第8章 第1讲 直线的方程 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦直线方程核心方法，以斜率计算、方程形式、数形结合为主线，系统覆盖概念生成与应用拓展，培养推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜率与倾斜角|1,2,11题|定义法求斜率、倾斜角正切转化|斜率定义→倾斜角关系→正切函数性质| |直线方程形式|3,6,7题|截距式分类讨论、点斜式定点提取|方程形式→截距意义→定点问题模型| |数形结合应用|5,10,12题|代数式几何意义转化、斜率范围数形化|代数问题→几何表征→图形性质应用| |综合应用|9,13,14题|分类讨论参数、面积与周长模型构建|基础方法→综合问题→模型意识培养|

1．已知直线l经过点A(－1，3)，B(2，－1)，则l的斜率为(　　) A. B．2 C．－ D．－ 解析：选C.直线l的斜率k＝＝－. 2．已知直线l经过点(－，0)，倾斜角是直线x＝－1的倾斜角的，则直线l的方程为(　　) A.x－y＋＝0 B.x－y＋＝0 C.x－y＋3＝0 D.x＋y＋＝0 解析：选A.因为直线x＝－1的倾斜角为90°，所以直线l的倾斜角为30°，直线l的方程为y－0＝tan 30°[x－(－)]，即x－y＋＝0. 3．过点A(1，4)，且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有(　　) A.1条 B．2条 C.3条 D．4条 解析：选C.因为直线在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，故设直线方程为y＝kx或＋＝1或－＝1， 若直线y＝kx过点A(1，4)，则4＝k，得直线方程为4x－y＝0； 若直线＋＝1过点A(1，4)，则＋＝1，解得a＝5，得直线方程为x＋y－5＝0； 若直线－＝1过点A(1，4)，则－＝1，解得a＝－3，得直线方程为x－y＋3＝0. 所以满足条件的直线有3条． 4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：＋|y|＝1的周长为(　　) A.4 B．6 C.8 D．10 解析：选C.在曲线C的方程＋|y|＝1中，将x用－x或y用－y代换，曲线方程都不变，所以曲线C关于x轴、y轴对称，关于原点对称， 当x≥0，y≥0时，曲线C的方程为＋y＝1，表示以(，0)和(0，1)为端点的线段， 其长度为＝2，根据对称性知，其他三条线段的长度也为2，所以曲线C：＋|y|＝1的周长为4×2＝8. 5．设A(－2，3)，B(1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的取值范围是(　　) A.(－∞，－2]∪[3，＋∞) B.[－2，3] C.(－∞，－3]∪[2，＋∞) D.[－3，2] 解析：选A.如图所示，＝，则原问题可转化为过点C(0，－1)的直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率k的取值范围．连接AC，BC，则kBC＝＝3，kAC＝＝－2. 当l的倾斜角是锐角时，k＞0，随着倾斜角的增大，斜率k由kBC＝3增大至正无穷； 当l的倾斜角是钝角时，k＜0，随着倾斜角的增大，斜率k由负无穷增大至kAC＝－2. 所以k≥3或k≤－2. 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第三象限 B.直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2) C.斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x±3 D.过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) 解析：选BD.因为直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以有k＜0，b＞0，因此点(k，b)在第二象限，所以A不正确； 由y＝ax－3a＋2⇒y－2＝a(x－3)，所以直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)，所以B正确； 斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x＋3，所以C不正确； 过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以D正确． 7．经过点(0，1)，且以d＝(2，5)为一个方向向量的直线l的斜截式方程为______________． 解析：依题意，直线l的斜率k＝，所以直线l的斜截式方程为y＝x＋1. 答案：y＝x＋1 8．若直线l：ax＋2by＝1的截距之和为2，且ab＞0，则2a＋b的最小值为________． 解析：将直线l转化为截距式，即＋＝1，则＋＝2，所以2a＋b＝(2a＋b)＝(2＋＋＋)≥＋＝，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，故2a＋b的最小值为. 答案： 9．(13分)已知坐标平面内两点M(m＋3，3m＋5)，N(2m－1，1). (1)当直线MN的斜率不存在时，求m的值；(3分)　 (2)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；(5分) (3)若直线MN的一个方向向量为a＝(－3，3)，求直线MN的方程．(5分) 解：(1)直线MN的斜率不存在时，点M(m＋3，3m＋5)，N(2m－1，1)的横坐标相等， 即m＋3＝2m－1，解得m＝4. (2)设直线MN的倾斜角为θ，因为倾斜角θ为锐角，所以直线MN的斜率k＝tan θ＞0，又k＝＝＞0， 即(3m＋4)(m－4)＜0，解得－＜m＜4， 即m的取值范围为. (3)直线MN的一个方向向量为a＝(－3，3)，所以直线MN的斜率k＝－1， 所以k＝＝－1，解得m＝－4， 即M(－1，－7)， 所以直线MN的方程为y＋7＝－(x＋1)，即x＋y＋8＝0. 10．已知直线l过点(0，4)，且与直线x－y＋4＝0及x轴围成等腰三角形，则l的方程为(　　) A.x＋y－4＝0或x－y＋4＝0 B.x－y＋4＝0或x－y＋4＝0 C.x－y＋3＝0 D.x＋y－3＝0 解析：选A.如图，设A(0，4)，直线x－y＋4＝0过点A(0，4)和B. ①当直线l的方程为x＝0时，直线l、直线x－y＋4＝0与x轴围成△AOB，不是等腰三角形，所以直线l的斜率存在． ②当直线l的斜率为负时，设点B关于y轴的对称点为C，当直线l过A，C两点时，AB＝AC，又直线AB的斜率为，∠ABO＝，所以△ABC是等边三角形，AB＝BC，满足题意，kAC＝tan ＝－，此时直线l的方程为y－4＝－x，即x＋y－4＝0. ③当直线l的斜率为正时，设直线l与x轴负半轴相交于点D，则AB＝BD，又∠ABO＝，所以∠ADB＝， 所以直线AD，即直线l的斜率为，直线l的方程为y－4＝x，即x－y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－4＝0或x－y＋4＝0. 11．(多选)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别是k1，k2，则下列命题正确的是(　　) A.若k1＝k2，则α1＝α2 B.若k1＜k2，则α1＜α2 C.若α1＜α2，则k1＜k2 D.若k2＜0＜k1，则α1＜90°＜α2 解析：选AD.对于A，由k1＝k2表明斜率存在，则tan α1＝tan α2，由正切函数在[0，)∪(，π)上，倾斜角和斜率一一对应，故α1＝α2，该命题正确； 对于B，若k1＝－1，k2＝1时，相应的倾斜角α1＝135°，α2＝45°，不满足α1＜α2，该命题不正确； 对于C，由正切函数的图象知： 当0°≤α1＜α2＜90°和90°＜α1＜α2＜180°时，k1＜k2； 当0°≤α1＜90°＜α2＜180°时，k1＞k2； 当α1＝90°或α2＝90°时，k1或k2不存在，该命题不正确； 对于D，因为k2＜0＜k1，结合正切函数的图象知0°＜α1＜90°＜α2＜180°， 所以α1＜90°＜α2，该命题正确． 12．设A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直线x＝m将△ABC面积两等分，则m的值是________． 解析：设直线x＝m与边AB，AC分别交于点D，E. 由S△ABC＝， 得S△AED＝. 又直线AC的方程为＋＝1，而点E在边AC上，故可设E，m>0.因此，|DE|＝.因为S△AED＝··m＝，所以m＝. 答案： 13．(15分)已知t∈(0，5]， 由t确定两个点P(t，t)，Q(10－t，0). (1)写出直线PQ的方程(答案可含t)；(7分) (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上．若OA＝a，当正方形ABCD的面积最大时，求a，t的值．(8分) 解：(1)当t＝5时，直线PQ的斜率不存在，其方程为x＝5； 当t≠5时，直线PQ的斜率存在，即kPQ＝，其方程为y－t＝(x－t)，转化为一般式为tx－2(t－5)y＋t2－10t＝0. 经验证，当t＝5时，其方程也适合上式． 综上，直线PQ的方程为tx－2(t－5)y＋t2－10t＝0. (2)由P(t，t)和四边形ABCD为正方形可知OA＝AD＝AB，因为OA＝a， 所以A(a，0)，B(2a，0)，C(2a，a). 因为点C(2a，a)在直线PQ上， 所以2at－2a(t－5)＋t2－10t＝0，所以a＝t(10－t)＝－(t－5)2＋， 而正方形ABCD的面积最大，即a最大，此时 t＝5，a＝. 14．(15分)已知动直线l：y－2＝k过定点P. (1)求P的坐标；(5分) (2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线l满足：△AOB的周长为12且面积为6.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．(10分) 解：(1)由点斜式方程l：y－2＝k可知直线l过定点P. (2)存在．设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，将P代入得＋＝1.① 由A(a，0)，B(0，b)，△AOB的周长为12，面积为6，得 令a＋b＝t＞0，则a2＋b2＝t2－24， 所以t＋＝12，即t－12＝－，化简得24t＝168，解得t＝7， 所以有解得或 其中不满足①，满足①. 所以存在直线l满足题意，直线l的方程为＋＝1，即3x＋4y－12＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $