第8章 第1讲 直线的方程(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义围绕直线的方程专题，将倾斜角与斜率、方向向量、五种方程形式等核心考点按定义-公式-应用的逻辑层次梳理，通过课标解读、知识点精讲、题型分类（倾斜角与斜率、方程求法、综合应用）、真题演练等环节，帮助学生构建知识网络，突破斜率范围、方程形式选择等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如在直线方程综合应用中，通过母题探究（面积、截距和最值问题）引导学生用基本不等式构建模型，结合分层练习（基础巩固、能力提升）强化运算能力与推理意识。设置素养小结提炼斜率求法、方程适用范围等策略，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰框架，提升学生应考能力。

第1讲　直线的方程 课标要求　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．　2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．　3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)，了解斜截式方程与一次函数的关系． 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l 与x 轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． ③范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 提醒　倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x 轴正方向的倾斜程度．每条直线都有唯一确定的倾斜角． (2)直线的斜率 ①定义式：直线l 的倾斜角为α(α≠)，则斜率k＝tan α； ②坐标式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 在直线l 上，且x1≠x2，则直线l 的斜率k＝． 提醒　如果y2＝y1 且x2≠x1，则直线与x 轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1 且x2＝x1，则直线与x 轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在． 2．直线的方向向量与斜率 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)(1，)，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量的坐标为(1，k). (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝. 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 (a≠0，b≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用 1．(选择性必修第一册P55T4改编)已知点A(2，0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为(　　) A.30° B．60° C．120° D．150° 解析：选B.由题意得直线AB的斜率k＝＝，设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝，因为0°≤α<180°，所以α＝60°. 2．已知三点A(2，－1)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则k的值为(　　) A.4 B．5 C．6 D．7 解析：选B.由A(2，－1)，B(4，3)，C(5，k)三点共线，得kAB＝kBC，即＝，解得k＝5. 3．(多选)已知直线m的方程为x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　) A.直线m的斜率为 B.直线m的横截距为1 C.直线m的纵截距为 D.点Q(7，4)不在直线m上 解析：选AC.对于A，x－2y＋1＝0可变形为y＝x＋，故直线m的斜率为，A正确；对于B，在x－2y＋1＝0中，令y＝0，得x＝－1，故直线m的横截距为－1，B错误；对于C，在x－2y＋1＝0中，令x＝0，得y＝，故直线m的纵截距为，C正确；对于D，当x＝7时，y＝＋＝4，故点Q(7，4)在直线m上，D错误． 4．若直线l过点(－1，1)，且其一个方向向量为m＝(2，4)，则直线l的方程为____________________________________________________________________． 解析：由题意可知，直线l的斜率为k＝＝2.又直线l过点(－1，1)，所以直线l的方程为y－1＝2×(x＋1)，即2x－y＋3＝0. 答案：2x－y＋3＝0 5．已知直线y＝x＋k与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数k的值为____________________________________________________________________. 解析：令x＝0，得y＝k；令y＝0，得x＝－2k.所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝＝k2＝1，所以k＝1或k＝－1. 答案：1或－1 题型一　直线的倾斜角与斜率 1．如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 解析：选A.当倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k1<k3<k2. 2．若倾斜角为的直线过点(1，3)和(2，m)，则实数m＝________． 解析：因为直线的倾斜角为，所以直线斜率k＝tan ＝，则k＝＝，解得m＝3＋. 答案：3＋ 3．已知过点(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和B(－2，4)为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为________________． 解析：设点P(0，－2)，依题意kPA＝＝1，kPB＝＝－.因为直线l与线段AB有交点，由图可知kl≤－或kl≥1，所以直线l的斜率的取值范围为(－∞，－]∪[1，＋∞). 答案：(－∞，－]∪[1，＋∞) 【素养小结】　(1)斜率的求法 ①定义法：若已知直线的倾斜角α 或α 的某种三角函数值，一般根据k＝tan α(α≠)求斜率； ②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2) 求斜率． (2)倾斜角及斜率取值范围的两种求法 ①数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性求解； ②函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角的取值范围求斜率的取值范围，反之亦可． 题型二　直线的方程 [例1] (1)直线l：x－y＋＝0与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转105°得到直线l′，则直线l′的方程为(　　) A.x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0 C.x＋y－＝0 D．x＋y－1＝0 (2)若直线l过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为_____________________________________________________________________． 【解析】　(1)直线l：x－y＋＝0即y＝x＋1，则直线l的斜率为， 倾斜角为30°，令x＝0得y＝1，即P(0，1)， 则直线l′的倾斜角为30°＋105°＝135°，斜率为tan 135°＝－1， 所以直线l′的斜截式方程为y＝－x＋1，即直线l′的方程是x＋y－1＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 将(3，2)代入得，3k＝2，解得k＝，故直线l的方程为y＝x； 当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 将(3，2)代入得，＋＝1，解得a＝1，故直线l的方程为x－y＝1. 综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x－y－1＝0. 【答案】　(1)A　(2)2x－3y＝0或x－y－1＝0 【素养小结】　 [对点训练] 1.若直线的截距式方程＋＝1化为斜截式方程为y＝－2x＋b，化为一般式方程为bx＋ay－8＝0(a＞0)，则a－b＝(　　) A.－2 B．2 C.6 D．8 解析：选A.易知ab≠0，由y＝－2x＋b，得到2x＋y－b＝0， 由已知一般式方程为bx＋ay－8＝0(a＞0)，所以有＝＝，则b2＝16，解得b＝±4，又a＞0，a＝b， 所以a＝2，b＝4，则a－b＝－2. 2．已知直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，则∠BAO(O为坐标原点)的平分线所在直线的方程为________________． 解析：由直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点， 令x＝0，可得y＝4，则B的坐标为(0，4)， 令y＝0，可得x＝3，则A的坐标为(3，0)，如图， 设∠BAO＝2α(α为锐角)， 则－tan 2α＝＝－，即tan 2α＝， 则有＝，即2tan2α＋3tanα－2＝0，解得tan α＝或tan α＝－2(舍去)， 则∠BAO的平分线所在直线的斜率k＝－，其方程为y＝－(x－3)，变形可得x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 题型三　直线方程的综合应用 [例2] 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点M(2，1). (1)若直线l又过点(－1，3)，求直线l的方程； (2)若直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积的最小值． 【解】　(1)因为l过点(2，1)，(－1，3)，所以直线l的斜率为＝－， 所以l：y－1＝－(x－2)，即2x＋3y－7＝0. (2)由题意可知直线l在x轴、y轴上的截距均大于0，设l：＋＝1(a＞0，b＞0)， 代入(2，1)得＋＝1≥2，得ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时，等号成立， 所以S△AOB＝ab≥4，所以△AOB面积的最小值是4. 母题探究1　本例(2)条件不变，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l过点M(2，1)， 所以＋＝1(a＞0，b＞0)，则|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－2－＝0. 母题探究2　本例(2)条件不变，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 解：方法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，令y＝0，得x＝2－，令x＝0，得y＝1－2k， 所以A，B(0，1－2k)(k＜0)， 所以|MA|·|MB|＝·＝2×＝2≥4， 当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号， 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 方法二：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，易知A(a，0)，B(0，b)，＋＝1， 所以|MA|·|MB|＝||·||＝－·＝－[(a－2，－1)·(－2，b－1)] ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)·－5＝2≥4， 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 【素养小结】　与直线方程有关的最值问题的解题策略 (1)先设出直线方程确定目标函数，再利用基本不等式求最值． (2)注意点在直线上，则点的坐标满足直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． [对点训练] 已知直线l的方程为(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0. (1)求证：不论m为何值，直线l必过定点M； (2)过点M的直线l1交坐标轴正半轴于A，B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长． 解：(1)证明：由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0可得，m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，令解得所以直线l必过定点M(3，1). (2)由(1)知，直线l1恒过定点M(3，1)，由题意可设直线l1的方程为y－1＝k(x－3)(k＜0)，直线l1与x轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，令x＝0，得yB＝1－3k；令y＝0，得xA＝3－，所以△AOB的面积S＝(1－3k)＝[(－9k)＋＋6]≥＝6，当且仅当－9k＝－，即k＝－时等号成立，此时△AOB面积最小，A(6，0)，B(0，2)，＝＝2，△AOB的周长为6＋2＋2＝8＋2.所以当△AOB面积最小时，△AOB的周长为8＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $