第8章 第2讲 两直线的位置关系(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦两直线位置关系核心考点，涵盖平行垂直判定、交点坐标求解及点点距、点线距、线线距公式，按“概念梳理-题型突破-方法总结”逻辑架构知识体系，通过考点精讲、方法归纳、真题演练环节，帮助学生构建知识网络，突破斜率讨论等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与模型意识培养，创新采用“题型分类+方法迁移”策略，如距离问题中通过转化法求平行线距离，结合分层对点训练（基础巩固、能力提升），助力学生高效掌握判定条件及公式应用，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第2讲　两直线的位置关系 课标要求　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．　2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3．探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 1．两条直线的平行与垂直 (1)两条直线平行：设两条不重合直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则l1 与l2 的倾斜角α1 与α2 相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k1＝k2.因此，若l1∥l2，则k1＝k2. (2)两条直线垂直：设两条直线l1，l2 的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2 的方向向量分别是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.因此， k1k2＝－1． 提醒　在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了两条直线或一条直线斜率不存在的情形． 2．两条直线的交点坐标 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 相交，则交点P 的坐标是方程组 的解． 3．三种距离 点点距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 之间的距离 |P1P2|＝ 点线距 点P(x0，y0) 到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ 线线距 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 提醒　利用两条平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化为x，y 的系数对应相等的一般式方程． 1．经过点P(2，3)且与直线2x－y＝0垂直的直线l的方程为(　　) A.2x＋y－7＝0　　　 B．2x－y－1＝0 C.x＋2y－8＝0 D．x＋2y＋4＝0 解析：选C.因为直线2x－y＝0的斜率为2，直线l与直线2x－y＝0垂直，所以2kl＝－1，即kl＝－. 又直线l过点P(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋2y－8＝0. 2．直线l经过l1：x＋y＋1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点，且经过点(－1，3)，则直线l的方程是(　　) A.2x＋y－1＝0 B．2x－y＋5＝0 C.2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0 解析：选B.联立解得则两直线交点为(－2，1)，直线l过点(－2，1)，又l经过点(－1，3)，则直线l的斜率为k＝＝2，直线l的方程为y－3＝2(x＋1)⇒2x－y＋5＝0. 3．(多选)若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则m的值可以是(　　) A.2 B．－2 C. D．－ 解析：选ABC.三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况： l1∥l2，则有＝≠，解得m＝－2； l1∥l3，则有＝≠，解得m＝； l1，l2，l3相交于同一个点，由 解得代入3x＋my－1＝0，可得3－m－1＝0，解得m＝2. 4．(选择性必修第一册P79T7改编)两条平行直线x－2y＋1＝0与2x－4y－3＝0间的距离为__________． 解析：由直线2x－4y－3＝0，可得x－2y－＝0，根据两条平行直线间的距离公式知 d＝＝. 答案： 5．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(1，2)，(2，3)，(3，7)，则此三角形的面积为________． 解析：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即4x－y－5＝0，由两点间距离公式得|BC|＝＝，设点A到直线BC的距离为d，d＝＝，则△ABC的面积S＝|BC|·d＝××＝. 答案： 常用结论 1.与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 垂直或平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n≠C). 2．两个充要条件 (1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0；(2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. 题型一　两条直线的位置关系 [例1] (多选)已知直线l1：ax＋y－3a＝0，直线l2：2x＋(a－1)y－6＝0，则(　　) A．当a＝3时，l1与l2的交点为(3，0) B．直线l1恒过点(3，0) C．若l1⊥l2，则a＝ D．存在a∈R，使l1∥l2 【解析】　对于A，当a＝3时，直线l1：3x＋y－9＝0，直线l2：2x＋2y－6＝0， 联立解得所以直线l1与l2的交点为(3，0)，故A正确； 对于B，直线l1：ax＋y－3a＝0，即a(x－3)＋y＝0，令即所以直线l1恒过点(3，0)，故B正确； 对于C，若l1⊥l2，则a×2＋1×(a－1)＝0，解得a＝，故C正确； 对于D，假设存在a∈R，使l1∥l2，则a(a－1)－1×2＝0，解得a＝2或a＝－1， 当a＝2时，l1：2x＋y－6＝0，l2：2x＋y－6＝0，两直线重合，舍去， 当a＝－1时，l1：－x＋y＋3＝0，即x－y－3＝0， l2：2x－2y－6＝0，即x－y－3＝0，两直线重合，舍去， 所以不存在a∈R，使l1∥l2，故D错误． 【答案】　ABC 【素养小结】　(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． [对点训练] 1.已知矩形ABCD的边AB所在直线的方程为2x－y＋4＝0，顶点D(0，－1)，则顶点A的坐标为(　　) A．(－2，0) B．(－1，0) C．(1，0) D．(2，0) 解析：选A.因为AB⊥AD，边AB所在直线的方程为2x－y＋4＝0，设AD所在直线方程为x＋2y＋m＝0，因为直线AD过点D(0，－1)，所以m＝2，所以AD所在直线方程为x＋2y＋2＝0，由解得即顶点A的坐标为(－2，0). 2．(2026·黄浦模拟)已知直线l1：2x－(a＋1)y－1＝0，直线l2：ax－y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝________． 解析：由题意及l1∥l2，有－a(a＋1)＋2＝0，则a2＋a－2＝(a＋2)(a－1)＝0， 解得a＝－2或a＝1， 当a＝－2时，l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y－1＝0，两直线重合，不符合题意； 当a＝1时，l1：x－y－＝0，l2：x－y＋1＝0，符合题意．所以a＝1. 答案：1 题型二　两直线的交点问题 [例2] 经过直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0 【解析】　方法一：由解得 所以直线l1与l2的交点为(－1，1)， 设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)， 所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1， 所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0. 方法二：设所求直线方程为2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，又该直线与3x＋2y＋7＝0平行， 故(λ＋2)×2－3×(2λ－1)＝0，解得λ＝， 故所求直线方程为(＋2)x＋(－1)y＋3－＝0，即3x＋2y＋1＝0.经检验，符合题意． 【答案】　D 【素养小结】　(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C). (2)与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C2＝0. (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2. [对点训练] 已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，交点坐标为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　) A．20 B．－4 C．0 D．24 解析：选B.已知直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为.由两直线垂直，可知－×＝－1，解得a＝10. 将交点(1，c)的坐标代入直线l1的方程中，得c＝－2.将交点(1，－2)的坐标代入直线l2的方程中，得b＝－12.所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4. 题型三　距离问题 考向1　点到直线的距离 [例3] (1)若点P(3，1)到直线l：3x＋4y＋a＝0(a＞0)的距离为3，则a＝(　　) A．3 B．2 C． D．1 (2)已知点P(m，n)在直线3x＋4y＋15＝0上，则的最小值为________． 【解析】　(1)因为点P(3，1)到直线l：3x＋4y＋a＝0(a＞0)的距离为3， 所以＝3，结合a＞0可得a＝2. (2)因为表示点P到原点(0，0)的距离，而点P在直线3x＋4y＋15＝0上，所以的最小值即为原点(0，0)到直线3x＋4y＋15＝0的距离，即＝3.所以的最小值为3. 【答案】　(1)B　(2)3 考向2　两平行线间的距离 [例4] (1)已知直线l1：4x－3y＋5＝0与直线l2：8x－6y－15＝0，在l1上任取一点A，在l2上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点B的四等分点C，过点C作l1的平行线l3，则l1与l3之间的距离为(　　) A． B． C． D． (2)点M，N分别是曲线y＝－ln x＋2和直线y＝－x上任意一点，则|MN|的最小值为________． 【解析】　 (1)方法一：直线l2的方程可化为4x－3y－＝0，又l1：4x－3y＋5＝0，故直线l1与l2平行．如图，过A作AD⊥l2于点D，交直线l3于点E，则|AE|为直线l1与l3之间的距离．因为l1∥l2∥l3，|AC|＝|AB|，所以|AE|＝|AD|＝×＝. 方法二：由方法一知，直线l1与l2平行，则A，B 的选取对直线l3的方程无影响， 不妨设A，B.因为C为线段AB上靠近点B的四等分点，则＝3，设C(0，y)，则y－＝3，解得y＝－. 设直线l3的方程为4x－3y＋C1＝0(C1≠5且C1≠－)，将点C的坐标代入，得C1＝－，则4x－3y－＝0，故直线l1与l3之间的距离d＝＝. (2)设直线y＝－x＋a是曲线y＝－ln x＋2的切线，切点为(x0，－x0＋a)， 则解得 则y＝－x＋3， 则|MN|的最小值即为两平行线x＋y＝0与x＋y－3＝0间的距离d， 即d＝＝. 【答案】　(1)B　(2) 【素养小结】　(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求解，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两条平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式(利用公式前需把两条平行直线方程化为x，y的系数对应相等的一般式方程). 注意　点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. [对点训练] 1.已知A(4，0)，B(2，a)两点到直线l：x＋y－5＝0的距离相等，则a＝(　　) A．2 B．4 C．1或4 D．2或4 解析：选D.因为A(4，0)，B(2，a)两点到直线l：x＋y－5＝0的距离相等， 所以＝，所以|a－3|＝1，所以a＝2或a＝4. 2．两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________． 解析：设l1，l2之间的距离为d， 因为平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)， 则0＜d≤|PQ|＝5， 当且仅当l1，l2与直线PQ垂直时，等号成立， 所以l1，l2之间的距离的取值范围是(0，5]. 答案：(0，5] 学科网（北京）股份有限公司 $