点关于轴的对称点坐标为 D．是平面的一个法向量 【答案】BD 【分析】A选项利用两点间的坐标距离公式计算；B选项利用空间向量夹角的坐标公式运算；C选项关于轴对称的两个点横坐标与纵坐标互为相反数，竖坐标相等；D选项平面的法向量垂直于. 【详解】，， 对于A，，故A错误； 对于B，，， ， 设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误； 对于D，验证且，所以与均垂直， 故是平面OAB的一个法向量，故D正确． 6．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量的坐标是 C．平面ABC的一个法向量的坐标是 D．与夹角的余弦值是 【答案】BCD 【分析】先计算得到，，，再结合共线向量判定规则、单位向量计算方法、平面法向量定义、向量夹角余弦公式逐一验证选项. 【详解】计算得，，， 选项A：共线向量的对应坐标分量成比例，由于，故与不是共线向量，故A错误. 选项B：，与同向的单位向量为，故B正确. 选项C：记，计算得，， 即与平面内两个不共线向量都垂直，因此是平面的一个法向量，故C正确. 选项D：，， 故与夹角的余弦值为，故D正确. 三、填空题 7．在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，O为底面ABCD的中心，点P在正方体的表面上运动，且满足． 给出下列命题： ①点P可以是棱的中点；    ②点P轨迹的长度为； ③点P的轨迹是平行四边形；    ④点P轨迹所围成的图形面积为 其中真命题是________． 【答案】④ 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结论. 【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点， 所以，所以， 设，则， 因为， 所以，即， 所以，取，当时，；当时，； 取，连接， 则， 则， ， 所以， 又，且平面，平面， 所以平面，所以当点平面时，， 又点在正方体的表面上运动，所以点的轨迹为正三角形，故③错误； 点不可能是棱的中点，故①错误； 正三角形的边长为，点轨迹的长度为，故②错误； 正三角形的面积为，故④正确. 8．棱长为1的正方体中，M为棱的中点，P为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点P的轨迹所围成图形的面积为________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量的垂直关系可得点满足的方程，根据方程可得点的轨迹，进而利用面积公式求解即可. 【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， , , 由于,故，即， 由于经过点,其中分别为的中点， 因此的轨迹为平面，故点轨迹为四边形， 由于,, 故四边形的面积为。 四、解答题 9．如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． (1)若，证明：平面； (2)是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由； (3)以为直径作球，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值． 【答案】(1)（解法1）：折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，， 则，，， 因为，所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 可得， 又因为平面，所以平面． （解法2）：如图所示，连接交于点，连接， 因为，，所以， 由题意可知，，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面． (2)存在，为棱中点 (3) 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系求坐标，计算平面法向量，证明垂直于法向量，可得线面平行；解法2：利用线段比例，证明，由线面平行判定定理证明. （2）求与平面法向量，利用公式计算即可. （3）首先求得球的半径，再求点到平面的距离，由勾股定理可得，即得截面圆的面积的最小值. 【详解】（1）略. （2）存在点使得直线与平面所成角的正弦值为． 折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，， 设，，则， ，，， 设平面的法向量为， 则令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得，此时点为棱的中点． 即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）知，则球的半径， 又球心，，，， 设平面的法向量为， 则令，得，，所以， 所以点到平面的距离， 则截面圆的半径，当且仅当时取得最小值， 所以． 10．如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，D为BC的中点，E为AD的中点，且平面PAD⊥底面ABC，PE⊥AD.设PA=t（t>0） (1)求证：PE⊥底面ABC； (2)设O为ABC的重心，.求证：O是三棱锥P-ABC外接球的球心； (3)若平面PCB与平面PCA所成夹角的正弦值的平方等于，求t的值. 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 (3)或 【分析】（1）运用面面垂直性质可证； （2）根据平面图形的性质结合勾股定理即可；建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再运用题目条件求出t值. 【详解】（1）因为面底面，面底面， 且面,，故底面. （2）因为为的中点，为的中点，且为的重心， 可得，则， 又因为，在中，， 故, 因此是三棱锥外接球的球心. （3）以点为原点，所在方向为轴，过A点且垂直于底面的方向为z轴， 建立如下图的空间直角坐标系，则， 设，则， 故， 设面和面的法向量分别为， 则，令，则 同理求得，故， 则，化简得， 解得或， 当时，，； 同理当时，. 考点06 用空间向量方法研究立体几何中的位置关系 一、单选题 1．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则. A项：，，. ，， ，所以不垂直，故A错误； B项：，，. ，. ，所以不垂直，故B错误； C项：，，. ，. ，故，C正确； D项：，，. ，， ，所以不垂直，故D错误. 2．如图所示，在正方体中，P为线段上的动点，给出下列四个结论： ①DP长度为定值； ②三棱锥的体积为定值； ③任意点P，都有； ④存在点P，使得平面． 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，对于①，根据空间两点距离公式求解；对于②，通过证明平面，进而得到点P到平面的距离为定值，从而判断正误；对于③，通过判断，进而判断；对于④，通过验证向量与向量和同时垂直时是否有解，进而判断正误. 【详解】如下图所示： 设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、、、 ，设点，其中 对于①，不是定值，①错误； 对于②，在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面， ，则点P到平面的距离为定值，而的面积也为定值， 所以，三棱锥的体积为定值，②正确； 对于③，，，所以， 因此，对任意点P，都有，③正确； 对于④，，，， ，这样的t不存在， 所以不存在点P，使得平面，④错误． 二、多选题 3．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A．若，则 B．若，则n=1 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得． 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B正确； 对于C，由，得，，，则与不垂直，故C错误； 对于D，由，得，，，则，故D正确. 4．如图，在正四棱柱中，，E，F分别是，的中点，则（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各选项中线面平行、线线垂直及线面垂直的关系. 【详解】以点为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，则，，，，，，，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 选项A：，， 所以，即， 又平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 选项B：，， ， 所以，故选项B正确； 选项C：，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，，所以， 又， ， 所以与平面不平行，故选项C错误； 选项D：，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，所以. 又， 与不共线， 所以不垂直于平面，故选项D错误. 5．下列说法正确的是（     ） A．若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底 D．已知空间的三个不共面向量，，，若，则、、、四点共面 【答案】AC 【分析】选项A利用向量数量积的定义及钝角余弦值为负即可判断；选项B利用向量数量积为推出线面平行或线在面内，注意区分线面垂直的条件；选项C将基底问题转化为判定三个向量线性无关，通过设线性组合为零建立方程组，若只有零解则构成基底；选项D利用空间四点共面的充要条件，即且系数和进行判断. 【详解】对于选项A：设非零向量的夹角为，若为钝角，则， 由向量数量积公式，且， 所以必有，故A正确； 对于选项B：直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以， 这只能说明直线平行于平面或直线在平面内，推不出，故B错误； 对于选项C：假设存在实数，使得， 整理得， 因为是空间的一组基底，所以它们线性无关，从而必有， 解得，，因为方程只有唯一零解， 所以向量线性无关，它们也是空间的一组基底，故C正确； 对于选项D：由已知等式，即， 根据空间四点共面的充要条件：若四点共面， 则存在实数使 ，且满足， 而本题中系数之和为，所以四点不共面，故D错误. 6．若点平面，过点M作垂直于平面的直线，垂足为N，则称点N为点M在平面上的正投影，记．如图，在直三棱柱中，，，，记平面为β，平面为γ，P是棱上一动点（与A，C均不重合），，，则（   ） A． B．的最小值为 C．存在点P，使得平面 D．存在点P，使得 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，分别表示出，，的坐标，代入计算即可得出答案. 【详解】由题可得，，三条线两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 设平面的法向量为，，，，，其中， 易得平面的一个法向量为， 因为，， 所以，所以， 取，则平面的一个法向量为， 因为点在上，， 所以，即点坐标表示为， 由题可得平面，且平面，所以， 所以平面，平面，平面 所以， 所以有，即点在平面上，又因为平面平面， 所以点在上，易得， 联立，解得，即点坐标为， 同理可得点坐标为，点坐标为， 所以，， 所以， 因为，所以当时取得最小值， 若，，若，，， 因为，所以，故A正确； ， 对于二次函数，对称轴为直线， 当时，， 所以最小值为，故B错误； 若平面，则，即， 解得，故C正确； 若，则， ，所以有两个不同的实根， ，，符合题意， 所以存在点，使得，故D正确. 7．如图，已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ABD 【分析】利用等体积法求出体积判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理判断BC；作出截面并求出面积判断D. 【详解】对于A，在棱长为2的正方体中，三棱锥的高， ，则，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ，若，则， 即，取，此时点与点重合，因此存在点，使得，B正确； 对于C，，由，得， 即，因此点的轨迹是线段，轨迹长为，C错误； 对于D，取中点，连接，则，连接，而，平面， 又平面，则，，又，平面， 于是平面，取中点为，则，且四点共面， 则平面即为平面，令平面交分别于点， 由两平面平行性质知，又都是对应棱的中点， 则是中点，是中点，因此平面截正方体的截面为正六边形， ，截面面积为，D正确. 8．已知正方体外接球的体积为，点满足，其中，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点轨迹的长度为 B．若点在线段上（不包括端点），则的最小值为4 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】AC 【分析】根据题意，求得正方体的棱长为，由和，求得，得到点的轨迹为一段圆弧，求得圆弧的长度，可判定A正确；由点在线段上，得到，利用基本不等式，可判定B错误；由，得到点在棱上运动，结合，可判定C正确；由，得到点在线段上运动，建立空间直角坐标系，结合，可判定D错误. 【详解】由正方体外接球的体积为， 设正方体外接球的半径为，则，解得， 设正方体的棱长为，则，解得， 对于A，因为点满足，可得点在平面上， 在直角中，由，可得， 所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧， 故点的轨迹的长度为，所以A正确； 对于B，若点在线段上（不包括端点），则，其中， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，所以B错误； 对于C，当时，点在棱上运动， 此时为定值，所以C正确； 对于D，当时，如图，分别是的中点，点在线段上运动， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 可得， 因为， 所以与不垂直，所以不存在点，使得平面，所以D错误. 三、解答题 9．如图，在长方体中，，，．（用向量方法解答）. (1)求证:平面； (2)已知P为线段的中点，求证：平面． 【答案】(1)由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. (2)由题意 因为是线段的中点，所以于是 由（1）可取平面的法向量，且 所以直线的方向向量与平面的法向量垂直． 又平面的方程可写为而点不满足该方程，所以不在平面内． 因此平面. 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）求出的坐标，验证与平面的法向量垂直，并说明直线不在该平面内． 【详解】（1）略. （2）略. 10．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)设与交于点G，连接， 因为，且，又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2)因为正方形和四边形所在的平面相互垂直，且， 所以平面， 如图，以C为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则, 所以，，， 所以·，·， 所以⊥，⊥， 即， 又，且平面，平面， 所以平面． 【分析】（1）连接交于点G，证明四边形是平行四边形得到，再用线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，证明同时垂直于平面内两条相交向量，由线面垂直判定定理得证． 【详解】（1）略 （2）略 考点07 用空间向量方法研究立体几何中的度量关系 一、单选题 1．已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点到平面的距离. 【详解】以为空间直角坐标原点，以垂直于的直线为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系， 由是棱长均为的正三棱柱，是侧棱的中点， 故， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以， 故点到平面的距离. 2．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，求直线和夹角的余弦值（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选取作为基底表示和，通过向量数量积运算求出向量夹角余弦，取绝对值得到直线夹角的余弦值. 【详解】设，由正四面体棱长为1得，且任意两个基底向量的夹角为， 故， 由中点性质得： ， ， 则 ， 故 ， 又 ， ， 所以 向量与夹角的余弦值为， 由于直线夹角的取值范围是， 故直线和夹角的余弦值为. 二、多选题 3．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（     ） A．四棱锥的外接球体积为 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项 A：利用 “三线两两垂直的几何体可补成长方体” 的结论，外接球直径等于长方体体对角线，代入球体积公式计算验证；选项 B：将空间线线垂直转化为对应向量点积为 0，列方程求解参数，若解在参数范围内则存在符合条件的点；选项 C：由几何对称性得MB=MD，将距离和转化为单变量二次函数，通过对称轴求二次函数的最小值；选项 D：利用坐标轴上的点到直线距离公式，将距离表示为参数t的二次函数，通过二次函数性质求最小值. 【详解】由题意以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.    则，由动点在线段上， 可设，则， 所以，即. 对于A：将四棱锥补成长、宽、高分别为1，1，2的长方体，其外接球即为四棱锥的外接球，外接球直径等于长方体体对角线长， 即，所以， 所以外接球体积为，故A正确； 对于B：因为， 所以， 令，得，故存在点使，故B正确； 对于C：因为，， 故， 因为二次函数在时取到最小值， 所以，故C错误； 对于D：直线即轴， 点到的距离为， 二次函数在时取最小值， 所以，故D正确. 4．如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（     ） A．三棱锥 的体积为定值 B．若为的中点，则直线平面 C．若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正弦值是 D．直线与平面所成角的正弦的最大值为 【答案】ACD 【分析】证明出平面，可知点到平面的距离等于点到平面的距离，利用锥体的体积公式可判断A选项；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】对于选项A，在正四棱柱中，，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以，，为定值，故A正确； 对于选项B，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设. 则，，，，，， 因为为的中点，则，则，， 所以，所以与不垂直， 故当为的中点时，直线与平面不垂直，故B错误； 对于选项C，，， 则， ， 因为，所以，故C正确； 对于选项D，设平面的法向量为，，， 则，取，可得，此时，， 设. ， 设直线与平面所成的角为, 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以直线与平面所成角的正弦的最大值为，故D正确. 5．如图，在棱长为3的正方体中，为线段上的动点，若二面角的平面角的正弦值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用二面角的夹角公式求出二面角的平面角的余弦值，结合已知条件二面角的平面角的正弦值为，列出等量关系，求出. 【详解】 如图建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为3，故，，，. 为线段上的动点，设，， ，， ， 设平面的法向量为， ，，则： ，即，令，得，， 即. 设平面的法向量为， ，，则： ，即，令，得，， 即. 设二面角的平面角为，则，. 又， 即，即， 即，即， 即，即， 解得：，或. 三、解答题 6．如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，底面，是的中点． (1)求证：平面. (2)若平面， ①求异面直线与所成的角的余弦值； ②求二面角的余弦值． 【答案】(1)设，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 平面的一个法向量为 所以. 因为平面，所以平面． (2)①；②. 【分析】（1）利用直线的方向向量与平面的法向量垂直即可证明； （2）利用空间向量法求角即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，即. 因为， 所以，即． ①， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为； ②， 设平面的法向量为， 则即， 令，则，即. 平面的一个法向量为； 设二面角为，由图可得为锐角. 所以. 所以二面角的余弦值为. 7．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，， (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为是正方形，所以， 又，，， 平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面 (2) (3)在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，此时. 【分析】（1）根据， 证明平面平面，从而得到平面； （2）首先证明，然后建立空间直角坐标系求平面的法向量，求出与夹角的余弦值即可求解； （3）若在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，设，利用空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，根据平面与平面的夹角的正切值为求出即可. 【详解】（1）略. （2）因为正方形所在平面与梯形所在平面垂直， 平面平面，平面，所以平面，故，又因为，，所以， 因为，所以，故，故两两垂直，如下图建立空间直角坐标系： 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 设，则，，设直线与平面所成角为， 则，故， 即直线与平面所成角的余弦值为. （3）若在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，设，因为，所以， 由（1）得平面，故平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，因为，， ，所以，令，则， 故，， 设平面与平面的夹角为， 则， 根据题意得，因为，所以， 即，又，故，即， 故在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，此时. 8．如图，在直三棱柱中，，分别为线段的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)取中点，连接，， 三棱柱为直三棱柱，平面. 平面，. 又，且为的中点，. 又，平面，平面， 且，，平面. 为中点，F为中点，，且， 为中点，，且，四边形为平行四边形， ，且平面， 平面. (2). 【分析】（1）取中点，先证明平面，再证明四边形为平行四边形，进而可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，用向量的方法计算面面角，再由面面角的余弦值可得所求棱的长. 【详解】（1）略 （2）由题意，为直角，即，则. 又因为直三棱柱，平面，平面， 所以，因此两两互相垂直. 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系：如图:    设，则， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，. 因为平面在坐标平面内，取平面的一个法向量为. 二面角的余弦值为，， 平方化简得，即，且，解得， 因此的长为. 9．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，四棱锥的体积为，点在线段（不含端点）上运动． (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明：在三棱柱中，，又，所以， 因为平面平面，平面平面，， 且平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面，平面． (2) 【分析】（1）先由条件平面平面找到两个面的交线，再根据面面垂直性质证明得到线面垂直即可. （2）先利用面面垂直和体积算出高，再建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，设，从而表示出点，再求出两个面法向量，代入二面角公式解得参数即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知平面，，平面， 所以且，又由题设，因此，，，两两垂直， 以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向， 以过点且平行于的直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示， 已知，则，，所以，，， 设的坐标为（）， 由于， ，所以， 解得， 所以，则， 所以，，， 设，其中，，所以， 设平面的法向量为，，， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量，，， 则，令，则，， 所以， 设平面与平面夹角为，则为锐角， 则， 因为，所以，所以， 化简得，又，解得，此时． 10．如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面，如图2，的中点为. (1)求证：； (2)若的中点为，线段上靠近点的三等分点为. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为，当线段与线段的长度之和最小时，求直线与平面成角的正弦值. 【答案】(1)证明：因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）（i）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可；（ii）当线段PD与线段PC的长度之和最小时，要使最小，利用对称法，作D关于平面的对称点，连接，与平面的交点即为，再应用线面角正弦公式计算求解. 【详解】（1）（1）略 （2）（i）取的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直， 分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 依题意，， 则，， 设平面的法向量为， 由，得到，则可取， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. （ii）设平面内一动点为， 不妨设关于平面的对称点，设与平面的交点即为， 因为平面的法向量为， 设，则中点为在平面上，， 所以， 因与平面法向量平行， 则，设比值为，则得， 代入中，得， 解得，故， 又因为， 设直线与平面的交点为， 且，则， 则有， 又因为， 将代入得，解得，则， 故，易得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $