第8章 第2讲 两直线的位置关系 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦直线与方程核心考点，以题组形式构建"概念理解-技能应用-综合迁移"的递进训练体系，强化数学运算与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线方程基础|3题|倾斜角与斜率互化、点斜式应用|从斜率定义到直线方程的生成过程| |位置关系判定|4题|平行/垂直条件、充要条件判断|通过斜率关系构建位置关系的逻辑链条| |距离公式应用|3题|点线距离、平行线距离、最值问题|距离公式的直接应用与几何意义拓展| |综合应用|4题|三角形高、轨迹长度、平行四边形面积|知识点交叉融合，体现数形结合思想|

1．已知直线l过点P(2，2)且倾斜角为135°，则点Q(－2，0)到直线l的距离为(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：选C.易知直线l的斜率为tan 135°＝－1，又过点P(2，2)，所以其方程为y－2＝－(x－2)，即x＋y－4＝0，可得点Q(－2，0)到直线l的距离为＝3. 2．“m＝3”是“直线mx＋2y＋3m＝0和直线3x＋(m－1)y－m＋7＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.当m＝3时，直线3x＋2y＋9＝0和直线3x＋2y＋4＝0是平行关系，即满足充分性；当直线mx＋2y＋3m＝0和直线3x＋(m－1)y－m＋7＝0平行时，显然m≠1， 则解得m＝3，故满足必要性． 3．若△ABC的三个顶点为A(1，3)，B(3，0)，C(1，－2)，则BC边上的高所在直线的方程为(　　) A．x＋y－4＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋4＝0 D．x－y－2＝0 解析：选A.kBC＝＝1，所以BC边上的高所在直线的斜率为－1， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0. 4．点P(1，－1)到直线l：mx－m＋y－1＝0的距离的最大值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选A.易知直线l：mx－m＋y－1＝0恒过定点(1，1)，当点P(1，－1)与定点的连线垂直于直线l时，满足题意，此时距离的最大值为＝2. 5．若直线l被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为2，则直线l的倾斜角大小为(　　) A．15° B．15°或75° C．30° D．30°或150° 解析：选B.因为直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0平行，所以l1与l2之间的距离d＝＝. 设直线l与l1，l2的夹角为α(0°≤α≤90°)，因为直线l被直线l1与l2所截得的线段长为2，所以sin α＝＝，解得α＝30°. 因为直线l1，l2的斜率为1，所以其倾斜角均为45°，所以直线l的倾斜角为15°或75°. 6．(多选)已知直线l1：2x＋y＋2＝0，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k2＋1＝0(k∈R)，则(　　) A．直线l2可以与x轴平行 B．直线l2可以与y轴平行 C．当l1∥l2时，k＝1 D．当l1⊥l2时，k＝－ 解析：选ABD.当k＝－1时，直线l2：y－2＝0，此时直线l2与x轴平行，故A项正确；当k＝0时，直线l2：x＋1＝0，此时直线l2与y轴平行，故B项正确；若l1∥l2，则2k－(k＋1)＝0，解得k＝1，此时直线l2：2x＋y＋2＝0与l1重合，故C项错误；若l1⊥l2，则2(k＋1)＋k×1＝0，解得k＝－，故D项正确． 7．已知A(2，－2)，B(1，2)两点到直线l：ax＋y＋2＝0的距离相等，则a的值为________． 解析：A(2，－2)，B(1，2)两点到直线l：ax＋y＋2＝0的距离相等，则＝，解得a＝－或a＝4. 答案：－或4 8．若直线l1：x＋2y－4＝0与直线l2：kx－y＋2k＋1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________． 解析：由题易知k≠－，故联立 解得 即直线l1与直线l2交于点， 依题意，解得－＜k＜，所以实数k的取值范围是. 答案： 9．(13分)已知直线l1：6x＋(t－1)y－8＝0，直线l2：(t＋4)x＋(t＋6)y－16＝0. (1)若l1与l2相交，求实数t的取值范围；(6分) (2)若l1与l2平行，求实数t的值并求出此时两条直线间的距离．(7分) 解：(1)由直线l1：6x＋(t－1)y－8＝0与直线l2：(t＋4)x＋(t＋6)y－16＝0相交， 得6(t＋6)≠(t－1)(t＋4)，即t2－3t－40≠0，解得t≠8且t≠－5， 所以实数t的取值范围为t≠8且t≠－5. (2)由直线l1与l2平行， 得 即解得t＝－5， 此时l1：x－y－＝0，直线l2：x－y＋16＝0，所以直线l1与l2间的距离 d＝＝. 10．已知过原点且倾斜角为θ的直线与直线x＋y－4＝0交于点P，则当θ在上变化时，点P的轨迹长度为(　　) A． B．2 C．3 D．2 解析：选D.当θ＝时，直线的斜率k＝tan ＝，直线为y＝x， 联立解得P1(1，)； 当θ＝时，直线的斜率k＝tan ＝－，直线为y＝－x，联立解得P2(－2，2)，所以点P的轨迹长度为＝＝2. 11．(多选)已知点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，若(a－1)2＋(b－1)2的最小值为4，则下列选项可能正确的是(　　) A．a＝－ B．a＝ C．b＝－ D．c＝－11 解析：选ABD.因为点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，那么(a－1)2＋(b－1)2的最小值是定点P(1，1)到直线4x－3y＋c＝0的距离d的平方， 所以d＝＝2，解得c＝－11或c＝9，此时直线PM的方程为3x＋4y－7＝0，联立可得 故M； 联立可得 故M. 综上，可能正确的是ABD. 12．已知△ABC的顶点A(1，1)，高CD所在直线方程为3x＋y－12＝0，∠ABC的平分线BE所在直线方程为x－2y＋4＝0，则B点的坐标为________． 解析：因为△ABC的高CD所在直线方程为3x＋y－12＝0，所以直线AB的斜率k＝－＝－＝. 又△ABC的顶点A(1，1)，所以直线AB的方程为y－1＝(x－1)，即x－3y＋2＝0. 又∠ABC的平分线BE所在直线方程为x－2y＋4＝0， 所以联立得所以B点的坐标为(－8，－2). 答案：(－8，－2) 13．(15分)已知▱ABCD的两条边所在直线的方程分别是AB：x＋y－1＝0，AD：3x－y＋4＝0，且它的对角线的交点是M(3，3). (1)求顶点A，C的坐标；(5分) (2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程；(5分) (3)求▱ABCD的面积．(5分) 解：(1)联立 解得即A. 设C(x0，y0)，因为点M(3，3)是AC的中点， 则解得 即得C. (2)由直线AD的斜率kAD＝3，且BC∥AD，则直线BC的方程为y－＝3， 即y＝3x－16. 由直线AB的斜率kAB＝－1，且CD∥AB，则直线CD的方程为y－＝－， 即y＝－x＋11. 故这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程是y＝3x－16和y＝－x＋11. (3)由得 即D，所以|AD|＝ ＝. 又M到AD的距离d＝＝， 所以▱ABCD的面积S＝|AD|·2d＝×2×＝50. 14．(15分)已知直线l1：mx－y－m＝0，l2：x＋my＋m(m－1)＝0，l3：y＝(m－1)(x－1)，且l1，l2，l3围成△ABC. (1)判断△ABC的形状；(7分) (2)已知m∈(0，＋∞)，求S△ABC的最小值．(8分) 解：(1)①当m＝0时，l1：y＝0，l2：x＝0，l3：y＝1－x，显然l1⊥l2，如图1所示，所以△ABC为等腰直角三角形． ②当m≠0时，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1＝m，k2＝－，k3＝m－1， 因为k1·k2＝－1，m－1≠m，m－1≠－，即k1·k2＝－1，k3≠k1，k3≠k2， 所以直线l1与l2垂直，l3与l1相交，l3与l2相交． 由解得即直线l1与l3的交点为(1，0)，在l2：x＋my＋m(m－1)＝0 中，令x＝1，得y＝≠0，所以直线l1与l3的交点不在直线l2上，即三条直线不过同一个点，故△ABC为直角三角形． 综上所述，△ABC为直角三角形． (2)易知l1，l3均恒过点(1，0)，记为点A.如图2所示． 由(1)知AB⊥BC，故|AB|为点A(1，0)到直线l2的距离，即 |AB|＝. 联立 解得故C(0，1－m). 所以|BC|为点C(0，1－m)到直线l1的距离，即|BC|＝. 所以S△ABC＝×|AB|·|BC|＝××＝×≥×＝，当且仅当m＝1时等号成立，所以S△ABC的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $